人教版初中数学数与式版块基础知识点及例题分析

第二周任务 数与式版块 1 一 数与式板块 1 有理数 正数 像 0 05 3 这样大于 0 的数叫正数 负数 像 3 0 45 这样在正数前面加上符号 负 的数叫做负数 0 既不是正数也不是负数 正整数 0 负正数统称为整数 正分数 负分数统称为分数 整数和分数统称 为有理数 数轴 在数学中可用一条直线上的点表示数 这条直线叫做数轴 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 绝对值 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 记作 a 由绝对值的定义可知 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值 是它的相反数 0 的绝对值是 0 有理数大小的比较 1 正数大于 0 0 大于负数 正数大于负数 2 两个负数 绝对值大的反而小 倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数 有理数乘方的运算的符号法则 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数 0 的 任何正数次幂都是零 科学记数法 把一个大于 10 的数表示成 a 的形式 其中 a 大于或者等于 n 10 1 且小于 10 n 是正整数 这样的记数的方法叫科学记法 必考 考点 1 实数的相关概念 例 1 在数 0 2 3 1 2 中属于负整数的是 A 0 B 2 C 3 D 1 2 解析 0 既不是正数也不是负数 2 属于正整数 3 是负整数 故选 C 1 2 是负数但不是负整数 故错误 第二周任务 数与式版块 2 考点 2 绝对值 和相反数选考其中之一 选择或填空 典例 2 2013 云南 6 的绝对值是 A 6 B 6 C 6 D 6 1 分析 根据绝对值的性质 当 a 是负有理数时 a 的绝对值是它的相反数 a 根 据绝对值的性质 6 6 考点 3 相反数 每年必考 选择题 典例 3 晋江中考 化简 2 解析 负数的相反数是正数 故 2 2 例 4 2012 昆明 5 的相反数是 A 1 5 B 5 C 1 5 D 5 解 正数的相反数是负数 绝对值要相等 所以 5 的相反数是 5 故选 B 例 5 2014 昆明 的相反数是 2 1 A B C 2 D 2 1 2 1 2 解析 根据相反数的定义 即只有符号不同的两个数互为相反数 进行求解解 的相反数是 2 1 2 1 故选 B 考点 4 正负数的应用 例 5 济宁中考 一运动员某次跳水的最高点离跳台 2m 记作 2m 则水面离 跳台 10m 可以记作 10m 12m AB 10m 12m C D 解析 最高点到跳台的方向和水面到跳台的方向是相反的 已知最高点到跳台 的距离为 2m 记作 2m 所以反方向距离记作负数 即水面离跳台 10m 记作 10m 第二周任务 数与式版块 3 例 6 2011 昆明 昆明小学 1 月份某天的气温为 5 最低气温为 1 则昆明 这天的气温差为 A 4 B 6 C 4 D 6 解析 温差为最高气温减去最低气温 所以温差等于 5 1 6 度 考点 5 科学记数法 每年必考 填空题 类型 1 要表示的数大于 1 且无单位换算 例 7 2014 昆明 据报道 2014 年 4 月昆明库塘蓄水量为 58500 万立方米 将 58500 万立方米用科学计数法表示为 万立方米 分析 科学记数法的表示形式为 a 的形式 其中 1 a 0 0 且 abab 所以 aba 2 ba aabab 考点 4 估算无理数 典例 4 2012 昆明 定出一个大于 2 小于 4 的无理数 考点 无理数及平方根 解析因为 2 4 所以416 2 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 4x16x 估算无理数就要看无理数介于的两个数是哪两个数的平方根或者算术平方根 然后只要被开方数介于两者之间且是开不尽的即可 5 二元一次方程组 二元一次方程组 含有两个未知数 并且含有未知数的项的次数都是 1 像这 样的方程叫做二元一次方程 二元一次方程组 有两个未知数 含有每个未知数的项的次数都是 1 并且一 第二周任务 