多元函数积分学

1 多元函数积分学 知识结构 知识结构 必备基础知识必备基础知识 二重积分的定义二重积分的定义 设f x y 是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域 1 2 n 其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一 点 i i 作和 iii n i f 1 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为 函数f x y 在闭区域D上的二重积分二重积分 记作 即 dyxf D iii n i D fdyxf lim 1 0 f x y 被积函数 f x y d 被积表达式 d 面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和 iii n i f 1 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 2 如果f x y 0 被积函数f x y 可解释为曲顶柱体的在点 x y 处的竖坐标 所以 二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f x y 是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重 积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的 二重积分的性质 二重积分与定积分有类似的性质 二重积分的性质 二重积分与定积分有类似的性质 性质 1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面 即 k 为常数 性质 2 函数的和 或差 的二重积分等于各个函数的二重积分的和 或差 性质 3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于 在各部分闭区域上的二重积分的和 例如D分为两个闭区域D1与 D2 则 dyxfdyxfdyxf DDD 21 此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性 性质 4 如果在D上 f x y 1 s 为D的面积 则 DD dd1 此性质的几何意义很明显 因为高为 1 的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面 积 性质 5 如果在D上 f x y g x y 则有不等式 dyxgdyxf DD 特殊地 dyxfdyxf DD 性质 6 设M m分别是f x y 在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则有 3 Mdyxfm D 上述不等式是对二重积分估值的不等式 性质 7 二重积分的中值定理 设函数f x y 在闭区域D上连续 为D的面积 则 在D上至少存在一点 使得 fdyxf D 积分区域的分类积分区域的分类 1 上下结构 平面图形由上下两条曲线y f上 x 与y f下 x 及左右两条直线D x a与x b所围成 特点 1 平面图形上下是两条曲线y f上 x 和y f下 x 左右是两条直线x a与D x b 2 作穿过平面图形且平行于轴的有向直线 进入区域交的是y f下 x 出来Dy 区域交的是y f上 x 例 抛物线 所围成的图形xy 22 xy 解 该平面图形为上下结构 上面是曲线 xy 下面是曲线 2 xy 左边是直线 0 x 右边是直线 1 x 4 2 左右结构 平面图形由左右两条曲线x 左 y 与x 右 y 及上下两条直线D y d与y c所围成 特点 1 平面图形左右是两条曲线x 左 y 和x 右 y 上下是两条直线y d与D y c 2 作穿过平面图形且平行于轴的有向直线 进入区域交的是x 左 y 出来Dx 区域交的是x 右 y 例 由曲线和直线所围成的图形xy2 2 4 xy 解 该平面图形为左右结构 左边是曲线 2 2 y x 右边是曲线 yx 4 上面是直线 4 y 下面是直线 2 y 5 主要考察知识点和典型例题 主要考察知识点和典型例题 二重积分是定积分的扩展 是二元函数的积分 具有和定积分相似的定义和性质 从 考试的角度看 主要是考查二重积分的计算 考查方法是直接给定一个二重积分 让我们 选择合适的方法进行计算 二重积分的计算首先要确定坐标系 即 是在直角坐标系下还是在极坐 dyxf D 标系下计算 两种情况往年都考过 所以都需要大家掌握 1 当二重积分的积分区域为圆面 环面 dyxf D 222 ayx 扇面等区域时 考虑用极坐标 当被积函数含有 2222 byxa yxf 22 yx 也要考虑极坐标 x y y x 2 其余情况一般考虑在直角坐标系下计算 考点一 利用直角坐标计算二重积分考点一 利用直角坐标计算二重积分 转化为二次积分 转化为二次积分 1 1 上下 上下结结构区域构区域 D D 1 1 x x y y 2 2 x x a a x x b b 先 先后后 b a x x D dyyxfdxdyyxfdxdyxf 2 1 yx 法法则则 前看端点 后作平行 前看端点 后作平行 6 2 2 左右 左右结结构区域构区域 D D 1 1 y y x x 2 2 y y c c y y d d 先 先后后 d c y y D dxyxfdydyxf 2 1 xy 法法则则 前看端点 后作平行 前看端点 后作平行 典型例题典型例题 计算 其中D是由直线y 1 x 2 及y x所围成的闭区域 dxy D 解 方法一 可把D看成是上下结构区域 1 x 2 1 y x 于是 2 11 x