积分因子的存在条件

1 积分因子的存在条件积分因子的存在条件 薛静 指导教师 张飞羽 河西学院数学与统计学院 2013 届 2 班 44 号 甘肃张掖 734000 摘摘 要要 采用积分因子法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程的一个重要手段 本文 给出寻求微分方程各类积分因子的一些方法 化微分方程为恰当方程求解 这样给解题带来很大方 便 关键词关键词 积分因子 恰当微分方程 一阶常微分方程 中图分类号中图分类号 O175 The Existence Conditions of Integrating Factor Xuejing Instructor Zhang Feiyu No 44 Class 2 of 2013 Specialty of Mathematics and Applied Mathematics Hexi University Zhangye Gansu 734000 Abstract Integrating factor method is used to converting the first order differential equation to complete differential equation is an important means for solving differential equations this paper gives some methods for seeking the differential equations of integral factor the differential equation for the appropriate equation so that to bring great convenience Key words Integrating factor Exact differential equation First order ordinary differential equations 一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础 一般的有两种处理方式 一是以 变量可分离的方程为基础 通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程 另外 就是以全微分方程为基础 采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求解 然而寻找积分因子不是容易的事情 一般的教科书只介绍了依据经验或者通过观察来 寻找积分因子 这里我们归纳并概括性的给出了几种积分因子的求法 有助于深刻的理 解积分因子的相关内容 进一步学好常微分方程 使得求解一阶微分方程的过程更简便 1 恰当微分方程恰当微分方程 1 1 恰当微分方程的概念 2 我们可以将一阶方程写成微分形式 或更一般地把 dy f x y dx 0f x y dxdy 平等看待 写成下面具有对称形式的一阶微分方程 x y 1 0M x y dxN x y dy 其中为单连通区域 这里假设在某些矩形域内是的连续DDyx M x y N x y x y 函数 且具有连续的一阶偏导数 这样的形式有时便于探求微分方程的通解 如果方程 的左端恰好是某个二元函数的全微分 即 x y 2 M x y dxN x y dydx ydxdy xy 则称为恰当微分方程 容易验证 方程的通解是 这里 是任意常数 x yc c 1 2 恰当微分方程的充要条件 必要条件 若方程 1 是恰当方程 则由 2 得 3 MN xy 将 3 式分别对求偏导数 得到 由于的连续性得 y x 22 MN y xyx yx MN yx 和 22 y xx y 即 4 MN yx 因此 4 式是 1 式为恰当微分方程的必要条件 充分条件 我们从关系式出发 把看作参数 解这个微分方程 可以得到M x y 5 M x y dxy 这里是的任意的可微函数 我们现在来选择使同时满足 3 式 即 y y y dy M x y dxN yydy 由此 6 dy NM x y dx dyy 我们证明 6 式的右端与无关 为此 只需证明 6 式的右端对的偏导数恒等于零 xx 事实上 3 0 N NM x y dxM x y dx xyxxy N M x y dx xyx NM xy 在我们的假设条件下 上述交换求导的顺序是允许的 于是 6 式右端的确只含有 积y 分之 得到 7 yNM x y dx dy y 将 7 式代入 5 式 即求得 M x y dxNM x y dx dy y 因此 恰当微分方程 1 的通解是 8 M x y dxNM x y dx dyc y 这里 是任意常数 c 综上所述 方程 1 是恰当方程的充要条件是 MN yx 2 积分因子积分因子 2 1 积分因子的概念 恰当微分方程通过积分可以求出它的通解 所以能否将一个非恰当微分方程化为 恰当微分方程是求出它的通解的重要手段 具有重要的意义 积分因子就是为了解决这 个问题而引进的概念 如果存在连续可微的函数 使得 0 x y 0 x y M x y dxx y N x y dy 为一恰当微分方程 即存在函数 使 v x y 9 MdxNdydv 则称为微分方程 1 的积分因子 这时是 9 式的通解 x y v x yc 2 2 积分因子存在的充要条件 显然由 1 2 中的论述可知 是方程 1 的积分因子的充要条件是 x y 但从这个条件中求出 事实上要求解一个偏微分方程 比求解方程 1 本身 MN yx 更复杂 因此 需要寻求更简单的积分因子形式 在下面着重讨论方程 1 具有一些特定积 4 分因子的条件 命题命题 1 1 方程 1 有只与有关的积分因子的充要条件是 且方x MN yx x N 程的一个积分因子为 x dx e 命题命题 2 1 方程 1 有只与有关的积分因子的充要条件是 且方y MN yx y M 程的一个积分因子为 y dy e 以上两结论一般参考书中常见 其证明简单 故略 命题命题 3 方程 1 有形如的积分因子的充要条件是 axby 1 