人教版必修五“解三角形”难题及其答案

第 1 页 共 21 页 人教版必修五 解三角形 精选难题及其答 案 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 锐角中 已知 则的取值范围是 3 3 2 2 3 A B C D 5 15 7 15 7 11 11 15 2 在中 角的对边分别为 且满足 则 2 的形状为 A 等腰三角形B 直角三角形 C 等边三角形D 等腰直角三角形 3 在中 则的值等于 60 1 3 2 2 A B C D 2 39 3 26 3 3 8 3 3 2 3 4 在中 有正弦定理 定值 这个定值就是的外接 圆的直径 如图 2 所示 中 已知 点 M 在直线 EF 上从左到右运 动 点 M 不与 E F 重合 对于 M 的每一个位置 记的外接圆面积与 的外接圆面积的比值为 那么 A 先变小再变大 B 仅当 M 为线段 EF 的中点时 取得最大值 C 先变大再变小 D 是一个定值 5 已知三角形 ABC 中 边上的中线长为 3 当三角形 ABC 的面积最大 时 AB 的长为 A B C D 2 53 62 63 5 第 2 页 共 21 页 6 在中 分别为内角所对的边 且满足 若点 O 是外一点 平 1 0 2 2 面四边形 OACB 面积的最大值是 A B C 3D 8 5 3 4 4 5 3 4 4 5 3 2 7 在中 则使有两解的 x 的范围是 1 30 A B C D 1 2 3 3 1 2 3 3 2 1 2 8 的外接圆的圆心为 O 半径为 1 若 且 则 2 的面积为 A B C D 1 3 3 2 2 3 9 在中 若 则是 2 2 A 等边三角形B 等腰三角形 C 直角三角形D 等腰直角三角形 10 在中 已知分别为的对边 则为 60 A B 1C 或 1D 3 2 33 2 33 2 3 11 设锐角的三内角 A B C 所对边的边长分别为 a b c 且 则 b 的取值范围为 1 2 A B C D 2 3 1 3 2 2 0 2 12 在中 内角所对边的长分别为 且满足 若 则的最大值为 2 3 A B 3C D 9 2 3 3 2 二 填空题 本大题共 7 小题 共 35 0 分 13 设的内角所对的边分别为且 则角 A 的大 1 2 小为 若 则的周长 l 的取值范围为 1 第 3 页 共 21 页 14 在中 所对边的长分别为已知 则 2 2 2 2 15 已知中 角 A B C 的对边分别是 a b c 若 则 的形状是 16 在中 若 则的形状为 2 2 17 在中 角的对边分别为 若 且 则 2 2 6 18 0 18 如果满足的三角形恰有一个 那么 k 的取值范围 60 12 是 19 已知的三个内角的对边依次为 外接圆半径为 1 且满足 则面积的最大值为 2 三 解答题 本大题共 11 小题 共 132 0 分 20 在锐角中 是角的对边 且 3 2 求角 C 的大小 1 若 且的面积为 求 c 的值 2 2 3 3 2 21 在中 角的对边分别为已知 3 求角 A 的大小 1 若 求的面积 2 7 2 第 4 页 共 21 页 22 已知中 内角所对的边分别为 且满足 求角 C 的大小 1 若边长 求的周长最大值 2 3 23 已知函数 3 2 1 2 求函数的最小值和最小正周期 1 已知内角的对边分别为 且 若向量 2 3 0 与共线 求的值 1 2 24 已知中 求的外接圆半径和角 C 的值 1 求的取值范围 2 25 中 角的对边分别是且满足 2 求角 B 的大小 1 若的面积为为且 求的值 2 3 3 4 3 第 5 页 共 21 页 26 已知分别为的三个内角的对边 且 2 2 求角 A 的大小 1 求的面积的最大值 2 27 已知函数 2 2 2 3 当时 求函数的单调递增区间 0 若方程在内恒有两个不相等的实数解 求实数 t 的取值范 1 0 2 围 28 已知 A B C 是的三个内角 向量 1 3 1 且 求角 A 1 若 求 2 1 2 2 2 3 第 6 页 共 21 页 29 在中 角的对边分别是 已知 1 2 求的值 1 若 求边 c 的值 2 2 2 4 8 30 在中 角所对的边分别为 且满足 求角 C 的大小 若 求的取值范围 2 第 7 页 共 21 页 答案和解析答案和解析 答案答案 1 D2 A3 A4 D5 A6 