一元二次方程测试

1 一元二次方程一元二次方程 一 精心选一选 一 精心选一选 1 下列方程中 是关于 x 的一元二次方程的是 A ax2 bx c 0B x2 2x x2 1C 3 x 1 2 2 x 1 D 2 0 2 用配方法解方程 x2 4x 2 0 下列配方正确的是 A x 2 2 2B x 2 2 2C x 2 2 2D x 2 2 6 3 某种药品原价为 36 元 盒 经过连续两次降价后售价为 25 元 盒 设平均每次降价的百分率为 x 根据题意所列方程正确的是 A 36 1 x 2 36 25B 36 1 2x 25C 36 1 x 2 25D 36 1 x2 25 4 若关于 x 的一元二次方程 x2 k 3 x k 0 的一个根是 2 则另一个根是 A 2B 1C 1D 0 5 若 b b 0 是方程 x2 cx b 0 的根 则 b c 的值为 A 1B 1C 2D 2 6 关于 x 的方程 a 5 x2 4x 1 0 有实数根 则 a 满足 A a 1 B a 1 且 a 5C a 1 且 a 5D a 5 7 已知关于 x 的方程 x2 2k 1 x k2 0 有两个不相等的实数根 那么 k 的最大整数值是 A 2B 1C 0D 1 8 若方程 x2 mx 1 0 和方程 x2 x m 0 有一个相同的实数根 则 m 的值为 A 2B 0C 1D 无法确定 9 用 13m 的铁丝网围成一个长边靠墙面积为 20m2的长方形 求这个长方形的长和宽 设平行于墙 的一边为 xm 可得方程 A x 13 x 20B C D 10 如图 菱形 ABCD 的边长是 5 两条对角线交于 O 点 且 AO BO 的长分别是关于 x 的方程 x2 2m 1 x m2 3 0 的根 则 m 的值为 2 A 3B 5C 5 或 3D 5 或 3 二 细心填一填 二 细心填一填 11 一元二次方程 3x x 2 4 的一般形式是 该方程根的情况是 12 方程 2 x2 0 的解是 13 配方 x2 8x x 2 14 设 a b 是方程 x2 x 2013 0 的两个不相等的实数根 则 a2 2a b 的值为 15 若一个三角形的三边长均满足方程 x2 6x 8 0 则此三角形的周长为 16 科学研究表明 当人的下肢长与身高之比为 0 618 时 看起来最美 某成年女士身高为 153cm 下肢长为 92cm 该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm 精确到 0 1cm 三 耐心答一答 三 耐心答一答 17 用指定的方法解方程 1 x 2 2 25 0 直接开平方法 2 x2 4x 5 0 配方法 3 x 2 2 10 x 2 25 0 因式分解法 4 2x2 7x 3 0 公式法 18 当 x 取什么值时 代数式x x 1 与 x 2 1 的值相等 3 19 已知关于 x 的一元二次方程 5x2 kx 10 0 一个根是 5 求 k 的值及方程的另一个根 20 在高尔夫球比赛中 某运动员打出的球在空中飞行高度 h m 与打出后飞行的时间 t s 之 间的关系是 h 7t t2 1 经过多少秒钟 球飞出的高度为 10m 2 经过多少秒钟 球又落到地面 22 已知关于 x 的方程 x2 2 m 1 x m2 0 1 当 m 取值范围是多少时 方程有两个实数根 2 为 m 选取一个合适的整数 使方程有两个不相等的实数根 并求出这两个实数根 23 已知 a b c 分别是 ABC 中 A B C 所对的边 且关于 x 的方程 c b x2 2 b a x a b 0 有两个相等的实数根 试判断 ABC 的形状 24 在我校的周末广场文艺演出活动中 舞台上有一幅矩形地毯 它的四周镶有宽度相同的花边 如图 地毯中央的矩形图案长 8 米 宽 6 米 整个地毯的面积是 80 平方米 求花边的宽 4 25 某电脑销售商试销某一品牌电脑 出厂为 3000 元 台 以 4000 元 台销售时 平均每月可销售 100 台 现为了扩大销售 销售商决定降价销售 在原来 1 月份平均销售量的基础上 经 2 月份的 市场调查 3 月份调整价格后 月销售额达到 576000 元 已知电脑价格每台下降 100 元 月销售 量将上升 10 台 1 求 1 月份到 