数与式版块 10 共由两个方程 0 CByAx 二元一次方程组 解的情况0 FEyDx 1 当时 方程组有唯一一组解 E B B A 2 当时 方程组有无数组解 F C E B B A 3 当时方程组无解 F C E B D A 解二元一次方程组的方法 代入法和消元法 代入法 把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示 出来 再代入另外一个方程中 实现消元 进而求得这个二元一次方程组的解 加减法 当二元一次方程组中同一未知数的系数相反或者相等时 把这两个方 程的两边分别相加或者相减 就能消去这个未知数 得到一元一次方程 列一元一次方程组解实际问题时会抓住 不变量 和 等值量 列方程 实际问题与二元一次方程组 1 弄清楚题意和题目中的数量关系 用字母 x y 表示题目中的两个未知数 2 找出能够表示应用题全部题意的两个相等关系 3 根据两个相等关系 列出代数式 从而列出方程并组成方程组 4 解这个二元一次方程组 求出未知数的值 5 检查所得结果的正确性及合理性 6 写出答案 考点 1 二元一次方程组的解法 典例 1 成都中考 解方程组 1 yx 2 5 yx 解方法一 代入法 由 得 yx 1 把 代入 得2 51 yy 第二周任务 数与式版块 11 即 解得522 yy532 y1 y 把代入 得1 y2 1 1 x 所以方程组的解为 2 x 1 y 方法二 加减法 得 解得63 x2 x 把代入 得 解得2 x12 yx1 y 2 x 所以方程组的解为 1 y 考点 2 二元一次方程组的应用 例 2 2014 昆明 某校运动会需购买 A B 两种奖品 若购买 A 种奖品 3 件和 B 种奖品 2 件 共需 60 元 若购买 A 种奖品 5 件和 B 种奖品 3 件 共需 95 元 1 求 A B 两种奖品单价各是多少元 2 学校计划购买 A B 两种奖品共 100 件 购买费用不超过 1150 元 且 A 种奖品的数量不大于 B 种奖品数量的 3 倍 设购买 A 种奖品 m 件 购买费用为 W 元 写出 W 元 与 m 件 之间的函数关系式 求出自变量 m 的取值范 围 并确定最少费用 W 的值 解析 1 设 A B 两种奖品单价分别为元 元 由两个方程构成方程组 xy 求出其解即可 2 找出 W 与 m 之间的函数关系式 一次函数 由不等式组确定自变 量 m 的取值范围 并由一次函数性质确定最少费用 W 的值 解 1 设 A B 两种奖品单价分别为元 元 由题意 得xy 9535 6023 yx yx 解得 15 10 y x 答 A B 两种奖品单价分别为 10 元 15 元 第二周任务 数与式版块 12 2 由题意 得 100 1510mmW mm15150010 m51500 由 解得 100 3 115051500 mm m 7570 m 由一次函数可知 随增大而减小mW51500 Wm 当时 W 最小 最小为 元 75 m11257551500 W 答 当购买 A 种奖品 75 件 B 种奖品 25 件时 费用 W 最小 最小为 1125 元 此题中的第一问就是二元一次方程的实际应用 例 3 2016 昆明 列方程 组 及不等式解应用题 春节期间 某商场计划购进甲 乙两种商品 己知购进甲商品 2 件和乙商品 3 件共需 270 元 购进平商品 3 件和乙商品 2 件共霈 230 元 1 求甲 乙两种商品每件的进价分别是多少元 2 商场决定平商品以毎件 40 元出售 乙商品以每件 90 元出售 为满足 市场需求 需购进甲 乙两种商品共 100 件 甲种商品的数董不少于 乙种商品数置的 4 倍 请你求出获利最大的进货方案 并确定最大利 润 第二周任务 数与式版块 13 此题中的第一问就是二元一次方程的实际应用 6 不等式与不等式组 不等式 用符号 或 表示大小关系的式子叫不等式 不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有的解 组成这个不等式的解集 不等式的性质 1 不等式两边加 或减 同一个数 或式子 不等号的方向不 变 不等式的性质 2 不等式两边乘 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 不等式的性质 3 不等式两边乘 