华农概率论习题二解答

习习 题题 二二 解解 答答 1 五张卡片上分别写有号码 1 2 3 4 5 随即抽取其中 三张 设随机变量 X 表示取出三张卡片上的最大号码 1 写出 X 的所有可能取值 2 求 X 的分布率 解 1 显然是 3 4 5 2 X 的分布律 2 下面表中列出的是否时 某个随机变量的分布律 1 2 答 1 是 2 不是 3 一批产品共有 N 件 其中 M 件次品 从中任意抽取 n n M 件 产品 求这 n 件产品中次品数 X 的分布律 此分布律为超 几何分布 解 抽取 n 件产品的抽法有种 抽取到次品的抽法有 n N C 种 所以所求概率为 kn MN k C M C X345 P0 10 30 6 X135 P0 50 30 2 X123 P0 70 10 1 P k 0 1 2 3 n kX n N kn MN k M C CC 4 设随机变量 X 的分布律为 P X k k 1 2 3 4 5 15 k 求 1 P X 1 或 X 2 2 P 3 P 2 5 2 1 X 21 X 解 1 P X 1 或 X 2 P X 1 P X 2 15 2 15 1 5 1 2 P P P X 1 P X 2 2 5 2 1 X21 X 15 2 15 1 5 1 3 P P X 1 P X 2 21 X 15 2 15 1 5 1 5 一批产品共 10 件 其中 7 件正品 3 件次品 从该批产品中 每次任取一件 在下列两种情况下 分别求直至取得正品为 止所需次数 X 的分布律 1 每次取后不放回 2 每次取后放回 解 1 30 7 910 73 2 10 7 1 XPXP 120 7 8910 723 3 XP X1234 P 10 7 30 7 120 7 120 1 2 1 2 1 10 3 10 7 k kXPk 6 某射手每发子弹命中目标概率为 0 8 现相互独立地射击 5 发 子弹 求 1 命中目标弹数地分布律 2 命中目标的 概率 解 1 设 X 为命中目标的弹数 则其分布律为 P X K k 0 1 2 3 4 5 k C5 k 8 0 k 5 2 0 2 P 命中目标 1 P X 0 1 0 99968 0 5 C 0 8 0 05 2 0 7 设随机变量 X 服从泊松分布 P 且 P X 1 P X 2 求 P X 4 解 由 P X 1 P X 2 得 e e 解得 2 或 1 1 2 2 0 舍弃 故 P X 4 e e 4 24 2 3 2 2 8 设随机变量 X 的分布律为 1 P X k k 1 2 N N a 2 P X k a k 0 1 2 k k 试确定常数 a 解 1 由 1 得 N 1 解得 a 1 N k kXP 1 N a 2 由 1 得 1 解得 a e 0 k kXP 0k a k k 9 某车间有同类设备 100 台 各台设备工作互不影响 如果每 台设备发生故障得概率是 0 01 且一台设备的故障可由一个人 来处理 问至少配备多少维修工人 才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于 0 01 利用泊松定理近似计算 解 设 X 为发生故障设备得台数 则 即 X 近似 1 01 0 100 BX 服从参数为的 poisson 分布 设设备需要 N 个人看管 才1 能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0 01 则 01 0 1 1 e k NXP Nk 查表得5 N 10 设随机变量 X 的密度函数为 f x c e x 求 x 1 常数 c 2 X 落在区间 0 1 内的概率 3 P 5 X 解 1 因为 1 dxxf 0 dxxf 0 dxxf 即 1 ce 1 解得 c 0 dxce x 0 dxce xx 0 0 x ce 2 1 2 P 10 X 1 0 dxxf 1 02 1 dxe x e e 2 1 3 P P 5 X5X5 或X 5 dxxf 5 dxxf e 5 2 1 dxe x 5 2 1 dxe x5 11 设随机变量 X 的密度函数为 求 0 1 0 cx x f x 其他 1 常数 c 2 P 0 3 Xa P Xb 0 64 5 X 分布函数 解 1 dxxf 0 0dx 1 0cxdx 0 0dx cxdx 1 0 1 所以 解得 C 2 2 P 0 3 X 0 7 2xdx 7 0 3 0 2 x 7 0 3 0 0 49 0 09 0 4 3 由得 aXPaXP 当 a 1 时 0 1P XaP Xa 故 a 不可能小于 0 或大于 1 当 0 a 