人教版初中数学基础知识史上最全归纳

七年级七年级 第一章第一章 有理数有理数 1 有理数 整数和分数统称为有理数整数和分数统称为有理数 有理数包括有限小数或无限循环小数 整数 正整数 0 负整数 分数 正分数 负分数 2 数轴 1 四要素 直线 原点 正方向 单位长度四要素 直线 原点 正方向 单位长度 2 正数在原点的右边 负数在原点的 左边 数轴上右边的数总大于左边的数 3 相反数 只有符号相同只有符号相同的两个数叫做互为相反数 1 如果 a b 互为相反数 那么 a b 0a b 0 2 互为相反数的两数位于数轴上原点的两侧 且到原点的距离相等到原点的距离相等 4 绝对值 表示数 a 的点与原点的距离点与原点的距离叫数 a 的绝对值 1 正数的绝对值是它本身 负数的绝对正数的绝对值是它本身 负数的绝对 值是它的相反数 值是它的相反数 0 0 的绝对值是的绝对值是 0 0 2 两个负数 绝对值大的反而小两个负数 绝对值大的反而小 5 有理数的加法法则 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 绝对值不相等的异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加和为 0 一个数与 0 相加 仍得这个数 运算律 交换律 a b b a 结合律 a b c a b c 6 有理数的减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 7 化简规则 同号结合 同分母的结合 互为相反数的结合 凑整结合 8 乘法法则 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 任何数同 0 相乘 都得 0 乘积是 1 的两个数互为倒数 几个不为 0 的数相乘 负因数的个数是偶数时 积是正数 负因数的个数是奇数时 积是负数 运算律 交换律 ab ba 结合律 ab c a bc 分配律 a b c ab ac 9 除法法则 除以一个不等于 0 的数 等于乘这个数的倒数 两数相除 同号得正 异号 得负 并把绝对值相除 0 除以任何一个不等于 0 的数 都得 0 10 有理数的乘方 中 a 叫底数 n 叫指数 整个结果叫幂 n a 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数 0 的任何正整数次幂都是 0 11 运算顺序 先乘方 再乘除 最后加减 同级运算 从左到右进行 有括号 先算括号里的 按小括号 中括号 大括号依次进行 12 科学计数法 n 是整数 如果大于如果大于 1010 n n 比整数位小一比整数位小一 如果是小于 1 的小数 10na 110a 从左数第一个不为零的数前面有几个零 n 就是负几次方 13 有效数字 从一个数的左边左边第一个不为零的不为零的数字起 到末尾数字止 所有的数字都是这个数的有 效数字 第二章第二章 整式加减整式加减 1 整式 单项式 只含有数或字母的积的式子叫单项式 单独一个字母或数字也是单项式 系数 单项式中的数字因数 次数 单项式中 所有字母的指数和 多项式 项 每一个单项式 注意带符号 次数 多项式里次数最高的项的次数 2 同类项 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的项 3 合并同类项 系数相加 字母和字母的指数不变 第三章第三章 一元一次方程一元一次方程 1 等式的性质一 等式两边加 或减 同一个数 或式子 结果仍相等 等式的性质二 等式两边乘同一个数 或除以同一个不为 0 的数 结果仍相等 2 一元一次方程的解法 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为一 注意 去分母 两边同乘分母的最小公倍时 每一项都不能漏乘 去括号 去正不变 去负全变 移项 是从等号一端移到另一端 移项要变号 合并同类项 系数相加减做系数 字母和字母的指数不变 系数化为一 3 一元一次方程的解的讨论 ax b 当 a 0 时 方程有唯一解为 x b a 当 a 0 而 b 0 时 方程有无数个解 当 a 0 而 b 0 时 方程没有解 第四章第四章 图形的认识图形的认识 1 直线 射线 线段 两点确定一条直线 两点之间线段最短 线段的比较 度量法和叠合法 两点间的距离 连接两点间线段的长度 线段中点 将线段平均分成两部分 2 2 角 有公共端点的两条射线组成的图形叫角 角的换算 1 周角 360 1 平角 90 1 60 1 60 角的比较 度量法和叠合法 角的运算 加减乘除 度与度相运算 分与分相运算 秒与秒相运算 余角和补角 A B 互余 A B 90 A B 互补 A B 180 等角的补角相等 等角的余角相 等 角平分线 将角平均分成两份 画法 尺规作图或量角器 第五章第五章 相交线与平行线相交线与平行线 1 三线八角 对顶角 相等 邻补角 互补 同位角 内错角 同旁内角 2 垂直的性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3 垂线段最短 4 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 5 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 推论 如果两条直线都与第三条直线平行 那么这两条直线也平行 6 平行线的判定 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 推论 垂直于同一直线的两直线互相平行 7 平行线的性质 两直线平行 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 8 平移 平移前后的两个图形形状大小不变 位置改变 对应点的线段平行且相等 9 命题分为题设和结论两部分 题设是如果后面的 结论是那么后面的 命题分为真命题和假命题两种 定理是经过推理证实的真命题 第六章第六章 平面直角坐标系平面直角坐标系 1 对应关系 