高考数学导数极限复习题7

高考数学导数极限复习题高考数学导数极限复习题 7c 第十三章第十三章 极限综合能力测试极限综合能力测试 第第 卷卷 选择题选择题 共共 60 分分 一 选择题 1 下列各图所表示的函数在 x x0处连续的是 解析 据函数在 x x0处连续的定义 可知 C 图所表示的函数在点 x x0处连续 故选 C 2 li等于 m n2 1 n 3n 2 A 3 B C D 6 1 3 1 6 答案 B 解析 li li li 故选 B m n2 1 n 3n 2 m n2 1 3n2 2nm 1 f 1 n 2 3 f 1 n 2 2n 1 3 3 x 1 是函数 f x Error Error 的 A 连续点B 无定义点 C 不连续点D 极限不存在的点 答案 C 解析 li f x 1 li f x 1 m m li f x 1 但 f 1 0 m li f x f 1 m 4 用数学归纳法证明不等式 1 成立 起始值 n0至少应取为 1 2 1 4 1 2n 1 127 64 A 7 B 8 C 9 D 10 答案 B 解析 1 1 2 1 4 1 2n 1 1 1 1 2 n 1 1 2 2 1 1 2n 当 n 7 时 2 1 1 2n 127 64 当 n 8 时 2 1 1 2n 255 128 254 128 127 64 故选 B 5 lim x 1 x 3 2 x 1 A B 1 2 1 2 C 1D 1 解析 lim x 1 x 3 2 x 1 lim x 1 r x 3 2 r x 3 2 r x 1 r x 1 r x 1 r x 3 2 lim x 1 x 1 r x 1 x 1 r x 3 2 lim x 1 x 1 x 3 2 1 1 1 3 2 2 4 1 2 答案 A 总结评述 本题主要考查了函数极限的运算 特别要注意变形技巧的使用 关键是分子 分母约去因式 x 1 6 设正数 a b 满足 li x2 ax b 4 则 li等于 m m an 1 abn 1 an 1 2bn A 0B 1 4 C D 1 1 2 答案 B 命题意图 考查极限的运算 解析 由已知得 4 2a b 4 即 b 2a 则 li li 故选 B m an 1 2n 1an an 1 2n 1anm a 2n 1 1 1 a 2n 1 4 1 4 7 2009 成都市诊断性检测三 若函数 f x Error Error 是 R 上的单调递增函数 则实数 a 的取值范围为 A 1 B 1 8 C 4 8 D 4 8 答案 D 解析 由 f x 在 R 上是单调递增函数知 Error Error 同时成立 解不等式组得 a 4 8 选 D 8 2009 湖北省部分重点中学高三第二次联考 等比数列 an 的公比为 q 0 q 1 Sn为其前 n 项和 若 S li Sn 且 S Sn 2an 则 q m n A B 2 3 2 3 C D 1 3 1 3 答案 B 解析 an 是等比数列 其前 n 项和为 Sn a1 1 qn 1 q 又 0 q 1 S liSn li m n m n a1 1 qn 1 q a1 1 q 而 S Sn 2an 2a1qn 1 1 2qn 1 3qn a1 1 qn 1 q a1 1 q 1 2qn 1 3qn a1 1 q a1 1 q 即 1 2qn 1 3qn 1 解得 q 故选 B 2 3 9 若干个正方体形状的积木按如图所示摆成塔形 上面正方体中下底的四个顶点是 下面相邻正方体中上底各边的中点 最下面的正方体的棱长为 1 平放于桌面上 如果所 有正方体能直接看到的表面积超过 7 则正方体的个数至少是 A 2B 3 C 4D 6 答案 B 解析 设正方体的个数为 n 从下至上正方体的棱长构成公比 为的等比数列 看到 2 2 的表面积 S 1 4 1 n 1 1 4 1 8 1 n 7 解得 n 2 1 2 1 4 1 2 1 f 1 2 n 1 1 2 1 2 因此正方体至少有 3 个 故选 B 10 已知 f 3 2 f 3 2 则 li的值为 m 2x 3f x x 3 A 4B 8 C 0D 不存在 答案 B 解析 lim 2x 3f x x 3 lim f 3 x 3f 3 3f x 3f 3 x 3 lim f 3 x 3 3 f x f 3 x 3 li f 3 3 m f x f 3 x 3 f 3 3lim f x f 3 x 3 f 3 3f 3 2 3 2 8 11 2010 山东滨州模拟 下列四个命题中 不正确的是 A 若函数 f x 在 x x0处连续 