高考数学复习：三角恒等变换

三角恒等变换三角恒等变换 学法导航学法导航 高考资源网 1 三角函数的化简与求值 证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择 要认真分 析所给式子的整体结构 分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础 是恰当寻找解题思维 起点的关键所在 高考资源网 1 化简 要求使三角函数式成为最简 项数尽量少 名称尽量少 次数尽量底 分母尽量不含三角 函数 根号内尽量不含三角函数 能求值的求出值来 2 求值 要注意象限角的范围 三角函数值的符号之间联系与影响 较难的问题需要根据上三角函 数值进一步缩小角的范围 高考资源网 3 证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边 或右边变同于 或都将左右进行变换使其左 右相等 2 对于三角变换公式务必要知道其推导思路 从而清晰地 看出 它们之间的联系 它们的变化形式 如 tan 1tantan tantan 22 1 cos1 cos cos sin 2222 等 从而可做到 正 用 逆用 变形用自如使用各公式 三角变换公式除用来化简三角函数式外 还为研究三角函数图象及性 质做准备 3 三角函数恒等变形的基本策 高考资源网 常值代换 特别是用 1 的代换 如 1 cos2 sin2 tanx cotx tan45 等 项的分拆与角的配凑 如分拆项 222222 sin2cos sincos cos1 cosxxxxxx 配凑角 常用角变换 2 2 22 22 等 降次与升次 即倍角公式降次与半角公式升次 高考资源网 化弦 切 法 将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦 切 高考资源网 引入辅助角 asin bcos 22 ba sin 这里辅助角 所在象限由 a b 的符号确定 角 的值由 tan a b 确定 高考资源网 4 三角恒等变换过程与方法 实际上是对三角函数式中的角 名 形的变换 即 1 找差异 角 名 形的差别 2 建立联系 角的和差关系 倍半关系等 名 形之间可以用哪 个公式联系起来 3 变公式 在实际变换过程中 往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式 如升 降幂公式 cos cos cos sin sin 1 sin2 cos2 0 0 30tan1 30tan1 00 00 30tan45tan1 30tan45tan tan 450 300 等 高考资源网 专题综合专题综合 高考资源网 例 1 05 天津 已知 7 27 sin cos2 41025 求sin 及tan 3 解 解法一 由题设条件 应用两角差的正弦公式得高考资源网 cos sin 2 2 4 sin 10 27 即 5 7 cossin 由题设条件 应用二倍角余弦公式得高考资源网 sin cos 5 7 sin cossin cossincos2cos 25 7 22 故 5 1 sincos 由 和 式得 5 3 sin 5 4 cos 高考资源网 因此 4 3 tan 由两角和的正切公式高考资源网 11 32548 334 334 4 33 1 4 3 3 tan31 3tan 3 tan 高考资源网 解法二 由题设条件 应用二倍角余弦公式得 2 sin212cos 25 7 解得 25 9 sin 2 即 5 3 sin 高考资源网 由 10 27 4 sin 可得 5 7 cossin 高考资源网 由于0cos 5 7 sin 且0 5 7 sincos 故 在第二象限于是 5 3 sin 从而 5 4 5 7 sincos 以下同解法一高考资源网 小结 1 本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力 可从已知角和所求角的内在联系 均含 进行转换得到 高考资源网 2 在求三角函数值时 必须灵活应用公式 注意隐含条件的使用 以防出现多解或漏解的情形 例 2 已知 A B C为锐角ABC 的三个内角 两向量 22sin cossin pAAA sincos qAA 1 sin A 若p 与q 是共线向量 高考资源网 1 求A的大小 2 求函数 2 3 2sincos 2 CB yB 取最大值时 B的大小 解 1 22 2 1 1 pqsinAsinAsin A cos A 高考资源网 22 220 120cos Acos Acos A 1 cos2A 2 0 2A 00 2A120 A 60 高考资源网 2 00 A 60 B C 120 20 13 y 2sin B cos 602B 1 cos2B cos2Bsin2B 22 31 sin2Bcos2B 1 sin 2B 