常微分方程辅导

常微分方程辅导常微分方程辅导 填空题 选择题和解答题 比例是 2 3 5 第一章第一章初等积分法初等积分法 一 基本类型 曲线的切线 例 1 曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的 m 倍 且通过点 2 np 分析 1 这是一个具有基本应用型的一阶方程 它通过已知斜率与坐标之间的相 关概念求解一阶方程 2 它考核的知识点是一阶微分方程的概念 解的几何形式 它的求解 这 又是重点 解 1 设所求曲线的任意点坐标是 依题意 yx 积分有 mx dx dy Cx m y 2 2 2 该曲线过点 有从而有 2 npC m n 4 2 2mnC 故 所求曲线方程是 2 2 x m y 2 mn 二 基本类型的求解 一 可分离变量方程 齐次方程 一阶线性方程 全微分方程 一阶线性方程是重点 1 1 可分离变量方程 xgxf dx dy 分离变量有 00 Cdxxf xg dy ordxxf xg dy y y x x 2 求解对称式 0 dyyQxPdxyNxM 由 得从而0 xPyN 0 dy yN yQ dx xP xM Cdy yN yQ dx xP xM 例 2 求解方程 2 2 1 1 x y dx dy 分析 1 这是一个一阶可分离变量方程 通过积分可求未知函数 y x 的通解 2 2 它考核的是求解一阶可分离变量方程这一知识点 解 方程的通积分为即 如 arctany arctanx C1 解出 11 1 22 C x dx y dy y 得到通解 y tan arctanx C1 例 3 求方程的通解 yxy dx dy x 分析 1 这是一个一阶可分离变量方程 通过积分可求未知函数 y x 的通解 2 它考核的是求解一阶可分离变量方程这一知识点 解 分离变量 积分 dx x x y dy1 1 lnlnlnCxxy 1 ln xCeCey x xx 2 1 齐次方程 x y f dx dy 令 有 回代得 进而 u y x dx du xu dx dy xuy uf dx du xu x dx uuf du 积分有 其解是 uuf du Cex x y g Cex 例 4 求解 22 yxy dx dy x 分析 1 这是一个一阶可化为齐次方程 通过变量代换 分离变量后积分可 u y x 求未知函数 y x 的通解 且有常数解 y 0 2 它考核的是求解一阶齐次方程这一知识点 解 将方程改写为 令 y ux 2 x y x y dx dy 代入上式化简有 u 0 为一解 分离变量 2 u dx du x x dx dx du 积分有 u 换为 y x 可得 且有常数解 1 ln Cxu 1 ln Cxxy y 0 3 一阶线性方程 xqyxp dx dy 若 q x 0 线性方程化为齐次方程 有利用常数变易法yxp dx dy dxxp Cey 设 回代方程 得解 dxxp exCy CdxexqxC dxxP p q 公式 Cdxexqey dxxPdxxp 例 5 求方程的通解 nx emy dx dy 分析 1 这是一个一阶线性非齐次方程的模型 它可通过先求对应的齐次方程的通 解 再用常数变易法求非齐次方程的特解 最后由解的结构得其通解 也可以用公 式法 P Q 公式 之解求解未知函数 y x 2 它考核的是求解一阶线性非齐次方程 常数变易法或 P Q 公式这些知识点 解 法 1 先求齐次方程的通解 0 my dx dy mdx y dy mx Cey 用常数变易法 设 求导 回代方程 mx exCy mxmx emxCexCy 积分 xmn exC Ce mn xC xmn 1 mx Cey 1 1 Ce mn xmn mx e 法 2 代公式 Cdxeeexy mdx nx mdx 1 1 mxnxxmnmxxmnmx Cee nm Ce nm eCdxee 注 Bernowlli 方程 n yxqyxp dx dy 令 有 n yz 1 dx dy yn dx dz n 1 方程为 则解为 1 1 xqnzxpn dx dz 1 1 1 Cdxexqney dxxPndxxpn 一般性掌握 4 全微分方程 0 dyyxNdxyxM 1 观察法 凑微分法 xdx ydy 0 有 x2 y2 C 2 公式法 重点掌握 求解对称式方程 M x y dx N x y dy 0 判别它 是否全微分方程 由充要条件则全微分方程由求解公式 x N y M y y x x CdyyxNdxyxMyxU 00 0 例 6 求方程的解 0 0 3112 常数 sdyyyxdxyxx ssss 