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 一元一次不等式 含有一个未知数 未知数的次数是 1 的不等式 叫一元一次 不等式 一元一次不等式的解法 1 去分母 2 去括号 3 移项 4 合并同类项 5 系数 化为 1 在步骤 1 到步骤 5 中 如果乘的因数或除数是负数 则不等号的方向 要改变 一元一次不等式组 把两个一元一次不等式合起来 组成一个一元一次不等式 组 解一元一次不等式组的步骤 1 分别求出不等式组中各个不等式的解集 2 将各不等式的解集在数轴上表示出来 3 在数轴上找出各个不等式的解集的公共部分 这个公共部分就是不等式 组的解集 第二周任务 数与式版块 14 考点 1 不等式的定义和性质 例 1 2015 南充 若 下列不等式不一定成立的是 nm A B22 nmnm22 C D 22 nm 22 nm 解析 由不等式的性质 1 不等式两边加 或减 同一个数 或式子 不等号 的方向不变 和不等式的性质 2 不等式两边乘 或除以 同一个正数 不等号 的方向不变 可知 A B C 都是正确的 但 D 项不一定成立 如 m 0 n 1 则 不成立 所以选 D 22 nm 例 2 2012 广州 已知 若 c 是任意实数 则下列不等式中总是成立的是ba A Bcbca cbca C Dbcac bcac 解析 由不等式的性质不等式两边加 或减 同一个数 或式子 不等号的方 向不变 可得 B 正确 而 A 选项变了不等号的方向 C D 无法断定是否正确 因为 c 的正负无法判定 它也有可能是 0 所以选 B 考点 2 一元一次不等式的解法 例 3 2016 金华 不等式 3x 1 2 的解集是 解 移向 3x 2 1 合并同类项得 3x 3 系数化为 1 得 x3 x 1 4x 2 7 x 解 2x 5 3 x 1 4x 2 7 x 解 得 x1 所以不等式组的解集为 1 x 8 考点 4 一元一次不等式及不等式组的应用 例 6 福州中考 某次知识竞赛共 20 道题 每一题答对得 5 分 答错或不答 扣三分 1 小明考了 68 分 那么小明答对多少道题 2 小亮获得二等奖 70 90 分 请你算算小亮答对了几道题 解 1 设小明答对了 x 道题 依题意得 5x 3 20 x 68 解得 x 16 2 设小亮答对了 y 道题 依题意得 5y 3 20 y 70 5y 3 20 y 70 因此解得不等式组的解集为 16 xn nmnm aaa 0 a 即任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 0 1 0 aa 平方差公式 即两个数的差的积 等于这两个数的平方差 22 bababa 完全平方公式 两个数的和 差 的平方 等于他们的 22 2 2bababa 平方和 加上 或减去 它们的积的 2 倍 因式分解 把一个多项式化成了几个整式的积的形式 这样的式子变形叫做这 个多项式的因式分解 也叫做把这个多项式分解因式 因式分解的方法 1 提公因式法 2 公式法 3 形如型pqqpx 2 式子的因式分解 整式的乘法 1 单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘 把它们的系数 同底数幂分别相乘 对于只在一个单项 式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 2 单项式与多项式相乘的法则 单项式与多项式相乘 就是用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 3 多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 再 把所得的积相加 考点 1 同底数幂的乘法 第二周任务 数与式版块 20 典例 1 晋中中考 计算 等于 23 2xx A 2 B C 2 D 5 x 5 x 6 2x 解析 同底数幂相乘 底数不变指数相加 52323 2 2 2xxxx 故选 C 考点 2 幂的乘方 典例 2 广州中考 计算的结果是 2 3n m A B C D nm6 26n m 25n m 23n m 解析 即幂的乘方 底数不变 指数相乘 故选 B 223 2 3 nmnm 考点 3 平方差公式 典例 3 计算 102 98 