平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应 2 平面内两条互相垂直 原点重合组成的数轴组成平面直角坐标系 水平的数轴称为 x 轴或横轴 习惯上取向 右 为正方向 竖直的数轴为 y 轴或纵轴 取向 上 为正方向 两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的 原点 3 各象限点的坐标符号 注意 坐标轴上的点不属于任何一个象限 注意 坐标轴上的点不属于任何一个象限 4 特征坐标 x 轴上 纵坐标为 0 y 轴上 横坐标为 0 第二象限 第一象限 一三象限夹角平分线上 横纵坐标相等 二四象限夹角平分线上 横纵坐标互为相反数 5 对称规律 关于 x 轴对称 横坐标不变 纵坐标互为相反数 第三象限 第四象限 关于 y 轴对称 横坐标互为相反数 纵坐标不变 关于原点对称 横纵坐标都互为相反数 6 平移规律 左右平移 纵坐标不变 横坐标左减右加 上下平移 横坐标不变 纵坐标上加下减 第七章第七章 三角形三角形 1 三边关系 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 2 三条重要的线段 高 过顶点作对应边的垂线段 中线 连接顶点与对应底边中点的线段 角平分线 角的平分线与对应边相交所得的线段 3 三角形的内角和等于 180 外角和等于 360 4 三角形的外角 三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 5 多边形的内角和等于 多边形的外角和是 360 2 180n 6 多边形的对角线 过一个顶点可作 n 3 条 共有条 3 2 n n 7 平面镶嵌 在一个顶点处的各角和为 360 度 单独可镶 正三角形 正方形 正六边形 两种组合镶嵌 边数成倍数关系 第八章第八章 二元一次方程组二元一次方程组 1 二元一次方程 两个未知数 所含未知数的项的次数都是 1 2 二元一次方程组 两个未知数相同的二元一次方程组合在一起 3 二元一次方程组的解法 代入消元法 由二元一次方程组中一个方程 将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来 再代入另一个方程 实现消元 进而求得这个二元一次方程组的解 加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反相反或相等 时 将两个方程的两边分别相加相加 或相减 就能消去这个未知数 得到一个一元一次方程 再求解 消常数法 当两个方程的常数项相同或相反时 把这两个方程相减或相加 消去常数 得出两个未 知数间的关系 再代入其中一个方程求解 4 二元一次方程组的解 同时满足这两个方程的一组未知数的值 5 实际应用 审题 设未知数 列方程组 解方程组 检验 作答 第九章第九章 不等式与不等式组不等式与不等式组 1 不等式 含有 的式子 2 一元一次不等式 一个未知数 未知数的次数是 1 的不等式 3 不等式的性质 不等式两边加 或减 同一个数 或式子 不等号的方向改变 不等式两边乘 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 不等式两边乘 或除以 同一负数 不等号的方向改变 4 不等式的解法 同一元一次方程一样 注意符号和不等号方向 5 不等式组的解 大大取大 小小取小 大小小大取中间 大大小小是无解 第十章第十章 数据的收集 整理与描述数据的收集 整理与描述 1 数据处理一般包括收集数据 整理数据 描述数据和分析数据等过程 1 通过调查收集数据的一般步骤 明确调查问题 确定调查对象 选择调查方法 展开调查 记录结果 得出结论 2 收集数据常用的方法 民意调查 如投票选举 实地调查 如现场进行观察 收集 统计 数据 媒体调查 报纸 电视 电话 网络等调查都是媒体调查 2 数据的表示方法 1 统计表 直观地反映数据的分布规律 2 折线图 反映数据的变化趋势 3 条形图 反映每个项目的具体数据 4 扇形图 反映各部分在总体中所占的百分比 5 频数分布直方图 直观形象地反映频数分布情况 6 频数分布折线图 在频数分布直方图的 基础上 取每一个长方形上边的中点 和左右频数为零与直方图相距半个组距的两个点 3 调查方式 1 全面调查 优点是可靠 真实 2 抽样调查 优点是省时 省力 减少破坏 性 随机抽样调查具有广泛性和代表性 4 总体和样本 1 总体 要考察的所有对象 2 个体 组成总体的每一个考察对象 3 样本 从总体中抽出的所有实际被调查的对象组成一个样本 4 样本容量 样本中给个体的数目 5 组距 每个小组两个端点之间的距离 6 画直方图的一般步骤 1 计算最大值与最小值的差 2 决定组距与组数 先根据数据个数确定组距 再计算组数 注意无论整除与否 组数总是比商的整数位数多注意无论整除与否 组数总是比商的整数位数多 1 3 确定分点 并分组 4 列频数分布表 5 绘制频数分布直方图 八年级八年级 第十一章第十一章 全等三角形全等三角形 1 全等三角形的性质 全等三角形对应边相等 对应角相等 2 全等三角形的判定 三边相等 SSS 两边和它们的夹角相等 SAS 两角和它们的夹边 ASA 两角和其中一角的对边对应相等 AAS 斜边和直角边相等的两直角三角形 HL 3 角平分线的性质 角平分线平分这个角 角平分线上的点到角两边的距离相等 4 角平分线推论 角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上 5 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤 确定已知条件 包括隐含条 件 如公共边 公共角 对顶角 角平分线 中线 高 等腰三角形 等所隐含的边角关系 回 顾三角形判定 搞清我们还需要什么 正确地书写证明格式 顺序和对应关系从已知推导出要证明 的问题 第十二章第十二章 轴对称轴对称 1 如果一个图形沿某条直线折叠后 直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 2 轴对称图形的对称轴 