分析 1 这是一个具有组合形式的一阶方程 它可通过先判断其是否为全微分方程 若是就采用求解公式直接积分 还可以用凑微分等方法求解 2 它考核的是求解全微分方程的知识点 解 1 从而 原方程是全 3112 yyxqyxxp ssss x q xys y p s 1 微分方程 2 由在全平面上可积 取 qp 0 00 yx xy ss dyydxyxxU 00 312 有 43 4 11 3 1 yyx s x ss Cyyx s x ss 43 4 11 3 1 从而 43 3124Csyyxsx ss 12 sCC 例 7 求解方程 0 1 1 22 dyxydxyx 分析 1 这是具有对称式的一阶方程 通过观察有积分因子 x2 1 1 y2 1 1 用起作 用后再积分可求未知函数 y x 的通解 且有常数解 x 1 y 1 也可视为一阶可 分离变量方程 通过初等变型再积分可求未知函数 y x 的通解 且有常数解 x 1 y 1 2 它考核的是求解一阶对称式的方程这一知识点 解 易知 是方程的解 1 1 yx 分离变量有 0 11 2 22 y ydy x xdx 0 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 y yd x xd Cyxln 1 1ln 2 1 22 0 1 1 2222 CCyx 二 可降阶的高阶方程 F x y k y k 1 y n 0 令 z y k F x z z z n k 0 则 z z x C1 C2 Cn 1 即 y k z x C1 C2 Cn 1 积分 k 次可得其解 例 8 求解方程 0 4 1 5 yxy 分析 1 这是一个具有 5 阶形式的微分方程 它可通过先变量代换降阶化为一解方 程 再通过求解可分离变量方程得原方程的通解 2 它考核的知识点是利用降阶法求解高阶微分方程 解 它是一个 5 阶方程 令 有 4 yz 0 1 zxz 通解为 z Cx 从而 y 4 Cx 积分 4 次 54321 CxCxCxCxCy 第二章 基本定理第二章 基本定理 一 初值问题解的存在唯一性 00 yxy yxf dx dy 二 定理 1 解的存在唯一性 若方程的右端在区域满足条件 1 在 R 上连续 2 在axxaxR 00 R 上关于 y 满足 Lip 条件 方程初值 constNyyNyxfyxf 问题在区间上存在唯一解 y g x g x0 y0 0000 hxxhx max min 1 0 yxfMbMah 一般了解 定理 2 解的延拓性 定理 3 解得可微性 重点 难点 解的存在唯一性定理 毕卡尔 逐次逼近法 例 1 方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是什么 3 1 2 3 d d y x y 分析 1 这是一个一阶微分方程 它的右边函数 f x y 3 2 y1 3 通过对该函数 求偏导来代替 Lip 条件 可找到解的存在唯一的区域 2 它考核的知识点是用更强的条件来代替 Lip 条件 得到解的存在唯一的 区域 解 由 f x y 3 2 y1 3知它是连续函数 则 只要 y 0 它为连续 3 2 2 1 y y f 的 即满足解的存在唯一性定理条件的区域是上半平面或下半平面 不含 x 轴 例 2 关于初值问题的毕卡尔逐次逼近法的迭代式是什么 00 yxy yxf dx dy 分析 1 这是关于初值问题的解在理论上保证解的存在重要问题 而它的主要 方法是微分方程化为积分方程 通过毕卡尔逐次逼近法 构造序列使其收敛 最终得到其解 2 它考核的知识点是微分方程化为积分方程 毕卡尔逐次逼近法 解 设 则关于初值问题的逐次逼近法的迭代式是 xy x n 0 x dxxxf x n 0 1 练习 练习 设函数在闭区域上满足李谱茜斯条件 yxfbyyaxxR 00 则存在常数 b 0 对 R 上的点 有 21 yxyx 21 yxfyxf 参考答案参考答案 一 一 21 yyb 第三章第三章 高阶方程的求解高阶方程的求解 初值问题 1 00 1 1 0000 1 nn nn yxyyxyyxy xfyxpyxpyxpy 而称 非齐次方程 1 xfyxpyxpyxpy nn 齐次方程0 1 yxpyxpyxpy nn 它们必有解 由方程解的存在唯一性可知 解的性质 解有叠加性 线性相关 无关 性 基本解组 其判别方法等 方程的通解的结构是 非齐次方程的通解 齐次方程的通解 非齐次方程的特解 常系数齐次方程解的具体形式 常数变易法 0 1 1 1 yayayay nn nn 设 特征方程 而 r 是其特征根 