解析几何--交点轨迹求解方法

解析几何 A1 A2 是椭圆 x 2 9 y 4 1 长轴两端点 P1 P2 是垂直于 A1A2 的弦的两端点 求 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹 2008 年二轮复习高中数学方法讲解 5 交轨法 一般用于求二动曲线交点的轨迹方程 其过程是选出一个适当的参数 求出二动曲线的方程或动点 坐标适合的含参数的等式 再消去参数 即得所求动点轨迹的方程 例 1 设 A1 A2 是椭圆 1 的长轴两个端点 P1 P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点 则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为 A B C D 解析 设交点 P x y A1 3 0 A2 3 0 P1 x0 y0 P2 x0 y0 A1 P1 P 共线 A2 P2 P 共线 解得 x0 答案 C 例 2 如右图 给出定点 A a 0 a 0 和直线 l x 1 B 是直线 l 上的动点 BOA 的角平分线 交 AB 于 C 求点 C 的轨迹方程 并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系 依题意 记 B 1 b b R 则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y 0 和 y bx 设点 C x y 则有 0 x a 由 OC 平分 AOB 知点 C 到 OA OB 距离相等 根据点到直线的距离公式得 依题设 点 C 在直线 AB 上 故有 将 式代入 式得 整理得 y2 1 a x2 2ax 1 a y2 0 若 y 0 则 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a 若 y 0 则 b 0 AOB 点 C 的坐标为 0 0 满足上式 综上得点 C 的轨迹方程为 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a i 当 a 1 时 轨迹方程化为 y2 x 0 x 1 此时 方程 表示抛物线弧段 ii 当 a 1 时 轨迹方程为 所以 当 0 a 1 时 方程 表示椭圆弧段 当 a 1 时 方程 表示双曲线一支的弧段 例 3 已知椭圆 1 a b 0 点 P 为其上一点 F1 F2 为椭圆的焦点 F1PF2 的外角平分线为 l 点 F2 关于 l 的对称点为 Q F2Q 交 l 于点 R 当 P 点在椭圆上运动时 求 R 形成的轨迹方程 解 1 点 F2 关于 l 的对称点为 Q 连接 PQ F2PR QPR F2R QR PQ PF2 又因为 l 为 F1PF2 外角的平分线 故点 F1 P Q 在同一直线上 设存在 R x0 y0 Q x1 y1 F1 c 0 F2 c 0 F1Q F2P PQ F1P PF2 2a 则 x1 c 2 y12 2a 2 又 得 x1 2x0 c y1 2y0 2x0 2 2y0 2 2a 2 x02 y02 a2 故 R 的轨迹方程为 x2 y2 a2 y 0 例 4 如右图 直线 l1 和 l2 相交于点 M l1 l2 点 N l1 以 A B 为端点的曲线段 C 上的任一点 到 l2 的距离与到点 N 的距离相等 若 AMN 为锐角三角形 AM 17 AN 3 且 BN 有些小问题 x 是不可以为 0 的 因为当 x 0 时 A1P1 与 A2P2 是平行的 故不可能有交点 X 3 2 Y 2 2 1 x 不为 0 设 p1 x y 则 p2 x y P1 p2 在椭圆 x 2 9 y 2 4 1 上 则 x 3sin y 2cos 则 A1P1 的方程为 3 x 0 y 3sin 3 2cos 1 A2P2 的方程为 3 x 0 y 3sin 3 2cos 2 Q x y 为 A1P1 A2P2 的交点 联立方程 1 2 得 x csc y 2ctg 消去 可得 X 3 2 Y 2 2 1 2 讨论 y 0 的情况 设 P1 x1 y1 P2 x1 y1 y1 0 两只县交点为 x y 于是直线 A1P1 方程为 y y1 x 3 x1 3 1 直线 A2P2 方程为 y y1 x 3 x1 3 求交点有 y1 x 3 x1 3 y1 x 3 x1 3 化简得 2y1 xx1 9 0 P1P2 为弦 于是 y1 0 于是 x1 9 x 2 又 x1 2 9 y1 2 4 1 于是 y1 2sqrt 9 x1 2 