上海历年中考数学压轴题复习(试题附答案)

上海历年中考数学压轴题复习上海历年中考数学压轴题复习 2001 年上海市数学中考年上海市数学中考 27 已知在梯形ABCD中 AD BC AD BC 且AD 5 AB DC 2 1 如图 8 P为AD上的一点 满足 BPC A 图 8 求证 ABP DPC 求AP的长 2 如果点P在AD边上移动 点P与点A D不重合 且满足 BPE A PE 交直线BC于点E 同时交直线DC于点Q 那么 当点Q在线段DC的延长线上时 设AP x CQ y 求y关于x的函数解析式 并写出函数的定义域 当CE 1 时 写出AP的长 不必写出解题过程 27 1 证明 ABP 180 A APB DPC 180 BPC APB BPC A ABP DPC 在梯形ABCD中 AD BC AB CD A D ABP DPC 解 设AP x 则DP 5 x 由 ABP DPC 得 即 DC PD AP AB 2 52x x 解得x1 1 x2 4 则AP的长为 1 或 4 2 解 类似 1 易得 ABP DPQ 即 DQ AP PD AB y x x 25 2 得 1 x 4 2 2 5 2 1 2 xxy AP 2 或AP 3 5 题 27 是一道涉及动量与变量的考题 其中 1 可看作 2 的特例 故 2 的推 断与证明均可借鉴 1 的思路 这是一种从模仿到创造的过程 模仿即借鉴 套用 创造 即灵活变化 这是中学生学数学应具备的一种基本素质 世上的万事万物总有着千丝万缕 的联系 也有着质的区别 模仿的关键是发现联系 创造的关键是发现区别 并找到应付 新问题的途径 上海市上海市 2002 年中等学校高中阶段招生文化考试年中等学校高中阶段招生文化考试 27 操作 操作 将一把三角尺放在边长为 1 的正方形ABCD上 并使它的直角顶点P在对角 线AC上滑动 直角的一边始终经过点B 另一边与射线DC相交于点Q 图 5 图 6 图 7 探究探究 设A P两点间的距离为x 1 当点Q在边CD上时 线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系 试证明你观 察得到结论 2 当点Q在边CD上时 设四边形PBCQ的面积为y 求y与x之间的函数解析 式 并写出函数的定义域 3 当点P在线段AC上滑动时 PCQ是否可能成为等腰三角形 如果可能 指 出所有能使 PCQ成为等腰三角形的点Q的位置 并求出相应的x的值 如果不可能 试说明理由 图 5 图 6 图 7 的形状大小相同 图 5 供操作 实验用 图 6 和图 7 备用 五 五 本大题只有 本大题只有 1 题 满分题 满分 12 分 分 1 2 3 题均为 题均为 4 分 分 27 图 1 图 2 图 3 1 解 PQ PB 1 分 证明如下 过点P作MN BC 分别交AB于点M 交CD于点N 那么四边形 AMND和四边形BCNM都是矩形 AMP和 CNP都是等腰直角三角形 如图 1 NP NC MB 1 分 BPQ 90 QPN BPM 90 而 BPM PBM 90 QPN PBM 1 分 又 QNP PMB 90 QNP PMB 1 分 PQ PB 2 解法一 由 1 QNP PMB 得NQ MP AP x AM MP NQ DN BM PN CN 1 x 2 2 x 2 2 CQ CD DQ 1 2 1 x 2 2 x2 得S PBC BC BM 1 1 x 1 分 2 1 2 1 x 2 2 2 1 4 2 S PCQ CQ PN 1 1 x2 1 分 2 1 2 1 x2x 2 2 2 1 x 4 23 2 1 S 四边形PBCQ S PBC S PCQ x2 1 2 1 x2 即 y x2 1 0 x 1 分 1 分 2 1 x2 2 2 解法二 作PT BC T为垂足 如图 2 那么四边形PTCN为正方形 PT CB PN 又 PNQ PTB 90 PB PQ PBT PQN S 四边形 PBCQ S 四边形 PBT S四边形 PTCQ S四边形 PTCQ S PQN S正方形 PTCN 2 分 CN 2 1 2 x2 1x 2 2 2 1 x2 y x2 1 0 x 1 分 2 1 x2 2 2 3 PCQ可能成为等腰三角形 