第五章位置的确定

第五章 平面直角坐标系 本章综合解说 教学目标 1 从事对现实世界中确定位置的现象进行观察 分析 抽象和概括的活动 经历探索图形坐标 的变化与图形形状的变化之间关系的过程 进一步发展同学们的数形结合意识 形象思维能力和 数学应用能力 2 认识并能画出平面直角坐标系 在给定的直角坐标系中 会根据坐标描出点的位置 由点的位 置写出它的坐标 3 能在方格纸上建立适当的直角坐标系 描述物体的位置 能结合具体情景灵活运用多种方式 确定物体的位置 4 在同一直角坐标系中 感受图形变化后的坐标的变化和各点坐标变化后图形的变化 学法建议 图形与坐标 是 空间与图形 的四个重要组成部分之一 它是发展同学们空间观念的重 要载体 作为第一 二学段 图形与位置的发展 本章是第三学段 图形与坐标 的主体内容 不 仅呈现了 确定位置的多种方法 平面直角坐标系 等内容 而且也从坐标的角度使同学们进一 步体会图形平移 轴对称的数学内涵 同时 本章又是本册第六章 一次函数 的重要基础 本章按照先一般 后特殊的编排方式 首先通过丰富多彩 形式多样的确定位置的方式 使同 学们感受丰富的确定位置的现实背景 然后让同学们立足于非常实际的背景材料 比较系统的学习 平面直角坐标系的有关内容 最后 通过 直角坐标中的图形 这样一个趣味性较强的话题 将图 形坐标的变化与图形形状的变化之间的关系巧妙的结合在一起 本章力图以现实的题材呈现有关内容 以有趣的 有一定挑战性的问题呈现 由点找坐标 由坐标确定点的位置 建立简单的平面直角坐标系 等活动 力图反映平面直角坐标系与现实世 界的联系 通过 变化的鱼 呈现在现实生活中大量存在的图形变换 如电视屏幕上的各种画面 处理等 对于确定位置的多种方式 本章通过形式多样的题材 怪兽吃豆 电影院找座位 地图上确定城市的位置 等 将现实生活中常用的定位方法呈现在每个同学面前 其中既有反映 极坐标思想的定位方法 也有反映直角坐标思想的定位方法 这种呈现方式 一是为了使同学们在相对轻松 有趣的活动中理解坐标思想及其由来 进一步 发展同学们的合情推理能力和丰富的情感 态度 尤其是学习数学的兴趣 二是在大量实际运用 中掌握确定位置的基本方法 以及平面直角坐标系的基础知识和基本方法 1 确定位置 教材分析 1 学习目标与要求 1 让同学们在现实情境中感受确定物体位置的多种方式 方法 2 明确在生活中确定物体位置的方法 并能比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置 3 建立在方格纸上确定位置的过程 进一步体会平面位置确定的两种主要表达方式 4 能反映直角坐标思想的定位方式及用反映极坐标思想的定位方式来确定点的位置 2 新知识点全解 1 在平面上确定物体位置的方式 在平面上确定物体位置 一般有两种方式一般有两种方式 用两个数据 a 和 b 记作 a b 其中 a 表示排 或经 b 表示号 或纬 用两个数据 a 和 m 其中 a 表示方向的角度 方位角 b 表示物体离观测点 基点 的距离 2 生活中确定位置的其他方法 例如 多层电影院确定座位位置必须有三个数据 a b c 其中 a 表示层数 b 表示排号 c 表示座 号 即 a 层 b 排 c 号 确定小区中住户的位置必须有四个数据 分别为楼号 a 单元号 b 层数 c 和住户号 d 即 a 楼 b 单元 c 层 d 号 区域定位法 绘出所在区域代号 如 B3 D5等 3 课内问题搜索 P124议一议 1 在只有一层的电影院内 确定一个座位一般需要两个数据 一个用来确定排 一个用来确定 号 如果是多层的电影院 一般还需要另外一个数据 确定位置在几层 前者实际上是平面上的 确定位置 平面是二维的 自然需要两个独立的数据 而后者是空间中的确定位置 自然需要三个数 据 2 在生活中 确定物体的位置的方法很多 如用方位角和距离确定位置 用经纬度确定位置 区域 定位法 P126议一议 1 这种确定位置的方法属于区域定位法 在本题中 广州起义烈士陵园 在 C4区 广州火车 站 在 B3区 2 生活中利用类似方法确定位置的实例还很多 如小明住在 7 号楼 1 单元 3 层 302 号 大树 A 在 水井 B 的北偏西 200 距离 2 米处 P128做一做 1 图 中五角星五个顶点的位置可以表示为 4 2 10 2 11 7 7 10 3 7 2 图 中五枚棋子的位置可以表示为 5 1 11 1 13 7 9 10 4 5 3 本题可以让学生照图指认 P129想一想 仅用一个数据不能确定教学楼的位置 P128做一做 其他几个位置依次是 0 0 1 0 3 2 3 4 5 4 5 6 7 6 7 8 典型例题讲解 例 1 学习完 确定位置 一节后 张老师出示了一道题 根据下列条件 能确定位置的是 填序号即可 1 座号是 3 排 6 号 2 某城市在东京 1180 北纬 390 3 家住发展街 20 号 4 A 地距 B 地 30 千米 5 沉船 C 在海岸观测点 A 的北偏东 400 海岸观测点 B 的西北方向 点拨 解决此类问题 其关键是紧紧抓住平面内确定平面内点的位置的条件不放 并结合生活实 践 在理解的基础上去分析和判断 解 1 2 3 5 在平面内 要确定一个点的位置 一般需要两个数据 这两个数据有多种表示方法 如 1 中的 排 号 2 中在地图上确定国家或城市的经纬度 3 中的 发展街 