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 3 角平分线上的点到角两边距离相等 4 线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等 5 与一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 6 轴对称图形上对应线段相等 对应角相等 7 7 画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤 找到关键点 画出关键点的对应点 按照原图顺序依 画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤 找到关键点 画出关键点的对应点 按照原图顺序依 次连接各点 次连接各点 8 8 点 点 x yx y 关于 关于 x x 轴对称的点的坐标为 轴对称的点的坐标为 x yx y 点 点 x yx y 关于 关于 y y 轴对称的点的坐标为 轴对称的点的坐标为 x y x y 点 点 x yx y 关于原点轴对称的点的坐标为 关于原点轴对称的点的坐标为 x y x y 9 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 等边对等角 等腰三角形的顶角平分线 底边上的高 底边上的中线互相重合 简称为等腰三角形的顶角平分线 底边上的高 底边上的中线互相重合 简称为 三线合一三线合一 10 等腰三角形的判定 等角对等边 等角对等边 11 等边三角形的三个内角相等 等于 60 12 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等腰三角形 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 无限不循环小数 负有理数 正有理数 无理数 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 3 2 1 0 无限循环小数有限小数整数 负分数 正分数 小数分数 负整数 自然数 整数 有理数 实数 有两个角是 60 的三角形是等边三角形 1313 直角三角形中 直角三角形中 30 30 角所对的直角边等于斜边的一半 角所对的直角边等于斜边的一半 1414 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章第十三章 实数实数 算术平方根 一般地 如果一个正数正数 x x 的平方等于 a 即 x2 a 那么正数 x 叫做 a 的算术平方根 记 作 0 的算术平方根为 0 从定义可知 只有当 a 0 时 a 才有算术平方根 a 平方根 一般地 如果一个数一个数 x x 的平方根等于 a 即 x2 a 那么数 x 就叫做 a 的平方根 正数有两个平方根 一正一负 它们互为相反数 0 只有一个平方根 就是它本身 负数没有平方根 正数的立方根是正数 0 的立方根是 0 负数的立方根是负数 数 a 的相反数是 a 一个正实数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值是它的相反数 0 的绝对值是 0 0 0 0 0 ba b a b a baabba 第十四章第十四章 一次函数一次函数 1 画函数图象的一般步骤 一 列表 一次函数只用列出两个点即可 其他函数一般需要列出 5 个以 上的点 所列点是自变量与其对应的函数值 二 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应函数的值为纵坐标 描出表格中的个点 一般画一次函数只用两点 三 连线 依次用平滑曲线 3 2 1 0 0 0 0k b b b 3 2 1 0 0 0 0k b b b 连接各点 2 根据题意写出函数解析式 关键找到函数与自变量之间的等量关系 列出等式 既函数解析式 3 若两个变量 x y 间的关系式可以表示成 y kx b k 0 的形式 则称 y 是 x 的一次函数 x 为自变量 y 为 因变量 特别地 当 b 0 时 称 y 是 x 的正比例函数 4 正比列函数一般式 y kx k 0 其图象是经过原点 0 0 的一条直线 5 正比列函数 y kx k 0 的图象是一条经过原点的直线 当 k 0 时 直线 y kx 经过第一 三象限 y 随 x 的增大而增大 当 k0 时 y 随 x 的增大而增大 当 kn 2 在应用时需要注意以下几点 法则使用的前提条件是 同底数幂相除 而且0不能做除数 所以法则中a 0 任何不等于任何不等于0 0的数的的数的0 0次幂等于次幂等于1 1 即 如 2 50 1 则00无意义 0 1 0 aa 1100 任何不等于0的数的 p次幂 p是正整数 等于这个数的p的次幂的倒数 即 a 0 p是正整数 而 p p a a 1 0 1 0 3都是无意义的 当a 0时 a p的值一定是正的 当a0k0 时 函数图像的两个分支分别 在第一 三象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 x 的取值范围是 x0 y 的取值范围是 y0 当 k0 21 221 2 二次根式的乘除二次根式的乘除 1 二次根式的乘法 两个二次根式相乘 把被开方数相乘 根指数不变 即 0 0 说明 1 法则中 可以是单项式 也可以是多项式 要注意它们的取值范围 都是非负数 2 0 0 可以推广为 0 0 0 0 0 0 3 等式 0 0 也可以倒过来使用 即 0 0 也称 积的算术平方根 它与二次根式的乘法结合 可以对一些二次根式进行化简 2 二次根式的除法 两个二次根式相除 把被开方数相除 根指数不变 即 0 0 说明 说明 1 法则中 可以是单项式 也可以是多项式 要注意它们的取值范围 0 在分母 中 因此 0 2 0 0 可以推广为 0 0 0 3 等式 0 0 也可以倒过来使用 即 0 0 也称 商的 算术平方根 它与二根式的除法结合 可以对一些二次根式进行化简 3 最简二次根式 1 