五年级奥数专题一：鸡兔同笼

1 五年级鸡兔同笼练习题一 1 鸡兔同笼 头共 20 个 足共 62 只 求鸡与兔各有多少只 3 鸡兔同笼 头共 35 个 脚共 94 只 求鸡与兔各有多少个头 4 在一个停车场上 停了汽车和摩托车一共 32 辆 其中汽车有 4 个轮子 摩托车有 3 个轮子 这 些车一共有 108 个轮子 求汽车和摩托车各有多少辆 5 小华买了 2 元和 5 元纪念邮票一共 34 张 用去 98 元钱 求小华买了 2 元和 5 元的纪念邮票各多 少张 6 全班 46 人去划船 共乘 12 只船 其中大船每只坐 5 人 小船每只坐 3 人 求大船和小船各有多 少只 7 张大妈养鸡兔共 200 只 鸡兔足数共 560 只 求鸡兔各有多少只 8 鹤龟同池 鹤比龟多 12 只 鹤龟足共 72 只 求鹤龟各有多少只 9 小刚买回 8 分邮票和 4 分邮票共 100 张 共付出 6 8 元 问 小刚买回这两种邮票个多少张 各 付出多少元 10 东风小学有 3 名同学去参加数学竞赛 一份试卷共 10 道题 答对一题得 10 分 答错一道不但 不得分 还要扣去 3 分 这 3 名同学都回答了所有的题目 小明得 74 分 小华得 22 分 小红得 87 分 他们三人共答对多少题 2 11 在知识竞赛中 有 10 道判断题 评分规定 每答对一题得 2 分 答错一题要倒扣一分 小明同 学虽然答了全部的题目 但最后只得了 14 分 请问 他答错了几题 12 某运输队为超市运送暖瓶 500 箱 每箱装有 6 个暖瓶 已知每 10 个暖瓶的运费为 5 元 损坏一 个的话不但不给运费还要陪成本 10 元 运后结算时 运输队共得 1350 元的运费 问 共损坏了多 少只暖瓶 13 蜘蛛有 8 条腿 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀 蝉有 6 条腿和 1 对翅膀 现在这三种小虫 16 只 共 有 110 条腿和 14 对翅膀 问 每种小鸟各几只 14 螃蟹有 10 条腿 螳螂有 6 条腿和 1 对翅膀 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀 现在这三种动物 37 只 共有 250 条腿和 52 对翅膀 每种动物各有多少只 15 小东妈妈从单位领回奖金 400 元 其中有 2 元 5 元 10 元人民币共 80 张 且 5 元和 10 元的 张数相等 试问 这三种人民币各有多少张 16 小华有 1 分 2 分 5 分的硬币共 38 枚 合计 9 角 2 分 已知 1 分与 2 分的硬币的枚数相等 这三种硬币各有多少枚 1 某次数学竞赛共 20 道题 评分标准是 每做对一题得 5 分 每做错或不做一题扣 1 分 小华参 加了这次竞赛 得了 64 分 问 小华做对几道题 3 2 鸡 兔共有脚 100 只 若将鸡换成兔 兔换成鸡 则共有脚 86 只 问 鸡 兔各有几只 3 一只货船载重 260 吨 容积 1000 米 3 现装运甲 乙两种货物 已知甲种货物每吨体积是 8 米 3 乙种货物每吨体积 2 米 3 要使这只船的载重量与容积得到充分利用 甲 乙两种货物应分别装 多少吨 4 自行车越野赛全程 220 千米 全程被分为 20 个路段 其中一部分路段长 14 千米 其余的长 9 千米 问 长 9 千米的路段有多少个 5 有一群鸡和兔 腿的总数比头的总数的 2 倍多 18 只 兔有几只 6 如果被乘数增加 15 乘数不变 积就增加 180 如果被乘数不变 乘数增加 4 那么积就增加 120 原来两个数相乘的积是多少 7 编一本 695 页的故事书的页码 一共要用多少个数字 其中数字 5 用去了几个 8 编一本辞典一共用去了 6889 个数字 这本辞典共有几页 9 甲乙两人射击 若命中 甲得 4 分 乙得 5 分 若不中 甲失 2 分 乙失 3 分 每人各射 10 发 共命中 14 发 结算分数时 甲比乙多 10 分 问甲 乙各中几发 4 10 某次数学测验共 20 题 做对一题得 5 分 做错一题倒扣 1 分 不做得 0 分 小华得了 76 分 问他做对几题 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶 运费按到达时完好瓶子数目计算 每只 2 角 如有破损 破损 1 个瓶子还要倒赔 1 元 结果得到运费 379 6 元 问这次搬运中玻璃损坏了几只 12 鸡与兔共有 200 只 鸡的脚比兔的脚少 56 只 问鸡与兔各多少只 13 今有鸡兔共居一笼 已知鸡头与兔头共 35 个 鸡脚与兔脚共 94 只 问鸡兔各几只 14 蜘蛛有 8 条腿 蝴蝶有 6 条腿和 2 对翅膀 蝉有 6 条腿和一对翅膀 现有这三种动物共 21 只 共 140 条腿和 23 对翅膀 问蜘蛛 蝴蝶 蝉各有几只 15 12 张乒乓球台上共有 34 人在打球 问 正在进行单打和双打的台子各有几张 16 鸡与兔共有 100 只 鸡的脚比兔的脚多 80 只 问鸡与兔各多少只 17 班主任张老师带五年级 2 班 50 名同学栽树 张老师一人栽 5 棵 男生一人栽 3 棵 女 生一人栽 2 棵 总共栽树 120 棵 问几名男生 几名女生 18 大油瓶一瓶装 4 千克 小油瓶 2 瓶装 1 千克 现有 100 千克油装了共 60 个瓶子 问大 小油瓶各多少个 19 红英小学三年级有 3 个班共 135 人 二班比一班多 5 人 三班比二班少 7 人 三个班各有 多少人 