第四章三 角 函 数

第四章第四章 三三 角角 函函 数数 学案学案 1 任意角的三角函数任意角的三角函数 1 了解任意角的概念 弧度的意义 能正确地 进行弧度与角度的换算 2 理解任意角的正弦 余弦 正切的定义 了 解余切 正割 余割的定义 三角函数的概念是三角函数的基础 也是高 考对于基础知识和基本技能考查的重要内容之一 试题经常出现且多为选择题 填空题 难度一般不 大 主要考查角的范围判定 角的范围的表示 三角函数值的符号 求三角函数值 1 角的概念和弧度制角的概念和弧度制 1 角可以看成平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所成的 旋转 开始时的射线叫做角 的 旋转 终止时的射线叫做角 的 射线的 端点叫做角 的 2 在直角坐标系内讨论角 角的顶点在原点 始边 角的终 边在第几象限 就说这个角是第几象限的角 或 说这个角属于第几象限 若角的终边在坐标轴上 就说这个角不属 于任何象限 它叫 3 写出与 角终边相同的角的集合 4 弧度角的定义为 5 弧度与角度的换算 360 弧度 180 弧度 1 弧度 o 180 6 弧长公式 扇形面积公式 S扇形 lr 2 1 2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1 任意角的三角函数定义 设 是一个任意大小的角 角 的终边上 任意一点 P 的坐标是 x y 它与原点的距离是 r r 0 那么角 的正弦 余弦 正切 22 yx 余切 正割 余割分别是 sin cos tan cot sec csc 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割都是 以角为自变量 以比值为函数值的函数 这六个 函数统称为三角函数 2 sin cos tan 的定义域分别为 值 域分别为 3 sin cos tan 在各个象限内的符号分 别为 用 或 号填空 在第一象限时 在第二象限时 在第三象限时 在第四象限时 考点考点 1 终边相同的角终边相同的角 例 1 写出终边在函数 y x 的图象上的角的集合 S 函数 y x 的图象是一条直线 一 三象限 的角平分线 而角的终边是一条射线 故应分别 求出 再求其并集 在 0 到 360 范围内 终边在函数 y x 的图象上的角有两个 即 45 和 225 因此 所有与 45 角终边相同的角构成集合 S1 45 k 360 k Z 45 2k 180 k Z 而所有与 225 角终边相同的角构成集合 S2 225 k 360 k Z 45 2k 1 180 k Z 于是 终边在函数 y x 图象上的角的集合 S S1 S2 45 2k 180 k Z 45 2k 1 180 k Z 45 n 180 n Z 终边在某条直线上角的集合写法 首先在 0 360 范围内找两个角分别在其两条射线上 再由终边相同的角的集合写法得到两个集合 最 后取并集 集合 A 4n 1 180 45 n Z 和集合 B 2n 1 180 45 n Z 则 A A B B A B C A B D A B 考点考点 2 象限角象限角 例 2 已知 为第一象限角 试确定是第几 2 a 象限角 分析一 用不等式法确定的范围 然后 2 a 判断象限 分析二 用单位圆法 解法一 因为 为第一象限角 所以 2k 2k 则 k k 2 2 a 4 当 k 2n 时 2n 2n 所以为第一象 2 a 4 2 a 限角 当 k 2n 1 时 2n 0 试确定 所在的象限 考点考点 3 任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 例 3 已知角 终边经过点 P x x 0 且2 cos x 求 sin cot 的值 3 6 先根据任意角三角函数的定义求 x 再求 sin cot 的值 P x x 0 2 P 到原点距离 r 又 cos x 2x2 6 3 cos x 6 3 2x x 2 x 0 x r 2 103 当 x 时 P 点坐标为 10102 由三角函数定义 有 sin 6 6 因此 cot 2 10 5 sin cot 6 6 5 6 656 当 x 时 同样可求得 sin cot 10 6 656 从本题可看出 三角函数的大小与 