初二数学辅助线常用做法及例题

1 D C B A 常见的辅助线的作法常见的辅助线的作法 总论 全等三角形问题最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 构造二个角总论 全等三角形问题最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 构造二个角 之间的相等之间的相等 三角形辅助线做法三角形辅助线做法 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 要证线段倍与半 延长缩短可试验 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 1 1 等腰三角形等腰三角形 三线合一三线合一 法 法 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线 合一 的性质解题 2 2 倍长中线 倍长中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 3 3 角平分线在三种添辅助线角平分线在三种添辅助线 4 4 垂直平分线联结线段两端垂直平分线联结线段两端 5 5 用用 截长法截长法 或或 补短法补短法 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长 6 6 图形补全法 图形补全法 有一个角为有一个角为 6060 度或度或 120120 度的把该角添线后构成等边三角形度的把该角添线后构成等边三角形 7 7 角度数为角度数为 3030 6060 度的作垂线法 度的作垂线法 遇到三角形中的一个角为遇到三角形中的一个角为 3030 度或度或 6060 度 可度 可 以从角一边上一点向角的另一边作垂线 目的是构成以从角一边上一点向角的另一边作垂线 目的是构成 30 60 9030 60 90 的特殊直角三角形 然后计的特殊直角三角形 然后计 算边的长度与角的度数 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角 从而为证明全等算边的长度与角的度数 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角 从而为证明全等 三角形创造边 角之间的相等条件 三角形创造边 角之间的相等条件 8 8 计算数值法 计算数值法 遇到等腰直角三角形 正方形时 或遇到等腰直角三角形 正方形时 或 30 60 9030 60 90 的特殊直角三角形 或的特殊直角三角形 或 40 60 8040 60 80 的特殊直角三角形的特殊直角三角形 常计算边的长度与角的度数 这样可以得到在数值上相等的二常计算边的长度与角的度数 这样可以得到在数值上相等的二 条边或二个角 从而为证明全等三角形创造边 角之间的相等条件 条边或二个角 从而为证明全等三角形创造边 角之间的相等条件 常见辅助线的作法有以下几种 最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 二常见辅助线的作法有以下几种 最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 二 个角之间的相等 个角之间的相等 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 思维模式是全等 变换中的 对折 法构造全等三角形构造全等三角形 2 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用 的思维模式是全等变换中的 旋转 法构造全等三角形构造全等三角形 3 遇到角平分线在三种添辅助线的方法 1 可以自角平分线上的某一点向角的两边作 垂线 利用的思维模式是三角形全等变换中的 对折 所考知识点常常是角平分线 的性质定理或逆定理 2 可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边 相交 形成一对全等三角形 3 可以在该角的两边上 距离角的顶点相等长度的位 置上截取二点 然后从这两点再向角平分线上的某点作边线 构造一对全等三角形 4 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 平移 或 翻转折叠 5 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某 条线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作 法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 6 已知某线段的垂直平分线 那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连 线 出一对全等三角形 特殊方法 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来 利用三角形面积的知识解答 一 倍长中线 线段 造全等一 倍长中线 线段 造全等 例 1 已知 如图 ABC 中 AB 5 AC 3 则中线 AD 的取值范围是 解 延长 AD 至 E 使 AE 2AD 连 BE 由三角形性质知 AB BE 2AD AB BE 故 AD 的取值范围是 1 AD 4 2 E D F C B A 例 2 如图 ABC 中 E F 分别在 AB AC 上 DE DF D 是中点 试比较 BE CF 与 EF 的 大小 解 倍长中线倍长中线 等腰三角形 三线合一 法 延长 FD 至 G 使 FG 2EF 连 BG EG 显然 BG FC 在 EFG 中 注意到 DE DF 由等腰三角形的三线合一知 EG EF 在 BEG 中 由三角形性质知 EG BG BE 故 EF BE FC 例 3 如图 ABC 中 BD DC AC E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 BAE EDC B A 解 延长 AE 至 G 使 AG 2AE 连 BG DG 显然 DG AC GDC ACD 由于 DC AC 故 ADC DAC 在 ADB 与 ADG 中 BD AC DG AD AD ADB ADC ACD ADC GDC ADG 故 ADB ADG 故有 BAD DAG 即 AD 平分 BAE 有等腰三角形时常用的辅助线有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线 底边中线 底边高线作顶角的平分线 底边中线 底边高线 例 已知 如图 AB AC BD AC 于 D 求证 BAC 2 DBC 证明 方法一 作 BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E 则 1 2 BAC 1 2 又 AB AC AE BC 2 ACB 90o BD AC DBC ACB 90o 2 DBC BAC 2 DBC 方法二 过 A 作 AE BC 于 E 过程略 方法三 取 BC 中点 E 连结 AE 过程略 有底边中点时 常作底边中线有底边中点时 常作底边中线 例 已知 如图 ABC 中 AB AC D 为 BC 中点 DE AB 于 E DF AC 于 F 求证 DE DF 证明 连结 AD D 为 BC 中点 BD CD 又 AB AC AD 平分 BAC DE AB DF AC DE DF 将腰延长一倍 构造直角三角形解题将腰延长一倍 构造直角三角形解题 例 已知 如图 ABC 中 AB AC 在 BA 延长线和 AC 上各取一点 E F 使 AE AF 求证 EF BC 证明 延长 BE 到 N 使 AN AB 连结 CN 则 AB AN AC B ACB ACN ANC B ACB ACN ANC 180o 2 BCA 2 ACN 180o 21 E D C B A FE D C B A N F E C B A 3 BCA ACN 90o 即 BCN 90o NC BC AE AF AEF AFE 又 BAC AEF AFE BAC ACN ANC BAC 2 AEF 2 ANC AEF ANC EF NC EF BC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例 已知 如图 在 ABC 中 AB AC D 在 AB 上 E 在 AC 延长线上 且 BD CE 连结 DE 交 BC 于 F 求证 DF EF 证明 证法一 过 D 作DN AE 交 BC 于 N 则 DNB ACB NDE E AB AC B ACB B DNB BD DN 又 BD CE DN EC 在 DNF 和 ECF 中 1 2 NDF E DN EC DNF ECF DF EF 证法二 过 E 作 EM AB 交 BC 延长线于 M 则 EMB B 过程略 常过一腰上的某一已知点做底的平行线常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例 已知 如图 ABC 中 AB AC E 在 AC 上 D 在 BA 延长线上 且 AD AE 连结 DE 求证 DE BC 证明 证法一 过点 E 作 EF BC 交 AB 于 F 则 AFE B AEF C AB AC B C AFE AEF AD AE AED ADE