20 刘老师带了 41 名同学去北海公园划船 共租了 10 条船 每条大船坐 6 人 每条小船坐 4 人 问大船 小船各租几条 21 有鸡兔共 20 只 脚 44 只 鸡兔各几只 22 小红的储钱罐里有面值 2 元和 5 元的人民币共 65 张 总钱数为 205 元 两种面值的人民 币各多少张 5 23 现有大小油桶 50 个 每个大桶可装油 4 千克 每个小桶可装油 2 千克 大桶比小桶共多 装油 20 千克 问大小桶各多少个 24 有两桶油共重 86 千克 假如从甲桶油倒入乙桶 4 千克 则两桶油的重量相同 这两桶油 各有多少千克 25 瓷器商店委托搬运站运送 800 只花瓶 双方商定每只运费是 0 35 元 如果打破 1 只 不 但不计运费 而且要赔偿 2 50 元 结果运到目的地后 搬运站共得运费 268 6 元 求打破了几只花 瓶 26 学校举行运动会 三年级有 35 人参加比赛 四年级参加的人数是三年级的 3 倍 五年级 参加的人数比三 四年级参加的总人数多 10 人 五年级参加比赛的有多少人 27 蓝墨水和红墨水 以前都是 3 角钱一瓶 王营小学每学期都花 12 元买若干瓶 现在每瓶 蓝墨水涨价 5 分 每瓶红墨水涨价 3 分 虽然买的两种墨水瓶数还和各学期相等 但比每学期都多 付 1 8 元 该校每学期买两种墨水各多少瓶 28 大院里养了三种动物 每只小山羊戴着 3 个铃铛 每只狮子狗戴着一个铃铛 大白鹅不戴 铃铛 小明数了数 一共 9 个脑袋 28 条腿 11 个铃铛 三种动物各有多少只 29 小毛参加数学竞赛 共做 20 道题 得 64 分 已知做对一道得 5 分 不做得 0 分 错一题 扣 2 分 又知道他做错的题和没做的一样多 问小毛做对几道题 30 赵传伦把一张 50 元和一张 5 元的人民币 兑换成了两元和 5 角的人民币共 50 张 他兑换 了两种面额的人民币各多少张 31 幼儿园买来 20 张小桌和 30 张小凳共用去 1860 元 已知每张小桌比小凳贵 8 元 问小桌 小凳的价格各多少 32 动物园饲养的食肉动物分大型动物和小型动物两类 规定老虎 狮子一类的大动物每次喂 肉每头三斤 狐狸 山猫一类小动物每三头喂一斤 该动物园共有这两类动物 100 头 每次需喂肉 100 斤 问大 小动物各多少 6 33 小张的存钱盒里有 2 角 5 角和 1 元人民币 20 张 共 12 元 算一算三种面值的人民币各 有多少张 34 鸡 兔共笼 鸡比兔多 26 只 足数共 274 只 问鸡 兔各几只 35 某电视机厂每天生产电视 500 台 在质量评比中 每生产一台合格电视机记 5 分 每生产 一台不合格电视机扣 18 分 如果四天得了 9931 分 那么这四天生产了多少台合格电视机 36 六年二班全体同学 植树节那天共栽树 180 棵 平均每个男生栽 5 棵 每个女生栽 3 棵 又知女生比男生多 4 人 该班男生和女生各多少人 37 崔文符进山打猎 平均 5 枪打死两只兔子 9 枪打死 6 只野鸡 他共放了 25 枪 获得猎物 14 只 两种动物各打死了几只 鸡兔同笼应用题体详解 四个阶段 鸡兔同笼问题 1 基础级 1 鸡兔同笼 鸡兔共 35 个头 94 条腿 问鸡 兔各多少只 2 鸡兔同笼 头共 20 个 足共 62 只 求鸡与兔各有多少只 3 在一个停车场上 停了汽车和摩托车一共 32 辆 其中汽车有 4 个轮子 摩托车有 3 个轮子 这些车一共有 108 个轮子 求汽车和摩托车各有多少辆 4 小华买了 2 元和 5 元纪念邮票一共 34 张 用去 98 元钱 求小华买了 2 元和 5 元的纪念邮票 各多少张 5 全班 46 人去划船 共乘 12 只船 其中大船每只坐 5 人 小船每只坐 3 人 求大船和小船各 有多少只 6 张大妈养鸡兔共 200 只 鸡兔足数共 560 只 求鸡兔各有多少只 7 7 小刚买回 8 角分邮票和 4 角分邮票共 100 张 共付出 68 元 问 小刚买回这两种邮票个多 少张 各付出多少元 8 在一个停车场内 汽车 摩托车共停了 48 辆 其中每辆汽车有 4 个轮子 每辆摩托车有 3 个轮子 这些车共有 172 个轮子 停车场内有汽车 摩托车各多少辆 9 体育老师买了运动服上衣和裤子共 21 件 共用了 439 元 其中上衣每件 24 元 裤子每件 19 元 问老师买上衣和裤子各多少件 10 松鼠妈妈采松子 晴天每天采 20 个 雨天每天可采 12 个 它一连采了 112 个 平均每天采 14 个 这几天中有几天是雨天 11 白兔妈妈采蘑菇 晴天每天可采 24 个 雨天每天可采 16 个 它一连几天采了 168 个蘑菇 平均每天采 21 个 求晴天时一共采了多少个蘑菇 12 小王买了甲 乙两种电影票共 20 张 两种电影票的平均票价为每张 26 元 而甲种电影票 实际票价为每张 30 元 乙种电影票实际票价为每张 20 元 求两种电影票各买了多少张 鸡兔同笼问题 2 提高级 1 鸡兔同笼 鸡比兔多 15 只 鸡兔共有脚 132 只 问鸡兔各多少只 2 鸡兔同笼 鸡兔共 40 个头 鸡脚比兔脚共多 32 只 问鸡兔各多少只 3 鸡兔同笼 鸡比兔多 10 只 但鸡脚却比兔子少 60 只 问鸡兔各多少只 4 鸡兔同笼 鸡比兔多 10 只 鸡脚比兔脚多 10 只 问鸡兔各多少只 5 张大妈家养的鸡比兔多 13 只 兔足比鸡足少 16 只 求鸡兔各有多少只 6 鹤龟同池 鹤比龟多 12 只 鹤龟足共 72 只 求鹤龟各有多少只 7 鸡与兔共有 110 