3 3 将 2 式 3 式代入 1 式 化简得 y 2sqrt x 2 9 3 y3 注 这里的几何关系就是 cos AO D 二 定义法 如果动点所满足的几何等量关系符合某曲线的定义 就可直接写出其标准方程 例 已知双曲线的两个焦点分别为 M 2 12 和 N 点 S 7 0 和 T 7 0 在双曲线上 求 N 的轨迹方程 解 设点 N 的坐标为 x y 它不同于点 M 2 12 由双曲线的定义知 SM SN TM TN 0 S 7 0 T 7 0 SM 13 TM 15 当 SM SN TM TN 时 有 TN SN 20 两焦点为 F1 F2 点 Q 为双曲线上除顶点外的任一点 过 F1 作 F1QF2 的平分线的垂线 垂足为 P 则点 P 的轨迹 椭圆的一部分 B 双曲线的一部分 C 抛物线的一部分 D 圆的一部分 解 如图 设动圆 M x y 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B 根据两圆外切的条件 得 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB MA MB MC1 AC1 MC2 BC2 即 MC2 MC1 2 动点 M 的轨迹是以 C1 C2 为焦点的双曲线的左支 这里 a 1 c 3 b2 8 所求轨迹方程为 x2 1 x 0 如图 延长 F1P 交 QF2 于 R 则 QF1 QR QF2 QF1 2a QF2 QR 2a RF2 又 OP RF2 OP a 故选 D 三 相关点代换法 1 所求动点的变化是由已知曲线上的动点运动引起的 这两点就是相关点 可利用 两点坐标关系及曲线方程得到轨迹方程 2 掌握 相关点代换法 的步骤 在原曲线上任取一点 P x y 设其相关点为 P x y 由几何特征建立 x y x y 之间的等量关系 并把 x y 分别表示成 x y 的表达式 把 x y 代入到已知曲线的方程 f x y 0 中 就得 x y 所满足的等量关系 g x y 0 这就是所求曲线的方程 例 若 A1 A2 为椭圆 1 的长轴的两个端点 P 为椭圆上异于 A1 A2 的任一点 作 A1QA1P A2QA2P 求直线 A1Q 和 A2Q 交点 Q 的轨迹方程 解 设 P x1 y1 Q x y 由题意得 1 1 得 1 又 P x1 y1 在 1 上 y12 x12 a2 代入 得 a2x2 b2y2 a4 练习 若 A1 A2 为椭圆 1 的长轴的两个端点 P1 P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点 求 直线 A1P1 与 AP2 的交点的轨迹方程 解 设交点 P x y A1 3 0 A2 3 0 P1 x0 y0 P2 x0 y0 A1 P1 P 共线 A2 P2 P 共线 解得 x0 y0 代入 1 化简得 1 四 参数法 动点的变化是由某个量的变化引起的 可设这个量为参数 把动点的两个坐标分别 表示成参数的函数 最后消去参数 可得轨迹方程 例 如图 过定点 A a b 任作互相垂直的两直线 L1 与 L2 且 L1 与 x 轴交于 M 点 L2 与 y 轴交于 N 点 求线段 MN 中点 P 的轨迹方程 解法一 参数法 当 L1 不平行于 y 轴时 设 L1 的斜率为 k1 L1 L2 L2 的斜率为 L1 的方程为 y b k1 x a L2 的方程为 y b x a 在 中令 y 0 得 M 点的横坐标 x0 a 在 中令 x 0 得 M 点的纵坐标 y0 b 设 MN 中点 P 的坐标为 x y 则 消去 k1 得 2ax 2by a2 b2 0 x 当 L1 平行于 y 轴时 MN 中点 也满足方程 所求点的轨迹方程为 2ax 2by a2 b2 0 解法二 直译法 当直线 AM 斜率存在时 设 P x y 则 M 2x 0 N 0 2y 于是 kAM kAN L1L2 1 化简得 2ax 2by a2 b2 0 x 当直线 AMx 轴时 此时 MN 中点 也满足方程 所求点的轨迹方程为 2ax 2by a2 b2 0 解法三 几何法 易知 OMAN 四点共圆 MN 是直径 P 是圆心 故 OP PA 设 P x y x2 y2 x a 2 y b 2 化简得 2ax 2by a2 b2 0 五 交轨法 求两动曲线交点的轨迹问题 先把两动曲线的方程用某个参数表示出来 消去参数 就得交点的轨迹方程 例 已知向量 i 1 0 j 0 1 经过点 M 0 3t 且以 i tj t R 且 t 0 为方向向量的直 线 L1 与经过点 N 0 且以 i j 为方向向量的直线