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式 2 被开方数中不含分母 21 321 3 二次根式的加减二次根式的加减 1 同类二次根式 注 判断几个二次根式是否为同类二次根式 关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式 再观 察它们的被开方数是否相同 2 合并同类二次根式 合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似 系数相加减 二次根 号及被开方数不变 2 二次根式的加减 1 二次根式的加减 先把各个二次根式化成最简二次根式 再将同类二次根式分别合并 2 二次根式的加减法与多项式的加减法类似 首先是化简 在化简的基础上去括号再合并同类二 次根式 同类二次根式相当于同类项 一般地 二次根式的加减法可分以下三个步骤进行 i 将每一个二次根式都化简成最简二次根式 ii 判断哪些二次根式是同类二次根式 把同类二次根式结合成一组 iii 合并同类二次根式 3 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法 除法 加 减法则的综合应用 在进行二次根式的混 合运算时应注意以下几点 1 观察式子的结构 选择合理的运算顺序 二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样 先乘方 后乘除 最后加减 有括号先算括号内的 2 在运算过程中 每个根式可以看作是一个 单项式 多个不同类的二次根式的和可以看作是 多项式 3 观察式中二次根式的特点 合理使用运算律和运算性质 在实数和整式中的运算律和运算性质 在二次根式的运算中都可以应用 4 分母有理化 1 我们在前面的学习中研究了分母形如 形式的分式的分母有理化 综合起来 常见的有理化因式有 的有理化因式为 的有理化因式为 的有理化因式为 的有理化因式为 的有理化因式为 2 分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式 将分母中的根号去掉的过程 混合 运算中进行二次根式的除法运算 一般都是通过分母有理化而进行的 第二十二章 一元二次方程 22 1 一元二次方程 在一个等式中 只含有 一个未知数 且未知数的最高 次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程 22 222 2 降次降次 解一元二次方程解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过 降次 将它化为两个一元一次方程 一元二次方程 有四种解法 1 直接开平方法 用直接开平方法解形如 x m 2 n n 0 的方程 其解为 x m 2 配方法 1 转化 2 系数化 3 移项 4 配方 5 变形 6 开方 3 公式法 公式法 把一元二次方程化成一般形式 然后计算判别式 b2 4ac 的值 当 b2 4ac 0 时 把各项系 数 a b c 的值代入求根公式 x b2 4ac 0 就可得到方程的根 因式分解法 把方程变形为一边是零 把另一边的 二次三项式 分解成两个一次因式的 积的形式 让两个一次因式分别等于零 得到两个一元一次方程 解这两个一元一次方程所得到的根 就是原 方程的两个根 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 22 322 3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲 列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似 的 由于一元一次方程未知数是一次 因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决 如果未知数出 现二次 用算术方法就很困难了 正由于未知数是二次的 所以可以用一元二次方程解决有关面积问 题 经过两次增长的平均增长率问题 数学问题中涉及积的一些问题 经营决策问题等等 第二十三章第二十三章 旋转旋转 23 123 1 图形的旋转图形的旋转 1 图形的旋转 1 定义 在平面内 将一个圆形绕一个定点沿某个方向 顺时针或逆时针 转动一个角度 这样的 图形运动叫做旋转 这个定点叫做旋转中心 转动的角称为旋转角 2 生活中的旋转现象大致有两大类 一类是物体的旋转运动 如时钟的时针 分针 秒针的转动 风车的转动等 另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案 如香港特别行政区区旗上的紫荆 花图案 3 图形的旋转不改变图形的大小和形状 旋转是由旋转中心和旋转角所决定 旋转中心可以在图形 上也可以在图形外 4 会找对应点 对应线段和对应角 2 旋转的基本特征 1 图形在旋转时 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度 2 图形在旋转时 对应点到旋转中心的距离相等 对应线段相等 对应角相等 3 图形在旋转时 图形的大小和形状都没有发生改变 3 几点说明 旋转中心的确定分两种情况 即在图形上或在图形外 若在图形上 哪一点旋转过程中位置没有改变 哪一点就是旋转中心 若在图形外 对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心 23 223 2 中心对称中心对称 中心对称 把一个图形绕着某一点旋转 180 假如它能够与另一个图形重合 那么这个图形关于这个 点对称或中心对称 中心对称的性质 关于中心对称的刘遇图形 对应点所连线段都经过对称中心 而且被对称中心 所平分 关于中心对称的刘遇图形是全等形 中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合 那么 这个图形叫做中心对称图形 对称点的坐标规律 关于 x 轴对称 横坐标不变 纵坐标互为相反数 关于 y 轴对称 横坐标互为相反数 纵坐标不变 关于原点对称 横坐标 纵坐标都互为相反数 