实质上也可看做是一个数据 5 中由于知道船 C 相当于每个观测点的方位角 则可知 C 既在射线 AC 上 又在射线 BC 使 两条射 线的交点就是沉船 C 的位置 而对于 4 由于只知 A 地到 B 地的距离为 30 千米 这一个数据 故无法确定 B 的准确位置 跟踪练习 1 确定一个地点的位置 下列说法中正确的是 A 偏北 200 200 米 B 东北方向 C 距此 300 米 D 距此北 300 米 例 2 如图 5 1 1 所示是某学校的平面图的一部分 其中 A 代表音乐楼 B 代表实验楼 C 代表图书 馆 正方形网络中每个小正方形的边长单位为 1 试结合图形回答下列问题 C A B 1 若用 1 4 表示音乐楼 A 的位置 那么实验楼 B 和图书馆 C 的位置如何表示 2 图书馆 C 在音乐楼 A 的什么方向上 它到音乐楼 A 的距离为多少 实验楼 B 位于音乐楼 A 的什 么方向上 它到音乐楼 A 有多远 3 若在三座楼房之间修三条路 AC AB BC 4 设东北方向为 东南方向为 若 B 点相当于 A 点的位置记作 450 3 则 C 点2 相当于 A 点的位置如何表示 点拨 解决此题的关键在于通过网格确定各点的位置以及各点之间的位置关系 特别是方位角 和距离应是我们考虑的重点 解 1 实验楼 B 用 4 1 表示 图书馆 C 用 5 8 表示 1 9 8 7 6 5 1 4 2 3 1234567980 2 图书馆 C 在音乐楼 A 的东北方向 即北偏东 450 它到音乐楼 A 的距离为 4 实验楼 B 位于2 音乐楼的东南方向 东偏南 450 它到音乐楼 A 的距离为 3 2 3 由图可知 CAB 900 所有 三条路 AC BC AB 的长有下列关系 AC2 AB2 BC2 4 C 点相当于 A 点的位置可记作 450 4 2 跟踪练习 2 如图 5 1 2 所示是小明家与周围地区的行走路线示意图 对小明家来说 北偏西 450的方向上有 个地方 分别是 要想确定电视台的位置 还需要 个数据 距小明家 300 米处有 例 3 如图 5 1 3 所示为一公园的平面示意图 A 为孔雀园 B 为猴山 C 为鹦鹉园 D 为天鹅园 E 为 熊猫园 F 为狮虎园 现在对孔雀园来说 1 猴山在北偏东多少度方向上 要想确定猴山的位置 还需要什么数据 2 与孔雀园距离相等的有几个园 它们是什么 3 要确定狮虎园的位置需要几个数据 请借助刻度尺 量角器 说出狮虎园距鹦鹉园的位置 点拨 在图上我们可以看到线段与水平方向的夹角为 300 但它并不代表猴山在孔雀园的北偏东 300的方向上 而应在北偏东 600的方向 这是因为方位角应是与铅直方向的夹角 同时要想确定猴 山的位置还需知道猴山距孔雀园的距离 通过刻度尺的测量可以得到与孔雀园距离相等的园有两 个 另外想要确定狮虎园的位置需要两个数据 分别是方位角和距离 解 1 猴山在孔雀园的北偏东 600的方向上 要想确定猴山的位置 还需要知道猴山到孔雀园的 距离 2 与孔雀园距离相等的两个园 它们是 A 鹦鹉园 B 熊猫园 3 要想确定狮虎园的位置需要两个数据 通过测量得出狮虎园在鹦鹉园的方向 距鹦鹉园 2 厘米 跟踪练习 3 如图 5 1 4 所示是某野生动物园平面示意图 借助刻度尺 量角器解决下面的问题 野生动物园平面图 比例尺 1 10000 如果用 1 7 表示动物园的大门的位置 那么 金鱼馆 象房的位置如何表示 3 10 和 8 5 分 别表示哪个地点的位置 在大门的南偏东 400的方向上有什么动物展馆 它到大门的图上距离是多少厘米 实践距离是多 少米 草兽馆位于大门的什么方向上 它离大门的实际距离是多少 用语言说出草兽馆的位置 分别用两种不同的方法说出虎山的位置和猴山的位置 例 4 如图 5 1 5 如果用 1 0 表示 A 点的位置 那么 1 4 2 5 6 分别表示哪两个点 2 图中两点 D E 的位置如何表示 C D E B 5 1 5 A A 3 若从点运动到点有这样一条中径 1 0 1 1 1 2 2 2 3 2 4 2 你能用同样 的方法写出由 A 点到 B 点的其他两条路径吗 点拨点拨 因为 A 点的位置是 1 0 由此可以推出 A 点左边的点的位置是 0 0 那么沿着该点向右 移动一格括号内的第一个数字就为 1 若向上移动一格括号内的第二个数字就为 1 也就是若点左 右移动就变化括号内的第一个数字 若上下移动就变化括号内的第二个数字 解 1 4 2 表示 B 点 5 6 表示 C 点 2 D 点的位置表示为 7 4 E 点的位置表示为 8 3 3 其他的两条路径表示为 1 0 2 0 3 0 4 0 4 1 4 2 1 0 1 1 2 1 2 2 3 2 4 2 跟踪练习 4 如图 5 1 6 所示 是某城市公园周围街巷的示意图 A 点 表示街 1 与街 2 的十字路口 B 点表示 3 街与 5 街的十字路口 如果用 1 2 2 2 3 2 3 3 3 4 3 5 表示由 A 到 B 的一条路径 那么 你能用同样的方式写出由 A 到 B 的尽 可能近的其他几条路径吗 过关练习精选 1 选择题 1 甲看乙的方向为北偏东 300 那么乙看甲的方向是 A 偏东 600 B 南偏西 600 C 南偏东 300 D 南偏西 300 2 某电影院是具有三层楼座位的大型电影院 小明买了一张该电影院的门票 若他想知道他在哪 个位置 