个头 但鸡的脚比兔的脚少 20 只 求鸡兔各有多少头 8 8 鸡与兔共有 110 只脚 但鸡的头数比兔的少 20 个 求鸡兔各有多少头 9 东湖小学六年级举行数学竞赛 共 20 道试题 做对一题得 5 分 没有做一题或做错一题倒扣 3 分 刘刚得了 60 分 则他做对了几题 鸡兔同笼问题 3 难题级 1 蜘蛛有 8 条腿 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀 蝉有 6 条腿和 1 对翅膀 现在这三种小虫 16 只 共有 110 条腿和 14 对翅膀 问 每种昆虫各几只 2 螃蟹有 10 条腿 螳螂有 6 条腿和 1 对翅膀 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀 现在这三种动物 37 只 共有 250 条腿和 52 对翅膀 每种动物各有多少只 3 有蜘蛛 蜻蜓 蝉三种动物共 18 只 共有腿 118 条 翅膀 20 对 蜘蛛 8 条腿 蜻蜓 6 条腿 2 对 翅膀 蝉 6 条腿 1 对翅膀 三种动物各几只 4 小东妈妈从单位领回奖金 380 元 其中有 2 元 5 元 10 元人民币共 80 张 且 5 元和 10 元 的张数相等 试问 这三种人民币各有多少张 5 甲 乙 丙三种练习本每本价钱分别为 7 角 3 角 2 角 三种练习本一共卖了 47 本 付了 21 元 2 角 买的乙种练习本的本数是丙种练习本本数的 2 倍 就三种练习本各买了多少本 6 某校购买了大 中 小 3 种型号的投影仪共 47 台 他们的单价分别是 700 元 300 元 200 元 共支出 21200 元 已知中型投影仪的台数为小型投影仪台数的 2 倍 问购买了多少台大型投影 仪 7 有一元 五元和十元的人民币共 14 张 共计 66 元 其中一元的张数比十元的多 2 张 问三 种人民币各多少张 8 买一些 4 分和 8 分的邮票 共花 6 元 8 角 已知 8 分的邮票比 4 分的邮票多 40 张 那么两种 邮票各买了多少张 9 9 食品店上午卖出甲 乙 丙三种糖果共 100 千克 共收入 2570 元 甲种糖 20 元 每千克 乙种糖 25 元 每千克 丙种糖 30 元 每千克 已知卖出的乙种糖和丙种糖共收入 1970 元 求丙 种糖卖出了多少千克 10 买来 3 角 5 角 7 角的邮票共 400 张 共用去 192 元 其中 7 角的和 5 角的邮票张数相等 求每种邮票各多少张 11 学校组织新年晚会 买了奖品铅笔 圆珠笔和钢笔共 232 支 共花 100 元 其中铅笔的支 数是圆珠笔支数的 4 倍 已知铅笔每支 2 角钱 圆珠笔每支 9 角 钢笔每支 2 元 1 角 问 三种笔 各有多少支 12 学校组织新年晚会 买了奖品铅笔 圆珠笔和钢笔共 232 支 共花 300 元 其中铅笔的支 数是圆珠笔支数的 4 倍 已知铅笔每支 6 角钱 圆珠笔每支 2 元 7 角 钢笔每支 6 元 3 角 问 三 种笔各有多少支 鸡兔同笼问题 4 超难级 1 小华有 1 分 2 分 5 分的硬币共 38 枚 合计 9 角 2 分 已知 1 分与 2 分的硬币的枚数相等 这三种硬币各有多少枚 2 100 个馒头 100 个和尚吃 大和尚每人吃 3 个 小和尚 3 人吃一个 则大和尚有多少个 小和尚 有多少个 3 100 个馒头 100 个和尚吃 大和尚每人吃 4 个 小和尚 4 人吃一个 则大和尚有多少个 小和尚 有多少个 4 大油瓶一瓶装 4 千克 小油瓶两瓶装 1 千克 现在 100 千克油装了 60 个瓶 求大 小油瓶 各有多少个 5 在很久很久以前 传说有九头一尾的九头鸟和九尾一头的九尾鸟 有一次这两种鸟栖息在树 林里 一位猎人经过此地数了数 这两种鸟头共 268 个 尾 332 个 那么有九头鸟和九尾鸟各多少 只 10 6 某校数学竞赛 共有 20 道填空题 评分标准是 每做对 1 题得 5 分 做错 1 题倒扣 3 分 没做的一题得 0 分 小英的得分是 69 分 那么小英有几题没做 7 某校数学竞赛 共有 20 道填空题 评分标准是 每做对 1 题得 5 分 做错 1 题倒扣 3 分 没做的一题得 0 分 小英的得分是 72 分 那么小英有几题没做 8 某次数学抢答比赛共 20 题 做对一题得 5 分 做错一题倒扣 2 分 不做倒扣 1 分 小华得了 74 分 问他做对几题 答错几题 没答的有几题 9 一件工程甲独做 12 天完成 乙独做 18 天完成 现在由甲先做若干天后 再由乙单独完成余下 的任务 这样前后共用了 16 天 甲先做了多少天 10 一份稿件 甲单独打字需 6 小时完成 乙单独打字需 10 小时完成 现在甲单独打若干小时 后 因有事由乙接着打完 共用了 7 小时 甲打字用了多少小时 11 鸡兔共有脚 100 只 若将鸡换成兔 兔换成鸡 则共有脚 92 只 则鸡兔各有多少只 12 鸡与兔共有 220 只脚 若原来所有的鸡都换成兔 所有的兔都换成鸡后 则脚只有 212 只 求原来鸡兔各有多少头 例 3 一份稿件 甲单独打字需 6 小时完成 乙单独打字需 10 小时完成 现在甲单独打若干小时后 因 有事由乙接着打完 共用了 7 小时 甲打字用了多少小时 解 我们把这份稿件平均分成 30 份 30 是 6 和 10 的最小公倍数 甲每小时打 30 6 5 份 乙每小时 打 30 10 3 份 现在把甲打字的时间看成 兔 头数 乙打字的时间看成 鸡 头数 总头数是 7 兔 