byaxf x N y M bMaN 且方程的一个积分因子是 exp byaxdbyaxf 证明证明 令 则 假设为axbyt tt ab xtxtytyt byax 方程 1 的积分因子 则由充要条件 所以 x N y M MN NMaNbMaNbM yxxyttt 所以 当且仅当时可以解出 1 MN t aNbMyx 1 MN f t aNbMyx 故方程有形如的积分因子的充要条件是 0 dyyxNdxyxM byax 1 byaxf x N y M bMaN 推论推论1 方程 1 有形如的积分因子的充要条件是 yx 1 yxf x N y M MN 且积分因子为 exp yxdyxf 推论推论2 方程 1 有形如的积分因子的充要条件是 yx 1 yxf x N y M MN 且积分因子 exp yxdyxf 命题命题4 方程 1 有形如的积分因子的充要条件是 bay x 1 11 ba ba yxg x N y M bxMayNyx 此时方程的一个积分因子是 exp baba yxdyxg 5 证明证明 令 则有vyx ba v u ybx y v v u y u v u yax x v v u x u baba 11 假设是方程 1 的积分因子 则 bay x v u MbxNayyx v u yMbxyNax y u M x u N x N y M bababa 1111 即 v x N y M MbxNayyx u u ba 111 当且仅当时可以解出 故方程 1 有形如 111 vg x N y M MbxNayyx ba 的积分因子的充要条件是 bay x 1 11 ba ba yxg x N y M bxMayNyx 且 exp baba yxdyxg 命题命题5 方程 1 有形如的积分因子的充要条件是 ba nymx 1 11 ba ba nymxf x N y M MbnyNamx 且积分因子 exp abab f mxnyd mxny 证明证明 令 则 ab mxnyt 11ab uutuuutu amxbny xtxtytyt 假设是方程 1 的积分因子 则 ba nymx 11 ab MNuuu NMNamxMbny yxxyt 111 ab uMN NamxMbnyf t uyx 可以解出 得方程 1 有形如的积分因子的充要条件是 ba nymx 1 11 ba ba nymxf x N y M MbnyNamx 即可得积分因子 exp baba nymxdnymxf 推论推论 方程 1 有形如的积分因子的充要条件是 ba yx 1 11 ba ba yxf x N y M MbyNax 且积分因子 exp baba yxdyxf 命题命题6 5 方程 1 有形如的积分因子的充要条件是 bbaa nyyhxmx 1 1111 bbaa baba nyyhxmx x N y M bxMayNyhxMbnyNamx 6 且积分因子 exp bbaabbaa nyyhxmxdnyyhxmx 证明证明 令 则 tnyyhxmx bbaa t yhbxnby y t ty t yhaxamx x t tx bab baa 11 11 假设是方程 1 的积分因子 则 bbaa nyyhxmx t yhbxnbyMyhaxamxN y M x N x N y M babbaa 1111 t x N y M MbxnayyhxMnbyamxN t baba 11111 当且仅当时可以解出 故方程 1 max 11111 tMbxNayyhxMnbyN baba 有形如的积分因子的充要条件是 bbaa nyyhxmx 1 1111 bbaa baba nyyhxmx x N y M bxMayNyhxMnbyNamx 且积分因子 exp bbaabbaa nyyhxmxdnyyhxmx 命题命题7 7 若方程 1 中 在内连续且有连续偏导数 且 yxM yxND y M x N 满足 则方程 1 存在形如的积分因子的充要条件为 x N y M Dyx ygxf 10 MN yx f x g y dfdg NgMf dxdy 并且积分因子由下式决定 yx 11 z dz x yezf x g y 11 中由 10 给出 z 证明证明 必要性 设是方程 1 的积分因子 则 ygxfzzyx x N y M Dyx x N Nyg dx df dz d y M Mxf dy dg dz d 整理得 dy dg Mf dx df Ng x N y M dz d x N y M dy dg Mf dx df Ng dz d 1 7 取 得 易得 11 z z ygxfzz dy dg Mf dx df Ng x N y M 充分性 若令则 ygxfzz dy dg Mf dx df Ng x N y M ygxfzeyx dzz y M fM dy dg ze y M eM y z ze y M M yy M dzz dzzdzz x N gN dx df ze x Ndzz 所以 0 x N y M dx df Ng dy dg Mfze x N y Mdzz 故为全微分方程 从而 11 为积分因子 0 NdyMdx 例例1求解方程 222 6 3 0 xyxdyyyx dx 解解 则 222 3 6 Myyx Nxyx 2 15 MN yx yx 取则有 2 f xxg yy 2 1 MN yx dfdg x y NgMf dxdy 由定理知方程有积分因子 2 1 x y x y 从而可求得其解是 2 3 y x xyeC 致谢致谢 本论文是在张飞羽老师的悉心指导下完成的 在此论文完成之际 谨向张老 师表示由衷的感谢 参参 考考 文文 献献 1 王高雄 常微分方程 M 北京 高等教育出版社 1987 2 同济大学数学教研室 高等数学 M 北京 高等教育出版社 2002 282 283 8 3 丁同仁 李承秉 常微分方程教程 M 北京 高等教育出版社 2002 4 刘志权 常微分方程讲义 M 西安 陕西师范大学出版社 1981 5 刘会民 王新 有关一阶微分方程积分因子的计算 J 辽宁师范大学学报 自然科学版 2003 26 3 237 340 6 王高雄 朱思铭 周之