立体几何证明题(文科)1123VIP

立体几何 1 如图 梯形和正所在平面互相垂直 其中 ABCD PAB ABDC 且为中点 1 2 ADCDAB OAB I 求证 平面 BCPOD II 求证 AC PD 2 如图 菱形的边长为 将菱形沿对角ABCD660BAD ACBDO ABCD 线折起 得到三棱锥 点是棱的中点 ACBACD MBC3 2DM 求证 平面 OMABD 求证 平面平面 ABC MDO 求三棱锥的体积 MABD BA CD O P A B A B CC D M O D O E C AB D P 3 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD为直角梯形 AD BC ADC 90 BC AD PA PD Q 为 AD 的中点 1 2 求证 AD 平面 PBQ 若点 M 在棱 PC 上 设 PM tMC 试确定 t 的值 使得 PA 平面 BMQ 4 已知四棱锥PABCD 的底面是菱形 E为PA的中点 PBPD 求证 平面BDE PC 求证 平面平面 PAC BDE P A B C D Q M 5 已知直三棱柱的所有棱长都相等 且分别为的 111 CBAABC FED 11 AABBBC 中点 I 求证 平面平面 1FC B EAD II 求证 平面 1 BC EAD 6 如图所示 正方形与直角梯形所在平面互相垂直 ABCDADEF 90ADE DEAF 22 AFDADE 求证 平面 AC BDE 求证 平面 ACBEF 求四面体的体积 BDEF D 1 C F E B AC 1 A 1 B AB C D F E 7 如图 在四棱锥中 平面 PAD 平面 ABCD ABCDP AB AD BAD 60 E F 分别是 AP AD 的中点 求证 1 直线 EF 平面 PCD 2 平面 BEF 平面 PAD 8 如图 四边形ABCD为正方形 QA 平面ABCD PD QA QA AB PD 1 2 I 证明 PQ 平面DCQ II 求棱锥Q ABCD的的体积与棱锥P DCQ的体积的比值 16 第题图 9 如图 在 ABC 中 ABC 45 BAC 90 AD 是 BC 上的高 沿 AD 把 ABD 折起 使 BDC 90 1 证明 平面 平面 2 设 BD 1 求三棱锥 D 的表面 积 参考答案 1 证明 I 因为为中点 OAB 所以 1 分 1 2 BOAB 又 ABCD 1 2 CDAB 所以有 2 分 CDBO CDBO 所以为平行四边形 所以 3 分 ODCB BCOD 又平面平面 DO PODBC POD 所以平面 5 分 BCPOD II 连接 OC 因为所以为 CDBOAO CDAO ADCO 平行四边形 6 分 又 所以为菱形 ADCD ADCO 所以 7 分 ACDO 因为正三角形 为中点 PABOAB 所以 8 分 POAB 又因为平面平面 平面平面 ABCD PABABCD PABAB 所以平面 10 分 PO ABCD 而平面 所以 AC ABCDPOAC BA CD O P 又 所以平面 12 分 PODOO AC POD 又平面 所以 13 分 PD PODAC PD 2 证明 因为点O是菱形的对角线的交点 ABCD 所以O是AC的中点 又点是棱的中点 MBC 所以OM是 ABC 的中位线 OMAB 2 分 因为OM 平面 AB 平面 ABDABD 所以平面 4 分 OMABD 证明 由题意 3OMOD 因为 所以 90DOM OD OM 6 分 3 2DM 又因为菱形 所以OD AC 7 分 ABCD 因为 OMACO 所以OD 平面 8 分 ABC 因为OD 平面 MDO 所以平面平面 9 分 ABC MDO 解 三棱锥的体积等于三棱锥D ABM 的体积 10 分 MABD 由 知 OD 平面ABC 所以为三棱锥D ABM 的高 11 分 3OD ABM 的面积为 1139 3 sin1206 3 2222 BA BM 12 分 所求体积等于 13 分 19 3 32 ABM SOD 3 证明 AD BC BC AD Q为AD的中点 1 2 A B C M