的脚数是 5 鸡 的 脚数是 3 总脚数是 30 就把问题转化成 鸡兔同笼 问题了 根据前面的公式 兔 数 30 3 7 5 3 4 5 鸡 数 7 4 5 2 5 11 也就是甲打字用了 4 5 小时 乙打字用了 2 5 小时 答 甲打字用了 4 小时 30 分 例 13 学校组织新年游艺晚会 用于奖品的铅笔 圆珠笔和钢笔共 232 支 共花了 300 元 其中铅笔数 量是圆珠笔的 4 倍 已知铅笔每支 0 60 元 圆珠笔每支 2 7 元 钢笔每支 6 3 元 问三种笔各有 多少支 解 从条件 铅笔数量是圆珠笔的 4 倍 这两种笔可并成一种笔 四支铅笔和一支圆珠笔成一组 这 一组的笔 每支价格算作 0 60 4 2 7 5 1 02 元 现在转化成价格为 1 02 和 6 3 两种笔 用 鸡兔同笼 公式可算出 钢笔支数是 300 1 02 232 6 3 1 02 12 支 铅笔和圆珠笔共 232 12 220 支 其中圆珠笔 220 4 1 44 支 铅笔 220 44 176 支 答 其中钢笔 12 支 圆珠笔 44 支 铅笔 176 支 例 14 商店出售大 中 小气球 大球每个 3 元 中球每个 1 5 元 小球每个 1 元 张老师用 120 元共买 了 55 个球 其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多 问每种球各买几个 解 因为总钱数是整数 大 小球的价钱也都是整数 所以买中球的钱数是整数 而且还是 3 的整数倍 我们设想买中球 小球钱中各出 3 元 就可买 2 个中球 3 个小球 因此 可以把这两种球看作一种 每 个价钱是 1 5 2 1 3 2 3 1 2 元 从公式可算出 大球个数是 120 1 2 55 3 1 2 30 个 买中 小球钱数各是 120 30 3 2 15 元 可买 10 个中球 15 个小球 12 答 买大球 30 个 中球 10 个 小球 15 个 例 13 是从两种东西的个数之间倍数关系 例 14 是从两种东西的总钱数之间相等关系 倍数关系也可 用类似方法 把两种东西合井成一种考虑 实质上都是求两种东西的平均价 就把 三 转化成 二 了 典型应用题之鸡兔同笼 一 基本问题 鸡兔同笼 是一类有名的中国古算题 最早出现在 孙子算经 中 许多小学算术应用题都可以转化 成这类问题 或者用解它的典型解法 假设法 来求解 因此很有必要学会它的解法和思路 例 1 有若干只鸡和兔子 它们共有 88 个头 244 只脚 鸡和兔各有多少只 解 我们设想 每只鸡都是 金鸡独立 一只脚站着 而每只兔子都用两条后腿 像人一样用两只脚站着 现 在 地面上出现脚的总数的一半 也就是 244 2 122 只 在 122 这个数里 鸡的头数算了一次 兔子的头数相当于算了两次 因此从 122 减去总头数 88 剩下的 就是兔子头数 122 88 34 有 34 只兔子 当然鸡就有 54 只 答 有兔子 34 只 鸡 54 只 上面的计算 可以归结为下面算式 总脚数 2 总头数 兔子数 上面的解法是 孙子算经 中记载的 做一次除法和一次减法 马上能求出兔子数 多简单 能够这样 算 主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和 2 4 又是 2 的 2 倍 可是 当其他问题转化成这类问题时 脚 数 就不一定是 4 和 2 上面的计算方法就行不通 因此 我们对这类问题给出一种一般解法 还说例 1 如果设想 88 只都是兔子 那么就有 4 88 只脚 比 244 只脚多了 88 4 244 108 只 每只鸡比兔子少 4 2 只脚 所以共有鸡 88 4 244 4 2 54 只 说明我们设想的 88 只 兔子 中 有 54 只不是兔子 而是鸡 因此可以列出公式 鸡数 兔脚数 总头数 总脚数 兔脚数 鸡脚数 13 当然 我们也可以设想 88 只都是 鸡 那么共有脚 2 88 176 只 比 244 只脚少了 244 176 68 只 每只鸡比每只兔子少 4 2 只脚 68 2 34 只 说明设想中的 鸡 有 34 只是兔子 也可以列出公式 兔数 总脚数 鸡脚数 总头数 兔脚数 鸡脚数 上面两个公式不必都用 用其中一个算出兔数或鸡数 再用总头数去减 就知道另一个数 假设全是鸡 或者全是兔 通常用这样的思路求解 有人称为 假设法 现在 拿一个具体问题来试试上面的公式 例 2 红铅笔每支 0 19 元 蓝铅笔每支 0 11 元 两种铅笔共买了 16 支 花了 2 80 元 问红 蓝铅笔各 买几支 解 以 分 作为钱的单位 我们设想 一种 鸡 有 11 只脚 一种 兔子 有 19 只脚 它们共有 16 个头 280 只脚 现在已经把买铅笔问题 转化成 鸡兔同笼 问题了 利用上面算兔数公式 就有 蓝笔数 19 16 280 19 11 24 8 3 支 红笔数 16 3 13 支 答 买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔 对于这类问题的计算 常常可以利用已知脚数的特殊性 例 2 中的 脚数 19 与 11 之和是 30 我们也可 以设想 16 只中 8 只是 兔子 8 只是 鸡 根据这一设想 脚数是 8 11 19 240 比 280 少 40 40 19 11 5 就知道设想中的 8 只 鸡 应少 5 只 也就是 鸡 蓝铅笔 数是 3 30 8 比 19 16 或 11 16 要容易计算些 