A7 D 8 B9 B10 B11 A12 A 13 60 2 3 14 2 4 15 等腰三角形或直角三角形 16 等腰三角形或直角三角形 17 27 2 18 或 0 12 8 3 19 3 3 4 20 解 是锐角 是角的对边 且 1 3 2 由正弦定理得 3 2 是锐角 3 2 故 3 且的面积为 2 2 3 3 2 根据的面积 1 2 1 2 2 3 3 3 2 解得 3 由余弦定理得 2 2 2 2 4 9 2 3 7 7 故得 c 的值为 7 21 本题满分为 14 分 解 由正弦定理得分 1 3 3 3 又 0 从而分 3 5 由于 0 0 3 11 故的面积为分 1 2 3 3 2 14 解法二 由正弦定理 得 7 3 2 从而分 21 7 9 又由知 所以 2 7 7 故分 3 3 3 3 21 14 12 所以的面积为分 1 2 3 3 2 14 22 解 由已知 根据正弦定理 1 得 即 2 2 2 2 2 由余弦定理得 2 2 2 2 1 2 又 0 所以 3 2 3 3 2 3 可得 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 2 1 2 2 3 6 3 由可知 可得 0 2 3 6 6 5 6 1 2 6 1 的取值范围 2 3 3 3 23 解 由于函数 1 3 2 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 2 6 1 故函数的最小值为 最小正周期为 2 2 2 中 由于 可得 2 2 6 1 0 2 6 2 3 第 9 页 共 21 页 再由向量与共线可得 1 2 2 0 再结合正弦定理可得 且 2 2 3 故有 化简可得 2 3 2 3 3 6 2 再由 可得 6 2 3 3 解得 3 2 3 24 解 由正弦定理 1 2 1 1 2 再由 可得 故有 即 2 2 再由 可得 2 2 2 由于 2 1 2 4 1 再由 可得 4 4 4 2 2 2 4 1 2 2 4 1 2 1 即的取值范围为 2 2 1 25 解 又 即 1 将 利用正弦定理化简得 2 2 2 在中 又 则 0 0 1 20 3 的面积为 2 3 3 4 3 3 2 又 1 2 3 4 3 3 4 3 3 3 1 2 由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 3 2 9 3 则 2 12 2 3 26 解 中 且 1 2 2 利用正弦定理可得 即 即 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 1 2 3 再由 利用基本不等式可得 2 2 2 44 2 当且仅当时 取等号 4 2 第 10 页 共 21 页 此时 为等边三角形 它的面积为 1 2 1 2 2 2 3 2 3 故的面积的最大值为 3 27 解 2 2 2 3 2 3 2 1 2 2 6 1 令 2 2 2 6 2 解得 3 6 由于 0 的单调递增区间为 和 0 6 2 3 依题意 由 2 2 6 1 1 解得 2 2 6 设函数与 1 2 2 2 6 由于在同一坐标系内两函数在内恒有两个不相等的交点 0 2 因为 0 2 所以 2 6 6 7 6 根据函数的图象 当2 6 6 2 2 6 1 2 1 1 2 时 当2 6 2 7 6 2 6 1 2 1 1 2 所以 1 2 28 解 1 3 1 2 3 2 1 2 1 6 1 2 0 6 6 0 4 2 2 即 2 7 4 2 2 4 8 2 2 2 2 0 2 2 由余弦定理得 2 2 2 2 8 2 7 1 7 30 本题满分为 12 分 解 在中 由正弦定理可得 即分 2 2 2 3 1 2 由 C 为三角形内角 分 3 6 由可知分 2 2 3 2 4 3 3 7 4 3 3 4 3 3 3 分 4 3 3 3 2 3 2 4 6 10 第 12 页 共 21 页 0 2 3 6 6 5 6 1 2 6 1 2 4 6 4 的取值范围为分 2 4 12 解析解析 1 解 由正弦定理可得 3 3 2 2 2 2 为锐角三角形 且 0 90 0 90 120 30 90 4 120 4 3 2 1 2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 