1 时 1 22 0 21 2 aa aa P Xaf x dxxdxaP Xaf x dxxdxa 所以 即得 a 22 1aa 2 2 4 由题设可知 b 的取值范围为 0 b 1 所以 b 0 6 1 2 210 64 bb P Xbf x dxxdxb 5 当 x 1 时 F x 122 1 0 xdxxdx x 2 0 0 01 1 1 x F xxx x 12 解 由题设可知 把 X 的分布函数的取值范围分为四段 当 x 1 时 F x 0 当 1 x 0 时 F x 6 1 当 0 1 时 F x 1 0 1 1 10 6 1 01 2 1 1 x x F x x x 13 解 1 P X 2 F 2 1 e 2 0 8647 P X 2 1 P X 2 1 0 8647 0 1353 2 设 X 的密度函数为 f x 当 X 0 时 f x 0 x F 当 X 0 时 f x xx eexF 1 x e x0 f x 0 x0 14 解 1 1 即 arctan limxBA x 1 2 BA 0 即 arctan limxBA x 0 2 BA 由 式得 A B 2 1 1 2 P 1 X 1 F 1 F 1 2 1 1 4 2 1 1 4 2 1 3 X 的密度函数 f x 2 1 1 1 arctan 1 2 1 x xxF 1 1 2 x xf x 15 解 当 x a 1 P X a a a x edxe 0 1 1 2 1 所以 1 lnln2 2 a 17 解 设乘客候车时间为 X 分 由于乘客到达该汽车站的任一 时刻是等可能的 且公共汽车每隔 5 分钟通过车站一次 所以 X 在区间 0 5 内均匀分布 所以 X 的密度函数为 其他 0 50 5 1 x xf 所以 乘客候车时间不超过 3 分钟的概率为 0 6 3 05 3 5 1 dxxF 18 解 因为 X 在 2 5 上服从均匀分布 所以 X 的密度函数为 其他 0 52 7 1 x xf 而要方程有实根 则要求 即得 02XX44 2 0 2 1616 2 XX X 1 或 X 2 即 方程有实根的概率为 P X 1 P X 2 7 4 7 1 7 1 5 2 1 2 dxdx 19 解 1 0 3 0 2 N X 1 0 9996 1 2 1 1 1 1 1 3 33 3 33 0 3 P XP X 2 1 221 2 11 2 1 2 1 2 67 10 0 30 3 10 2 67 1 0 9962 0 0038 PXP XP X 20 解 1 所以 2 10 8PkXkkkk 0 9k 查表可得 k 的最大取值为 k 1 28 2 所以 1 1 0 95P XkP Xkk 0 95k 查表可得 k 的最大取值为 k 1 65 21 解 由题设得 即 即 1 cXPcXPcXP 2 1 cXP 31 22 c 查表得 0 所以 c 3 2 3 c 22 解 1 1 0 5000 N X Y 5500500045005000 45005500 5500 4500 500500500 2 10 9 PXP XP X 即 查表并计算得 303 500 0 95 2 4000500010001000 4000 1 4000 1 1 0 95P XP X 查表并计算得 606 23 解 要该种配件是合格品 那么 该配件的长度 X 的范围应 该在 9 93 X 10 17 单位 cm 所以 生产该种配件是合格品的概率为 10 17 10 059 93 10 05 9 9310 17 10 17 9 93 2 2 2 2 1 0 060 06 PXP XP X 查表得 所以概率为 0 9546 2 0 9773 24 解 X 2024 2 1 X 2 0246 2 3 1 31 1 3 2 1 X X2 40416 4 1 P 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 25 解 因为 Y 1 X 是严格单调的函数 所以 当 0 y 1 时 即 0 x 1 时 2 1 3 1 1 yyyfyf XY 当 Y 为其他值时 即 X 在区间 0 1 外时 0 1 1 yyfyf XY 所以 Y 1 X 的密度函数为 其他 0 10 1 3 2 yy yfY 或 解 Y 1 X 的分布函数为 Y Fy 1 1 1 1 1 1 yFyXP yXPyXPyYPyF X Y 其中是 的分布函数 它满足 xFXX xf dx xdF xF X X X 而 其它 10 0 1 3 1 1 1 2 y y yfyF dy d dy ydF yf XX Y Y 26 解