需从电影票上找到的相关数据的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 3 排列做操队形时 甲乙丙的位置如图 5 1 7 所示 甲说 如果我的位置用 0 0 来表示 乙的位置 用 2 1 表示 那么丙的位置是 A 5 4 B 4 5 C 3 4 D 4 3 5 1 7 2 填空题 1 某市大约位于北纬 400 东京 1130 用一个有序数对表示应是 纬度在前 2 小明利用 office 电子表格计算 B 2 到 F 2 的和 其结果应为 如图 5 1 8 A A B B C C D D E E F F 1 1 4 6 2 5 9 3 2 2 2 3 4 5 6 7 3 3 3 3 5 8 2 6 4 4 4 2 7 5 10 9 5 1 8 3 如图 5 1 9 图所示 B 港在离 A 观测站的正北海里处 一艘轮船从 B 港出发向东匀速航行 观测 站第一次测得该船在 A 地的北偏东 300的 M 处 半小时后又测得该船在 A 地的北偏东 600的 N 处 则该船的速度为 3 解答题 1 如图 5 1 10 所示 在正方形网格中 设点的位置记作 2 7 试写出点 A B C D E F G N P Q 各点的位置 若正方形网格中每个小正方形的边长均为 a 试判断四边形 MNPQ 的形状 并求出两个图形的面 积 甲 丙 A 乙 A Q MP N FE GD AC 5 1 10 2 如图 5 1 11 所示 是某公司一周的股票涨跌情况 试结合股市行情表回答下列问题 若星期一的股市记作 1 4 5 则星期二 星期三 星期四 星期五的股市应分别记作什么 6 5 5 是星期几的股市行情 在本周内 星期几大股市行情最好 星期几的股市行情最差 3 如图 5 1 12 所示 在东西方向大海岸线上有一海事监测站 S 在监测站前方有一 灯塔 P 若示意图的比例尺为 1 100000 请回答下列问题 监测站测得灯塔 P 离监测站的距离为 2000 米 要确定灯塔 P 大位置还需要什么数据 请借 助刻度尺或量角器 补上这个数据 并说明灯塔 P 的位置 监测站在上午 8 时观察到北偏东 500方向上 有一艘货轮 A 在向西航行 为确定这时货轮的 位置 还需时什么数据 请在示意图上借助刻度尺补上这个数据 并说出在 8 时该货轮所在的 位置 在 8 时半监测站发现该货轮已航行到北偏西 400 距观测站 4000 米的位置 请在图上标出这 4 01 2 345678910 9 8 7 6 5 3 2 1 时货轮所在的位置 B 你能否由此知道该货轮航行的速度是每小时多少千米 请借助刻度尺试一试 能力升华 新中考指向 1 如图所示是某高新技术开发区规划示意图 并将 开发区管理中心 健在 A2区内 那么 A B C 1 基因工程研究所生化制药厂 2 开发区管理中心 3 计算机组装厂 4 电子元件厂 1 根据图中所标分别说出 基因工程研究所 生化制药厂 电子元件厂 计算机组 装厂 所在的区域 2 计划在 A4区内建一个 软件开发公司 请在图上相应区内标上该企业名称 3 文具店 书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上 文具店在书店西边 20m 处 玩具店位于书店东边 100m 处 小明从书店沿街向东走了 40m 接着又向东走了 60m 画出文具店 书店和玩具店的地理位置简图 并标出小明此时的位置 3 2005 年常德市中考试题 如图 在甲 乙两地之间修一条笔直的 公路 从甲地测得公路的走向是北偏东 48 甲 乙两地间 同时开工 若干天后 公路准确接通 则乙地所修公 路的走向是南偏西 度 4 如图 一艘轮船向正东方向航行 上午 9 时测得它在灯塔 P 的南偏西 30 方向 距离灯塔 120 海里的 M 处 上午 11 时到达这座灯塔的正南方向的 N 处 则这艘轮船在这段时间内航行的平均 北 北 甲 乙 速度是 海里 时 东 东 MN P 5 在直角坐标系中 A 1 2 点的横坐标乘以 1 纵坐标不变 得到 A 点 则 A 与 A 的关 系是 A 关于 x 轴对称 B 关于 y 轴对称 C 关于原点对称 D 将 A 点向 x 轴负方向 平移一个单位 答案与提示 跟踪练习 1 D 2 2 电视台 超市 1 学校和影院 3 金鱼馆位置为 2 5 象房位置是 11 5 3 10 表示 8 5 表示熊猫馆 金鱼馆 约 1 7m 170cm 草兽阁在大门的北偏东 700方向上 离大门 510m 虎山位置可表示为 10 2 或在大门的南偏东 600 离大门距离 630m 处 猴山的位置可表示为 5 7 或 在大门的正东方向 240m 处 4 1 2 2 2 2 3 2 4 2 5 3 5 或 1 2 1 3 2 3 2 4 2 5 3 5 或 1 2 1 3 1 4 2 4 2 5 3 5 或 1 2 1 3 1 4 1 5 2 5 3 5 过关练习精选 1 1 D 2 C 3 D 2 1 40 113 2 10 3 40 海里 时 3 1 A 5 1 B 7 2 C 9 1 D 9 3 E 8 4 F 6 4 G 5 3 N 4 6 P 6 7 Q 4 8 四边形 MNPQ 是菱形 依据是 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 S四边形 MNPQ 4a2 S七边形 