D xydydxdxy 2 1 3 2 1 1 2 2 1 2 dxxxdx y x x 8 9 24 2 1 2 1 24 xx 方法二 也可把D看成是左右结构区域 1 y 2 y x 2 于是 2 1 2 y D xydxdydxy 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 dy y ydy x y y 8 9 8 2 1 4 2 y y 注 1 若积分区域既是 上下结构区域又是左右结构区域 则有 D yxyxfdd b a xdyyxf x x d 2 1 d c ydxyxf y y d 2 1 为计算方便 可选择积分序 必要时还可以交换积分序 2 若积分域较复杂 可将它分成若干上下结构域或左右结构域 则 321 DDDD 考点二 考点二 利用极坐标计算二重积分 转化为二次积分 转化为二次积分 sin cos y x x y yx arctan 22 7 若积分区域可表示为 D 1 2 则 dyxf D ddf D sin cos dfd 2 1 sin cos 典型例题 典型例题 计算 其中D是由中心在原点 半径为a 的圆周所围成的 D yx dxdye 22 闭区域 解 在极坐标系中 闭区域D可表示为 0 a 0 2 于是 DD yx ddedxdye 2 22 deded a a 0 2 0 2 00 2 1 22 1 1 2 1 22 2 0 aa ede 往年真题往年真题 计算 其中为与dxdyyx D 22 Dyyx2 22 的公共部分 0 x 解 在极坐标系中 闭区域D可表示为 0 0 2 sin2 于是 8 常微分方程常微分方程 知识结构 知识结构 一阶微分方程一阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程 可分可分 离变离变 量的量的 微分微分 方程方程 一阶一阶 线性线性 微分微分 方程方程 二阶常 系数非 齐次线 性微分 方程 二阶常二阶常 系数齐系数齐 次线性次线性 微分方微分方 程程 微分方程微分方程 必备基础知识必备基础知识 微分方程微分方程 表示未知函数 未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 我们把未 知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程常微分方程 常微分方程的一般形式是 0 n yyyyxF 其中为自变量 是未知函数 x xyy 微分方程的阶微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 微分方程的解微分方程的解 在研究实际问题时 首先要建立属于该问题的微分方程 然后找出满足该微分方程的 函数 即解微分方程 就是说 把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式 我们称 这个函数为该微分方程的解 微分方程的特解 通解微分方程的特解 通解 微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数 一般地 微分方程的不含有任意常数 的解称为微分方程的特解 含有相互独立的任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶 数相等的解称为微分方程的通解 一般解 可分离变量的微分方程概念可分离变量的微分方程概念 9 设有一阶微分方程 如果其右端函数能分解成 即有 yxF dx dy xgxfyxF 则称方程 2 1 为可分离变量的微分方程 其中都是连续函数 ygxf dx dy xgxf 一阶线性微分方程的概念一阶线性微分方程的概念 1 形如 1 xQyxP dx dy 的方程称为一阶线性微分方程 其中函数 是某一区间上的连续函数 xP xQI 一阶是指方程中导数的最高阶是一阶 线性是指和的次数都是一次 y y 2 当方程 1 成为 0 xQ 2 0 yxP dx dy 这个方程称为对应于非齐次线性方程的一阶齐次线性方程 相应地 xQyxP dx dy 方程 1 称为一阶非齐次线性方程 二阶常系数齐次线性微分方程的概念二阶常系数齐次线性微分方程的概念 方程 0 qyypy 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p q均为常数 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构二阶常系数齐次线性微分方程解的结构 如果与是方程 的两个线性无关的特解 则 1 xy 2 xy 2211 xyCxyCy 就是方程 的通解 其中是任意常数 21 C C 二阶常系数齐次线性微分方程特征方程二阶常系数齐次线性微分方程特征方程 就是把 就是把换成换成 换成换成 换成换成 y 2 r y ry 得到的方程 得到的方程 1 方程r2 pr q 0 叫做微分方程y py qy 0 的特征方程 特征方程的两个根r1 r2可用公式 2 4 2 2 1 qpp r 求出 10 二阶常系数非齐次线性微分方程的概念二阶常系数非齐次线性微分方程的概念 二阶常系数非齐次线性微分方程 方程 xfqyypy 称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 非齐次的通解 齐次的通解 非齐次非齐次的通解 齐次的通解 非齐次 的特解的特解 定理 设是方程 的一个特解 而是其对应的齐次方程 的通解 则 yY yYy 就是二阶非齐次线性微分方程 的通解 主要考察知识点和典型例题 主要考察知识点和典型例题 考点一 可分离变量的微分方程的解法考点一 