P 点的位 置无关 其原因是利用了三角形相似这一性质 还应特别注意 r 0 已知角 的终边上点 P 与 A m n m 0 n 0 关于 x 轴对称 角 终边上的点 Q 与 A 关于直线 y x 对称 求 的值 sincos 1 tan tan cos sin 2011 年高考课标全国卷 已知角 的顶点与原 点重合 始边与 x 轴的正半轴重合 终边在直线 y 2x 上 则 cos2 A B C D 5 4 5 3 5 3 5 4 1 学习过程中一定要努力突破单一按角度制思 考三角问题的习惯 力求能直接通过弧度来认识 任意角 从记熟常用特殊角的弧度数开始 对任意角 三角函数的定义的理解可以比照锐角三角函数的 定义去进行 重在掌握两者间的某种联系 分清它们 之间的根本区别 2 学习本学案内容需注意的问题 1 角度与弧度不能混用 2 在写角的集合时 k Z 不要忘记 1 根据角的终边所在的象限 定义象限角时 需要注意的是 并不是所有的角都一定是某象 限角 如 90 任意角 都可以表示成 k 360 其中 0 0 3 1 为第一或第二象限角 当 为第一象限角时 cos 2 sin 1 3 22 tan 4 2 当 为第二象限角时 由 1 知 tan 4 2 3 sin m m 0 m 1 cos 当 为一 四 2 sin 1 2 m 1 象限角时取正号 当 为二 三象限角时取负号 当 为一 四象限角时 tan 2 m 1 m 当 为二 三象限角时 tan 2 m 1 m 已知一个角的某一个三角函数值 求这个角 的其他三角函数值 这类问题用同角三角函数的 基本关系式求解 一般分成三种情况 1 一个角的某一个三角函数值和这个角所 在的象限或终边落在哪个坐标轴上都是已知的 此类情况只有一组解 2 一个角的某一个三角函数值是已知的 但这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上没 有给出 如本题 解答这类问题 首先要根据已 知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边落 在哪个坐标轴上 然后分不同的情况求解 3 一个角的某一个三角函数值是用字母给 出的 或用一个角的某一个三角函数值来表示这 个角的其他三角函数 此类情况需对字母进行讨 论或对角 所在的象限进行讨论 并注意对分类 标准适当选取 一般有两组解 已知 为锐角 且 tan 求 2 1 的值 in2cos2 sin sin2cos s 考点考点 2 同角三角函数关系式的灵活应用同角三角函数关系式的灵活应用 例 2 已知 sin cos 0 求 3 2 tan 的值 考虑 tan 从而由已知条件分别求 cos sin 出 sin 和 cos 再由 sin cos 的值求出 tan 主要考查同角三角函数的基本关系式的运用 解法一 将已知等式两边平方 得 sin cos 18 7 2 故 sin cos 2 cos sin os2sin 1c 3 4 解方程组 3 4 cos sin 3 2 cossin 得 sin cos 6 42 6 42 tan cos sin 7 24 9 解法二 由 sin cos 且 sin cos 并 3 2 18 7 注意到 sin 0 cos 0 设以 sin cos 为根的一元二次方程为 x2 x 0 解得 3 2 18 7 x1 sin x2 cos 6 42 6 42 故 tan s cos sin 7 24 9 本题的解决必须先充分挖掘题目中的隐含条 件 即 否则 容易产生多解 另外 2 本题由 sin cos 联系 sin cos 和 sin cos 从而构造方程组 求解 sin cos 的方法 也值得注意 已知 sin k 2cos k k Z 求 1 3sin5cos 2cos 4sin 2 sin2 cos2 4 1 5 2 考点考点 3 诱导公式的应用诱导公式的应用 例 3 化简 tan 27 tan 49 tan 63 tan 139 灵活运用诱导公式 tan 27 tan 49 tan 63 tan 139 tan 27 tan 49 tan 90 27 tan 90 49 tan 27 tan 49 cot 27 cot 49 tan 27 cot 27 tan 49 cot 49 1 