第二十四章第二十四章 圆圆 1 定义 圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合 其中定点叫做圆心 定长叫做圆的半径 圆心定圆的位置 半径定圆的大小 圆心和半径确定的圆叫做定圆 对圆的定义的理解 圆是一条封闭曲线 不是圆面 圆由两个条件唯一确定 一是圆心 即定点 二是半径 即定长 2 点与圆的位置关系及其数量特征位置关系及其数量特征 如果圆的半径为r 点到圆心的距离为d 则 点在圆上d r 点在圆内d r 点在圆外d r P56 5P56 5 6 6 P58 16P58 16 证明若干个点共圆 就是证明这几个点与一个定点的距离相等 3 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直线 圆是中心对称图形 对称中心为圆心 直径所在的直线是它的对称轴 圆有无数条对称轴 P58 4P58 4 P59 9P59 9 P61 3P61 3 P63 16P63 16 P65 15P65 15 4 与圆相关的概念 弦和直径 弦弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 直径直径 经过圆心的弦叫做直径 圆弧 半圆 优弧 劣弧 圆弧圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 用符号 表示 半圆半圆 直径的两个端点分圆成两条弧 每一条弧叫做半圆 优弧优弧 大于半圆的弧叫做优弧 劣弧劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧 为了区别优弧和劣弧 优弧用三个字母表示 弓形弓形 弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 同心圆同心圆 圆心相同 半径不等的两个圆叫做同心圆 等圆等圆 能够完全重合的两个圆叫做等圆 半径相等的两个圆是等圆 等弧等弧 在同圆或等圆中 能够互相重合的弧叫做等弧 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 弦心距弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距 5 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 推论推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 说明 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说 如果具备 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 6 定理定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦心距相等 推论推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 7 1 1 的弧的概念的弧的概念 把顶点在圆心的周角等分成360份时 每一份的角都是1 的圆心角 相应的整个圆 也被等分成360份 每一份同样的弧叫1 弧 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 8 圆周角圆周角的定义 顶点在圆上 并且两边都与圆相交的角 叫做圆周角 圆周角定理圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论推论1 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 反之 在同圆或等圆中 相等圆周角所对的弧也相等 推论推论2 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 P66 5P66 5 7 7 P68 16P68 16 9 确定圆的条件确定圆的条件 理解确定一个圆必须的具备两个条件 圆心和半径 圆心决定圆的位置 半径决定圆的大小 经过 一点可以作无数个圆 经过两点也可以作无数个圆 其圆心在这个两点线段的垂直平分线上 经过三点作圆要分两种情况 1 经过同一直线上的三点不能作圆 2 经过不在同一直线上的三点 能且仅能作一个圆 定理 不在同一直线上的三个点确定一个圆 10 1 三角形的外接圆和圆的内接三角形 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆 这个三角形叫做圆的内接三角形 P69 4 5P69 4 5 P70 15P70 15 2 三角形的外心外心 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心 3 三角形的外心的性质 三角形外心 到三顶点的距离相等 11 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 P72 3 5P72 3 5 1 相交相交 直线与圆有两个公共点时 叫做直线和圆相交 这时直线叫做圆的割线 2 相切相切 直线和圆有惟一公共点时 叫做直线和圆相切 这时直线叫做圆的切线 惟一的公共点做切 点 3 相离相离 直线和圆没有公共点时 叫做直线和圆相离 4 直线与圆的位置关系的数量特征数量特征 设 O的半径为r 圆心O到直线的距离为d 则 d r直线L和 O相交 d r直线L和 O相切 d r直线L和 O相离 12 切线的总判定定理切线的总判定定理 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线切线 切线的性质定理性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 推论推论1 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论推论2 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 