当点P与点A重合 点Q与点D重合 这时PQ QC PCQ是等腰三角形 此时x 0 1 分 当点Q在边DC的延长线上 且CP CQ时 PCQ是等腰三角形 如图 3 1 分 解法一 此时 QN PM CP x CN CP 1 x 2 2 2 2 2 x 2 2 CQ QN CN 1 1 x 2 2 x 2 2 x2 当 x 1 时 得x 1 1 分 2x2 解法二 此时 CPQ PCN 22 5 APB 90 22 5 67 5 2 1 ABP 180 45 67 5 67 5 得 APB ABP AP AB 1 x 1 1 分 上海市上海市 2003 年初中毕业高中招生统一考试年初中毕业高中招生统一考试 27 如图 在正方形 ABCD 中 AB 1 弧 AC 是点 B 为圆心 AB 长为半径的圆的一段弧 点 E 是边 AD 上的任意一点 点 E 与点 A D 不重合 过 E 作弧 AC 所在圆的切线 交边 DC 于点 F G 为切点 1 当 DEF 45 时 求证 点 G 为线段 EF 的中点 2 设 AE x FC y 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出函数的定义域 3 将 DEF 沿直线 EF 翻折后得 D EF 如图 当 EF 时 讨论 AD D 与 ED F 1 6 5 11 是否相似 如果相似 请加以证明 如果不相似 只要求写出结论 不要求写出理由 2004 年上海市中考数学试卷年上海市中考数学试卷 27 2004 上海 数学课上 老师提出 如图 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 A 点的坐标为 1 0 点 B 在 x 轴上 且在 点 A 的右侧 AB OA 过点 A 和 B 作 x 轴的垂线 分别交二次函数 y x2的图象于点 C 和 D 直线 OC 交 BD 于点 M 直线 CD 交 y 轴于点 H 记点 C D 的的横坐标分别为 xC xD 点 H 的纵坐标为 yH 同学发现两个结论 S CMD S梯形 ABMC 2 3 数值相等关系 xC xD yH 1 请你验证结论 和结论 成立 2 请你研究 如果上述框中的条件 A 的坐标 1 0 改为 A 的坐标 t 0 t 0 其他条件不变 结论 是否仍成立 请说明理由 3 进一步研究 如果上述框中的条件 A 的坐标 1 0 改为 A 的坐标 t 0 t 0 又将条件 y x2 改为 y ax2 a 0 其他条件不变 那么 xC xD与 yH有怎样的数值关系 写出结果并说明理由 考点 二次函数综合题 专题 压轴题 分析 1 可先根据 AB OA 得出 B 点的坐标 然后根据抛物线的解析式和 A B 的坐标得 出 C D 两点的坐标 再依据 C 点的坐标求出直线 OC 的解析式 进而可求出 M 点的坐标 然后根据 C D 两点的坐标求出直线 CD 的解析式进而求出 D 点的坐标 然后可根据这些点 的坐标进行求解即可 2 3 的解法同 1 完全一样 解答 解 1 由已知可得点 B 的坐标为 2 0 点 C 坐标为 1 1 点 D 的坐标为 2 4 由点 C 坐标为 1 1 易得直线 OC 的函数解析式为 y x 故点 M 的坐标为 2 2 所以 S CMD 1 S梯形 ABMC 3 2 所以 S CMD S梯形 ABMC 2 3 即结论 成立 设直线 CD 的函数解析式为 y kx b 则 1 2 4 解得 3 2 所以直线 CD 的函数解析式为 y 3x 2 由上述可得 点 H 的坐标为 0 2 yH 2 因为 xC xD 2 所以 xC xD yH 即结论 成立 2 1 的结论仍然成立 理由 当 A 的坐标 t 0 t 0 时 点 B 的坐标为 2t 0 点 C 坐标为 t t2 点 D 的坐标为 2t 4t2 由点 C 坐标为 t t2 易得直线 OC 的函数解析式为 y tx 故点 M 的坐标为 2t 2t2 所以 S CMD t3 S梯形 ABMC t3 3 2 所以 S CMD S梯形 ABMC 2 3 即结论 成立 设直线 CD 的函数解析式为 y kx b 则 2 2 4 2 解得 3 2 2 所以直线 CD 的函数解析式为 y 