当多个复合角出现时 应先观察各个角之间的内 在联系 再利用诱导公式化简求值 化简下列各式 1 tan 3 cos cot tan sin 2 2 sin690 sin150 cos930 cos 870 tan120 tan1 050 2011 年高考大纲全国卷 已知 sin 则 tan2 25 5 1 由一个角的一个三角函数值求其他三角函 数值时 要注意讨论角的范围 2 注意公式的变形应用 弦切互化 三角代 换 消元是三角变换的重要方法 要尽量减少开 方运算 慎重确定符号 3 另外几个常用的同角三角关系式 sec cos 1 csc sin 1 sec2 tan2 1 csc2 cot2 1 cot sin cos 4 应用诱导公式 重点是 函数名称 与 正 负号 的正确判断 一般常用 奇变偶不变 符 号看象限 的口诀 1 运用诱导公式的重点在于函数名称与符号的 正确判断和使用 在运用同角关系的平方关系时 关键在于讨论角的范围 2 进行三角函数式的恒等变形 要善于观察题 目特征 灵活选择公式 通过三角变换达到化异 为同的目的 3 掌握三角变换的常见技巧 1 1 的代换 2 sin cos sin cos sin cos 三 个式子中 已知其中一个式子的值 可求其余二 式的值 若已知 sin cos p sin cos q 则可 消去 求出关系式 1 2q p2 3 关于 sin cos 的齐次式可化为关于 tan 的式子 1 已知 tan 2 则 sin2 sin cos 2cos2 A B C D 3 4 4 5 3 4 5 4 2 若 tan 2 则的值为 2cossin cos 2sin A 0 B C 1 D 4 3 4 5 3 sin585 的值为 A B C D 2 2 2 2 2 3 2 3 4 已知 ABC 中 cotA 则 cosA 5 12 A B C D 13 12 13 5 13 5 13 12 5 若 sin tan 0 则 cos 5 4 6 已知 为第四象限角 且 cos 求 2 1 1 tan2 的值 2 tan 1 复习至此 请做课时作业复习至此 请做课时作业 20 同角三角函数的基本同角三角函数的基本 关系式及正 余弦的诱导公式关系式及正 余弦的诱导公式 学案学案 3 两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数 1 掌握两角和与两角差的正弦 余弦 正切公 式 掌握二倍角的正弦 余弦 正切公式 2 能正确运用三角公式 进行简单三角函数式 的化简 求值和恒等式证明 本学案内容是高考复习的重点之一 它是解 决三角恒等变形问题的基础 也是研究三角函数 图象与性质的基础 其主要题型有 1 三角函 数式的化简与求值 2 三角函数式的简单证明 另外在研究三角函数图象与性质时 也常利用它 对三角函数进行化简 进而研究三角函数的图象 与性质 这部分知识的考查难度已较以前有所降 低 复习时也应适当控制难度 历年高考中 在考 查三角公式的掌握和运用的同时 还注重考查思 维的灵活性和发散性 以及观察能力 运算推理 能力和综合分析能力 1 两角和与差的三角函数公式两角和与差的三角函数公式 sin cos tan 2 二倍角公式二倍角公式 sin2 cos2 tan2 3 半角公式半角公式 sin 2 cos 2 tan 2 考点考点 1 和差公式的应用和差公式的应用 例 1 1 设 若 sin 求cos 2 0 5 3 2 4 2 求下列各式的值 tan15 cot15 cos sin 3 12 12 运用和角 差角公式进行计算 1 sin 2 0 5 3 cos 5 4 cos 2cos cos sin sin2 4 4 4 2 5 1 2 2 5 3 2 2 5 4 2 解法一 tan15 cot15 o o o o sin15 cos15 cos15 sin15 o sin30 2 4 oocos15 sin15 1 解法二 tan15 cot15 tan 45 30 30 tan 45 1 tan30tan451 tan30 tan45 tan30 tan45 tan30tan451 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 13 13 13 13 2 32 4 4 2 324 