利用已知数的特殊性 靠心算来完成计算 实际上 可以任意设想一个方便的兔数或鸡数 例如 设想 16 只中 兔数 为 10 鸡数 为 6 就有脚数 19 10 11 6 256 14 比 280 少 24 24 19 11 3 就知道设想 6 只 鸡 要少 3 只 要使设想的数 能给计算带来方便 常常取决于你的心算本领 下面再举四个稍有难度的例子 例 3 一份稿件 甲单独打字需 6 小时完成 乙单独打字需 10 小时完成 现在甲单独打若干小时后 因 有事由乙接着打完 共用了 7 小时 甲打字用了多少小时 解 我们把这份稿件平均分成 30 份 30 是 6 和 10 的最小公倍数 甲每小时打 30 6 5 份 乙每小时 打 30 10 3 份 现在把甲打字的时间看成 兔 头数 乙打字的时间看成 鸡 头数 总头数是 7 兔 的脚数是 5 鸡 的 脚数是 3 总脚数是 30 就把问题转化成 鸡兔同笼 问题了 根据前面的公式 兔 数 30 3 7 5 3 4 5 鸡 数 7 4 5 2 5 也就是甲打字用了 4 5 小时 乙打字用了 2 5 小时 答 甲打字用了 4 小时 30 分 例 4 今年是 1998 年 父母年龄 整数 和是 78 岁 兄弟的年龄和是 17 岁 四年后 2002 年 父的年龄是 弟的年龄的 4 倍 母的年龄是兄的年龄的 3 倍 那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时 是公元哪一年 解 4 年后 两人年龄和都要加 8 此时兄弟年龄之和是 17 8 25 父母年龄之和是 78 8 86 我们可以把 兄的年龄看作 鸡 头数 弟的年龄看作 兔 头数 25 是 总头数 86 是 总脚数 根据公式 兄的年龄 是 25 4 86 4 3 14 岁 1998 年 兄年龄是 14 4 10 岁 父年龄是 25 14 4 4 40 岁 15 因此 当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时 兄的年龄是 40 10 3 1 15 岁 这是 2003 年 答 公元 2003 年时 父年龄是兄年龄的 3 倍 例 5 蜘蛛有 8 条腿 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀 蝉有 6 条腿和 1 对翅膀 现在这三种小虫共 18 只 有 118 条腿和 20 对翅膀 每种小虫各几只 解 因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿 所以从腿的数目来考虑 可以把小虫分成 8 条腿 与 6 条腿 两种 利用 公式就可以算出 8 条腿的 蜘蛛数 118 6 18 8 6 5 只 因此就知道 6 条腿的小虫共 18 5 13 只 也就是蜻蜓和蝉共有 13 只 它们共有 20 对翅膀 再利用一次公式 蝉数 13 2 20 2 1 6 只 因此蜻蜓数是 13 6 7 只 答 有 5 只蜘蛛 7 只蜻蜓 6 只蝉 例 6 某次数学考试考五道题 全班 52 人参加 共做对 181 道题 已知每人至少做对 1 道题 做对 1 道 的有 7 人 5 道全对的有 6 人 做对 2 道和 3 道的人数一样多 那么做对 4 道的人数有多少人 解 对 2 道 3 道 4 道题的人共有 52 7 6 39 人 他们共做对 181 1 7 5 6 144 道 由于对 2 道和 3 道题的人数一样多 我们就可以把他们看作是对 2 5 道题的人 2 3 2 2 5 这样 兔脚数 4 鸡脚数 2 5 总脚数 144 总头数 39 对 4 道题的有 144 2 5 39 4 1 5 31 人 答 做对 4 道题的有 31 人 16 习题一 1 龟鹤共有 100 个头 350 只脚 龟 鹤各多少只 2 学校有象棋 跳棋共 26 副 恰好可供 120 个学生同时进行活动 象棋 2 人下一副棋 跳棋 6 人下一副 象 棋和跳棋各有几副 3 一些 2 分和 5 分的硬币 共值 2 99 元 其中 2 分硬币个数是 5 分硬币个数的 4 倍 问 5 分硬币有多 少个 4 某人领得工资 240 元 有 2 元 5 元 10 元三种人民币 共 50 张 其中 2 元与 5 元的张数一样多 那么 2 元 5 元 10 元各有多少张 5 一件工程 甲单独做 12 天完成 乙单独做 18 天完成 现在甲做了若干天后 再由乙接着单独做完余 下的部分 这样前后共用了 16 天 甲先做了多少天 6 摩托车赛全程长 281 千米 全程被划分成若干个阶段 每一阶段中 有的是由一段上坡路 3 千米 一段平路 4 千米 一段下坡路 2 千米 和一段平路 4 千米 组成的 有的是由一段上坡路 3 千米 一 段下坡路 2 千米 和一段平路 4 千米 组成的 已知摩托车跑完全程后 共跑了 25 段上坡路 全程中包 含这两种阶段各几段 7 用 1 元钱买 4 分 8 分 1 角的邮票共 15 张 问最多可以买 1 角的邮票多少张 二 两数之差 的问题 鸡兔同笼中的总头数是 两数之和 如果把条件换成 两数之差 又应该怎样去解呢 例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票 共花 6 元 8 角 已知 8 分的邮票比 4 分的邮票多 40 张 那么两种邮票 各买了多少张 解一 如果拿出 40 张 8 分的邮票 余下的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样多 