解析 平方差公式 即两个数的差的积 等于这两个数的 22 bababa 平方差 此题中要用拼凑法构造平方差公式 解 原式 100 2 100 2 10000 4 9996 22 2100 考点 4 平方差公式 多项式乘以多项式 典例 4 5 122 yyyy 解析 原式 54 2 222 yyy 544 22 yyy 41 y 考点 5 因式分解中的提公因式 典例 5 分解因式 xyx 2 解析原式 两式中的公因式为 yxx x 第二周任务 数与式版块 21 考点 6 因式分解中的公式法 典例 6 分解因式 22 12123baba 解原式 3 22 44baba 3 2 2ba 考点 7 多项式乘以多项式 典例 7 计算 43 2 yxyx 解析 原式 yyxyyxxx 4 2 3 2 4 3 22 8643yxyxyx 22 823yxyx 9 分式 分式的概念 一般地 如果 A B 表示两个整式 并且 B 中含有字母 那么式 子 叫做分式 分式中 A 叫做分子 B 叫分母 B A B A 分式的基本性质 分式的分子分母同乘 或者除以 一个不等于 0 的整式 分 式的值不变 分式的运算 乘法法则 分式乘分式 用分子的乘积作为积的分子 分母的积作为分母 除法法则 分式除以分式 把除式的分子分母颠倒位置后与被除式相乘 加减法则 同分母分式相加减 分母不变 把分子相加减 异分母分式相加减 先通分 变为同分母的分式 再加减 分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程 增根 使最简公分母为 0 的根叫做分式方程的增根 检验分式方程解的方法 将整式方程的解代入最简公分母 如果最简公分母的 值不为 0 则整式方程的解是原分式方程的解 否则 这个解不是分式方程的 解 考点 1 分式有意义的条件 第二周任务 数与式版块 22 例 1 2014 昆明 要使分式有意义 则的取值范围是 10 1 x x 解析 根据分式有意义的条件 即分母不能等于 0 可以求出的取值范围 x 解 由分式有意义的条件得 010 x 故填10 x10 x 例 2 2016 上海 函数的定义域是 2 3 x y 解 函数的定义域要使函数有意义 即使分式有存在的意义 所以分母不能 2 3 x 等于 0 即 x 2 0 所以 x 2 考点 2 分式的性质 例 3 2015 丽水 分式可变形为 x 1 1 A B C D 1 1 x1 1 x1 1 x1 1 x 解析 由分式的基本性质 分式的分子分母同乘 或者除以 一个不等于 0 的 整式 分式的值不变 此题可以理解为分子分母同时乘以 1 故选 D 考点 3 分式加减 例 4 天津中考 计算的结果为 xx x11 A 1 B C D x x 1 x x2 解析 故选 A 该题只要掌握了分式加减的法则就能1 1111 x x x x xx x 轻松做出 考点 4 分式的加减 增根的定义 使最简公分母为 0 的根 例 5 鸡西中考 分式方程有增根 则 m 的为 2 1 1 1 xx m x x A 0 和 3 B 1 C 1 和 2 D 3 解析 2 1 1 1 xx m x x 第二周任务 数与式版块 23 方程两边同时乘以最简公分母mxxxx 2 1 2 2 1 xx 整理得 2 xm 因为方程有增根 所以方程的解使最简公分母为 0 所以或 2 1 xx2 x 者将的值代入 中得或者故选 A1 xx0222 xm3212 xm 考点 5 分式的应用 列分式方程解决实际问题时列方程前 应先弄清问题中已知数与未知数 以及 他们之间的数量关系 用含未知数的式子表示相关量 然后再用题中的主要相 等关系列出方程 求出解后 必须进行检验 既要检验是否是分式方程的解 又要检验是否符合题意 例 6 2016 昆明 八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观 一部分学生骑 自行车先走 20 分件后 其余学生乘汽车出发 结果他们同时到达 己知汽车 的速度是骑自行车学生速度的 2 倍 设骑车学生的速度为 x 千米 小时 则所列 方程正确的是 A B 20 2 1010 xx 20 10 2 10 xx C D 3 1 2 1010 xx3 110 2 10 xx 解析 此题在理清题意之后要注意题目中时间单位的换算 此题列关系式的根 