解法三 tan15 cot15 tan 2 30o 2 tan30 1 o 4 sin30 cos30 1 sin30 cos301 sin30 2 cos sin3 12 12 2 12 sin 2 1 12 cos 2 3 2 12 sin 3 cos 12 cos 3 sin 2sin 12 cos 3 sin 2 化简过程要注意公式的正用和逆用 化简 1 tan70 tan50 3tan50 tan70 2 oo 0oo cos401sin70 tan103 1sin50cos40 考点考点 2 辅助角公式的应用辅助角公式的应用 例 2 不查表 计算 o220 sin 3 64sin220 o220 cos 1 利用公式消去非特殊角 原式 64sin220 o2o2 o2o2 20cos20sin 20sin 203cos 64sin2 o2 oooo 40sin 4 1 sin20 cos203sin20cos203 20 64sin220 40sin sin4016sin80 2 32cos40 64 32 2 cos40 1 对于形如 asin bcos 的三角函数式的化 简求值 往往需要通过提取公因式构造 22 ba 辅助角 主要为 然后逆用两角和 6 4 3 与差的正 余弦公式化简 尤其是当系数中含有 3 时 一般都可运用辅助角公式 已知函数 f x 2cos2x sin2x x R 3 1 求 f x 的最大值及相应的 x 的取值集合 2 求 f x 的单调递增区间 考点考点 3 二倍角公式的应用二倍角公式的应用 例 3 化简 1 cos36 cos72 2 cos20 cos40 cos60 cos80 3 cos cos cos cos cos 2 2 2 3 2 1 2 n 利用二倍角公式达到化简目的 1 cos36 cos72 2sin36 cos72os362sin36c 4sin36 cos722sin72 4sin36 sin144 4 1 2 原式 cos20 cos40 cos80 2 1 2sin20 cos80os40os20sin20cc 4sin20 os30os40sin40cc 8sin20 cos80sin80 16 1 16sin20 sin160 3 原式分子 分母同乘以因式 然后 1 n 2 sin 逐次使用倍角公式解得 原式 1 n n 2 sin2 sin2 解的过程中反复地使用二倍角公式 sin2 2sin cos 要注意到凡是角是二倍角关系 的余弦函数的连乘积问题时 可采用类似的方法 解之 化简 2 tantan1 2 tan 2 cot 2011 年高考浙江卷 若 0 2 0 cos cos 2 43 1 24 3 3 则 cos 2 A B C D 3 3 3 3 9 35 9 6 1 要注意公式间的内在联系及特点 做题过 程中 要善于观察差异 寻找联系 实现转化 要熟悉公式的正用 逆用和变形应用 也应注意 公式成立的条件 例如 tan tan tan 1 tan tan 1 cos2 2cos2 sin2 等 2 cos2 1 2 注意拆角 拼角技巧 例如 2 2 2 2 等 同时注意倍角的相对性 例如 2 2 是的倍角 3 是的倍角等 2 2 3 3 求值常用方法 利用所学公式进行变换 使其出现特殊角或出现正负抵消或约分的情况 4 已知某些函数值 求其他某些三角函数值 一般应先化简所求式子 或变化已知式 弄清所 求量再求解 主要方法有 消去法 方程法 比例性质法 5 重视角的范围对三角函数值的影响 因此 要注意角的范围的讨论 结合该函数的单调性 6 辅助角公式 形如 asinx bcosx a b 不同时为零 的式子 引入辅助角变形为 Asin x 的形式 这里 A sin cos 22 ba 22 ba b 22 ba 由 a 和 b 确定 1 给角求值问题 若所给角都是非特殊角 从表面来看是很难的 但仔细观察其非特殊角与特 殊角总有一定的关系 解题时 我们利用通过观察得 到的关系 结合公式得解 2 给值求值 要注意根据已知条件 判断式子的 符号 1 设 sin 0 的图象 令 x x 转化为 y A sinx 作图象用 五点法 通过列表 描点后作出图象 3 图象变换 y sin x y sin x y sinx y Asin x y sin x