高等数学作业册答案

1 高等数学作业册参考答案 一 函数与极限 1 2 1 1 1 22 22 x x 22 1 1 1 x 10 x 3 31 xxysin21 2 2 x 4 5 6 3 2 2 x 1ln 1 1 2 x 7 8 该数列极限不存在 9 3 1 10 11 不存在 12 略xx63 2 2 二 极限的运算 1 1 2 3 4 0a2 3 2 1 5 6 7 8 20 2 2 1 0 2 3 0 1 3 4 题目改成 5 证明略 1 21 lim 222 nn n n n n n n 2 6 1 2 3 4 5 6 5 2 2 1 111 e 7 8 9 10 11 12 e2 4 e 2 1 e11 三 无穷小的比较及连续性 1 1 2 3 4 5 6 3 2 2 2 5 09 16 1 2 3 4 3Rcba 1 0 12 5 1 为可去间断点 令则该点变为连续点 为无穷间断点2 x1 2 f3 x 2 为可去间断点 令则变为连续点 为无穷0 x1 0 f 2 1 kkx 2 间断点 为可去间断点 令则变为连续点 2 1 0 2 kkx 0 2 kf 3 为可去间断点 令变为连续点0 x1 0 f 4 为跳跃间断点 1 x 5 为可去间断点 令则变为连续点0 x1 0 f 6 1 2 a b 3 4 为跳跃间断点2 k0 01 1 0 ba1 x 四 导数的概念及运算 1 已知 1 2 2 2 1 3 2 2 3 6Axf 0 A A2 2 A 4 1 所以分段点处不可导2 1 f 1 f 2 时分段点处可导且导数值为 0 时不可导1 k1 k 5 1 2 6 4 1 1 M1 xy 1xy 7 或 8 99 9 xy 25 x y 2 2 1 cba 10 函数在分段点处连续且可导 0 2 0 1 21 arctan 4 2 2 x x x x x xf 五 导数的运算 1 1 2 3 ba cx 2 8 1 8 7 x 2ln 2 ee x 4 5 6 2 sincos x xxx 22 24 ln3 32 49 ln xx xxxxxx xx x x arctan2 1 2 2 2 1 2 3ln33 42ln2 4 1 2 3 sin 21 2 xxx 2 2 x xe 2 2 1 xx 4 5 6 2 2sin2xx 22 1 xa 22 xa x 3 7 8 9 2sin2 2 2cos 2 x x e x xsec x x x 1 2 1 1 2 10 1 1 1arctan 1arctan ln4 222 2 xx xx 11 31ln sin 31 6 2 22 2 2 xe x x e xx 5 1 2 xxxx eefee 2 3 2222 1 2 xfxfxxf 6 7 x8x x lncos 1 六 导数的运算与微分 1 1 2 1212189 245 3 xxxxe x 322 2 xa a 3 4 2 1 2 cot2 x x xarc cossin2 ln22ln 2cos xx x 2 1 2 6 2ln2 3x 3 0 4 n n x n 1 1 1 1 5 2 3 6 1 2 3 xye y y sin cosx y x y 4 5 6 ln ln xxy yyx x y yx yx 32 4 ya b 7 sin sin sin cos yxx yxxy 7 1 sin ln cos sin x x xxx x 2 4 1 3 1 2 1 1 1 4 3 2 1 4 1 4 xxxxxx xx 4 3 2 22ln2 2 ln2ln2 2x x x x x xx x 4 12 1 ln xx xxx 8 1 2 3 2 t t 3 4 9 证明略 10 1 2 3 dxxxxx secsincos 2 dx 3 2 dxe 2 11 1 2 01 0 4 27 1 3 七 中值定理 1 1 满足 2 不满足 3 不满足 2 2 3 4 有 2 个实根 3 1 5 题目改为证明略 1 41 2 arccos 2 1 arctan 2 x x x x 6 有 1 个实根 7 略 8 略 9 提示 应用罗尔定理 10 略 xfexF x 八 洛必达法则 1 2 3 4 5 2 5 5 3 110 6 7 8 9 10 11 2 1 0 