3 月份销售额的月平均增长率 2 求 3 月份时该电脑的销售价格 26 某商店以 6 元 千克的价格购进某种干果 1140 千克 并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果 后同时开始销售 这批干果销售结束后 店主从销售统计中发现 甲级干果与乙级干果在销售过程 中每天都有销量 且在同一天卖完 甲级干果从开始销售至销售的第 x 天的总销量 y1 千克 与 x 的关系为 y1 x2 40 x 乙级干果从开始销售至销售的第 t 天的总销量 y2 千克 与 t 的关系为 y2 at2 bt 且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表 t123 y2214469 1 求 a b 的值 2 若甲级干果与乙级干果分别以 8 元 千克和 6 元 千克的零售价出售 则卖完这批干果获得的 毛利润是多少元 3 问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克 说明 毛利润 销售总金额 进货总金额 这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计 5 第第 2 21 1 章章 一元二次方程一元二次方程 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 精心选一选 一 精心选一选 1 下列方程中 是关于 x 的一元二次方程的是 A ax2 bx c 0B x2 2x x2 1C 3 x 1 2 2 x 1 D 2 0 解答 解 A a 0 时 不是一元二次方程 错误 B 原式可化为 2x 1 0 是一元一次方程 错误 C 原式可化为 3x2 4x 1 0 符合一元二次方程的定义 正确 D 是分式方程 错误 故选 C 2 用配方法解方程 x2 4x 2 0 下列配方正确的是 A x 2 2 2B x 2 2 2C x 2 2 2D x 2 2 6 解答 解 把方程 x2 4x 2 0 的常数项移到等号的右边 得到 x2 4x 2 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 得到 x2 4x 4 2 4 配方得 x 2 2 2 故选 A 3 某种药品原价为 36 元 盒 经过连续两次降价后售价为 25 元 盒 设平均每次降价的百分率为 x 根据题意所列方程正确的是 A 36 1 x 2 36 25B 36 1 2x 25C 36 1 x 2 25D 36 1 x2 25 解答 解 第一次降价后的价格为 36 1 x 两次连续降价后售价在第一次降价后的价格 的基础上降低 x 为 36 1 x 1 x 则列出的方程是 36 1 x 2 25 故选 C 6 4 若关于 x 的一元二次方程 x2 k 3 x k 0 的一个根是 2 则另一个根是 A 2B 1C 1D 0 解答 解 设方程的另一个根是 x 依题意得 解之得 x 1 即方程的另一个根是 1 故选 B 5 若 b b 0 是方程 x2 cx b 0 的根 则 b c 的值为 A 1B 1C 2D 2 解答 解 把 x b 代入方程 x2 cx b 0 得到 b2 bc b 0 即 b b c 1 0 又 b 0 b c 1 故本题选 B 6 关于 x 的方程 a 5 x2 4x 1 0 有实数根 则 a 满足 A a 1 B a 1 且 a 5C a 1 且 a 5D a 5 解答 解 分类讨论 当 a 5 0 即 a 5 时 方程变为 4x 1 0 此时方程一定有实数根 当 a 5 0 即 a 5 时 关于 x 的方程 a 5 x2 4x 1 0 有实数根 16 4 a 5 0 a 1 a 的取值范围为 a 1 故选 A 7 已知关于 x 的方程 x2 2k 1 x k2 0 有两个不相等的实数根 那么 k 的最大整数值是 A 2B 1C 0D 1 7 解答 解 a 1 b 2k 1 c k2 方程有两个不相等的实数根 b2 4ac 2k 1 2 4k2 1 4k 0 k k 的最大整数为 0 故选 C 8 若方程 x2 mx 1 0 和方程 x2 x m 0 有一个相同的实数根 则 m 的值为 A 