y sin x 路径 先平移 个单位 再将各点横坐标 缩短 1 时 或伸长 0 1 时 或缩短 0 A0 左移 0 0 x 0 在 物理中的应用 A 振幅 T 周期 f 频率 2 T 1 2 x 相位 初相 5 图象的对称性 函数 y Asin x A 0 0 的图象具有 轴对称和中心对称性质 具体如下 1 函数 y Asin x 的图象关于直线 x xk 其中 xk k k Z 成轴对称图 2 形 2 函数 y Asin x 的图象关于点 xj 0 其中 xj k k Z 成中心对称图形 考点考点 1 三角函数的图象三角函数的图象 例 1 已知函数 y 2sin 3 2x 1 求它的振幅 周期 初相 2 用 五点法 作出它在长度为一个周期的闭 区间上的图象 3 说明 y 2sin的图象可由 y sinx 的 3 2x 图象经怎样的变换而得到 熟悉三角函数图象的特征 掌握五点法作 图及图象变换 1 y 2sin的振幅 A 2 周 3 2x 期 T 初相 2 2 3 2 列出下表 并描点画出图象如图 2x 3 0 2 2 3 2 x 6 12 3 12 7 6 5 y sin 3 x2 020 20 3 把 y sinx 图象上所有的点向左平移个单 3 位 得到 y sin的图象 再把 y sin 3 x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 3 x 倍 纵坐标不变 得到 y sin的图象 2 1 3 2x 然后把 y sin的图象上所有点的纵坐标 3 2x 伸长到原来的 2 倍 横坐标不变 即可得到 y 2sin的图象 3 2x 作出正弦型函数图象以 五点法 最为方便 但必须清楚它的图象与正弦函数图象间的关系 即弄清楚正弦型函数的图象是怎样由正弦函数的 图象经过几种变换得到的 要注意 虽然变换的顺 序可以改变 但是在不同的变换顺序下 平移的 单位可能不同 上题 3 也可做如下变换 将 y sinx 图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍 2 1 纵坐标不变 得到 y sin2x 的图象 然后把 y sin2x 的图象向左平移个单位 得到 y sin 6 sin的图象 然后把 y sin 6 x2 3 2x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 2x 2 倍 横坐标不变 即可得 y 2sin的图 3 2x 象 设函数 f x sin 2x 0 个单位 得到的图象恰好关于 x 对称 则 的最小值 6 为 A B 12 5 16 1 C D 以上都不对 12 11 考点考点 3 由三角函数图象求解析式由三角函数图象求解析式 例 3 如图所示 它是函 数 y Asin x A 0 0 的部分 图象 由图中条件 写出该 函数的解析式 利用图象特征确定函数 y Asin x 的 解析式时 要用到下述几个结论 一是振幅 A ymax ymin 即振幅表示振动量振动时离开平 2 1 衡位置的距离 二是相邻两个最值点对应的横坐标 之差 是一个单调区间的长度 为 由此可得 2 T 出 的值 而 的值较难求 需结合所给条件选 择恰当方法 由图知 A 5 由 得 2 T 2 5 2 3 T 3 此时 y 5sin 3 2 T 2 x 3 2 下面介绍怎样求初相 解法一 单调性法 点 0 在递减的那段曲线上 k Z 3 2 2 3 2k 2 2k 由 sin 0 得 2k 3 2 3 2 2k k Z 3 3 解法二 最值点法 将最高点坐标代入 y 5sin 得 5 4 x 3 2 5sin 5 6 2k 62 2k k Z 3 又 0 0 在一个周期内的图象 其中 t 表示时间 单位 s 1 试根据图象写出 I Asin t 的解析式 2 为了使 I Asin t 中 t 在任意一段 100 1 s 的时间内电流强度 I 能同时取得最大值 A 与 最小值 A 那么正整数 的最小值是多少 1 2011 年高考全国卷 设函数 f x cos x 0 将 y f x 的图象向右平移个单位 3 长度后 所得的图象与原图象重合 则 的最小 值等于 A B 3 C 6 D 9 3 1 2 2010 年高考课标全国卷 如图 质 