结论结论 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个 就可推出第三个 垂直于切线 过切点 过圆心 P73 13P73 13 P74 3P74 3 P75 14P75 14 13 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心内心 这个三角形叫 做圆的外切三角形外切三角形 三角形内心的性质内心的性质 1 三角形的内心到三边的距离相等 2 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的 内角 由此性质引出一条重要的辅助线 连接内心和三角形的顶点 该线平分三角形的这个内角 P77 2P77 2 P78 14P78 14 14 两圆的位置关系两圆的位置关系 P79 6P79 6 P81 13P81 13 1 外离外离 两个圆没有公共点 并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时 叫做这两个圆外离 2 外切外切 两个圆有惟一的公共点 并且除了这个公共点以外 每个圆上的点都在另一个圆的外部时 叫做这两个圆外切 这个惟一的公共点叫做切点 3 相交相交 两个圆有两个公共点 此时叫做这个两个圆相交 4 内切内切 两个圆有惟一的公共点 并且除了这个公共点以外 一个圆上的都在另一个圆的内部时 叫 做这两个圆内切 这个惟一的公共点叫做切点 5 内含内含 两个圆没有公共点 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时 叫做这两个圆内含 两圆 同心是两圆内的一个特例 6 两圆位置关系的性质与判定性质与判定 1 两圆外离d R r 2 两圆外切d R r 3 两圆相交 R r d R r R r 4 两圆内切d R r R r 5 两圆内含dr 7 相切两圆的性质 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 8 相交两圆的性质 相交两圆的连心线垂直平分公共弦 15 圆周长公式圆周长公式 圆周长圆周长C 2C 2 R R R表示圆的半径 圆的面积公式圆的面积公式 S S R R 2 2 R表示圆的半径 弧长公式 弧长公式 2n R 3602n R 360 R表示圆的半径 n表示弧所对的圆心角的度数 P82 6P82 6 扇形扇形定义 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形 P82 9P82 9 P84 1P84 1 P85 8P85 8 扇形的面积公式扇形的面积公式 扇形的面积 n R2 360 R表示圆的半径 n表示弧所对的圆心角的度数 弓形弓形定义 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高 16 圆锥圆锥 可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形 另一条直角边 旋转而成的面叫做圆锥的底面 斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面 圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形扇形 这个扇形的半径是圆锥侧面的母 线长 弧长是圆锥底面圆的周长 圆心是圆锥的顶点 如果设圆锥底面半径为r 侧面母线长 扇形 半径 是l 底面圆周长 扇形弧长 为c 那么它的侧面积是 侧面积是 S cl 2 2 rl 3 rlS cl 2 2 rl 3 rl 总面积总面积 侧面积侧面积 底面积 底面积 P87 7P87 7 9 9 1111 17 若四边形的四个顶点都在同一个圆上 这个四边形叫做圆内接四边形圆内接四边形 这个圆叫做这个四边形的 外接圆外接圆 圆内接四边形的特征特征 圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形任意一个外角等于它的 内错角 18 切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角 19 和圆有关的比例线段 相交弦定理相交弦定理 圆内的两条弦相交 被交点分成的两条线段长的积相等 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 20 切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 推论 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 21 两圆连心线两圆连心线的性质 如果两圆相切 那么切点一定在连心线上 或者说 连心线过切点 如果两圆相交 那么连心线垂直平分两圆的公共弦 P91 7P91 7 24 324 3 正多边形和圆正多边形和圆 1 正多边形的概念 各边相等 各角也相等的多边形叫做正多边形 2 正多边形与圆的关系 1 将一个圆 n n 3 等分 可以借助量角器 依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多 边形 2 这个圆是这个正多边形的外接圆 3 正多边形的有关概念 1 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心 2 正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径 3 正多边形的边心距 正多边形中心到正多边形各边的距离 4 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角 4 正多边形性质 1 任何正多边形都有一个外接圆 2 正多边形都是轴对称图形 当边数是偶数时 它又是中心对称图形 正 n 边形的对称轴有 n 条 3 边数相同的正多边形相似 重点 正多边形的有关计算 24 424 4 弧长和扇形面积弧长和扇形面积 