680 8 40 8 4 30 张 这就知道 余下的邮票中 8 分和 4 分的各有 30 张 因此 8 分邮票有 40 30 70 张 答 买了 8 分的邮票 70 张 4 分的邮票 30 张 也可以用任意假设一个数的办法 解二 譬如 假设有 20 张 4 分 根据条件 8 分比 4 分多 40 张 那么应有 60 张 8 分 以 分 作为计算 单位 此时邮票总值是 17 4 20 8 60 560 比 680 少 因此还要增加邮票 为了保持 差 是 40 每增加 1 张 4 分 就要增加 1 张 8 分 每种要增加 的张数是 680 4 20 8 60 4 8 10 张 因此 4 分有 20 10 30 张 8 分有 60 10 70 张 例 8 一项工程 如果全是晴天 15 天可以完成 倘若下雨 雨天一天 工程要多少天才能完成 解 类似于例 3 我们设工程的全部工作量是 150 份 晴天每天完成 10 份 雨天每天完成 8 份 用上一 例题解一的方法 晴天有 150 8 3 10 8 7 天 雨天是 7 3 10 天 总共 7 10 17 天 答 这项工程 17 天完成 请注意 如果把 雨天比晴天多 3 天 去掉 而换成已知工程是 17 天完成 由此又回到上一节的问题 差 是 3 与和是 17 知道其一 就能推算出另一个 这说明了例 7 例 8 与上一节基本问题之间的关系 总脚数是 两数之和 如果把条件换成 两数之差 又应该怎样去解呢 例 9 鸡与兔共 100 只 鸡的脚数比兔的脚数少 28 问鸡与兔各几只 解一 假如再补上 28 只鸡脚 也就是再有鸡 28 2 14 只 鸡与兔脚数就相等 兔的脚是鸡的脚 4 2 2 倍 于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍 兔的只数是 100 28 2 2 1 38 只 鸡是 100 38 62 只 答 鸡 62 只 兔 38 只 当然也可以去掉兔 28 4 7 只 兔的只数是 100 28 4 2 1 7 38 只 也可以用任意假设一个数的办法 解二 假设有 50 只鸡 就有兔 100 50 50 只 此时脚数之差是 4 50 2 50 100 18 比 28 多了 72 就说明假设的兔数多了 鸡数少了 为了保持总数是 100 一只兔换成一只鸡 少了 4 只 兔脚 多了 2 只鸡脚 相差为 6 只 千万注意 不是 2 因此要减少的兔数是 100 28 4 2 12 只 兔只数是 50 12 38 只 另外 还存在下面这样的问题 总头数换成 两数之差 总脚数也换成 两数之差 例 10 古诗中 五言绝句是四句诗 每句都是五个字 七言绝句是四句诗 每句都是七个字 有一诗选集 其 中五言绝句比七言绝句多 13 首 总字数却反而少了 20 个字 问两种诗各多少首 解一 如果去掉 13 首五言绝句 两种诗首数就相等 此时字数相差 13 5 4 20 280 字 每首字数相差 7 4 5 4 8 字 因此 七言绝句有 28 28 20 35 首 五言绝句有 35 13 48 首 答 五言绝句 48 首 七言绝句 35 首 解二 假设五言绝句是 23 首 那么根据相差 13 首 七言绝句是 10 首 字数分别是 20 23 460 字 28 10 280 字 五言绝句的字数 反而多了 460 280 180 字 与题目中 少 20 字 相差 180 20 200 字 说明假设诗的首数少了 为了保持相差 13 首 增加一首五言绝句 也要增一首七言绝句 而字数相差增 加 8 因此五言绝句的首数要比假设增加 200 8 25 首 五言绝句有 23 25 48 首 七言绝句有 19 10 25 35 首 在写出 鸡兔同笼 公式的时候 我们假设都是兔 或者都是鸡 对于例 7 例 9 和例 10 三个问题 当然 也可以这样假设 现在来具体做一下 把列出的计算式子与 鸡兔同笼 公式对照一下 就会发现非常有 趣的事 例 7 假设都是 8 分邮票 4 分邮票张数是 680 8 40 8 4 30 张 例 9 假设都是兔 鸡的只数是 100 4 28 4 2 62 只 10 假设都是五言绝句 七言绝句的首数是 20 13 20 28 20 35 首 首先 请读者先弄明白上面三个算式的由来 然后与 鸡兔同笼 公式比较 这三个算式只是有一处 成了 其奥妙何在呢 当你进入初中 有了负数的概念 并会列二元一次方程组 就会明白 从数学上说 这一讲前两节列举的 所有例子都是同一件事 例 11 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶 运费按到达时完好的瓶子数目计算 每只 2 角 如有破损 破损 瓶子不给运费 还要每只赔偿 1 元 结果得到运费 379 6 元 问这次搬运中玻璃瓶破损了几只 解 如果没有破损 运费应是 400 元 但破损一只要减少 1 0 2 1 2 元 因此破损只数是 400 379 6 1 0 2 17 只 答 这次搬运中破损了 17 只玻璃瓶 请你想一想 这是 鸡兔同笼 同一类型的问题吗 例 12 有两次自然测验 第一次 24 道题 答对 1 题得 5 分 答错 包含不答 1 题倒扣 1 分 第二次 15 道 题 答对 1 题 8 分 答错或不答 1 题倒扣 2 分 小明两次测验共答对 30 道题 但第一次测验得分比第二 次测验得分多 10 分 问小明两次测验各得多少分 解一 如果小明第一次测验 