点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运 动 其初始位置为 P0 角22 速度为 1 那么点 P 到 x 轴距离 d 关 于时间 t 的函数图象大致为 1 在进行三角函数图象变换时 提倡 先平 移 后伸缩 但 先伸缩 后平移 也经常出现 在题目中 所以也必须熟练掌握 无论是哪种变 形 切记每一个变换总是对字母 x 而言 即图象 变换要看 变量 起多大变化 而不是 角 变 化多少 2 由图象确定函数解析式 由函数 y Asin x 的图象确定 A 的题型 常常以 五点法 中的第一 零点作为突破口 要从图象的升降情况找 0 准第一零点的位置 要善于抓住特殊量和特殊点 3 对称问题 函数 y Asin x 的图象与 x 轴的每一个 交点均为其对称中心 经过该图象上坐标为 x A 的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图 象的对称轴 这样的最近两点间横坐标的差的绝 对值是半个周期 或两个相邻平衡点间的距离 1 用 五点法 作 y Asin x 的图象 关 键是五个点的选取 一般令 x 0 2 即可得到绘图所需的五 2 2 3 个点的坐标 其中 x 的取值依次成等差数列 公 差为 同时 若要求画出给定区间上的函数图象 4 T 时 应适当调整 x 的取值 以便列表时能使 x 在给定的区间内取值 2 图象变换 1 平移变换 沿 x 轴平移 按 左加右减 法则 沿 y 轴平移 按 上加下减 法则 2 伸缩变换 沿 x 轴伸缩时 横坐标 x 伸长 0 1 为原来的倍 纵坐标 y 不变 1 沿 y 轴伸缩时 纵坐标 y 伸长 A 1 或缩 短 0 A0 0 的一段图 象 求此函数的表达式 在这类问题中 A 比较容 易求 困难的是求 和 而一般由图象可知周 期 T 由 T 求出 确定 时 若能求出离原点 最近的右侧图象上升 或下降 的零点的横坐标 x0 令 x0 0 或 x0 即可求出 有 时还可利用一些已知点 最高点和最低点 坐标 确定 和 若对 A 符号或对 范围有所需 求 可用诱导公式变换 使其符合要求 1 如果函数 y 3cos 2x 的图象关于点 中心对称 那么 的最小值为 0 3 4 A B C D 6 4 3 2 2 已知函数 f x sin x R 0 的最小 4 x 正周期为 为了得到函数 g x cos x 的图象 只 要将 y f x 的图象 A 向左平移个单位长度 8 B 向右平移个单位长度 8 C 向左平移个单位长度 4 D 向右平移个单位长度 4 3 在同一平面直角坐标系中 函数 y cos x 0 2 的图象和直线 y 的 2 3 2 x 2 1 交点个数是 A 0 B 1 C 2 D 4 4 已知函数 y sin x 0 0 0 0 0 的定义域为 值域 为 最小正周期为 5 y sinx 的单调增区间为 单调减区间为 是 函数 y cosx 的单调增区间为 单调减区间为 是 函数 y tanx 的单调增区间为 是 函数 考点考点 1 三角函数的定义域三角函数的定义域 例 1 求下列函数的定义域 1 y lgsin cosx 2 y cosx sinx 1 要注意到真数大于 0 2 要注意偶 次根式中被开方数大于等于 0 利用图象解决 1 要使函数有意义 必须使 sin cosx 0 1 cosx 1 0 cosx 1 利用余弦函数的简图 如图 得知定义域为 Zk 2k 2 x2k 2 x 2 要使函数有意义 必须使 sinx cosx 0 解法一 利用图象 在同 一坐标系中画出 0 2 上 y sinx 和 y cosx 的图象如图所示 在 0 2 内 满足 sinx cosx 的 x 为 4 再结合正弦 余 4 5 弦函数的周期是 2 定义域为 Zk 2k 4 5 x2k 4 x 解法二 sinx cosx sin 0 2 4 x 将视为一个整体 由正弦函数 y sinx 的图象 4 x 和性质可知 2k 2k 4 x 解得 2k x 2k 4 4 5 定义域为 Z k2k k 4 5 x 4 2k x 求含有三角函数的定义域的依据是 1 正 余弦函数和正切函数的定义域 2 若函数 是分式函数 则分母不能为零 3 若函数是偶 次根式 则被开方式非负 4 解三角不等式 利用三角函数线和图象 