2 30 1 30 90 30 2 30 150 1 2 2 30 1 2 2 2 30 1 4 即 2 3 由余弦定理可得 可得 3 33 2 2 2 2 3 2 2 3 4 3 11 15 故选 D 由正弦定理可得 结合已知可先表示 然后由为 3 3 2 2 锐角三角形及可求 B 的范围 再把所求的 bc 用表示 利用三 120 角公式进行化简后 结合正弦函数的性质可求 bc 的范围 由余弦定理可得 从而可求范围 2 2 3 4 3 本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦 余弦公式及辅助角公式的 综合应用 解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用 属于中档题 2 解 因为 2 所以 2 所以 即 0 0 因为是三角形内角 所以 三角形为等腰三角形 故选 A 第 13 页 共 21 页 通过三角形的内角和 以及两角和的正弦函数 化简方程 求出角的关系 即可判断 三角形的形状 本题考查两角和的正弦函数的应用 三角形的判断 考查计算能力 属于基础题 3 解 60 1 3 1 2 1 2 1 3 2 4 2 2 2 2 1 14 2 1 4 1 2 13 13 2 2 13 3 2 2 39 3 故选 A 先利用面积公式求得 c 的值 进而利用余弦定理可求 a 再利用正弦定理求解比值 本题的考点是正弦定理 主要考查正弦定理的运用 关键是利用面积公式 求出边 再利用正弦定理求解 4 解 设的外接圆半径为的外接圆半径为 1 2 则由题意 2 1 2 2 点 M 在直线 EF 上从左到右运动 点 M 不与 E F 重合 对于 M 的每一个位置 由正弦定理可得 1 1 2 2 1 2 又 可得 1 2 可得 1 故选 D 设的外接圆半径为的外接圆半径为 则由题意 由正弦 1 2 2 1 2 2 定理可得 结合 可得 1 1 2 2 1 2 即可得解 1 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用 考查了分类讨论思想和转化思想的应 用 属于基础题 5 解 设 2 设三角形的顶角 则由余弦定理得 2 2 2 9 2 2 5 2 9 4 2 1 2 144 9 2 5 2 4 2 根据公式三角形面积 1 2 1 2 2 2 144 9 2 5 2 4 2 144 9 2 5 2 2 当时 三角形面积有最大值 此时 2 5 5 AB 的长 2 5 故选 A 第 14 页 共 21 页 设 三角形的顶角 则由余弦定理求得的表达式 进而根据同角三 2 角函数基本关系求得 最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式 根 据一元二次函数的性质求得面积的最大值时的 x 即可 本题主要考查函数最值的应用 根据条件设出变量 根据三角形的面积公式以及三角 函数的关系是解决本题的关键 利用二次函数的性质即可求出函数的最值 考查学生 的运算能力 运算量较大 6 解 中 即 1 又为等边三角形 1 2 1 2 2 3 1 2 2 1 3 4 2 2 2 3 5 3 4 2 3 5 3 4 故当时 取得最大值为 1 0 3 3 2 3 3 2 3 故的最大值为 2 5 3 4 8 5 3 4 故选 A 依题意 可求得为等边三角形 利用三角形的面积公式与余弦定理可求得 从而可求得平面四边形 OACB 面积的最大值 2 3 5 3 4 0 1 30 1 则使有两解的 x 的范围是 1 定出 x 的范围 此题考查了正弦定理 以及特殊角的三角函数值 画出正确的图形是解本题的关键 8 解 由于 由向量加法的几何意义 O 2 为边 BC 中点 的外接圆的圆心为 O 半径为 1 三角形应该是以 BC 边为斜边的直角三角形 斜边 2 2 第 15 页 共 21 页 又 1 2 2 22 12 3 1 2 1 2 1 3 3 2 故选 B 由 利用向量加法的几何意义得出是以 A 为直角的直角三角形 2 又 从而可求的值 利用三角形面积公式即可得解 本题主要考查了平面向量及应用 三角形面积的求法 属于基本知识的考查 9 解 由题意 1 2 即 1 亦即 1 0 故选 B 利用可得 再利用两角和差的余弦可求 2 2 1 2 1 2 本题主要考查两角和差的余弦公式的运用 