0 1 1 1 nn nnrx arararey 有三种情形 1 r 是相异的实根 2 r 是 m 重的实根 3 r 是 m 重的复根 求变系数齐次方程的特解和通解 已知一个特解 刘维尔公式应用 常系数非齐次方程的特解的具体设置 1 1 1 xfyayayay nn nn 若时 通过常数变易法解的情形是 x m expxf 设 x m k exQxy 是是特特征征重重根根 是是特特征征单单根根 不不是是特特征征根根 x m x m x m exQx exxQ exQ 2 若时 sin cos 2 1 xxpxxpexf mm x 不妨设不不是是特特征征根根若若 i sin cos 2 1 1 xxpxxpey mm x 设重重特特征征根根是是若若ki sin cos 2 1 1 xxpxxpexy mm xk 重点 方程解的性质 解的结构 高阶方程的特征根解法 非线性齐次微分 方程的解法 难点 非线性齐次微分方程的特解的求法 例 1 求方程 y 5y 6y 0 的通解和满足条件 y 0 1 y 0 2 的特解 分析 1 这是关于求二阶齐次方程通解的问题 它通过微分方程化为代数特征 方程 且求其特征根 来解原方程的通阶 并在初值问题的条件 y 0 1 y 0 2 下求其特解 2 它考核的知识点是微分方程化为特征方程 求特征根 二阶齐次方程 通解 解 1 通解 设 y erx 特征方程 r2 5r 5 0 特征根 r1 2 r2 3 基本解组 e2x e3x 通 解是 y C1e2x C2e3x 2 特解 1 C1 C2 2 2C1 3C2 所以 C1 1 C2 0 故特解为 y e2x 例 2 求方程 y 3y e5x的通解 分析 1 这是关于求二阶非齐次方程通解的问题 它通过先微分齐次方程的特 征方程 且求特征根 来解齐次方程的通解 而后再求非齐次方程的 特解 根据原方程右边的函数的具体形式 f x e5x 设出特解形式 回代原方程 通过比较系数方法 可得齐次方程特解 进一步由方程 解的结构可写出通解 2 它考核的知识点是非齐次方程右边的函数的具有 f x Ae5x形式的特 解 非齐次方程通解 解 1 齐次通解 特征方程 r2 3r 0 特征根 r1 0 r2 3 基本解组 1 e3x 通解是 y C1 C2e3x 2 非齐次通解 在 f x e5x中 a 5 不是特征方程的根 不妨设 y1 Ae5x 求导回代方程有 A 10 1 所以 y1 10 1e5x 非齐次通解为 y C1 C2e3x 10 1e5x 例 3 求方程 y y 2sinx 的解 分析 1 这也是关于求二阶非齐次方程通解的问题 它通过先微分齐次方程的 特征方程 且求特征根 来解齐次方程的通解 而后再求非齐次方程 的特解 根据原方程右边的函数的具体形式 f x 2sinx 设出特解形 式 回代原方程 通过比较系数方法 可得齐特解 进一步由方程解 的结构可写出通解 2 它考核的知识点是 非齐次方程右边的函数的具有 f x Acosx Bsinx 形式的特解 非齐次方程通解 解 1 齐次通解 特征方程 r2 1 0 特征根 r1 i r2 i 基本解组 cosx sinx 通解是 y C1 cosx C2sinx 2 非齐次通解 在 f x 2sinx 中 0 i 是特征方程的根 不妨设 y1 x Acosx Bsinx i 求导回代方程有 A 1 B 0 所以 y1 x cosx 非齐次通解为 y C1 cosx C2sinx x cosx 拉普拉斯变换 1 定义 2 性质 例 4 求函数 f t t 的拉普拉斯变换 分析 1 是关于求解积分变换的问题 可直接利用拉普拉斯变换定义和性质 计算它的函数值 2 它考核的知识点是拉普拉斯变换定义和性质 解 L t 0 dttfe st 0 tdte st 0 0 dtete stst 0 2 as ss 练习 练习 一 填空题一 填空题 1 设函数组是则它的朗斯基行列式为 nxxx eee 2 2 函数 则与是 xyxy2cos 2sin 1 1 y 2 y 3 若二阶微分方程是 且设 则特征方程是 032 xxx rx ex 特征根是 二阶微分方程的解是 4 若函数是 2 阶线性齐次方程的 2 个线性无关的解 则它的朗斯基行 21 xyxy 列式是 5 若函数的拉普拉斯变换是 则 tfdttfetfL st 0 at eLkL 二 选择题 1 二阶常系数齐次微分方程的通解是 032 xxx A B 2sin2cos 21 tCtCex t sincos 21 3 tCtCex t C D 2sin2cos 21 tCtCex t sincos 21 3 tCtCex