求下列函数的定义域 1 f x logsinx 1 2cosx 2 f x tanx 1 2sinx 考点考点 2 三角函数的值域三角函数的值域 例 2 求下列函数的值域 1 y cosx 1 sin2xsinx 2 y sinx cosx sinxcosx 3 y 2cos 2cosx x 3 利用三角变换为 一角一函 的形式 借 助基本三角函数的有界性求解 1 y cosx 1 inx2sinxcosxs 2cos2x 2cosx 2 cosx 1 cos2x 2cosx 1 2 1 2 1 xcos 2 于是当且仅当 cosx 1 时取得最大值 ymax 4 但 cosx 1 y0 0 是 R 上的偶函数 其图象关于点 M对称 且在区间上是单调函数 0 4 3 2 0 求 和 的值 该题可采用顺向求解的解答思路 即将题 设条件式子化 获得 和 所应满足的等式 应用正 余弦函数的性质导出结果 式子化简的方 法有多种 下面写出两种解法 解法一 由 f x 是偶函数 得 f x f x 即 sin x sin x cos sin x cos sin x 对任意 x 都成立 且 0 cos 0 依题设 0 解得 2 由 f x 的图象关于点 M对称 得 0 4 3 f f x 4 3 x 4 3 取 x 0 得 f f f 0 4 3 4 3 4 3 f sin cos 4 3 24 3 4 3 cos 0 由 0 得 4 3 k k 0 1 2 4 3 2 2k 1 k 0 1 2 3 2 当 k 0 时 f x sin在上 3 2 2 x 3 2 2 0 是减函数 当 k 1 时 2 f x sin在上是 2 2x 2 0 减函数 当 k 2 时 f x sin在 3 10 2 x 上不是单调函数 2 0 综合得 或 2 3 2 解法二 由 f x 是偶函数和 0 知 f f 2 2 即 sin sin 2 2 cos cos 得 cos 0 又 0 求得 2 因此 f x sin cos x 2 x 由 f x 的图象关于点 M对称 知 0 4 3 f 0 4 3 即 cos 0 4 3 由 f x 在区间上是单调函数和余弦函数的 2 0 性质 知函数的周期 T 2 即 00 0 1 取何值时 f x 为奇函数 2 取何值时 f x 为偶函数 考点考点 6 三角函数性质的综合题三角函数性质的综合题 例 6 求函数 f x 的最小正周期 最大 sin2x 2 xxcossinxcosxsin 2244 值和最小值 利用三角公式将已知三角函数化为 y Asin x k 的形式解决此类问题 f x 2sinxcosx 2 xxcossin x cosx sin 22222 1 sinxcosx sinxcosx 2 1 xxcossin 1 22 2 1 sin2x 4 1 2 1 所以函数 f x 的最小正周期是 最大值是 最小 4 3 值是 4 1 借助三角公式化简三角函数式再研究函数的 有关性质是高考考查的重点 已知函数 f x sin sin 2cos2 6 x 6 x x R 其中 0 2 x 1 求函数 f x 的值域 2 若函数 y f x 的图象与直线 y 1 的两个相邻 交点间的距离为 求函数 y f x 的单调增区 2 间 1 2011 年高考课标全国卷 设函数 f x sin x cos x 0 的最小 2 正周期为 且 f x f x 则 A f x 在上单调递减 2 0 B f x 在上单调递减 4 3 4 C f x 在上单调递增 2 0 D f x 在上单调递增 4 3 4 2 2011 年高考山东卷 若函数 f x sin x 0 在区间上单调递增 在区 3 0 间上单调递减 则 2 3 A 3 B 2 C D 2 3 3 2 1 求三角函数的定义域既要注意一般函数求 定义域的规律 又要注意三角函数本身的特有属 性 如常常丢掉使 tanx 有意义的 x n 2 n Z 2 求三角函数周期的常用方法是 经过恒等变形化成 y Asin x y Acos x y Atan x y cot x 的形式 再利用周期公式即可 3 判断三角函数奇偶性时应首先观察定义域 是否关于原点对称 若不对称 则三角函数不具有奇 偶性 若对称再用定义判断 4 利用三角函数的单调性 是比较两个同名三 角函数值大小的基本方法 但需注