1 226 高考资源网 2BB 623 当时 即 高考资源网 小结 三角函数与向量之间的联系很紧密 解题时要时刻注意 高考资源网 例 3 设关于x的方程sinx 3cosx a 0 在 0 2 内有相异二解 1 求 的取值范围 2 求tan 的值 高考资源网 解 1 sinx 3cosx 2 2 1 sinx 2 3 cosx 2 sin x 3 方程化为sin x 3 2 a 高考资源网 方程sinx 3cosx a 0 在 0 2 内有相异二解 高考资源网 sin x 3 sin 3 2 3 高考资源网 又sin x 3 1 当等于 2 3 和 1 时仅有一解 高考资源网 2 a 1 且 2 a 2 3 即 a 2 且a 3 高考资源网 a的取值范围是 2 3 3 2 高考资源网 2 是方程的相异解 sin 3cos a 0 高考资源网 sin 3cos a 0 得 sin sin 3 cos cos 0 高考资源网 2sin 2 cos 2 23sin 2 高考资源网 sin 2 0 又sin 2 0 高考资源网 tan 2 3 3 tan 2 tan2 2 tan2 2 3 高考资源网 小结 要注意三角函数实根个数与普通方程的区别 这里不能忘记 0 2 这一条件 例 4 ABC 中 已知内角 3 A 边2 3BC 设内角Bx 面积为y 1 若 4 x 求边AC的长 高考资源网 2 求y的最大值 高考资源网 解 1 由正弦定理得 sin2 3 sin45 2 2 sinsin60 BCB AC A 2 ABC 的内角和ABC 3 A 2 0 3 B sin4sin sin BC ACBx A 高考资源网 12 sin4 3sin sin 23 yAC BCCxx 31 4 3sin cossin 22 xxx 2 6sin cos2 3sinxxx 2 3sin 2 3 6 x 高考资源网 2 0 3 x 7 2 666 x 当2 62 x 即 3 x 时 y取得最大值3 3 高考资源网 小结 本题将三角函数 三角恒等变换与解三角形 正 余弦定理等 综合 考查学生灵活运用知识的能 力 高考资源网 例 5 已知函数 x xm xf cos sin2 在区间 2 0 上单调递减 试求实数m的取值范围 解 已知条件实际上给出了一个在区间 2 0 上恒成立的不等式 任取 21 x x 2 0 且 21 xx 则不等式 21 xfxf 恒成立 即 1 1 cos sin2 x xm 2 2 cos sin2 x xm 恒成 立 化简得 2112 sin2coscosxxxxm 由 2 0 21 xx可知 0coscos 12 xx 所以 12 21 coscos sin2 xx xx m 高考资源网 上式恒成立的条件为 上的最小值 在区间 2 0 coscos sin2 12 21 xx xx m 高考资源网 由于 2 sin 2 cos2 2 sin 2 sin2 2 cos 2 sin4 coscos sin2 21 21 2121 2121 12 21 xx xx xxxx xxxx xx xx 高考资源网 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos2 2121 2121 xxxx xxxx 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan12 21 21 xx xx 高考资源网 且当 2 0 21 xx时 42 2 0 21 xx 所以 1 2 tan 2 tan0 21 xx 高考资源网 从而 0 2 tan1 2 tan1 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan1 212121 xxxxxx 高考资源网 有 2 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan12 21 21 xx xx 高考资源网 故 m的取值范围为 2 高考资源网 专题突破专题突破 高考资源网 一 选择题高考资源网 1 若 cos22 2 sin 4 则cossin 的值为 7 2 1 2 1 2 7 2 2 0 20 3sin70 2cos 10 A 1 2 B 2 2 C 2 D 3 2 3 函数2sin 2 cos 2 yxx 是 A 周期为 4 的奇函数 B 周期为 4 的偶函数高考资源网 C 周期为 2 的奇函数 D 周期为 2 的偶函数 4 求值 0 00 cos20 cos351 sin20 A 1 B 2 C 2 D 3 5 已知 0 2 x 4 cos 5 x 则 x2tan 高考资源网 A 24 7 B 24 7 C 7 24 D 7 24 6 函数3sin4cos5yxx 的最小正周期是 A 5 B 2 C D 2 7 在 ABC 中 coscossinsinABAB 则 