可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成g y dy f x dx的形式 第二步 两端积分 设积分后得G y F x C dxxfdyyg 第三步 求出由G y F x C所确定的隐函数y x 或x y G y F x C y x 或x y 都是方程的通解 其中G y F x C称为隐式 通 解 典型例题典型例题 求微分方程的通解 xy dx dy 2 解 1 1 分离变量得xdx y dy 2 2 两端积分得 xdx y dy 2 1 2 lnCxy 3 从而 记则得到题设方程的通解 2 11 2 xCCx eeey 1 C eC 2 x Cey 往年真题往年真题 微分方程的通解为 xy 解 分离变量 x dx dy xdxdy 两边积分 xdxdy 11 所以 Cxy 2 2 1 考点二 考点二 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 1 1 齐次线性方程的解法 齐次线性方程的解法 齐次线性方程是变量可分离方程变量可分离方程 分离变量后得0 yxP dx dy dxxP y dy 两边积分 得 1 lnCdxxPy 或 1 C dxxP eCCey 这就是齐次线性方程的通解 积分中不再加任意常数 2 2 非齐次线性方程的解法非齐次线性方程的解法 非齐次线性方程的通解为 xQyxP dx dy CdxexQey dxxPdxxP 或 dxexQeCey dxxPdxxPdxxP 注注 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特 解之和 典型例题典型例题 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 0 ln ln dxxyxdyx 1 ex y 解 将方程标准化为于是 1 ln 1 x y xx y Cdxe x ey xx dx xx dx lnln 1 Cdxe x e xxlnlnlnln 1 ln 2 1 ln 1 2 Cx x 由初始条件得 故所求特解为 1 ex y 2 1 C ln 1 ln 2 1 x xy 往年真题往年真题 求的通解 x exyy sin cos 解 于是所求通解为 cos xxP sin x exQ 12 Cdxeeey xdx x xdxcos sin cos Cdxeee xxxsinsinsin Cdxe x 1 sin Cxe x sin 考点三 考点三 二阶常系数齐次线性微分方程的通解二阶常系数齐次线性微分方程的通解 求解步骤求解步骤 求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0 的通解的步骤为 第一步 写出微分方程的特征方程 r2 pr q 0 第二步 求出特征方程的两个根r1 r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 sincos 00 21 2 1 2121 2121 2 1 21 xCxCey ir ir exCCyrr eCeCyrr qyypyqprr x xr xrxr 有一对共轭复根 有二重根 有二个不相等的实根 的通解微分方程的根特征方程 典型例题典型例题 求微分方程y 2y 3y 0 的通解 解 所给微分方程的特征方程为 r2 2r 3 0 即 r 1 r 3 0 其根r1 1 r2 3 是两个不相等的实根 因此所求通解为 y C1e x C2e3x 往年真题往年真题 求方程的通解 023 yyy 解 所给微分方程的特征方程为 023 2 rr 其根是两个不相等的实根 2 1 21 rr 因此所求通解为 2 21 xx eCeCy 考点四 考点四 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 f f x x P Pm m x x e e x x 型型 特解得确定方法 特解得确定方法 当时 二阶常系数非齐次线性微分方程 8 1 具有形如 x m exPxf 13 8 4 x m k exQxy 的特解 其中是与同次 次 的多项式 而按是不是特征方程的根 xQm xPmmk 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0 1 或 2 典型例题典型例题 求微分方程y 5y 6y xe2x的通解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f x 是Pm x e x型 其中Pm x x 2 1 与所给方程对应的齐次方程为 y 5y 6y 0 它的特征方程为 r2 5r 6 0 特征方程有两个实根r1 2 r2 3 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y C1e2x C2e3x 2 由于 2 是特征方程的单根 所以应设方程的特解为 y x b0 x b1 e2x 把它代入所给方程 得 2b0 x 2b0 b1 x 比较两端x同次幂的系数 得 02 12 10 0 bb b 由此求得 b1 1 于是求得所给方程的一个特解为 2 1 0 b x exxy 2 1 2 1 3 从而所给方程的通解为 xxx exxeCeCy 223 2 2 1 2 2 1 14 无穷级数知识点睛无穷级数知识点睛 知识结构 知识结构 必备基础知识必备基础知识 无穷级数的概念无穷级数的概念 做级数的一般项 级数的部分和 级数的部分和 级数敛散性定义级数敛散性定义 级数是否收敛就看部分和极限是否存在 级数是否收敛就看部分和极限是否存在 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件 15 正