11 12 13 14 3 1 1 1 e 1 lim 1 1 0 x x x e x 2 1 e 15 2 9 3 ba 5 九 泰勒公式 1 2 32 1 3 1 7 1 42 xxx 32 453091xxx 3 4 3 1 1 33 xoxx 1 1 2 1 32nn xox n xxx 5 6 使 证明略 1 1 1 1 22 xoxx0 n f 7 略 8 略 十 函数的单调性 1 上单减 上单增 2 单增区间 单减区间 2 0 2 1 0 2 1 3 单增区间 单减区间 4 1 个实根 1 0 1 0 5 略 6 略 7 略 8 单增 十一 曲线的凹凸性 1 凹区间 凸区间 2 1 2 1 2 1 2 1 2 凹区间 凸区间 拐点 1 1 1 1 2ln 1 2ln 1 3 拐点 4 5 2 1 2 1 arctan e3 1 baacb3 2 6 略 7 水平渐近线 无铅直渐近线1 y 8 水平渐近线 铅直渐近线0 y1 3 xx 十二 函数的极值与最大最小值 1 极大值 极小值 17 1 y47 3 y 2 极大值 极小值2 1 y2 1 y 3 4 5 1 2 2 a4 4 21 xx 1 1 n n n e 1 6 7 8 xxxy93 23 321 2511 十三 函数图形的描绘 6 1 极小值 拐点 2 单减区间 5 17 2 y 2 1 5 6 1 1 3 略 4 个交点 5 略1 十五 不定积分概念 性质 1 2 3 4 2 1 x Cx 3 5 5 9 1 3 1 3 xxCxxx arctan 3 1 3 5 6 7 8 C e xx 3ln1 3 Cxx tanCx 2 ln 2 1 Cx 8 15 15 8 9 10 11 Cx cot 2 1 Cxx sectanC x 2 sin1 12 13 Cxx cottan1 2 xxf 十六 1 2 3 CbaxF a 1 Cxx 2 2 1 CxF ln 4 5 6 Cx 38ln 9 1 3 Cx 3 4 2 1 8 3 C x x 8 8 1 ln 8 1 7 8 9 Cxx 3 sin 3 1 sinCx 2 3 2 ln 3 2 C xx ln 1 10 11 12 Cxe x 1ln C x 10ln2 10 arccos2 Cx 22 11 ln 2 1 十七 不定积分的第二换元法 1 2 Cxx 11ln 1 2C x 1 arccos 3 4 Cxx 21ln 2C x x 2 1 5 6 Cxxx 1 arcsin 2 1 2 C x x 1 ln 6 6 7 8 Cxx 1arctan1 2Cx x x x arcsin 11 2 7 9 10 Cxe x 11ln 2Cx 2 arctan 十八 不定积分分部积分法 1 2 3 Cxxe x 22 2 Cxxx 33 9 1 ln 3 1 Cxfxfx 4 5 Cxx 1ln 2 1 ln 2 Cxxe x cos sin 2 1 6 7 Cxxxxx sin2cos2sin 2 Cxxxxx 2ln2ln2 8 9 Cxxx 2 1arcsinCxe x 1 10 11 Cx x x cot 2 1 sin2 2 Cxxxx 1ln 2 1 2 1 1ln 2 1 12 13 Cxxxx 2 1arcsinCx x x e x 1 2 2 14 15 Cxe x tanCxxx arctan 1 16 Ceex xx 22 2 2 十九 有理函数的积分 1 2 C xx 2 1 2 1 1 1 Cxx 1ln2ln3 3 4 Cx x 1ln 2 1 1 1 2 Cxx arctan 2 1 ln 5 5 C x 3 tan2 arctan 32 1 C x 2 tan1ln 7 8 C x x xx xx 1 1 arctan2 11 11 lnC x x 3 1 1 2 3 9 10 C xx 2 1 2 1 1 1 C x x x x 2cos 2cos ln 12 1 1cos 1cos ln 6 1 二十 定积分的概念 性质 8 1 2 3 4 33 1 3 ba ln2 12 II 2I 5 6 7 略 1 2 4 22eIe 1 3 二十一 微积分基本公式 1 02 3 2 4 5 6 2 sin x 2 4 1 x 