t 2 三阶微分方程的特征方程其根是 它的基本解组是 3 2 1 r xxx exxee 2 则该方程的通解是 A B xx exxeCC 2 21 2 321 xCxCC C D x exCxCC 2 321 x exCxCC 2 321 3 二阶微分方程所对应齐次方程的特征根是 0 1 ae a yy x 1 0 21 rr 而右端函数中是其特征根 则设二阶微分方程的特解是 1 A B C D x key 1 x xkey 1 x kexy 2 1 xkke xy 1 参考答案参考答案 一 填空题 1 2 线性相关 nxnxnx nxxx nxxx enee neee eee 121 2 2 2 2 3 032 2 rririr21 21 21 2sin2cos 21 tCtCex t 4 5 0 xW 1 ass k 二 选择题 1 A 2 C 3 B 第四章第四章 线性方程组线性方程组 一 齐次方程组 dY dx A x Y F x 二 齐次方程组 dY dx A x Y 考虑常系数齐次方程组 dY dx AY 可通过非齐异的线性变换 Y TZ 使其为 dZ dx T 1AT Z 由代数知识 存在 Ti使 ATi rTi 从而 A rE Ti 0 det A rE 0 1 若 A 有不同的单根 得 T 1AT ri n n 对角形 Yi erx Ti i 1 2 n 为基本解组 2 若 A 有不同的重根 得 Yi erx Ti i 1 2 n 为基本解组 重点 方程组矩阵表示 常系数线性方程组解法 难点 常数变易公式 基本解矩阵 常系数线性方程组解法 例 1 求方程组的通解 yxy yxx 23 32 分析 1 是关于求一阶线性齐次方程组的通解的问题 它通过先求齐次方程组 的特征方程 且求特征根 利用代数知识来解齐次方程组的通解 2 考核的知识点是 求齐次方程组通解 解 1 特征值 由系数矩阵 A 从而 0 有 0 23 32 rEA r r 23 32 即 r1 1 r2 5 2 通解 设所求解为满足 0 t e b a y x 1 1 b a ErA 1 即 0 a b 0 令 a 1 b 1 有 b a 1 23 3 1 2 t e y x 1 1 1 1 同理 t e y x 5 2 2 1 1 所求方程的通解为 tt eCeC y x 5 21 1 1 1 1 例 2 求方程组的通解 t eyxy tyxx 823 532 分析 1 本题是关于求一阶线性非齐次方程组通解的问题 它通过先求对应齐 次方程组的特征方程 且求其特征根 利用代数知识来解齐次方程组 的通解 在利用常数变易法 可求出非齐次方程组的特解 最后由方 程组解结构得出非齐次方程组的通解 也可用教材上的公式直接求解 2 考核的知识点是 求非齐次方程组通解 解 齐次通解 tt eCeC y x 5 21 1 1 1 1 2 齐次通解 由常数变易法有 y x tt etCetC 5 21 1 1 1 1 现求导回代原方程有 从而解之得 tt etCetC 1 1 1 1 2 5 1 t e t 8 5 1 tC tt eet 45 10 1 2 1 2 tC tt eet 2 2 2 5 2 5 所以特解为 y x t t et et 1 1 5 123 35132 非齐次通解 y x tt eCeC 5 21 1 1 1 1 y x 练习 练习 一 选择题 将方程式化为一阶方程组是 0 xgxxfx A B xgyxf dx dy y dt dx xgyxf dx dy y dt dx C D xgyxf dx dy y dt dx xgyxf dx dy y dt dx 二 解答题 1 求解方程组 2 求解方程组 yy xx 2 yy yxx 3 3 参考答案参考答案 一 B 二 1 提示 直接用公式求解 也可单个方程求解 2 1 2 0 0 C C e e t t 2 提示 直接用公式求解 也可单个方程求解 2 1 3 33 0C C e tee t tt 若用单个方程求解 先对第二个方程求解 回代第一个方程再求解 第五章第五章 定性与稳定性的概念定性与稳定性的概念 一 相图 轨线 奇点 二 初等奇点的分类 奇点附近的轨线分布 x a11x a12y y a21x a22y 其中矩阵 A aij 2 2 而特征方程 det A rE 0 由它们根的不同情况进行拓扑分 类 奇点分为 结点 鞍点 焦点 中心等 三 极限环与周期解 介绍 四 系统解的稳定性概念 1 解的稳定性 解的渐近稳定性概念 2 李雅谱诺夫方法 正定 V x 函数及其应用 重点 李雅谱诺夫方法 正定 V x 函数及其应用 