则f x f x lim x x 0 lim x x 0 B 函数 f x 的不连续点是 x 2 和 x 2 x 2 x2 4 C 若函数 f x g x 满足 f x g x 0 则f x g x lim x lim x lim x D lim x 1 x 1 x 1 1 2 答案 C 解析 令 f x x2 g x x2 1 x 但 f x g x 0 lim x lim x 1 x 但f x g x 都不存在 lim x lim x 12 2009 湖北 设 x 2n a0 a1x a2x2 a2n 1x2n 1 a2nx2n 则 a0 a2 a4 a2n 2 2 lim n 2 a1 a3 a5 a2n 1 2 A 1B 0 C 1D 2 2 答案 B 解析 令 x 1 得 a0 a1 a2 a2n 1 a2n 1 2n 2 2 令 x 1 得 a0 a1 a2 a2n 1 a2n 1 2n 2 2 得 a0 a2 a4 a2n r 2 2 2n r 2 2 2n 22n 1 得 a1 a3 a5 a2n 1 r 2 2 2n r 2 2 2n 22n 1 a0 a2 a4 a2n 2 a1 a3 a5 a2n 1 2 lim n 2 lim n r 2 2 2n r 2 2 2n 22n 1 2 r 2 2 2n r 2 2 2n 22n 1 lim n 4 r 2 2 2n r 2 2 2n 42n 1 n 0 故选 B lim n 4 2 2n 42n 1 lim n 1 4 第第 卷卷 非选择题非选择题 共共 90 分分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请将答案填在题中的横线上 13 2009 崇文 3 月 极限 lim x 0 x 1 10 x 1 6 x 答案 4 解析 lim x 0 x 1 10 x 1 6 x lim x 0 x10 x9C 1 10 xC 9 10 1 x6 x5C o al 1 6 xC o al 5 6 1 x C C 4 9 105 6 14 2009 湖北八校联考 设 an是 3 n的展开式中 x 项的系数 n 2 3 4 则 x lim n 32 a2 33 a3 3n an 答案 18 解析 an 3n 2C 18 2 n 3n an 9 C2 n 1 n 1 1 n lim n 32 a2 33 a3 3n an 18 1 18 lim n 1 2 1 2 1 3 1 n 1 1 n 故填 18 15 以下五个命题 f x 在 0 1 上连续 1 x 若 f x 是 a b 内的连续函数 则 f x 在 a b 内有最大值和最小值 1 lim x x 1 x2 lim x 1 1 x2 1 4 lim x 2 2sin2x cosx 其中 正确命题的序号是 请把你认为正确的命题的序号都填上 答案 解析 f x 在 x 0 处不连续 f x 在 a b 上连续 f x 在 a b 上有最值 而在 a b 内不一定有最值 1 lim x x 1 x2 lim x 1 1 x2 1 而 1 故极限不存在 lim x x 1 x2 lim x 1 1 x2 1 4sinx 4 lim x 2 2sin2x cosx lim x 2 4sinxcosx cosx lim x 2 故正确的为 16 2009 湖南四县 3 月 对于自然数 i N 设 ai k i 3 k 1 k 1 2 3 如 a3 4 3 3 4 1 6 对于 自然数 n m 当 n 2 m 2 时 设 b i n ai 1 ai 2 ai 3 ai n S m n b 1 n b 2 n b 3 n b m n 则 S 10 6 答案 120 解析 ai k i 3 k 1 k 1 2 3 构成等差数列 b i n ai 1 ai 2 ai 3 ai n n n ai 1 ai n 2 2i 3 n 1 2 S 10 6 b 1 6 b 2 6 b 10 6 6 6 6 120 故填 120 2 3 6 1 2 4 3 6 1 2 20 3 6 1 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 17 本小题满分 10 分 已知 li 3 求 li的值 m ax2 bx 1 x 1m bn an 1 an bn 1 解析 依题意可知 ax2 bx 1 中必有 x 1 这个因式 a b 1 0 又 li li li ax 1 m ax2 bx 1 x 1m x 1 ax 1 x 1 m x 1 又 