ABCDEFG 9a2 要注意利用割补法将不规则图形变成规则图形 每个小正方形的面积为 a2 2 2 6 3 25 4 5 5 4 星期六 星期二 星期三 解此题时要利用图像的直观性 3 用量角器量得 P 在对于观察站 S 的北偏西 300方向上 灯塔 P 的位置在监测站 S 的北偏西 300 距监测站 2000m 处 用刻度尺量得 AS 长为 3cm 即货轮与监测站 3000m 上午 8 时货轮的位置是在监测站的北偏东 500方向上离监测站 3000m 8 时半货轮位置如图所示的 B 处 用刻度尺量得 AB 长为 8cm 即实际距离为 5000m 半小时航行 5000m 因此该货轮的速度为 10km h 能力升华 新中考指向 1 1 基因工程研究所在 A1区 生化制药厂在 C1区 电子元件厂在 B4区 计算机组装厂在 C3区 2 见图 A B C 1 2 软件开发公司 3 4 新材料研究开发公 司 2 小明 文具店 书店 玩具店 4 48 4 20 5 2 2 课本习题解答 P126随堂练习 先在地图上找到北纬 40 度的纬线 再寻找东京 120 度的经线 两条线的交点位置附近即可找到 震源位置 P127习题 5 1 1 先确定北京等四个城市的位置 估计它们的经度 然后 按照要求 在经度或纬度上寻找符合要 求的城市 2 1 经二纬二在市政府旁边的十字路口 2 从 经四纬十二 到达 经二纬二 的路线不唯一 除从 经四纬十二 经 经四纬二 到达 经二纬二 外 还有其他的途径 3 省委 位于 经十路 与 经八路 之间 图上未标出具体的 纬度 P130随堂练习 1 其他几条路径可以是 3 5 4 5 4 4 5 4 5 3 3 5 4 5 4 4 4 3 5 3 3 5 3 4 4 4 5 4 5 3 3 5 3 4 4 4 4 3 5 3 3 5 3 4 3 3 4 3 5 3 此外 含回头或绕远走法的路径还有很多 2 可以设计一个用 极坐标 思想的方案 以市中心广场为观测点 用方位角 目标到中心广场 的距离两个数据描述这个城市主要建筑物的位置 P131习题 5 2 1 可有多种表示方式 既可用反映极坐标思想的定位方式 又可以用反映直角坐标系思想的定位 方式 此外 由于学生所选的原点不同 结果也就有所不同 这里不应要求结果的统一性 只要学生 的方法合理 就应给予肯定和鼓励 2 1 将 的位置可表示为 5 2 帅 的位置可表示为 5 10 2 其位置为 4 8 瞭望角 笛卡儿揭榜破题的故事 笛卡儿是法国著名哲学家 数学家 物理学家 他早年就读于拉弗莱什公学时 因孱弱多病 被 允许早晨在床上读书 养成了喜欢安静 善于思考的习惯 1617 年 5 月 法国公爵奥伦治的军队屯住在荷兰南部的布勒达城 刚从大学毕业的笛卡儿正在 这支部队从军 一天 他在街头散步 忽听人声喧嚷 不知何事 他上前探询 只见众人正围观一张榜 文 议论纷纷 榜文是用荷兰文写的 他看不懂 只好请旁边一位颇有风度的学者翻译成法语 原来 榜文的内容是一道几何题 他认真揣摩思索了几个小时 就破解了这道难题 如此奇迹 使那位 翻译 大吃一惊 并大加赞扬 邀请他到家中叙谈 果然话语投机 遂结为金兰之好 这位翻译就是当地有名的多特大学的校长毕克门 他为笛卡儿的数学才华感到高兴 但又为他 弃学从军感到可惜 他劝笛卡儿 既然在数学方面有如此才能 何不脱离军界 专门学习数学呢 笛 卡儿的破题成功 加上毕克门校长的评价赞扬 更加激发了他学习数学的兴趣 从而促使他改变了 从军的初志 转向从军探索 并在后来的创造性工作中 将过去对立着的两个研究对象 数 和 形 统一起来 他在数学中引入 变量 完成了数学史上一相划时代的变革 革命导师恩格斯 把它称为数学的转折点 此后 人类进入变量数学阶段 2 平面直角坐标系 材料分析 1 学习目标与要求 1 认识并能画出平面直角坐标系 2 能在方格纸上建立适当的直角坐标系 描述物体的位置 由点的位置写出它的坐标 3 在给定的直角坐标系中点的坐标与点的位置的关系 进一步感受坐标轴上点的特点 4 经历画出坐标系 描点 连线 看图以及由点找坐标等过程 发展数形结合意识 合作交流意 识 2 新知识点全解 1 平面直角坐标系 在平面内 两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系 通常 两 条数轴分别置于水平位置与铅直位置 取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向 水平的数轴 叫做 x 轴或横轴 铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴 它们的公共原点 o 称为直角坐标系的原点 在本书及以后 平面直角坐标系也简称直角坐标系 如图 5 2 1 所示 在平面直角坐标系内 两条坐标轴将平面分成四个部分 右上部分叫做第一象限 其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限 第三象限和第四象限 坐标原点 x 轴 y 轴不属 于任何象限 也就是说 坐标平面内的点可以划分为六个区域 x 轴 y 轴 第一 二 三 四象 限 2 坐标的意义 对于平面内任意一点 P 过点 P 分别向 x 轴 y 轴作垂线 垂足在 x 轴 y 轴上 对应的数 a b 分别叫做点 P 的横坐标 纵坐标 有效实数对 