3tx 2t2 由上述可得 点 H 的坐标为 0 2t2 yH 2t2 因为 xC xD 2t2 所以 xC xD yH 即结论 成立 3 由题意 当二次函数的解析式为 y ax2 a 0 且点 A 坐标为 t 0 t 0 时 点 C 坐标为 t at2 点 D 坐标为 2t 4at2 设直线 CD 的解析式为 y kx b 则 2 2 4 2 解得 3 2 2 所以直线 CD 的函数解析式为 y 3atx 2at2 则点 H 的坐标为 0 2at2 yH 2at2 因为 xC xD 2t2 所以 xC xD yH 1 点评 本题主要考查了二次函数的应用 一次函数解析式的确定 图形面积的求法 函数 图象的交点等知识点 2005 年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷 1 本题满分 12 分 每小题满分各为 4 分 在 ABC 中 ABC 90 AB 4 BC 3 O 是边 AC 上的一个动点 以点 O 为圆心作半 圆 与边 AB 相切于点 D 交线段 OC 于点 E 作 EP ED 交射线 AB 于点 P 交射线 CB 于 点 F 1 如图 8 求证 ADE AEP 2 设 OA x AP y 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出它的定义域 3 当 BF 1 时 求线段 AP 的长 图 9图 图 图 图 图 图 8 B P F E D B CAACO 25 1 90 9090 APDODAPED ODOEODEOED ODEOED EDAPEAAA ADEAEP 证明 连结O D 切半圆于 又 又 2 2 334 555 8 46416 5 84 5255 55 0 ODCB OAAC OD ODxOEADx x ADEAEP x APAEy xyxyx AEAD xx x 同理可得 3 5 4 6 90 5 1 26 612 55 EC xAPAB DOBEH DHEDJE HDxPBEPDH PFBPHD PB PBAP xx 由题意可知存在三种情况 但当在点左侧时 显然大于 所以不合舍去 当时如图 延长 交于 易证 J 5 4 1 2 612 55 422 xPB DO PEH DHEEJD PBFPDH BP BP xx AP 当时点在点的右侧 延长交于点 同理可得 2006年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷 25 本题满分 14 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 7 分 第 3 小题满分 3 分 已知点 P 在线段 AB 上 点 O 在线段 AB 的延长线上 以点 O 为圆心 OP 为半径作圆 点 C 是圆 O 上的一点 1 如图 9 如果 AP 2PB PB BO 求证 CAO BCO 2 如果 AP m m 是常数 且 m 1 BP 1 OP 是 OA OB 的比例中项 当点 C 在圆 O 上运动时 求 AC BC 的值 结果用含 m 的式子表示 3 在 2 的条件下 讨论以 BC 为半径的圆 B 和以 CA 为半径的圆 C 的位置关系 并写出相应 m 的取值范围 图 9 A PBO C 25 1 证明 2APPBPBBOPO 2AOPO 2 分 2 AOPO POBO 1 分 POCO 1 分 AOCO COBO COABOC CAOBCO 2 解 设 则 是 的比例中OPx 1OBx OAxm OP OAOB 项 1 分 2 1xxxm 得 即 1 分 1 m x m 1 m OP m 1 分 1 1 OB m 是 的比例中项 即 OP OAOB OAOP OPOB 1 分 OPOC OAOC OCOB 设圆与线段的延长线相交于点 当点与点 点不重合时 OABQCPQ 1 分 AOCCOB CAOBCO 1 分 ACOC BCOB 当点与点或点重合时 可得 ACOCOP m BCOBOB CPQ AC m BC 当点在圆上运动时 1 分 CO AC BCm 3 解 由 2 得 且 ACBC 11ACBCmBC m 圆和圆的圆心距 1ACBCmBC