考查三角函数与解三角形的结合 属于基础 题 10 解 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 故选 B 先通过余弦定理求得 ab 和的关系式对原式进行通分 把 ab 的表达式代入 2 2 2 即可 本题主要考查了余弦定理的应用 解题的关键是找到和 c 的关系式 11 解 锐角中 角 A B C 所对的边分别为 a b 2 且 0 2 2 3 2 3 6 3 2 2 3 2 1 2 由正弦定理可得 2 2 2 2 3 则 b 的取值范围为 2 3 第 16 页 共 21 页 故选 A 由题意可得 且 解得 A 的范围 可得的范围 由正弦定理 0 2 2 2 3 求得 根据的范围确定出 b 范围即可 2 此题考查了正弦定理 余弦函数的性质 解题的关键是确定出 A 的范围 12 解 2 由正弦定理 得 2 2 又 0 1 2 3 由余弦定理可得 3 2 2 可得 3 2 即有 代入 可得 33 2 3 2 3 3 12 的最大值为 2 3 故选 A 利用正弦定理化边为角 可求导 由此可得 B 由余弦定理可得 由基本不等式可得 代入 可得的最 3 2 2 33 2 3 大值 该题考查正弦定理 余弦定理及其应用 基本不等式的应用 考查学生运用知识解决 问题的能力 属于中档题 13 解 变形得 1 2 2 2 利用正弦定理得 2 2 2 2 2 即 2 2 1 0 由 得到 0 1 2 又 A 为三角形的内角 则 60 即 1 3 2 120 120 即 2 3 3 2 3 3 2 3 3 120 则的周长 1 2 3 3 2 3 3 120 1 2 3 3 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 2 30 0 120 30 30 150 第 17 页 共 21 页 即 1 2 30 1 2 1 2 30 3 则 l 范围为 2 3 故答案为 60 2 3 将已知的等式左右两边都乘以 2 变形后 利用正弦定理化简 再利用诱导公式及两角 和与差的正弦函数公式变形 根据不为 0 得出的值 由 A 为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数 由 A 的度数求出的值 及的度 数 用 B 表示出 C 由正弦定理表示出 b 与 c 而三角形 ABC 的周长 将 表示出的 b 与 c 及 a 的值代入 利用两角和与差的正弦函数公式化简 整理后再利 用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数 由 B 的 范围求出这个角的范围 利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域 即可 得到 l 的范围 此题考查了正弦定理 两角和与差的正弦函数公式 诱导公式 正弦函数的定义域与 值域 以及特殊角的三角函数值 利用了转化的思想 熟练掌握定理及公式是解本题 的关键 14 解 在中 2 2 2 由正弦定理可得 2 2 2 联立可解得 2 由余弦定理可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 再由二倍角公式可得 1 2 2 2 3 4 解得或 2 2 4 2 2 4 再由三角形内角的范围可得 2 0 2 故 2 2 4 故答案为 2 4 由题意和正弦定理可得 代入余弦定理可得 由二倍角公式和三角形 2 内角的范围可得 本题考查解三角形 涉及正余弦定理和二倍角公式 属中档题 15 解 将代入已知等式得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 整理得 2 2 2 2 2 2 当 即时 为直角三角形 2 2 2 0 2 2 2 当时 得到为等腰三角形 2 2 2 0 则为等腰三角形或直角三角形 第 18 页 共 21 页 故答案为 等腰三角形或直角三角形 利用余弦定理表示出与 代入已知等式 整理后即可确定出三角形形状 此题考查了余弦定理 勾股定理 以及等腰三角形的性质 熟练掌握余弦定理是解本 题的关键 16 解 原式可化为 2 2 2 2 或或 2 2 2 2 2 故答案为等腰三角形或直角三角形 左边利用正弦定理 右边 切变弦 对原式进行化简整理进而可得 