a b 叫做点 P 的坐标 这时的字母 a b 表示由点 P 向两个坐标轴作垂线 垂足在相应坐标轴上对应的实数 它们可正可 负 5 2 1 平面中点的坐标是由两个有序的实数组成 其顺序是横坐标在前 纵坐标在后 中间用 分 开 如 2 3 横坐标为 2 纵坐标为 3 其位置不能颠倒 2 3 和 3 2 是指两个不同的点 规定原点 O 的坐标是 0 0 数轴上的点和实数是一一对应的 同样 坐标平面内的点和有序实数对也是一一对应的 即是说 在坐标平面内的每一个点 都可以找到惟一一对有序实数与它对应 反过来 对于任意一个有序实 数对 都可以找到惟一一个点与它对应 因而 在书写点的坐标时 通常是先写点是名称 再接着写 坐标 如点 P 2 3 就表示点 P 的坐标是 2 3 坐标是 2 3 的点是 P 点 判断点的位置所在象限或坐标轴 主要看这个点的横坐标 纵坐标的符合 如 P 2 3 不需描点 就知 P 在第一象限 由于点的横坐标或正 或负 或 0 因此 将距离换成坐标时要看点所在的位置 千万不要弄错 符号 点 P x y 到 x 轴的距离为 y 不要误认为 x 点 P x y 到 y 轴的距离是 x 不要误 认为 y 也就是说 P 点到 x 轴的距离和位置符合作为 P 点的纵坐标 P 点到 y 轴的距离和位置 符合为 P 点的横坐标 如点 A 到 x 轴的距离为 3 到 y 轴的距离为 2 若 A 在第二象限 则 A 点坐标 应记为 2 3 若不知 A 所在的象限 则 A 点就有 2 3 2 3 2 3 2 3 四种可能的坐 标 3 课内问题探索 P133想一想 1 线段 BC 平行于横轴 垂直于纵轴 2 线段 CE 平行于纵轴 垂直于横轴 3 坐标轴上的点的坐标中至少有一个是 0 横轴上的点的纵坐标为 0 纵轴上的点的横坐标为 0 P133做一做 1 A 3 4 B 6 2 C 6 2 D 9 4 2 AD BC 分别平行于横轴 A 与 D B 于 C 的纵坐标分别相同 由于 A 与 B C 于 D 的连线与横轴斜 交 它们向横轴作垂线 垂足不重合 因此 A 与 B C 于 D 的横坐标不同 P136做一做 答案不惟一 可以说 像猫脸 等 P137议一议 MD 为坐标原点 以 CD 所在直线为 x 轴 AD 所在直线为 y 轴建立直角坐标 答案不惟一 典型例题讲解 例 1 各写出 5 个满足下列条件的点 并在坐标系中描出它们 如图 5 2 2 1 横坐标与纵坐标相等 2 横坐标与纵坐标互为相反数 3 横坐标与纵坐标的和为 5 观察一下每 5 个点的位置 有什么特点 点拨 有关直角坐标系的概念较多 毋需死记硬背 主要是看到一个概念 脑子里便要能反映出相 关的图形 解 根据题意首先写出满足要求的点 1 1 1 2 2 4 4 5 5 3 3 2 1 1 3 3 6 6 7 7 5 5 3 0 5 1 4 7 2 1 6 3 8 分别把每组点在直角坐标系中描出来 由图观察得知 每组五个点大体在一条直线上 跟踪练线习 1 如下图所示 点 B D G H 坐标分别为 1 3 4 3 4 3 所代表的点分别是 例 2 如图 5 2 4 所示 梯形 ABCD 的上底为 4 下底为 6 高为 3 建立适当的直角坐标系 并写出各 个顶点的坐标 点拨 解决如此类问题的关键是建立适当的直角坐标系 解 如上图 以 AB 的中点 O 为原点 分别以 AB 所在的直线和过 O 点 AB 的垂线为 x 轴 y 轴 建立平 面直角坐标系 此时 O 点坐标为 0 0 OA OB 3 AB 点的坐标为 A 3 0 B 3 0 因为高为 3 CD 长 为 4 则 D C 点坐标为 D 2 3 C 2 3 说明 1 A D 在 y 轴左边 横坐标应为负 2 本题也可以 A 为原点 AB 所在直线为 x 轴 跟踪练习 2 菱形的边长为 5 其中一条对角线长为 6 它的对角线与两坐标轴重合 试求菱形各 顶点坐标 例 3 如图 5 2 5 所示 是生物兴趣小组绘制的校园内名贵树木的方位图 为了便于编号准备建 立一个适当的直角坐标系 分别写出每棵树的坐标 点拨 此类问题方法很多 可根据条件选择尽量使计算方便的坐标系 解 以旗杆为坐标原点 方格为横线 纵线所在直线为横轴和纵轴 建立直角坐标系 如图所示 那么 它们的坐标 银杏树为 4 0 水杉树为 2 1 香椿树为 0 3 樟树为 2 2 桂花树为 1 2 女 贞树为 2 4 石榴树为 3 6 广玉兰为 3 5 跟踪练习 3 如图 5 2 6 已知 AB 两个村庄的坐标分别为 2 2 7 4 一辆汽车在轴上行驶 从原 点 O 出发 求 1 汽车行驶到什么点时 离 A 村最近 2 汽车行驶到什么点时 离 B 村最近 3 汽车行驶到什么点时 距离两村的和最短 例 4 数学老师带领数学兴趣小组的同学在操场上做一个寻宝游戏 数学老师对大家说 我 已把某一宝物埋在某一个地里的土里 请大家把这宝物找出来 然后 老师指着足球门架的两个 柱子讲 已知柱子 A 和 B 的坐标是 4 3 和 6 1 而宝物的地点坐标为 8 8 请问宝物地点 如何去找 请画图说明 点拨 解决此类问题的关键是将实际问题数学化 建立数学模型 解 1 首先在地面上取某一长度为单位长 如 1m 作一个直角三角形 CDE 如图 5 2 7 使直角 边 DC 2m EC 4m 2 再在 DE 或延长线上取 F 使 DF 等于 AB 的长 并记作 