BCdBC 显然 圆和圆的位置关系只可能相交 内切或内含 1BCmBC BC 当圆与圆相交时 得 BC 11mBCBCmBC 02m 1 分 1m 12m 当圆与圆内切时 得 1 分 BC 1mBCBC 2m 当圆与圆内含时 得 1 分 BC 1BCmBC 2m 2007 年上海市初中毕业生统一学业考试年上海市初中毕业生统一学业考试 25 本题满分 14 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 3 小题满分各 5 分 已知 点在射线上 如图 10 为直线上一动点 60MAN BAM4AB PAN 以为边作等边三角形 点按顺时针排列 是的外心 BPBPQBPQ OBPQ 1 当点在射线上运动时 求证 点在的平分线上 PANOMAN 2 当点在射线上运动 点与点不重合 时 与交于点 设PANPAAOBPC 求关于的函数解析式 并写出函数的定义域 APx AC AOy yx 3 若点在射线上 圆为的内切圆 当的边或DAN2AD IABD BPQ BP 与圆相切时 请直接写出点与点的距离 BQIAO A B M Q N P O 图 10 A B M Q N P O 备用图 25 1 证明 如图 4 连结 OBOP 是等边三角形的外心 1 分O BPQOBOP 圆心角 360 120 3 BOP 当不垂直于时 作 垂足分别为 OBAMOHAM OTAN HT 由 且 360HOTAAHOATO 60A 90AHOATO 120HOT 1 分BOHPOT 1 分RtRtBOHPOT 点在的平分线上 1 分OHOT OMAN 当时 OBAM 36090APOABOPOBA 即 点在的平分线上 OPAN OMAN 综上所述 当点在射线上运动时 点在的平分线上 PANOMAN A B M Q N P H O 图 4 T A B M Q N P C O 图 5 2 解 如图 5 平分 且 AO MAN 60MAN 1 分30BAOPAO 由 1 知 OBOP 120BOP 30CBO CBOPAC 1 分BCOPCA AOBAPC ABOACP 1 分 ABAO ACAP AC AOAB AP 4yx 定义域为 1 分0 x 3 解 如图 6 当与圆相切时 2 分BPI2 3AO 如图 7 当与圆相切时 1 分BPI 4 3 3 AO 如图 8 当与圆相切时 2 分BQI0AO A B M Q N P D I O 图 6 P A B M Q N DI O 图 7 P B M Q N D I O A 图 8 20082008 年上海市中考数学试卷年上海市中考数学试卷 25 本题满分 14 分 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 4 分 第 3 小题满分 5 分 已知 如图 13 是射线上的动点24ABAD 90DAB ADBC EBC 点与点不重合 是线段的中点 EBMDE 1 设 的面积为 求关于的函数解析式 并写出函数的定义域 BEx ABM yyx 2 如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切 求线段的长 ABDEBE 3 联结 交线段于点 如果以为顶点的三角形与相似 BDAMNAND BME 求线段的长 BE B A D M E C 图 13 B A D C 备用图 25 解 1 取中点 联结 ABHMH 为的中点 1 分 M DEMHBE 1 2 MHBEAD 又 1 分 ABBE MHAB 得 2 分 1 分 1 2 ABM SAB MH 1 2 0 2 yxx 2 由已知得 1 分 22 4 2DEx 以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切 ABDE 即 2 分 11 22 MHABDE 22 11 4 2 4 2 22 xx 解得 即线段的长为 1 分 4 3 x BE 4 3 3 由已知 以为顶点的三角形与相似 AND BME 又易证得 1 分 DAMEBM 由此可知 另一对对应角相等有两种情况 ADNBEM ADBBME 当时 ADNBEM ADBE ADNDBE