计算坐标与坐标方位角的基本公式

二二 计算坐标与坐标方位角的基本公式计算坐标与坐标方位角的基本公式 控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐 标 控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的 下面 介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式 这些公式是矿山 测量工中最基本最常用的公式 一 坐标正算和坐标反算公式 1 坐标正算 根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角 边 长计算待定点的坐标 这种计算在测量中称为坐标正算 如图 5 5 所示 已知 A 点的坐标为 A 到 B 的 A x A y 边长和坐标方位角分别为和 则待定点 B 的坐标为 AB S AB ABAB ABAB yyy xxx 5 1 式中 坐标增量 AB x AB y 由图 5 5 可知 ABABAB ABABAB Sy Sx sin cos 5 2 式中 水平边长 AB S 坐标方位角 AB 将式 5 2 代入式 5 1 则有 ABABAB ABABAB Syy Sxx sin cos 5 3 当 A 点的坐标 和边长及其坐标方位角为已知 A x A y AB S AB 时 就可以用上述公式计算出待定点 B 的坐标 式 5 2 是计算坐标增量的基本公式 式 5 3 是计算坐标的 基本公式 称为坐标正算公式 从图 5 5 可以看出是边长在 x 轴上的投影长度 AB x AB S 是边长在 y 轴上的投影长度 边长是有向线段 是在 AB y AB S 实地由 A 量到 B 得到的正值 而公式中的坐标方位角可以 从 0 到 360 变化 根据三角函数定义 坐标方位角的正 弦值和余弦值就有正负两种 情况 其正负符号取决于坐标方位角所在的象限 如图 5 6 所示 从式 5 2 知 由于三角函数值的正负决定了坐 标增量的正负 其符号归纳成表 5 3 图 5 5 坐标计算 图 5 6 坐标增量符号 表 5 3 坐标增量符号表 坐标增量的正 负号 坐标方 位角 所在象限 x y 0 90 90 180 180 27 0 270 36 0 例 1 已知 A 点坐标 100 00m 300 10m 边长 A x A y 100m 方位角 330 求 B 点的坐标 AB s AB B x B y 解 根据公式 5 3 有 msyy msxx ABABAB ABABAB 6 249330sin100 1 300sin 1 186330cos100100cos 2 坐标反算 由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角 和边长 这种计算称为坐标反算 由式 5 1 有 ABAB ABAB yyy xxx 5 4 该式说明坐标增量就是两点的坐标之差 在图 5 5 中 表示由 A 点到达 B 点的纵坐标之差称纵坐标增量 AB x 表示由 A 点到 B 点的横坐标之差称横坐标增量 坐标增 AB y 量也有正负两种情况 它们决定于起点和终点坐标值的大 小 在图 5 5 中如果 A 点到 B 点的坐标已知 需要计算 AB 边的坐标方位角和边长时 AB AB S 则有 AB AB AB AB AB x y xx yy tan AB AB AB AB AB yx S sincos 5 5 或 22 ABABAB yxS 公式 5 5 称为坐标反算公式 应当指出 使用公式 5 5 中第一式计算的角是象限角 R 应根据 x y 的正负号 确定所在象限 再将象限角换算为方位角 因 此公式 5 5 中的第一式还可表示为 AB AB AB AB AB x y xx yy R arctanarctan 例 2 已知 300m 500m 500m 300m 求 A B A x A y B x B y 二点连线的坐标方位角和边长 AB AB S 解 由公式 5 5 有 1arctan 300500 500300 arctanarctan AB AB AB xx yy R 因为为正 为负 直线 AB 位于第四象限 所以 AB x AB y 45NWRAB 根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得 31545360 AB AB 边长为 myyxxS ABABAB 8 282 500300 300500 2222 坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的 公式 应用十分广泛 在测量计算时 由于公式中各元素的数字较多 测量规 范对数字取位及计算成果作了规定 例如图根控制点要求 边长计算取至毫米 角度计算取至秒 坐标计算取至厘米 二 坐标方位角的推算公式 由公式 5 2 知 计算坐标增量需要边长和该边的坐标 方位角两个要素 其中边长是 在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的 坐标方 位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的 下面 介绍坐标方位角的推算公式 如图 5 7 所示 箭头所指的方向为 前进 方向 位于 前进方向左侧的观测角称为左观测角 简称左角 位于前 进方向右侧的角称为右观测角 简称右角 1 观测左角时的坐标方位角计算公式 在图 5 7 与 5 8 中 已知 AB 边的方位角为 AB 为左观测角 需要求得 BC 边的方位角 是外业观 左 BC 左 测得到的水平角 从图上可以看出已知方位角与左观测 AB 角之和有两种情况 即大于 180 或小于 180 图 5 左 7 中为大于 180 的情况 图 5 8 中为小于 180 的情况 图 5 7 坐标方位角推算 图 5 8 坐标方 位角推算 从图 5 7 可知 BC 边的坐标方位角为 180 左 ABBC 从图 5 8 可知 BC 边的坐标方位角为 180 左 ABBC 综上所述两式则有 180 左后前 5 6 式 5 6 是按照边的前进方向 根据后一条边的已知 方位角计算前一条边方位角的基本公式 公式说明 导线 前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角加上左 观测角 其和大于 180 时应减去 180 小于 180 时应 加上 180 2 观测右角时的坐标方位角计算公式 从图 5 7 或图 5 8 可以看出 右左 360 将该式代入式 5 6 得 360 180 右后前 当方位角大于 360 时 应减去 360 方向不变 所以上 式变为 180 右后前 5 7 上式说明 导线中 前一条边的坐标方位角等于后一条 边的坐标方位角减去右观测角 其差大于 180 时应减去 180 小于 180 时应加上 180 使用式 5 6 与 5 7 时 还应注意相应两条边的前进 方向必须一致 计算结果大于 360 时 则应减去 360 方向不变 例 3 图 5 9 为一条支导线 已知 A 点的坐标方位角 BA 101 28