FG DC 于 G 3 分别以 AB 为圆心 FG DG 为半径画弧交于 M 4 延长 BN 到 N 使 MN 2BM 过 N 作直线 NY 垂直于 BN 就是 y 轴所在直线 5 在 BY 上截取 NO BM 则 O 为坐标原点 1 2 6 过 O 作直线 OX BY 7 以 ON 的长为单位长度 OX OY 为坐标轴建立直角坐标系 即可找到宝物埋藏地点即坐标为 8 8 的点 P 过关练习精选 1 选择题 1 在直角坐标系中 点 P 2x 6 x 5 在第四象限 则 x 的取值范围是 A 3 x 5 B 3 x 5 C 5 x 3 D 5 x0 则点 P a 2 应在 A 第 象限内B 第二象限内C 第三象限内D 第四象限内 6 在平面直角坐标系内 已知点 1 2a a 2 在第三象限 且 a 为整数 求 a 的值 7 把边长分别为 6 和 8 的矩形 ABCD 作在直角坐标系内 使其中的三个顶点在坐标轴上 长边 AB 的 一个端点要在 x 轴正方向上 写出四个顶点的坐标 不写作法 8 已知四边形 ABCD 的四个顶点坐标是 A 1 0 B 2 0 C 2 1 D 0 1 求四边3 形 ABCD 的面积 答案与提示 跟踪练习 1 略 2 有两种情况 长为 6 的对角线与 x 轴重合 长为 8 的对角线与 y 轴重合 四个顶点坐标分 别为 3 0 0 4 3 4 0 4 长为 6 的对角线与 y 轴重合 长为 8 的对角线 与 y 重合 四个顶点坐标分别为 4 0 0 3 4 0 0 3 3 解 如图 5 2 11 过A B 分别作 x 轴的垂线 垂足为 M N 则 M 2 0 N 7 0 即当汽车行到 M 2 0 距 A 村最近 行驶到 N 7 0 时距 B 村最近 作 A 关于 M 的对称点 A 连接 A B 交 x 轴于 P 点 由题意可知 P 为所求的点 MN 7 2 5 A M 2 BN 7 5 MP 2MP MP 2 MP 4 5 MP 3 5 OP 2 故 P 0 3 5 3 11 3 11 当汽车行驶至 P 0 时与两村的距离和最短 3 11 1 201 A 1 201 B 1 201 D 1 201 C 4 连接两敌军据点 作所得线段的中垂线 并以这条直线为横轴 将两个标志点的线段分成 8 等份 以其中的一份为一个单位长度 以两个敌军据点的中点为起点 向左找到距起点 2 个 单位长度的点 过这个点作横轴的垂线 并以此作为纵轴建立直角坐标系 再在新建的直角 坐标系内找到坐标为 5 5 的点 即是敌军主力的位置 过关练习精选 1 A C D A 2 2 3 17 三6226 3 解 如图所示 过 C 作 CD X 轴于 D OA 4 4 OB 2 AB 6 CD AB D 为 AB 的中点 D 点的横坐标为 1 AB 3 又 AB 6 CD 3 点 C 的坐标是 1 3 同样另一个符 22 36 33 合条件的点的坐标是 1 3 故所求的顶点 C 的坐标为 1 3 或33 1 3 3 正三角形 ABC 的连长为 6 S ABC AB CD 3 9 2 1 2 1 33 B 10 2 C 2 2 3 a 4 b 3 a 4 b 3 a 为任意实数 b 3 a 3 b 4 能力升华 新中考指向 1 0 4 9 2 C 3 A 4 C 5 B 6 因为点 1 a a 2 在第三象限 所以1 2a 0 解得 a 2 又 a 为整数 所以 a 1 2 1 a 21 时 伸长为原来的 n 倍 2 当 0 n 1 时 压缩为原来的倍 n 1 将图形上的各个点的横坐标不变 而纵坐标分别为原来的 n 倍时 所得的图形比原来的图形在 纵向 1 n 1 伸长为原来的 n 倍 2 当 0 n 1 压缩为原来的倍 n 1 将图形上的各个点的纵坐标不变 而横坐标分别加 a 所得的图形形状 大小不变 而位置向 右 a 0 或向左 a0 或向下 b0 所得的图形与原图形相比 形状不 变 1 当 n 1 时 大小扩大到原来的 n 倍 2 当 0 n 1 时 大小缩小到原来的倍 n 1 3 课内问题探究 P142 议一议 沿 x 轴横向压缩为原来的 2 1 P144 做一做 对于这个问题 有多种方法作答 可以根据两个图案的轴对称性 也可以根据直观观察 得到 相应点的坐标 左右两幅图案关于 y 轴对称 所以 两幅图案上各个对应点的纵坐标相同 横坐标互为相反 数 因此 左图案中的左 右眼睛的坐标分别是 4 4 2 3 嘴角左右端点的坐标分别 是 4 1 2 1 P145 议一议 1 左 右眼睛的横坐标将分别增加 1 个单位长度 而纵坐标不发生变化 2 左 右眼睛的纵坐标分别变为原来的相反数 而横坐标不发生变化 典型例题讲解 例 1 一个中心对称图形在平面直角坐标系中的位置如图 5 3 1 1 写出顶点的坐标 2 若将该图形向左平移 3 个单位 则各项顶点坐标又是什么 3 若将该图形的各个顶点的纵坐标不变 横坐标乘以 1 所得的新图形与原血型有何关系 4 要使该图形的面积扩大到原来的 4 倍 则各点的坐标如何变化 点拨 此题着重考查图形的变化规律 要注意 1 图形向左平移 3 个单位 则要求的纵坐 标不变 横坐标分别减 3 2 当纵 横坐标分别变为原来的 2 倍时 所得的新图形与原图形 相比 大小放大了 1 倍 即面积扩大到原来的 4 倍 解 1 如图 各顶点的坐标分别为 1 5 3 7 5 9 7 7 9 5 7 9 5 