DBEBEM 易得 得 2 分 DBDE 2BEAD 8BE 当时 ADBBME ADBE ADBDBE 又 DBEBME BEDMEB BEDMEB 即 得 DEBE BEEM 2 BEEM DE 22222 1 2 4 2 4 2 xxx 解得 舍去 即线段的长为 2 2 分 1 2x 2 10 x BE 综上所述 所求线段的长为 8 或 2 BE 2009 年上海市初中毕业统一学业考试年上海市初中毕业统一学业考试 25 本题满分 14 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 5 分 已知为线段上的动点 点在射线9023ABCABBCADBCP BDQ 上 且满足 如图 8 所示 AB PQAD PCAB 1 当 且点与点重合时 如图 9 所示 求线段的长 2AD QBPC 2 在图 8 中 联结 当 且点在线段上时 设点之间的距离AP 3 2 AD QABBQ 为 其中表示的面积 表示的面积 求x APQ PBC S y S APQ S APQ PBC S PBC 关于的函数解析式 并写出函数定义域 yx 3 当 且点在线段的延长线上时 如图 10 所示 求的大ADAB QABQPC 小 2009 年上海年上海 25 题解析 题解析 解 1 AD 2 且 Q 点与 B 点重合 根据题意 PBC PDA 因为 A 90 PQ PC AD AB 1 所以 PQC 为等腰直角三角形 BC 3 所 以 PC 3 2 2 如图 添加辅助线 根据题意 两个三角形的面积可以分别表示成 S1 S2 高分别 是 H h 则 S1 2 x H 2 2 3 2 2 x H 2 3 2 2 h 2 S2 3 h 2 因为两 S1 S2 y 消去 H h 得 Y 1 4 x 1 2 定义域 当点 P 运动到与 D 点重合时 X 的取值就是最大值 当 PC 垂直 BD 时 这时 X 0 连接 DC 作 QD 垂直 DC 由已知条件得 B Q D C 四点共圆 则由圆周角定理可以推知 三角形 QDC 相似于三角形 ABD QD DC AD AB 3 4 令 QD 3t DC 4t 则 QC 5t 由勾股定理得 直角三角形 AQD 中 3 2 2 2 x 2 3t 2 直角三角形 QBC 中 3 2 x 2 5t 2 整理得 64x 2 400 x 301 0 8x 7 8x 43 0 得 x1 7 8 x2 43 8 2 舍去 所以函数 Y 1 4 x 1 2 的定义域为 0 7 8 3 因为 PQ PC AD AB 假设 PQ 不垂直 PC 则可以作一条直线 PQ 垂直于 PC 与 AB 交于 Q 点 则 B Q P C 四点共圆 由圆周角定理 以及相似三角形的性质得 PQ PC AD AB 又由于 PQ PC AD AB 所以 点 Q 与点 Q 重合 所以角 QPC 90 A D P CB Q 图 8 DA P C B Q 图 9 图 10 C A D P B Q 2 A D P CB Q 图 8 DA P C B Q 图 9 图 10 C A D P B Q 20102010 年上海市初中毕业统一学业考试数学卷年上海市初中毕业统一学业考试数学卷 25 如图 9 在 Rt ABC 中 ACB 90 半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D 与边 AC 相交于点 E 连结 DE 并延长 与线段 BC 的延长线交于点 P 1 当 B 30 时 连结 AP 若 AEP 与 BDP 相似 求 CE 的长 2 若 CE 2 BD BC 求 BPD 的正切值 3 若 1 tan 3 BPD 设 CE x ABC 的周长为 y 求 y 关于 x 的函数关系式 图 9 图 10 备用 图 11 备用 20112011 年上海市初中毕业统一学业考试数学卷年上海市初中毕业统一学业考试数学卷 20112011 年上海市初中毕业统一学业考试数学卷年上海市初中毕业统一学业考试数学卷 25 本题满分 14 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 3 小题满分各 5 分 在 Rt ABC 中 AC