河南中考中的证明题(含答案)

1 河南中考中的几何证明题河南中考中的几何证明题 2007 17 9 分 如图 点 E F G 分别 是 ABCD 的边 AB BC CD DA 的中点 求证 BEF DGH 2007 20 9 分 如图 ABCD 是边长为 1 的正方形 其中 的圆心依次是点 DE EF FG A B C 1 求点 D 沿三条圆弧运动到 G 所经过的路线长 2 判断直线 GB 与 DF 的位置关系 并说明理由 F G D E C B A 2008 18 9 分 复习 全等三角形 的知识时 老师布置了一道作业题 如图 已知在 ABC 中 AB AC P 是 ABC 内部任意一点 将 AP 绕 A 顺时针旋转至 AQ 使 QAP BAC 连接 BQ CP 则 BQ CP 小亮是个爱动脑筋的同学 他通过对图 的分析 证明了 ABQ ACP 从而 证得 BQ CP 之后 将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外 原题中的条件不变 发现 BQ CP 仍然成立 请你就图 给出证明 2008 21 9 分 如图 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标是 10 0 点 B 的坐标为 8 0 点 C D 在以 OA 为直径的半圆 M 上 且四边形 OCDB 是平行四边形 求点 C 的坐标 G H E F D C B A 图 Q P C B A A Q B P C 图 B C A y x O M D 2 2009 17 9 分 如图所示 BAC ABD AC BD 点 O 是 AD BC 的交点 点 E 是 AB 的中点 试 判断 OE 和 AB 的位置关系 并给出证明 2009 21 10 分 如图 在 Rt ABC中 ACB 90 B 60 BC 2 点0是AC的中点 过点0 的直线l从与AC重合的位置开始 绕点0作逆时针旋转 交AB边于点 D 过点C作CE AB交直线l于点E 设直线l的旋转角为 1 当 度时 四边形EDBC是等腰梯形 此时AD的长为 当 度时 四边形EDBC是直角梯形 此时AD 的长为 2 当 90 时 判断四边形EDBC是否为菱形 并说明理由 2010 17 9 分 如图 四边形 ABCD 是平行四边形 AB C 和 ABC 关于 AC 所在的直线对称 AD 和 B C 相交于点 O 连接 BB 1 请直接写出图中所有的等腰三角形 不添加字母 2 求证 AB O CDO 2010 19 9 分 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC E 是 BC 的中点 AD 5 BC 12 CD C 45 点 P 是 BC 边上一动点 设 PB 的长为 x 24 1 当 x 的值为 时 以点 P A D E 为顶点的四边形为直角梯形 2 当 x 的值为 时 以点 P A D E 为顶点的四边形为平行四边形 3 点 P 在 BC 边上运动的过程中 以 P A D E 为顶点的四边形能否构成菱形 试说明理 由 O B A B C D 3 PE A BC D 2011 17 9 分 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC 延长 CB 到点 E 使 BE AD 连接 DE 交 AB 于 点 M 1 求证 AMD BME 2 若 N 是 CD 的中点 且 MN 5 BE 2 求 BC 的长 2012 18 9 分 如图 在菱形 ABCD 中 AB 2 DAB 60 点 E 是 AD 边的中点 点 M 是 AB 边上一动点 不与点 A 重合 延长 ME 交射线 CD 于点 N 连接 MD AN 1 求证 四边形 AMDN 是平行四边形 E AMB CDN 2 填空 当 AM 的值为 时 四边形 AMDN 是矩形 当 AM 的值为 时 四边形 AMDN 是菱形 4 其他省市证明题其他省市证明题 1 如图 在四边形中 对角线交于点 ABCDACBD E 求9045302BACCEDDCEDE 2 2BE 的长和四边形的面积 CDABCD 答案 CD 2 面积 3 根号 3 9 2 2 已知 如图 是的直径 是上一点 于点 过ABO CO ODBC D 点作的切线 交 的延长线于点 连结 CO ODEBE 1 求证 与相切 BEO 2 连结并延长交于点 若 求的ADBEF9OB 2 sin 3 ABC BF 长 5 3 如图 AD 是 ABC 的角平分线 过点 