1 3 3 2 将该图形向左平移 3 个单位 各顶点的坐标分别为 2 5 0 7 2 9 4 7 6 5 4 3 2 1 0 3 3 若将该图形的各顶点坐标不变 横坐标乘以 1 所得的图形与原图形关系 y 轴成轴对 称 4 要使该图形的面积扩大到原来的 4 倍 则各点的横坐标 纵坐标均应变成原来的 2 倍 因此 各顶点的坐标应分别为 2 10 6 14 10 18 14 4 18 10 14 6 10 2 6 6 跟踪练习 1 在如图的直角坐标中 1 将该图向上平移 2 个单位 写出平移后点的坐标 2 将该图向左平移 5 个单位 写出平移后点的坐标 3 将该图先向下平移 3 个单位 再向右平称 2 个单位后的坐标是什么 先想一想 再画一画 4 比较这几幅图你发现了什么规律 例 2 在平面直角坐标系中 将坐标是 5 0 4 2 3 0 2 2 1 0 的点 用线段依次连接起来形成一个图案 如图 5 3 2 1 作出该图案关于 y 轴对称的图案 2 将所得的图案 沿 x 轴向上翻折 180 后得到一个新图案 试写出它的各顶点的坐标 3 观察图案 与图案 比较各自顶点的坐标和图案位置 你能得到什么结论 点拨 解答此题的关键在于明确 1 关于 y 轴对称的两个图案 其对称点的坐标应满足纵 坐标相同 横坐标相反 2 将图案向上平移 改变的只是点的纵坐标 横坐标不变 3 解 答时要注意 点 A a b 与点 B a b 是关于原点对称的 这与关于 x 轴对称和关于 y 轴对称 的点的坐标区别开来 解 1 在平面直角坐标系中 依次找出各点并依次连接得图案 在直角坐标系中再依次描 出点 5 0 5 2 3 0 2 2 1 0 依次连接各点得图案 2 由于将图案 沿 x 轴向上翻折 180 后得到的图案实质与图案 关于 x 轴对称 故图案 的 各顶点的坐标分别为 5 0 4 2 3 0 2 2 1 0 3 观察图案 与图案 不难发现 从各顶点的坐标看 各顶点的横坐标 纵坐标分别相 反 从图案的位置 OAB 变换成两个图案关于原点成中心对称 跟踪练习 2 如图 5 3 3 在直角坐标中 顺次连接点 A 5 4 B 1 3 C 9 3 观察 所得 ABC 形状 怎样移动点 A 可使 ABC 为一直角三角形 怎样移动点 A 可使 ABC 成为等 腰直角三角形 例 3 按要求回答下列问题 1 在直角坐标系中描出下列各组点 并将各组内的点用线段依次连接起来 2 10 2 2 6 10 2 6 6 2 观察所得的图形 你觉得它是一个什么图案 2 将上述各点做如下变化 纵坐标保持不变 横坐标分别变成原来的 再将所得的点用线段按 1 中的顺序连接 2 1 起来 所得的图案与原来的图案相比有什么变化 横坐标保持不变 纵坐标分别加 3 呢 横 纵坐标分别乘以 1 呢 点拨 本题主要考查根据点的坐标找点以及观察分析图形的能力 解题关键是分别在两坐 标轴上找到对应的点 过这两点分别平行于两坐标直线 的交点即为所求点 如 要描点 2 10 的位置 先在 x 轴上找到点 2 在 y 轴上找到点 10 过两点分别平行于 y 轴 x 轴 的直线的交点即为所求点 弄清平移 旋转 伸缩等图形的特征 易错点的是将点的横 纵 坐标顺序颠倒 对图案变化情况表述不清 解 1 这个图形是一个 K 形图案 如图 1 所示 2 按 中的变化要求各个点的坐标依次是 1 10 1 2 3 10 1 6 3 2 所得图案如图 2 所示 与原图案相比 K 形被横向压扁为原来的 2 1 按 中的变化要求 各个点的坐标依次是 2 13 2 5 6 13 2 9 6 5 所 得图案如图 3 所示 与原图案相比 K 形向上平移了 3 个单位长度 按 中的变化要求 各个点的坐标依次是 2 10 2 2 6 10 2 6 6 2 所得的图案如图 4 所示 与原图案相比 K 形绕 0 点旋转了 180 即两 个 K 形图案关于 O 点成中心对称 例 4 各图见 5 3 4 跟踪练习 3 在平面直角坐标系中 将坐标为 0 0 3 4 5 4 8 0 的点用线段 依次连接起来形成一图案 这四个点的纵坐标保持不变 横坐标变成原来的 将所得的四个点用线段依次连接起 2 1 来 所得的图案与原图案相比有什么变化 纵坐标保持不变 横坐标分别加 2 呢 横坐标操持不变 纵坐标分别加 2 呢 纵坐标保持不变 横坐标分别乘 1 呢 横坐标保持不变 纵坐标分别乘 1 呢 横坐标 纵坐标分别变为原来的 2 倍呢 过关练习精选 1 选择题 1 平面直角坐标系下 一个三角形的三个顶点的坐标 横坐标保持不变 纵坐标增加 3 个单 位 则所得的图形与原图形相比 A 形状不变 大小扩大了 3 倍 B 形状不变向右平移了 3 个单位 C 形状不变 向上平移了 3 个单位 D 三角形被纵向拉伸为原来的 3 倍 2 直角坐标系下 一个多变性的各个定点的坐标 纵坐标保持不变 横坐标分别乘以 1 则 所得的多变性与元多变形相比 A 多边形被纵向压缩了一半 B 多边形形状不变 整体向下平移了 1 个单位 C 所的多边形与元多边形关于 y 轴对称 D 所的多边形与元多边形关于 x 轴对称 3 直角坐标系下 一个图案上各个点的坐标 纵坐标和横坐标都分别乘以正数 a a 1 那 么所得的图案与原来的图案相比 A 形状不变 大小扩大到原来的 a 倍 B 图案向右平移了 a 个单位 C 图案向上平移了 a 个单位 D 图案沿纵向拉长为原来的 