知识点 1 弧长公式 因为 360 的圆心角所对的弧长就是圆周长 C 2R 所以 1 的圆心角所对的弧长是 于 是可得半径为 R 的圆中 n 的圆心角所对的弧长 l 的计算公式 说明 1 在弧长公式中 n 表示 1 的圆心角的倍数 n 和 180 都不带单位 度 例如 圆的半径 R 10 计算 20 的圆心角所对的弧长 l 时 不要错写成 2 在弧长公式中 已知 l n R 中的任意两个量 都可以求出第三个量 知识点 2 扇形的面积 如图所示 阴影部分的面积就是半径为 R 圆心角为 n 的扇形面积 显然扇形的面积是它所在圆的面 积的一部分 因为圆心角是 360 的扇形面积等于圆面积 所以圆心角为 1 的扇形面积是 由此得圆心角为 n 的扇形面积的计算公式是 又因为扇形的弧长 扇形面积 所以又得到扇形 面积 的另一个计算公式 知识点 3 弓形的面积 1 弓形的定义 由弦及其所对的弧 包括劣弧 优弧 半圆 组成的图形叫做弓形 2 弓形的周长 弦长 弧长 3 弓形的面积 如图所示 每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积 从图中可以看出 只要把扇形 OAmB 的 面积和 AOB 的面积计算出来 就可以得到弓形 AmB 的面积 当弓形所含的弧是劣弧时 如图 1 所示 当弓形所含的弧是优弧时 如图 2 所示 当弓形所含的弧是半圆时 如图 3 所示 注意 1 圆周长 弧长 圆面积 扇形面积的计算公式 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 2 扇形与弓形的联系与区别 2 扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点 4 圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形 如图所示 设圆锥的母线长为 l 底面圆的半径为 r 那么这个扇形的 半径为 l 扇形的弧长为 2 圆锥的侧面积 圆锥的全面积 说明 1 圆锥的侧面积与底面积之和称为 圆锥的全面积 2 研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算 问题 关键是理解圆锥的侧面积公式 并明确 圆锥全面积与侧面积之间的关系 知识点 5 圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形 如图所示 其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长 若圆柱的底 面半径为 r 高为 h 则圆柱的侧面积 圆柱的全面积 知识小结 圆锥与圆柱的比较 名称圆锥圆柱 图形 图形的形成过程 由一个直角三角形旋转得 到的 如 Rt SOA 绕直 线 SO 旋转一周 由一个矩形旋转得到的 如矩形 ABCD 绕直线 AB 旋转一周 图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面 侧面展开图的特 征 扇形矩形 面积计算方法 第二十五章第二十五章 概率初步概率初步 25 125 1 随机事件与概率随机事件与概率 1 随机试验与样本空间 具有下列三个特性的试验称为随机试验 1 试验可以在相同的条件下重复地进行 2 每次试验的可能结果不止一个 但事先知道每次试验所有可能的结果 3 每次试验前不能确定哪一个结果会出现 第二十六章第二十六章 二次函数二次函数 1 定义定义 一般地 如果是常数 那么叫做的二次函数 自变量的取cbacbxaxy 2 0 ayx 值范围是全体实数 2 二次函数的性质性质 2 axy 1 抛物线的顶点是坐标原点 对称轴是轴 2 axy y 2 函数的图像与的符号关系 2 axy a 当时抛物线开口向上顶点为其最低点 0 a 当时抛物线开口向下顶点为其最高点 0 a 3 顶点是坐标原点 对称轴是轴的抛物线的解析式形式为 P21 12P21 12 y 2 axy 0 a 3 二次函数 的图像是对称轴平行于 包括重合 轴的抛物线 cbxaxy 2 y 4 二次函数用配方法配方法可化成 的形式 cbxaxy 2 khxay 2 其中 a bac k a b h 4 4 2 2 5 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2 axy kaxy 2 2 hxay khxay 2 cbxaxy 2 6 抛物线的三要素三要素 开口方向 对称轴 顶点 的符号决定抛物线的开口方向 当时 开口向上 当时 开口向下 相等 抛物线a0 a0 aa 的开口大小 形状相同 平行于轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线 P23 9 10P23 9 10 yhx y0 x 7 顶点顶点决定抛物线的位置 几个不同的二次函数 如果二次项系数相同 那么抛物线的开口方向 a 开口大小完全相同 只是顶点的位置不同 8 求抛物线的顶点 对称轴的方法求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法公式法 顶点是 对称轴是直线 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 a bac a b 4 4 2 2 P26 9P26 9 a b x 2 2 配方法配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为的形式 得到顶点为 khxay 2 h k 对称轴是直线 hx 3 运用抛物线的对称性对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以对称轴的连线的垂直平 分线是抛物线的对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 注意 注意 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进行验证 才能做到万无一失 9 