D 作 DE AB DF AC 分别交 AC AB 于点 E 和 F 1 在图中画出线段 DE 和 DF 2 连接 EF 则线段 AD 和 EF 互相垂直平分 这是为什么 考点 菱形的判定与性质 作图 复杂作图 分析 1 根据题目要求画出线段 DE DF 即可 2 首先证明四边形 AEDF 是平行四边形 再证明 EAD EDA 根据等角对等边可得 EA ED 由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形 AEDF 是菱形 再根据菱形的性 质可得线段 AD 和 EF 互相垂直平分 解答 解 1 如图所示 2 DE AB DF AC 四边形 AEDF 是平行四边形 AD 是 ABC 的角平分线 FAD EAD AB DE 6 FAD EDA EAD EDA EA ED 平行四边形 AEDF 是菱形 AD 与 EF 互相垂直平分 点评 此题主要考查了画平行线 菱形的判定与性质 关键是掌握菱形的判定方法 判定四边形为菱 形可以结合菱形的性质证出线段相等 角相等 线段互相垂直且平分 4 如图 AB 是 O 的直径 AC 是弦 OD AC 于点 D 过点 A 作 O 的切线 AP AP 与 OD 的延 长线交于点 P 连接 PC BC 1 猜想 线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系 并证明你的结 论 2 求证 PC 是 O 的切线 考点 切线的判定与性质 全等三角形的判定与性质 三角形中位线定理 圆周角定理 分析 1 根据垂径定理可以得到 D 是 AC 的中点 则 OD 是 ABC 的中位线 根据三角形的中位 线定理可以得到 OD BC CD BC 2 连接 OC 设 OP 与 O 交于点 E 可以证得 OAP OCP 利用全等三角形的对应角相 等 以及切线的性质定理可以得到 OCP 90 即 OC PC 即可等证 解答 1 猜想 OD BC CD BC 证明 OD AC AD DC AB 是 O 的直径 OA OB 2 分 OD 是 ABC 的中位线 7 OD BC OD BC 2 证明 连接 OC 设 OP 与 O 交于点 E OD AC OD 经过圆心 O 即 AOE COE 在 OAP 和 OCP 中 OA OC OP OP OAP OCP OCP OAP PA 是 O 的切线 OAP 90 OCP 90 即 OC PC PC 是 O 的切线 点评 本题考查了切线的性质定理以及判定定理 三角形的中位线定理 证明圆的切线的问题常用的 思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题 5 如图所示 在 是边的中点 垂足为 已Rt ABC 90ACB DABBECD E 知 15AC 3 5 cosA 求线段的长 CD 求的值 sin DBE 答案 25 2 7 25 6 如图所示 在菱形中 点 分别在 上 与ABCDEFBCCDBAFDAE AE 相交于点 BDG 求证 BEDF 当时 求证 四边形是平行四边形 DFAD FCDF BEFG E D BC A E D C B A F G 8 7 8 分 如图 在 ABC 中 BA BC 以AB 为直径作半圆 O 交AC 于点D 连结DB 过点D 作DE BC 垂足为点E 1 求证 DE 为 O 的切线 2 求证 DB2 AB BE 8 如图 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 相交于点O E F 分别在OD OC 上 且DE CF 连接DF AE AE 的延长线交DF于点M 求证 AM DF 9 2012 重庆 已知 如图 在菱形 ABCD 中 F 为边 BC 的中点 DF 与对角线 AC 交于点 M 过 M 作 ME CD 于点 E 1 2 1 若 CE 1 求 BC 的长 2 求证 AM DF ME 考点 菱形的性质 全等三角形的判定与性质 解答 1 解 四边形 ABCD 是菱形 AB CD 1 ACD 1 2 ACD 2 MC MD ME CD CD 2CE CE 1 CD 2 BC CD 2 2 证明 如图 F 为边 BC 的中点 BF CF BC CF CE 在菱形 ABCD 中 AC 平分 BCD 9 ACB ACD 在 CEM 和 CFM 中 CEM CFM SAS ME MF 延长 AB 交 DF 于点 G AB CD G 2 1 2 1 G AM MG 在 CDF 和 BGF 中 CDF BGF