2B 0C 1D 无法确定 解答 解 由方程 x2 mx 1 0 得 x2 mx 1 由方程 x2 x m 0 得 x2 x m 则有 mx 1 x m 即 x 1 把 x 1 代入方程 x2 mx 1 0 得方程 1 m 1 0 从而解得 m 2 故选 A 9 用 13m 的铁丝网围成一个长边靠墙面积为 20m2的长方形 求这个长方形的长和宽 设平行于墙 的一边为 xm 可得方程 A x 13 x 20B C D 解答 解 平行于墙的一边为 xm 那么垂直于墙的有 2 个边 等于 铁丝长 x 2 故选 B 10 如图 菱形 ABCD 的边长是 5 两条对角线交于 O 点 且 AO BO 的长分别是关于 x 的方程 x2 2m 1 x m2 3 0 的根 则 m 的值为 A 3B 5C 5 或 3D 5 或 3 解答 解 由勾股定理可得 AO2 BO2 25 8 又有根与系数的关系可得 AO BO 2m 1 AO BO m2 3 AO2 BO2 AO BO 2 2AO BO 2m 1 2 2 m2 3 25 整理得 m2 2m 15 0 解得 m 3 或 5 又 0 2m 1 2 4 m2 3 0 解得 m m 3 故本题选 A 二 细心填一填 二 细心填一填 11 一元二次方程 3x x 2 4 的一般形式是 3x2 6x 4 0 该方程根的情况是 无实数根 解答 解 3x x 2 4 3x2 6x 4 0 6 2 4 3 4 12 0 无实数根 故答案为 3x2 6x 4 0 无实数根 12 方程 2 x2 0 的解是 解答 解 移项 得 x2 2 开方 得 x 13 配方 x2 8x 16 x 4 2 解答 解 所给代数式的二次项系数为 1 一次项系数为 8 等号右边正好是一个完全平方 式 常数项为 8 2 2 16 x2 8x 16 x 4 2 故答案为 16 4 9 14 设 a b 是方程 x2 x 2013 0 的两个不相等的实数根 则 a2 2a b 的值为 2012 解答 解 a b 是方程 x2 x 2013 0 的两个不相等的实数根 a2 a 2013 0 a2 a 2013 又 a b 1 a2 2a b a2 a a b 2013 1 2012 故答案为 2012 15 若一个三角形的三边长均满足方程 x2 6x 8 0 则此三角形的周长为 6 10 12 解答 解 解方程 x2 6x 8 0 得 x1 4 x2 2 当 4 为腰 2 为底时 4 2 4 4 2 能构成等腰三角形 周长为 4 2 4 10 当 2 为腰 4 为底时 4 2 2 4 2 不能构成三角形 当等腰三角形的三边分别都为 4 或者都为 2 时 构成等边三角形 周长分别为 6 12 故 ABC 的周长是 6 或 10 或 12 16 科学研究表明 当人的下肢长与身高之比为 0 618 时 看起来最美 某成年女士身高为 153cm 下肢长为 92cm 该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 6 7 cm 精确到 0 1cm 解答 答 设高跟鞋鞋跟的高度为 x 根据题意列方程得 92 x 153 x 0 618 解得 x 6 69 精确到 0 1cm 为 6 7cm 三 耐心答一答 三 耐心答一答 17 用指定的方法解方程 1 x 2 2 25 0 直接开平方法 2 x2 4x 5 0 配方法 3 x 2 2 10 x 2 25 0 因式分解法 4 2x2 7x 3 0 公式法 解答 解 1 x 2 2 25 0 直接开平方法 x 2 5 10 x1 3 x2 7 2 x2 4x 5 0 配方法 x 2 2 9 x 2 3 x1 5 x2 1 3 x 2 2 10 x 2 25 0 因式分解法 x 2 5 x 2 5 0 x1 x2 3 4 2x2 7x 3 0 公式法 x x1 3 x2 18 当 x 取什么值时 代数式x x 1 与 x 2 1 的值相等 解答 解 根据题意得 x x 1 x 2 1 3x x 1 2 x 2 6 3x2 3x 2x 4 6 3x2 3x 2x 4 6 0 3x2 5x 2 0 3x 1 x 2 0 3x 1 0 或 x 2 0 x1 x2 2 19 已知关于 x 的一元二次方程 5x2 kx 10 