3 2ln2 2 7 8 2 9 10 ln2 11 12 2 1 e 1 4 8 3 1 e e 二十二 定积分换元法 1 02 3 4 5 6 2ln2 1 7 4 3 2 2 4 1 6 4 16 a 8 9 10 11 12 2 2 1 4 2 31 2 ln 1 e e 1 ln2 84 13 14 1 2 1 e 1 1 ln 1 e 二十三 定积分分部积分法 1 2 3 4 5 6 1 1 2e 3 21 92 e 1 2 1 42 2 1 1 2 e 3 64 7 8 9 10 2e 1 2 1 e 1 3 1 1 2e 二十四 反常积分 1 发散 2 3 4 5 1 6 发散 2 1 ln3 2 2 8 7 1 8 9 1 10 11 2 1 ln2 22 二十五 平面图形的面积 1 2 3 4 3 ln2 2 1 2ee 32 3 2 a 5 6 7 1 1 8 9 2 3 a 4 2 6 5 2 1 2 0 二十六 体积 1 2 3 4 12864 75 16 15 3 10 4 64 3 15 5 6 7 8 64 3 3 22 2 4 3 Ra 4 32 9 二十七 平面曲线的弧长 平均值 9 1 2 3 6a 4 5 2 1 4 e 4 2 3 3 2 2 a 2 1 1 a a e a 6 7 8 9 35 ln 212 8a 2 1 2e 2 3 二十八 物理应用 1 2 3 4 0 294J800 ln2J 12 11 mg RR 2 1 6 aH 5 6 7 4 4 3 r g 2222 11 Gm l Gm a a alal 57697 5KJ 三十 微分方程的概念 1 1 2 2 yx 20yyx 2 是 3 20 xyy 4 12 0 1CC 5 2 2 1 ln 1 1 2 x f xx 6 2 x yyye 三十一可分离变量的微分方程 1 2 yxC 2 2 x ye 3 1 yx exeC 4 x yCxe 5 22 25yx 6 3 C y x 7 2 2 1 x x yCe 8 22 1 1 yC x 9 sinlnyxx 10 三十二 一阶线性方程 齐次方程 1 3 2 4 3 1 x C y x 2 1 x yx ee 3 3 2 1 3 x y x 4 cosx y x 5 x e y x 6 同 5 7 4 7 y xCy 8 32 32 xx yee 三十一 可降阶的高阶方程 1 12 2 x yxeC xC 2 1 2 C x yC e 3 2 2yxx 4 21 arcsin x yC eC 5 12 lnyCxC 6 ln 2 xx ee y 注注 原题改为求满足的特解 1 2 yy 0 0 0 0yy 7 2 3223 1111111 22 axaaa yee xe xe aaaaaaa 三十四 二阶常系数线性齐次方程 1 3 12 xx yC eC e 2 12 cos2sin2 x ye CxCx 3 2 12 x yCC x e 11 4 2 12 cos5sin5 x yeCxCx 5 2 sin3 x yex 6 3 46 xx yee 7 1234 x yCC xCC x e 8 1 三十五 二阶常系数线性非齐次微分方程 1 2 12 1 xx yC eC ex 2 12 cossin21yCxCxx 3 2 12 1 69 xxx x yC eC exe 4 2 33 12 1 23 xx xx yCC x ee 5 12 2 cos2sin2cossin 39 x yCxCxxx 6 12 cossincos 2 x yCxCxx 高等数学 上 真题 1 答案 一 1 2 1 2 e 二 连续而且可导 三 1 2 2222 2 2 cos 2cos4sin dyd y xxxxx dxdx 2 22 24 22 1 dyd yt dxtdxt 3 2 23 1 1 dyyd yy dxydxy 四 凹区间凸区间拐点 1 2 1 2 五 1 2 2 1 arctansin 2 xC 44 11 ln 416 xxxC 12 六 1 1 2 提示 令 4 xt ln2 8 七 e 八 sin 1 x xe 九 12 1 x yC xC e 1 2 4 x ye 12 1 1 4 xx yC xC ee 十 3 3