AAS GF DF 由图形可知 GM GF MF AM DF ME 10 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 分别以 AB CD 为边向外侧作等边三角形 ABE 和 等边三角形 DCF 连结 AF DE 1 求证 AF DE 2 若 BAD 45 AB ABE 和 DCF 的面积之和a 等于梯形 ABCD 的面积 求 BC 的长 解解 1 在梯形中 AD BC ABCDABCD BADCDA 而在正和正中 ABE DCF 且 ABAE DCDF 60BAECDF 且且 AD 公共 AEDF EADFDA AEDDFA SAS AFDE 2 如图作 则有 BHAD CKAD BCHK 45HABKDC 10 22ABBHAH 同理22CDCKKD 2 ADBCHB S 梯 ABa 2 22 22 2 22 22 aBCa aaBC S 梯 而 2 3 4 AEBDCF SSa 而由题得AEBDCF SSS 梯 2 2 32 2 42 aaBC a 62 2 BCa 11 如图 ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形 BAC EDF 90 DEF 的顶点 E 与 ABC 的斜边 BC 的中点重合 将 DEF 绕点 E 旋转 旋转过程中 线段 DE 与线段 AB 相交于点 P 线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q 1 如图 当点 Q 在线段 AC 上 且 AP AQ 时 求证 BPE CQE 2 如图 当点 Q 在线段 CA 的延长线上时 求证 BPE CEQ 并求当 BP a CQ 9 2 a时 P Q 两点间的距离 用含a的代数式表示 45 45 45135 45135 45 ABC ABACABCACB EBCBECE ABACABCACBBECE DEF DEFBEPCEQ QCECQECEQBEPCQE BQCEBPECE 1 解 为等腰直角三角形 点为边中点 在BPE与C Q E 中 BPEC Q E 2 证明 为等腰直角三角形 又 22 993 23 2 222 93 33 22 32 35 2 22 Q BPBE BPECEQ CECQ BECE BPa CQaBEaBEaBCa ABCABACaAQCQACaaa APABBPaaa PQ Rt APQAQa APaPQa 为等腰直角三角形 连接 在中 11 12 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 过点 D 作 DE BC 垂足为 E 并延长 DE 至 F 使 EF DE 联结 BF CD AC 1 求证 四边形 ABFC 是平行四边形 2 如果 DE2 BE CE 求证四边形 ABFC 是矩形 A B D F C E 解 1 等腰梯形 ABCD 中 AB DC B DCB DFC 是等腰三角形 DCB FCE DC CF 所以 B FCE AB CF 易证四边形 ABFC 是平行四边形 2 提示 射影定理的逆定理不能直接在中考中使用 必须通过相似三角形来证明 内角为 90 13 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 于 H 过 CD 延长线上一点 E 作 O 的切线交 AB 的延长 线于 F 切点为 G 连接 AG 交 CD 于 K 1 求证 KE GE 2 若 2 KG KD GE 试判断 AC 与 EF 的位置关系 并说明理由 3 在 2 的条件下 若 sinE 3 5 AK 求 FG 的长 2 5 13 2 2 9090 CDAB9090 2 OBGOFGBBAG OAGBFGBEGK AHKAKHKAH FGBBAGEGKAKHAKHEKGEGKEKGKEGE GD KGKD GE KEGE KGKE KGKD KE KDKG 1 证明 连接BG FE为的切线且为的弦弦切角定理 AB为的直径 证明连接 又 33 sinsin 55 5 3 3 5 sin 5 4 3 EKGGKDEKGGKDKEGKGD KGDACEACECEGACEF ACCK ACKKE E ACCKx Rt ACHACx CHx AHx GAKCEKGACKGEKKEGEACCK GEEK ACECEGACE AC K E H 同弧所对的圆周角相等 且 令 在中 22 2 CDAB4 52 3 5 3 2025 2 4 2 3