24 题全对 得 5 24 120 分 那么第二次只做对 30 24 6 题 得分是 8 6 2 15 6 30 分 两次相差 120 30 90 分 20 比题目中条件相差 10 分 多了 80 分 说明假设的第一次答对题数多了 要减少 第一次答对减少一题 少得 5 1 6 分 而第二次答对增加一题不但不倒扣 2 分 还可得 8 分 因此增加 8 2 10 分 两者两差 数就可减少 6 10 16 分 90 10 6 10 5 题 因此 第一次答对题数要比假设 全对 减少 5 题 也就是第一次答对 19 题 第二次答对 30 19 11 题 第一次得分 5 19 1 24 9 90 第二次得分 8 11 2 15 11 80 答 第一次得 90 分 第二次得 80 分 解二 答对 30 题 也就是两次共答错 24 15 30 9 题 第一次答错一题 要从满分中扣去 5 1 6 分 第二次答错一题 要从满分中扣去 8 2 10 分 答错题 互换一下 两次得分要相差 6 10 16 分 如果答错 9 题都是第一次 要从满分中扣去 6 9 但两次满分都是 120 分 比题目中条件 第一次得分 多 10 分 要少了 6 9 10 因此 第二次答错题数是 6 9 10 6 10 4 题 第一次答错 9 4 5 题 第一次得分 5 24 5 1 5 90 分 第二次得分 8 15 4 2 4 80 分 习题二 1 买语文书 30 本 数学书 24 本共花 83 4 元 每本语文书比每本数学书贵 0 44 元 每本语文书和数学 书的价格各是多少 2 甲茶叶每千克 132 元 乙茶叶每千克 96 元 共买这两种茶叶 12 千克 甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花 钱少 354 元 问每种茶叶各买多少千克 3 一辆卡车运矿石 晴天每天可运 16 次 雨天每天只能运 11 次 一连运了若干天 有晴天 也有雨天 其中雨天比晴天多 3 天 但运的次数却比晴天运的次数少 27 次 问一连运了多少天 21 4 某次数学测验共 20 道题 做对一题得 5 分 做错一题倒扣 1 分 不做得 0 分 小华得了 76 分 问小华 做对了几道题 5 甲 乙二人射击 若命中 甲得 4 分 乙得 5 分 若不中 甲失 2 分 乙失 3 分 每人各射 10 发 共命中 14 发 结算分数时 甲比乙多 10 分 问甲 乙各中几发 6 甲 乙两地相距 12 千米 小张从甲地到乙地 在停留半小时后 又从乙地返回甲地 小王从乙地到甲 地 在甲地停留 40 分钟后 又从甲地返回乙地 已知两人同时分别从甲 乙两地出发 经过 4 小时后 他 们在返回的途中相遇 如果小张速度比小王速度每小时多走 1 5 千米 求两人的速度 三 从 三 到 二 鸡 和 兔 是两种东西 实际上还有三种或者更多种东西的类似问题 在第一节例 5 和例 6 就都有三 种东西 从这两个例子的解法 也可以看出 要把 三种 转化成 二种 来考虑 这一节要通过一些例题 告诉大家两类转化的方法 例 13 学校组织新年游艺晚会 用于奖品的铅笔 圆珠笔和钢笔共 232 支 共花了 300 元 其中铅笔数 量是圆珠笔的 4 倍 已知铅笔每支 0 60 元 圆珠笔每支 2 7 元 钢笔每支 6 3 元 问三种笔各有多少支 解 从条件 铅笔数量是圆珠笔的 4 倍 这两种笔可并成一种笔 四支铅笔和一支圆珠笔成一组 这一 组的笔 每支价格算作 0 60 4 2 7 5 1 02 元 现在转化成价格为 1 02 和 6 3 两种笔 用 鸡兔同笼 公式可算出 钢笔支数是 300 1 02 232 6 3 1 02 12 支 铅笔和圆珠笔共 232 12 220 支 其中圆珠笔 220 4 1 44 支 铅笔 220 44 176 支 答 其中钢笔 12 支 圆珠笔 44 支 铅笔 176 支 例 14 商店出售大 中 小气球 大球每个 3 元 中球每个 1 5 元 小球每个 1 元 张老师用 120 元共买 了 55 个球 其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多 问每种球各买几个 22 解 因为总钱数是整数 大 小球的价钱也都是整数 所以买中球的钱数是整数 而且还是 3 的整数倍 我们设想买中球 小球钱中各出 3 元 就可买 2 个中球 3 个小球 因此 可以把这两种球看作一种 每 个价钱是 1 5 2 1 3 2 3 1 2 元 从公式可算出 大球个数是 120 1 2 55 3 1 2 30 个 买中 小球钱数各是 120 30 3 2 15 元 可买 10 个中球 15 个小球 答 买大球 30 个 中球 10 个 小球 15 个 例 13 是从两种东西的个数之间倍数关系 例 14 是从两种东西的总钱数之间相等关系 倍数关系也可 用类似方法 把两种东西合井成一种考虑 实质上都是求两种东西的平均价 就把 三 转化成 二 了 例 15 是为例 16 作准备 例 15 某人去时上坡速度为每小时走 3 千米 回来时下坡速度为每小时走 6 千米 求他的平均速度是 多少 解 去和回来走的距离一样多 这是我们考虑问题的前提 平均速度 所行距离 所用时间 去时走 1 千米 要用 20 分钟 回来时走 1 千米 要用 10 分钟 来回共走 2 千米 用了 30 分钟 即半小时 平 均速度是每小时走 4 千米 千万注意 平均速度不是两个速度的平均值 每小时走 6 3 