O D 四边形BCDQ为平行四边形 CD BQ ADC 90 AQB 90 即QB AD PA PD Q为AD的中点 PQ AD PQ BQ Q AD 平面PBQ 6 分 当时 PA 平面BMQ 1t 连接AC 交BQ于N 连接MN BCDQ 1 2 四边形BCQA为平行四边形 且N为AC中点 点M是线段PC的中点 MN PA MN平面BMQ PA平面BMQ PA 平面BMQ 13 分 4 证明 因为 分别为 的中点 EOPAAC 所以 EOPC 因为平面EO BDE 平面PC BDE P A B C D Q M N O E CD BA P 所以 平面 PCBDE 6 分 证明 连结OP 因为 PBPD 所以 OPBD 在菱形中 ABCDBDAC 因为OPACO 所以平面BD PAC 因为平面BD BDE 所以平面平面 13 分PAC BDE 5 由已知可得 1 AFB E 1 AFB E 四边形是平行四边形 EAFB1 1 分 1 FBAE 平面 平面 AE FCB1 1 FB FCB1 平面 2 分 AE FCB1 又 分别是的中点 ED 1 BBBC 3 分 CBDE 1 平面 平面 ED FCB1 1 BC FCB1 平面 4 分 ED FCB1 平面 平面 5 分 AEDEE AE EADED EAD 平面 平面 6 分 FCB1 EAD 三棱柱是直三棱柱 111 CBAABC 面 又面 CC1 ABC ADABC 7 分 CC1 AD 又直三棱柱的所有棱长都相等 是边中点 111 CBAABC DBC 是正三角形 8 分 ABC BCAD 而 面 面 1 C CBCC 1 CC 11B BCC BC 11B BCC 面 9 分 AD11B BCC 故 10 分 1 ADBC 四边形是菱形 11 分 11 BCC B CBBC 11 而 故 12 分 CBDE 1 1 DEBC 由面 面 DDEAD AD EADED EAD 得 面 13 分 1 BC EAD 6 证明 因为平面平面 ABCD ADEF90ADE 所以平面 2 分DE ABCD 所以 3 分ACDE 因为是正方形 ABCD 所以 所以平面 4 分BDAC AC BDE 证明 设 取中点 连结 ACBDO BEGOGFG 所以 5 分OG 1 2 DE 因为 所以 6 分DEAF AFDE2 AF OG 从而四边形是平行四边形 7 分AFGOAOFG 因为平面 平面 8 分FG BEFAO BEF 所以平面 即平面 9 分 AOBEF ACBEF 解 因为平面平面 ABCD ADEFABAD 所以平面 11 分AB ADEF 因为 DEAF 90ADE 22 AFDADE 所以的面积为 12 分DEF 1 2 2 EDAD 所以四面体的体积 13 分BDEF ABS DEF 3 14 3 7 答案 1 因为 E F 分别是 AP AD 的中点 又 EFPD A PDPCD EFPCD 面面 直线 EF 平面 PCD 2 连接 BD为正三角形AB AD BAD 60 ABD F 是 AD 的中点 BFAD 又平面 PAD 平面 ABCD PADABCDAD 面面 BFPAD BFBEF 面面 所以 平面 BEF 平面 PAD 8 解 I 由条件知 PDAQ 为直角梯形 因为 QA 平面 ABCD 所以平面 PDAQ 平面 ABCD 交线为 AD 又四边形 ABCD 为正方形 DC AD 所以 DC 平面 PDAQ 可得 PQ DC 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ PQ PD 则 PQ QD 2 2 所以 PQ 平面 DCQ 6 分 II 设 AB a 由题设知 AQ 为棱锥 Q ABCD 的高 所以棱锥 Q ABCD 的体积 3 1 1 3 Va 由 I 知 PQ 为棱锥 P DCQ 的高 而 PQ DCQ 的面积为 2a 2 2 2 a 所以棱锥 P DCQ 的体积为 3 2 1 3 Va 故棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值为 1 12 分 9