本是两者二者的时间差的关系 骑车的学生花的时间为 而乘汽车的学生花 x 10 的时间为 二者之间的时间差为 所以选 C 选项 x2 10 3 1 例 7 2013 昆明 某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生 在购买时发 现 每本笔记本可以打九折 用 360 元钱购买的笔记本 打折后购买的数 量比打折前多 10 本 1 求打折前每本笔记本的售价是多少元 第二周任务 数与式版块 24 解析 设打折前售价为 x 则打折后售价为 0 9x 表示出打折前购买的数量及 打折后购买的数量 再由打折后购买的数量比打折前多 10 本 可得出 方程 解出即可 解 设打折前售价为 x 则打折后售价为 0 9x 由题意得 10 x 360 x9 0 360 解得 x 4 经检验得 x 4 是原方程的根 答 打折前每本笔记本的售价为 4 元 10 二次根式 二次根式 一般地 我们把形如 的式子叫做二次根式 称a0 a 为二次根号 二次根式有意义的条件 被开方数大于等于 0 必考 二次根式的性质 a 0 a 1 0 2 aa 0 a a 0 a 2 0 a 0 a 3 aa 2 0 a 二次根式的乘法法则 即两个二次根式相乘 把abba 0 0 ba 被开方数相乘指数不变 二次根式的除法法则 即两个二次根式相除 把被开 b a b a 0 0 ba 方数相除 根指数不变 二次根式的加减 二次根式加减时 可以先将二次根式化为最简二次根式 再 将被开方数相同的二次根式进行合并 第二周任务 数与式版块 25 二次根式概念的意义 判断一个根式是否是二次根式 一定要满足被开方数大 于或者等于零 根指数是 2 当被开方数是字母时 要根据字母的取值进行讨 论 考点 1 二次根式有意义的条件 例 1 2012 昆明 函数的自变量的取值范围是 2yx x 解 要使函数有意义 则二次根式中的被开方数要大于等于 0 即 x 2 0 x 2 例 2 苏州中考 若式子在实数范围内有意义 则的取值范围是 2 1 x x A B C D 1 x1 x1 x1 x 解析 若式子在实数范围内有意义则一定要满足被开方数大于或者等于 2 1 x 零 即 解得 故选 C01 x1 x 考点 2 二次根式的性质的考查 典例 2 已知 则024 yxx yx 解析 根据二次根式的性质 可知 二次根式是一个非负数 几个0 a 0 a 非负数相加等于 0 则每个数都为 0 即 因为且024 yxx 04 x02 yx 所以 04 x02 yx 04 x4 x 所以 解得 02 yx8 y 11 数据的分析 平均数 把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商叫做这组数据的平均 第二周任务 数与式版块 26 数 加权平均数 若 n 个数的权分别是 则 n xxxx 3 21n wwww 3 21 叫做这 n 个数的加权平均数 n nn wwww wxwxwxwx 321 332211 中位数 将一组数据按照由小到大 或者由大到小 的顺序排列 如果数据的 个数是奇数 则称处于中间位置的数为这组数据的中位数 如果数据的个数是 偶数 则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数 众数 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 数据的波动程度 设 n 个数据 各个数据与他们的平均数的差 n xxxx 3 21 x 的平方分别是 我们用这些值的平均数 即用 2 2 2 2 1 xxxxxx n 来衡量这组数据波动的大小 并把这组数据 n xxxxxx s n 2 2 2 2 12 的方差 记作 方差越大 数据波动越大 方差越小 数据波动越小 2 s 考点 1 中位数 例 1 在开展 爱心捐助雅安灾区 的活动中 某团支部 8 名团员捐款的数额 分别为 单位 元 6 5 3 5 6 10 5 5 这组数据的中位数是 A 3 元 B 5 元 C 6 元 D 10 元 解析 将这组数据按从小到大的顺序排列如下 3 5 5 5 5 6 6 10 这组数据的中 位数则中位数是元5 2 55 例 2 2014 昆明 我省五个级旅游景区门票如下表所示 单位 元 5A 景区 名称 石林玉龙雪山丽江古城 