li ax 1 a 1 3 m a 4 将 a 4 代入 a b 1 0 得 b 5 li li 5 m 5 n 4n 1 4n 5 n 1m 5 f 4 5 n 1 4 f 4 5 n 1 1 18 本小题满分 12 分 已知函数 f x Error Error 1 求 li f x m 2 若 li f x 存在 求 a b 的值 m 3 若函数 f x 在 x 1 处连续 求 a b 所满足的条件 解析 1 x 0 时 的分子 分母都有极限 1 x 1 3 x 1 li f x 1 m 2 若 li f x 存在 则 li f x li f x m m m 而 li f x li ax2 2 a 2 m m li f x li m m x 1 r 3 x 1 r x 1 li m 3 x2 3 x 1 x 1 3 2 a 2 a b 可为任意实数 3 2 1 2 3 若 f x 在 x 1 处连续 则 li f x li f x f 1 m m 则 a b 1 2 3 2 19 本小题满分 12 分 对于任意的自然数 n 求使等式 恒成立 12 1 3 22 3 5 n2 2n 1 2n 1 n n a 2 2n b 的正数 a b 的值 解析 当 n 1 n 2 时可得 Error Error 即Error Error 解得 a 1 b 1 12 1 3 22 3 5 n2 2n 1 2n 1 n n 1 2 2n 1 下面用数学归纳法证明 当 n 1 时 左边 右边 等式成立 1 3 2 2 3 1 3 假设当 n k k 1 时 等式成立 即 成立 12 1 3 22 3 5 k2 2k 1 2k 1 k k 1 2 2k 1 当 n k 1 时 左式 12 1 3 22 3 5 k2 2k 1 2k 1 k 1 2 2k 1 2k 3 k k 1 2 2k 1 k 1 2 2k 1 2k 3 k 1 2k 1 k 2 k 1 2k 3 k 1 2k 1 k 2 2k 1 2 2k 3 k 1 k 1 1 2 2 k 1 1 当 n k 1 时 等式成立 综合 可知 对任意 n N 均成立 即 a 1 b 1 12 1 3 22 3 5 n2 2n 1 2n 1 n n 1 2 2n 1 20 本小题满分 12 分 已知等比数列 an 的公比为 q 且 q 1 又知 a2 a3的等比中项为 4 a1 a4的等差中项 2 为 9 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 bn an log an bn 的前 n 项和为 Tn 求 li的值 1 2m Tn n 2n 1 an 2 解析 1 由已知 得Error Error 又 an 是等比数列 a1 a4 a2 a3 32 a1 a4是方程 x2 18x 32 0 的两根 Error Error 或Error Error q 1 Error Error q 2 an 2 2n 1 2n 2 bn an log an n 2n 1 2 Tn b1 b2 bn 1 2 2 22 n 2n 2Tn 1 22 2 23 n 2n 1 得 Tn 2 22 2n n 2n 1 Tn 2n 1 2 n 2n 1 li li m Tn n 2n 1 an 2m 2n 1 2 2n 2 1 2 21 2009 河南安阳 本小题满分 12 分 已知函数 f x ax2 bx c ex 其中 e 为自然对数的底 a b c 为常数 若函数 f x 在 x 2 处取得极值 且 li 4 m f x c x 1 求实数 b c 的值 2 若函数 f x 在区间 1 2 上是增函数 求实数 a 的取值范围 解析 1 f x 2ax b ex ax2 bx c ex ax2 b 2a x b c ex 由 f 2 0 4a 2 b 2a b c 0 b c 由 li 4 得到 f 0 4 所以 b c 4 即 b 2 c 2 m f x c x 2 由题意知 ax2 2 a 1 x 4 0 在 x 1 2 时恒成立 即 a 在 x 1 2 时恒成立 设 g x 2x 4 x2 2x x 1 2 则 g x 在区间 1 2 上单调递增 所以 g x 的最大值为 f 2 1 所以 a 1 2x 4 x2 2x 2 x 22 2009 深圳 本小题满分 12 分 已知函数 f x x2 x f x 为函数 f x 的导函数 1 2 1 4 1 若数列 an 满足 a1 1 an 1 f an f n n N 求数列 an 的通项 an 2 若数列 bn