运动稳定性概念及判定 难点 二维常系数方程孤立奇点分类 运动稳定性 周期解与极限环 一般了解 例 1 单摆的运动稳定性 分析 1 本题是研究单摆部分运动规律的问题 它通过先把二阶方程化为一阶方程组 再用在整个区域上取正定 V x 函数 通过求全导数 利用稳定性判别定理 可得 系统的运动稳定性 2 考核的知识点是 系统解的稳定性概念 解 1 由数学建模 牛顿第二定律 列方程有 0sin l g 它可化为系统由此知 它的平衡点 奇点 是 sin l g 0 对应的摆锤处于最低点的位置 2 利用李雅谱诺夫方法作正定 V x 函数有 求全导数得 cos1 2 1 2 l g V0 sin l g V 由于它是负定函数 由稳定性判别定理知 在系统的平衡点 奇点 是稳定的 0 例 2 考虑一般的较抽象系统零解的稳定性 2 212 2 2 11 xxx xxx 分析 1 本题是研究一般的较抽象系统零解的稳定性问题 它通过在整个区域上取正 定 V x 函数 通过求全导数 利用阶的渐近稳定性判别定理 可得系统零解的渐 近稳定性 2 考核的知识点是 系统解的渐近稳定性概念 解 作正定的函数 它在 x1 x2 上是正定的 它关于系统的对 xV 2 2 2 1 xx 的全导数是 负定的 由渐近稳定性判别定理 21 xxV 2211 22xxxx 2 4 2 4 1 xx 知 系统在零解 平衡点即奇点 是渐近稳定的 0 21 xx 练习 练习 1 函数 则它在平面上是 B 函数 22 yxyxV xoy A 正定 B 负定 C 变号 D 不确定 2 求方程组的平衡点 22 yyxxy yx 3 研究二阶方程平衡点的稳定性 0 2 xa x 参考答案参考答案 1 B 2 0 0 1 0 3 平衡点 x y 0 是稳定性的 提示 在 2 中 令方程组右边为零 在 3 中 令 正定函数为 求导 由稳定性判定定理 222 yaxyxV 可得 模拟试题模拟试题 一 填空题 20 分 每小题 2 分 1 设方程是 则 xy8 y 2 设方程是 则 x axxy cossin y 3 若一阶线性非齐次方程是 则它的通解 xqyxpy y 4 若函数组是 则它的朗斯基行列式 xcxcxc n aeaeae 21 0 0 21 n ccca 是 与对每 1 y 2 y xw 5 函数是的两个解 则与是线性 关 xyxycos sin 21 0 yy 1 y 2 y 且它们构成该方程的 解组 6 设二阶方程的特征方程是其特征根是 0102 xxx0102 2 1 2 7 若是 n 阶线性齐次方程 n 个线性无关的解 则它的朗 21 xyxyxy n 斯基行列式 W x bax 8 若是 n 阶线性齐次方程 n 个线性无关的解 是非 21 xyxyxy n 0 xy 齐次线性方程的特解 则齐次方程的通解是 非齐 次线性方程的通解是 9 设函数在闭区域上满足李普希兹条件 则存 yxfbyyaxxR 00 在常数 L 对 R 上点有 21 yxyx 21 yxfyxf 10 函数 f t 的拉普拉斯变换是 则 L 1 0 dttfetfL st 二 选择题 30 分 每小题 4 分最后一小题 2 分 1 设函数连续可微 则方程是全微分方 yxNyxM0 dyyxNdxyxM 程的充分必要条件 A B x N y M y N x M C D x N y M y N x M 2 设一阶方程 则它是 0 2 xpxryxqyxp dx dy A 线性非齐次方程 B 伯努利方程 C 黎卡堤方程 D 一般方程 3 二阶微分方程的通解是 0102 xxx A 3sin3cos 21 tCtCex t B sincos 21 3 tCtCex t C sincos 21 tCtCex t D 3sin3cos 21 3 tCtCex t 4 5 阶方程 我们用代换可有 0 1 4 4 5 5 dt yd tdt yd 4 4 dt yd z 0 t z dt dz 其通解是 问原方程的通解是 Ctz A 54 2 3 3 2 5 1 CtCtCtCtC B 54 2 3 4 2 5 1 CtCtCtCtC C 4 54 2 3 3 2 5 1 CtCtCtCtCtC D CtCtCtCtC 4 2 3 4 2 5 1 5 若函数是方程得基本解组 方程的通解是 xxx xeee 2 A B xxx xeeCeC 2 2 1 xxx xeCeCeC 32 2 1 C D xxx CxeCeCe 2xxx xeee 2 6 单摆的方程是其对应的一阶线性方程组为 0sin 1 lg A B sin 1 lg sin 1 lg C D sin 1 lg 1