ABC 为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 无法判定高考资源网 8 设 00 sin14cos14a 00 sin16cos16b 6 2 c 则 a b c大小关系 A abc B bac 高考资源网 C cba D acb 9 函数2sin 2 cos 2 yxx 是 A 周期为 4 的奇函数 B 周期为 4 的偶函数 C 周期为 2 的奇函数 D 周期为 2 的偶函数高考资源网 10 已知 2 cos2 3 则 44 sincos 的值为 A 18 13 B 18 11 C 9 7 D 1 高考资源网 11 已知0 4 0 且 1 tan 2 1 tan 7 则2 的值是 A 5 6 B 2 3 C 7 12 D 3 4 高考资源网 12 已知不等式 2 6 3 2sincos6cos0 4442 xxx f xm 对于任意的 5 66 x 恒成立 则 实数m的取值范围是 高考资源网 A 3m B 3m C 3m D 33m 二 填空题 13 已知 1 sin 3 x sin1xy 则 sin 2yx 14 函数sin22 2cos3 4 yxx 的最小值是 15 函数 1 sin cosx y x 图像的对称中心是 写出通式 16 关于函数 cos22 3sin cosf xxxx 下列命题 若存在 1 x 2 x有 12 xx 时 12 f xf x 成立 高考资源网 f x在区间 6 3 上是单调递增 函数 f x的图像关于点 0 12 成中心对称图像 将函数 f x的图像向左平移 5 12 个单位后将与2sin2yx 的图像重合 其中正确的命题序号 注 把你认为正确的序号都填上 三 解答题 17 求证 tan1 tan1 sincos cossin21 22 a 18 求值 0 0100 0 1 cos20 sin10 tan5tan5 2sin20 高考资源网 19 已知函数 2 1 sincoscos 2222 xxx f x 1 若 2 4 f 0 求 的值 2 求函数 f x在 4 上最大值和最小值 20 已知 cos sin cossin2 cossin2 0 xxbxxxxma xfbaxf 图像上相邻的两个对称轴的距离是 2 高考资源网 1 求 的值 2 求函数 2 0 在区间xf上的最大值和最小值 21 设向量 cos sin m 2 2sin 2 2cos n 2 3 若1m n 求 1 4 sin 的值 2 12 7 cos 的值 高考资源网 22 设函数 cossin32cos2 2 Rxmxxxxf 学 1 求函数 xf 的最小正周期 高考资源网 2 若 2 0 x 是否存在实数 m 使函数 xf的值域恰为 2 7 2 1 若存在 请求高考资源网 出 m 的取值 若不存在 请说明理由 高考资源网 专题突破参考答案 一 选择题 1 C 2 C 3 C 4 C 5 D 0 2 x 2 4332tan24 cos sin tan tan2 5541tan7 x xxxx x 6 D 2 5sin 5 2 1 yxT 高考资源网 7 C coscossinsincos 0 cos0 cos0 ABABABCCC 为钝角 8 D 0 2sin59a 0 2sin61b 0 2sin60c 9 C 2 2sin2 cos2sin4 2 yxxx 为奇函数 2 42 T 高考资源网 10 B 44222222 1 sincos sincos 2sincos1sin 2 2 2 111 1 1 cos 2 218 高考资源网 11 D 12 A 高考资源网 二 填空题 13 1 3 14 22 2 高考资源网 15 0kkZ 16 三 解答题 17 解 证明 左边 22 sincos cossin21 sin cos sin cos cossin2sincos 22 sin cossin cos sin cos 2 sincos sincos tan1 tan1 右边 原题得证 18 解 解 原式 2000 0 0000 2cos 10cos5sin5 sin10 4sin10 cos10sin5cos5 000 0 00 cos10cos102sin20 2cos10 2sin102sin10 00000000 00 cos102sin 3010 cos102sin30 cos102cos30 sin10 2sin102sin10 0 3 cos30 2 高考资源网 19 解 1 11 cos1 sin 222 x f xx 1 sincos 2 xx 2 sin 24 x 由题意知 22 sin 244 f 即 1 sin 42 高考资源网 0 即 5 444 高考资源网 5 46 7 12 2 4 即 5 0 44 高考资源网 max 2 42 f xf min 1 2 f xf 高考资源网 20 解 xxxxxxbaxf cos