2 4 5 千米 例 16 从甲地至乙地全长 45 千米 有上坡路 平路 下坡路 李强上坡速度是每小时 3 千米 平路上速 度是每小时 5 千米 下坡速度是每小时 6 千米 从甲地到乙地 李强行走了 10 小时 从乙地到甲地 李 强行走了 11 小时 问从甲地到乙地 各种路段分别是多少千米 解 把来回路程 45 2 90 千米 算作全程 去时上坡 回来是下坡 去时下坡回来时上坡 把上坡和下 坡合并成 一种 路程 根据例 15 平均速度是每小时 4 千米 现在形成一个非常简单的 鸡兔同笼 问 题 头数 10 11 21 总脚数 90 鸡 兔脚数分别是 4 和 5 因此平路所用时间是 90 4 21 5 4 6 小时 单程平路行走时间是 6 2 3 小时 23 从甲地至乙地 上坡和下坡用了 10 3 7 小时 行走路程是 45 5 3 30 千米 又是一个 鸡兔同笼 问题 从甲地至乙地 上坡行走的时间是 6 7 30 6 3 4 小时 行走路程是 3 4 12 千米 下坡行走的时间是 7 4 3 小时 行走路程是 6 3 18 千米 答 从甲地至乙地 上坡 12 千米 平路 15 千米 下坡 18 千米 做两次 鸡兔同笼 的解法 也可以叫 两重鸡兔同笼问题 例 16 是非常典型的例题 例 17 某种考试已举行了 24 次 共出了 426 题 每次出的题数 有 25 题 或者 16 题 或者 20 题 那么 其中考 25 题的有多少次 解 如果每次都考 16 题 16 24 384 比 426 少 42 道题 每次考 25 道题 就要多 25 16 9 道 每次考 20 道题 就要多 20 16 4 道 就有 9 考 25 题的次数 4 考 20 题的次数 42 请注意 4 和 42 都是偶数 9 考 25 题次数也必须是偶数 因此 考 25 题的次数是偶数 由 9 6 54 比 42 大 考 25 题的次数 只能是 0 2 4 这三个数 由于 42 不能被 4 整除 0 和 4 都不合适 只能是考 25 题有 2 次 考 20 题有 6 次 答 其中考 25 题有 2 次 例 18 有 50 位同学前往参观 乘电车前往每人 1 2 元 乘小巴前往每人 4 元 乘地下铁路前往每人 6 元 这些同学共用了车费 110 元 问其中乘小巴的同学有多少位 解 由于总钱数 110 元是整数 小巴和地铁票也都是整数 因此乘电车前往的人数一定是 5 的整数倍 如果有 30 人乘电车 110 1 2 30 74 元 还余下 50 30 20 人 都乘小巴钱也不够 说明假设的乘电车人数少了 如果有 40 人乘电车 110 1 2 40 62 元 24 还余下 50 40 10 人 都乘地下铁路前往 钱还有多 62 6 10 说明假设的乘电车人数又多了 30 至 40 之间 只有 35 是 5 的整数倍 现在又可以转化成 鸡兔同笼 了 总头数 50 35 15 总脚数 110 1 2 35 68 因此 乘小巴前往的人数是 6 15 68 6 4 11 答 乘小巴前往的同学有 11 位 在 三 转化为 二 时 例 13 例 14 例 16 是一种类型 利用题目中数量比例关系 把两种东西合并组成 一种 例 17 例 18 是另一种类型 充分利用所求个数是整数 以及总量的限制 其中某一个数只能是几 个数值 对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件 确定了一个个数 也就变成 二 的问题了 在小学 算术的范围内 学习这两种类型已足够了 更复杂的问题 只能借助中学的三元一次方程组等代数方法 去求解 习题三 1 有 100 枚硬币 把其中 2 分硬币全换成等值的 5 分硬币 硬币总数变成 79 个 然后又把其中的 1 分 硬币换成等值的 5 分硬币 硬币总数变成 63 个 求原有 2 分及 5 分硬币共值多少钱 2 京剧公演 共出售 750 张票得 22200 元 甲票每张 60 元 乙票每张 30 元 丙票每张 18 元 其中丙票 张数是乙票张数的 2 倍 问其中甲票有多少张 3 小明参加数学竞赛 共做 20 题得 67 分 已知做一题得 5 分 不答得 2 分 做错一题倒扣 3 分 又知道 他做错的题和没答的题一样多 问小明共做对几题 4 1 分 2 分和 5 分硬币共 100 枚 价值 2 元 如果其中 2 分硬币的价值比 1 分硬币的价值多 13 分 问 三种硬币各多少枚 注 此题没有学过分数运算的同学可以不做 5 甲地与乙地相距 24 千米 某人从甲地到乙地往返行走 上坡速度每小时 4 千米 走平路速度每小时 5 千米 下坡速度每小时 6 千米 去时行走了 4 小时 50 分 回来时用了 5 小时 问从甲地到乙地 上坡 平路 下坡各多少千米 6 某学校有 12 间宿舍 住着 80 个学生 宿舍的大小有三种 大的住 8 个学生 不大不小的住 7 个学生 小的住 5 人 其中不大不小的宿舍最多 问这样的宿舍有几间 25 测验题 1 松鼠妈妈采松籽 晴天每天可以采 20 个 雨天每天只能采 12 个 它一连几天采了 112 个松籽 平均 每天采 14 个 问这几天当中有几天有雨 2 有一水池 只打开甲水龙头要 24 分钟注满水池 只打开乙水龙头要 36 分钟才注满水池 现在先打开 甲水龙头几分钟 然后关掉甲 打开乙水龙头把水池注满 已知乙水龙头比甲水龙头多开 26 分钟 问注 满水池总共用了多少分钟 3 某工程甲队独做 50 天可以完成 乙队独做 75 天可以完成