0 一个根是 5 求 k 的值及方程的另一个根 解答 解 根据二次方程根与系数的关系 可得 x1 x2 2 x1 x2 而已知其中一根为 5 有 5 x2 2 可得 x2 又有 x1 x2 解可得 k 23 11 答 k 23 另一根为 20 在高尔夫球比赛中 某运动员打出的球在空中飞行高度 h m 与打出后飞行的时间 t s 之 间的关系是 h 7t t2 1 经过多少秒钟 球飞出的高度为 10m 2 经过多少秒钟 球又落到地面 解答 解 1 把 h 10 代入函数解析式 h 7t t2得 7t t2 10 解得 t1 2 t2 5 答 经过 2 秒或 5 秒 球飞出的高度为 10m 2 把 h 0 代入函数解析式 h 7t t2得 7t t2 0 解得 t1 0 为球开始飞出时间 t2 7 球又落到地面经过的时间 答 经过 7 秒钟 球又落到地面 21 阅读下面的例题 解方程 x2 x 2 0 解 1 当 x 0 时 原方程化为 x2 x 2 0 解得 x1 2 x2 1 不合题意 舍去 2 当 x 0 时 原方程化为 x2 x 2 0 解得 x1 1 不合题意 舍去 x2 2 原方程的根是 x1 2 x2 2 请参照例题解方程 x2 x 3 3 0 则此方程的根是 x1 3 x2 2 解答 解 1 当 x 3 时 原方程化为 x2 x 3 3 0 即 x2 x 0 解得 x1 0 不合题意 舍去 x2 1 不合题意 舍去 2 当 x 3 时 原方程化为 x2 x 3 3 0 即 x2 x 6 0 解得 x1 3 x2 2 所以原方程的根是 x1 3 x2 2 12 22 已知关于 x 的方程 x2 2 m 1 x m2 0 1 当 m 取值范围是多少时 方程有两个实数根 2 为 m 选取一个合适的整数 使方程有两个不相等的实数根 并求出这两个实数根 解答 解 1 由题意知 b2 4ac 2 m 1 2 4m2 2 m 1 2m 2 m 1 2m 2 4m 2 8m 4 0 解得 m 当 m 时 方程有两个实数根 2 选取 m 0 答案不唯一 注意开放性 方程为 x2 2x 0 解得 x1 0 x2 2 23 已知 a b c 分别是 ABC 中 A B C 所对的边 且关于 x 的方程 c b x2 2 b a x a b 0 有两个相等的实数根 试判断 ABC 的形状 解答 解 x 的方程 c b x2 2 b a x a b 0 有两个相等的实数根 b2 4ac 0 且 c b 0 即 c b 4 b a 2 4 c b a b 0 则 4 b a b a c b 0 b a c a 0 b a 0 或 c a 0 b a 或 c a 此三角形为等腰三角形 24 在我校的周末广场文艺演出活动中 舞台上有一幅矩形地毯 它的四周镶有宽度相同的花边 如图 地毯中央的矩形图案长 8 米 宽 6 米 整个地毯的面积是 80 平方米 求花边的宽 13 解答 解 设花边的宽为 x 米 根据题意得 2x 8 2x 6 80 解得 x1 1 x2 8 x2 8 不合题意 舍去 答 花边的宽为 1 米 25 某电脑销售商试销某一品牌电脑 出厂为 3000 元 台 以 4000 元 台销售时 平均每月可销售 100 台 现为了扩大销售 销售商决定降价销售 在原来 1 月份平均销售量的基础上 经 2 月份的 市场调查 3 月份调整价格后 月销售额达到 576000 元 已知电脑价格每台下降 100 元 月销售 量将上升 10 台 1 求 1 月份到 3 月份销售额的月平均增长率 2 求 3 月份时该电脑的销售价格 解答 解 1 设 1 月份到 3 月份销售额的月平均增长率为 x 由题意得 400000 1 x 2 576000 1 x 1 2 x1 0 2 x2 2 2 舍去 1 月份到 3 月份销售额的月平均增长率为 20 2 设 3 月份电脑的销售价格在每台 4000 元的基础上下降 y 元 由题意得 4000 y 100 0 1y 576000 y2 3000y 1760000 0 y 800 y 2200 0 y 800 或 y 2200 当 y 2200 时 3 月份该电脑的销售价格为 4000 2200 1800 3000 不合题意舍去 y 800 3 月份该电脑的销售价格为 4000 800 3200