a 倍 4 下列图形中 圆心在原点上的圆 两条对角线交点在原点上的正方形 与 y 轴垂直 的一条直线 与 x 垂直的一条直线 有些图形 将其纵坐标保持不变 横坐标均乘以 1 后 其图形不发生变化 则这样的图形有 A B C D 2 填空题 1 线段 AB 坐标 A a b B c d 其坐标的横坐标不变 纵坐标分别加上 m m 0 得 到相应点的坐标为 A B 则线段 A B 与线段 AB 相比的变化 其长 度 位置 2 A B C 中三个顶点的坐标识别为 A 1 2 B 3 5 C 4 6 把 A B C 按如下 变化后 ABC 写出对应的 A B C 三点坐标 向上平移 4 个单位 向右 平移 2 个单位 向下平移 3 个单位 向左平移 3 个单位 横向拉长为原来的 2 倍 纵向压缩成原来的 2 1 大小扩大为原来的 2 倍 大小不变 以 x 轴对 称 大小不变 以 y 轴对称 大小不变以原点对 称 以 x 轴对称后 大小扩大 1 倍 以 y 轴对 称后 纵向拉长为原来的 3 倍 3 解答题 1 请你说明一下图乙是由图甲经过怎样的变化而得到的 如图 5 3 5 2 观察下图 2 3 的四边形 与 1 中的四边形相比分别发生了哪些变化 如图 5 3 6 能力升华 新中考指向 1 2004 年南京市中考试题 右平面直角坐标系中 点 P 2 1 关于原点对称点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 如图 5 3 7 直角坐标系中 四边形 OABC 各个顶点坐标分别为 0 0 2 3 5 4 8 2 1 试确定图中四边形 OABC 的面积 2 如果将四边形 OABC 绕点 O 旋转 180 试确定旋转后四边形上各个顶点的坐标 3 如果 AB OC 你能重新建立适当的坐标系 使得四个顶点的纵坐标不变 横坐标乘以 1 得的图形与原图形重合吗 请说明理由 2 如图 5 3 8 在直角坐标系中 第一次将 OAB 变换成 OA1B1 第二次得 OA1B1变换成 OA2B2 第三次将 OA2B2变换成 OA3B3 已知 A 1 3 A1 2 3 A2 4 3 A3 8 3 B 2 0 B1 4 0 B2 8 0 B3 16 0 1 观察每次变换前后的三角形有何变化 找出规律 按此变换规律再得 OA3B3变换成 OA4B4则 A4的坐标是 B4的坐标是 2 若按第 1 题找出的规律将 OAB 进行了 n 次变换 地得到 OAnBn 比较每次变换中三 角形定点坐标有何变化 找出规律 推出 An的坐标是 Bn的坐标是 3 如图 5 3 9 已知 OAB 三个顶点和坐标分别为 O 0 0 A 1 B 2 2 求3 OAB 关于 OB 对称的 A OB 的顶点 A 的坐标 答案与提示 1 略 2 ABC 为一等腰三角形 若想成为直角三角形 A 点可在直线 x 1 或 x 9 上移动 若想成为等腰三角形 A 点可在坐标上取 1 5 1 11 9 5 9 11 5 1 5 7 3 横向压缩为原来的 向右平移 2 个单位长度 向上平移 2 个单位长度 与原图形 2 1 关于 y 轴成轴对称 与原图形关于 x 轴成轴对称 横向拉伸为原来的 2 倍 纵向也拉伸为原 来的 2 倍 过关练习精选 1 1 C 2 C 3 A 4 B 2 1 a b m c d m 不变 向上平移 m 个单位 2 A 1 6 B 3 9 C 4 10 A 3 2 B 5 5 C 6 6 A 1 1 B 5 5 C 6 6 A 2 2 B 0 5 C 1 6 A 2 2 B 6 5 C 8 6 A 1 6 B 3 5 2 C 4 3 A 3 6 B 9 15 C 12 18 A 1 2 B 3 5 C 4 6 A 1 2 B 3 5 C 4 6 A 1 2 B 3 5 C 4 6 A 2 4 B 6 10 C 8 12 A 1 6 B 3 15 C 4 18 3 1 先将图甲横坐标不动 纵坐标乘 1 再将纵坐标不动 横坐标再加 5 3 图 2 中的四边形与 1 中四边形相比 形状不变 大小放大到 2 倍 图 3 中的四 边形与图 1 中四边形相比 关于原点 O 成中心对称 能力升华 新中考指向 1 D 2 1 S 四边形 OABC 2 3 2 6 3 2 3 2 8 14 平方单位 2 1 2 1 2 1 2 1 2 O 0 0 A 2 3 B 5 4 C 8 2 3 以 OC 的垂直平分线为 y 轴 以 OC 为 x 轴 取向右 向上为正方向 则四边形 OABC 关于新 的坐标系恰为关于 y 轴对称 3 解 1 A4 16 3 B4 32 0 3 An 2n 3 Bn 2n 1 0 4 解 如图 5 3 10 过 A 作 AM y 轴于 M 过 A 作 A N x 轴于 N 由 B 2 2 点的坐标知 OB 是 MON 的角平分线 且 AMO A NO ON OM AM A N 13 故 A 1 3 P143习题 5 6 1 所得图案被整体向上平移了 3 个单位 2 所得图案与原图案关于纵轴对称 3 所得图案与原图案关于坐标原点中心对称 4 1 与 相比 中的三角形被整体向上平移了 1 个单位 中的三角形与原三角形关于坐 标原点中心对称 中的三角形纵向被压缩了一半 中的三角形横向被压缩了一半 2 略 P145随堂练习 1 0 1 4 1 5 0 5 4 0 0 0 P146习题