大理三塔 文化旅游区 西双版纳 热带植物园 票价 元 1751058012180 关于这五个旅游景区门票票价 下列说法错误的是 平均数是 中位数是 众数是 极差 A120B 105C 80D 第二周任务 数与式版块 27 是 95 解 这五个旅游景区门票票价的平均数是 120 2 112 5 561 5 2021205751005 说法 A 是错误的 故选 A 验证 B 将这五个门票价从小到大排列为 80 80 105 121 175 五个数 中 105 居中 故这五个数的中位数是 105 C 在这五个数中 80 出现两次 其它都只一只 故五数中的众数是 80 D 极差是样本中最大数与最小数的差 所以五数的极差是 9580175 考点 2 样本方差 典例 2 昆明中考 甲 乙两人进行射击测试 每人 10 次射击成绩的平均数都 是 8 5 环 方差分别是 则射击成绩较稳定的是 2 2 甲 S5 1 2 乙 S 填 甲 或 乙 解析 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差 样本 方差是衡量一个样本波动大小的量 样本方差越大 样本数据的波动就越 大 对甲 乙射击测试来说 射击成绩的方差越小 射击成绩越稳定 故填乙 11 一元二次方程 一元二次方程的定义 等式两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未 知数的最高次数是 2 二次 的方程 一元二次方程的一般形式是 其中是二次项 是二 0 0 2 acbxax 2 axa 次项系数 是一次项 是一次项系数 是常数项 bxbc 解一元二次方程的方法 1 直接开平方法 2 配方法 3 公式法 4 因式分解法 必考 公式法 方程 0 0 2 acbxax的实数根可以写成 这个式子 a acbb x 2 4 2 叫做一元二次方程的求根公式 第二周任务 数与式版块 28 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系 一般地 式子叫做方程 0 0 2 acbxax根的判别式 通常用希腊acb4 2 字母 表示 即 acb4 2 当 0 时 一元二次方程有两个不相等的实acb4 2 0 0 2 acbxax 数根 即 a acbb x 2 4 1 2 a acbb x 2 4 2 2 当 0 时 一元二次方程有两个相等的实数acb4 2 0 0 2 acbxax 根 a b xx 221 当 0 时 一元二次方程有两个不相等的实数acb4 2 0 0 2 acbxax 根 即 则有 a acbb x 2 4 1 2 a acbb x 2 4 2 2 a b xx 21 每年必考 a c xx 21 考点 1 根的判别式 例 1 2013 昆明 一元二次方程 2x2 5x 1 0 的根的情况是 A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定 解析 一元二次方程根的情况与判别式 的关系即 当 0 时 一元二次方程有两个不相等的实acb4 2 0 0 2 acbxax 数根 即 a acbb x 2 4 1 2 a acbb x 2 4 2 2 当 0 时 一元二次方程有两个相等的实数acb4 2 0 0 2 acbxax 根 a b xx 221 当 0 时 一元二次方程没有实数根 acb4 2 0 0 2 acbxax 第二周任务 数与式版块 29 所以 5 2 4 2 1 25 8 17 0 所以方程有有两个不相等的实数根 故选 A 例 2 2016 昆明 一元二次方程的根的情况是044 2 xx A 有两个不相等的实数根 B 无实数根 C 有两个相等的实数根 D 无法确定 解 由根的判别式 42 4 1 4 0 可知一元二次方程有两个相等的实数根 044 2 xx 故选 C 考点 2 根与系数的关系 例 3 2011 昆明 若 x1 x2是一元二次方程 2x2 7x 4 0 的两根 则 x1 x2与 x1 x2的值分别是 A 2 B 2 7 2 7 2 C 2 D 2 7 2 7 2 解析 由根与系数的关系可知 所以将 2x2 7x 4 0 中的 a b xx 21 a c xx 21 a b c 代入以后 可选 C 例 4 2014 昆明 已知 是一元二次方程的两个根