A 和 B 的关系 得到答案 本题主要考查了正弦定理的应用 考查了学生利用正弦定理解决三角形问题的能力 17 解 由已知 即 根据正弦 定理 得 即 2 2 2 2 2 由余弦定理得 2 2 2 2 1 2 又所以 0 3 可得 2 2 6 18 0 3 2 3 2 0 所以 三角形是正三角形 3 3 3 3 120 27 2 故答案为 27 2 通过正弦定理化简已知表达式 然后利用余弦定理求出 C 的余弦值 得到 C 的值 通过 求出的值 推出三角形的形状 然后求解数量积的 2 2 6 18 0 值 本题考查正弦定理与余弦定理的应用 三角函数的值的求法三角形形状的判断 向量 数量积的应用 考查计算能力 18 解 1 当 即12 8 3时 三角形无解 2 当 即12 60 即 8 3时 三角形有1解 3 当 即 60 12 即12 8 3 三角形有2个解 当 即时 三角形有 1 个解 4 0 0 12 综上所述 当时 三角形恰有一个解 0 12或 8 3 故答案为 0 12或 8 3 要对三角形解得各种情况进行讨论即 无解 有 1 个解 有 2 个解 从中得出恰有一 个解时 k 满足的条件 本题主要考查三角形解得个数问题 重在讨论 易错点在于可能漏掉这种情况 8 3 19 解 由 利用正弦定理可得 1 2 2 2 2 第 19 页 共 21 页 4 2 2 2 2 2 即 2 即 0 1 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 当且仅当时 取等号 3 面积为 1 2 1 2 3 3 2 3 3 4 则面积的最大值为 3 3 4 故答案为 3 3 4 利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边 利用正弦定理化简已知的等式 右边 整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简 根据不为 0 可 得出的值 然后利用余弦定理表示出 根据的值 得出 2 2 2 再利用正弦定理表示出 a 利用特殊角的三角函数值化简后 再利用基本不等式可得 出 bc 的最大值 进而由的值及 bc 的最大值 利用三角形的面积公式即可求出三 角形 ABC 面积的最大值 此题考查了正弦 余弦定理 同角三角函数间的基本关系 两角和与差的正弦函数公 式 诱导公式 三角形的面积公式 以及基本不等式的运用 熟练掌握定理及公式是 解本题的关键 属于中档题 20 利用正弦定理可求角 C 的大小 1 直接利用的面积求解出 b 再用余弦定理可得 2 1 2 本题考查了正弦定理 余弦定理的运用和计算能力 21 由弦定理化简已知可得 结合 可求 1 3 0 3 结合范围 可求 A 的值 0 解法一 由余弦定理整理可得 即可解得 c 的值 利用三角形面积公 2 2 2 3 0 式即可计算得解 解法二 由正弦定理可求的值 利用大边对大角可求 B 为锐角 利用同角三角函 数基本关系式可求 利用两角和的正弦函数公式可求 进而利用三角形面积 公式即可计算得解 本题主要考查了正弦定理 余弦定理 三角形面积公式 大边对大角 同角三角函数 基本关系式 两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用 考查了转化思想 属于基 础题 22 通过正弦定理化简已知表达式 然后利用余弦定理求出 C 的余弦值 得到 C 的 1 值 由已知利用正弦定理可得 利用三角函数恒等变换的应 2 2 2 2 3 第 20 页 共 21 页 用化简可求 根据的范围 利用正弦函数的图象和 2 3 6 3 6 性质得到结果 本题考查正弦定理与余弦定理的应用 三角函数的值的求法 以及三角函数恒等变换 的应用 考查计算能力和转化思想 属于中档题 23 化简函数的解析式为 可得函数的最小值为 最小正周期 1 2 6 1 2 为 2 2 中 由 求得再由向量与 2 2 6 1 0 3 1 共线可得 再由可得 化简 2 2 0 2 3 2 3 2 求得 故再由正弦定理求得 a b 的值 6 2 本题主要考查两角和差的正弦公式 正弦定理 两个向量共线的性质 属于中档题 24 由正弦定理求得外接圆半径再由 可得 化简 1 得 2 2 再由 可得 由此可得 C 的值 2 2 由于再由 利用正弦 2 2 4 1 4 函数的定义域和值域 求