抛物线抛物线中 中 的作用 的作用 P29 P29 例例 2 1 102 1 10 cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线的对称轴是直线 bacbxaxy 2 故 时 对称轴为轴 即 同号 时 对称轴在轴左侧 a b x 2 0 by0 a b aby 即 异号 时 对称轴在轴右侧 0 a b aby 3 的大小决定抛物线与轴交点的位置 ccbxaxy 2 y 当时 抛物线与轴有且只有一个交点 0 0 xcy cbxaxy 2 yc 抛物线经过原点 与轴交于正半轴 与轴交于负半轴 0 c0 cy0 cy 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在轴右侧 则 y0 a b 10 几种特殊的二次函数的图像特征图像特征如下 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 轴 0 xy 0 0 kaxy 2 轴 0 xy 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 当时0 a 开口向上 当时0 a 开口向下 hx h k cbxaxy 2 a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 11 用待定系数法待定系数法求二次函数的解析式 P32 12P32 12 P34 7 8P34 7 8 P37 2 4P37 2 4 P42 1 2P42 1 2 P51 P51 例 例 P54 16P54 16 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 2626 1 1 用函数观点看一元二次方程用函数观点看一元二次方程 1 如果抛物线与 x 轴有公共点 公共点的横坐标是 那么当时 函数的值是 0 yaxbxc 2 x0 xx 0 因此就是方程的一个根 xx 0 axbxc 2 0 2 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种 没有公共点 有一个公共点 有两个公共点 这对应 着一元二次方程根的三种情况 没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不等的实数根 2626 2 2 实际问题与二次函数实际问题与二次函数 在日常生活 生产和科研中 求使材料最省 时间最少 效率最高等问题 有些可归结为求二次函数 的最大值或最小值 第二十七章第二十七章 相似相似 2727 1 1 图形的相似图形的相似 概述 判定 1 如果两个图形形状相同 但大小不一定相等 那么这两个图形相似 2 如果两个多边形满足对应角相等 对应边的比相等 那么这两个多边形相似 相似比 3 相似多边形的对应边的比叫相似比 相似比为1 时 相似的两个图形 全等 性质 4 相似多边形的对应角相等 对应边的比相等 相似多边形的周长比等于相似比 5 相似多边形的面积比等于相似比的平方 2727 2 2 相似三角形相似三角形 判定 1 两个三角形的两个角对应相等 2 两边对应成比例 且夹角相等 3 三边对应成比例 4 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交 所构成的三角形与原三角形相似 1 相似三角形 的一切对应线段 对应高 对应中线 对应角平分线 外接圆半径 内切圆半径等 的比等于相似比 2 相似三角形周长的比等于相似比 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 2727 3 3 位似位似 如果两个图形不仅是 相似图形 而且每组对应点的连线交于一点 对应边互相平行 那么这两 个图形叫做 位似图形 这个点叫做位 似中心 这时的相似比又称为 位似比 性质 1 位似图形的对应点和位似中心在同一直线上 它们到位似中心的距离之比等于相似比 2 位似多边形的对应边平行或共线 3 位似可以将一个图形放大或缩小 位似图形的中心可以在任意的一点 不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变 根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形 这两个图形分布在位似中 心的两侧 并且关于位似中心对称 注意 1 位似是一种具有位置关系的相似 所以两个图形是位似图形 必定是相似图形 而相似图 形不一定是位似图形 2 两个位似图形的位似中心只有一个 3 两个位似图形可能位于位似中心的两侧 也可能位于位似中心的一侧 4 位似比就是相似比 利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似 5 平行于三角形一边的直线和其它两边相交 所构成的三角形与原三角形位似 第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数 2828 1 1 锐角三角函数锐角三角函数 锐角角 A 的正弦 sin 余弦 cos 和正切 tan 余切 cot 以及正割 sec 余割 csc 都 叫做角 A 的锐角三角函数 正弦 sin 等于对边比斜边 余弦 cos 等于邻边比斜边 正切 tan 等于对边比邻边 余切 cot 等于邻边比对边 正切与余切互为倒数 互余角的三角函数间的关系 sin 90 cos cos 90 sin tan 90 cot cot 90 tan 同角三角函数间的关系 平方关系 tan sin cos tan sin cos sinsin2 2 cos cos2 2 1 1 积的关系 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 直角三角形 ABC 中 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边 余切等于邻边比对边 三角函数值 1 特殊角三角函数值 2 0 90 的任意角的三角函数值 查三角函数表