三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明三角形中位线定理的证明及其教学说明 以下内容作者为 青岛第四中学杨瀚书老师以下内容作者为 青岛第四中学杨瀚书老师 一 一 三角形中位线定理的几种证明方法三角形中位线定理的几种证明方法 法 1 如图所示 延长中位线 DE 至 F 使 连结 CF 则 有 AD FC 所以 FC BD 则四边形 BCFD 是平行四边 形 DF BC 因为 所以 DE BC 2 1 法 2 如图所示 过 C 作 交 DE 的延长线于 F 则 有 FC AD 那么 FC BD 则四边形 BCFD 为平行四边 形 DF BC 因为 所以 DE BC 2 1 法 3 如图所示 延长 DE 至 F 使 连接 CF DC AF 则四边形 ADCF 为平行四边形 有 AD CF 所以 FC BD 那么四边形 BCFD 为平 行四边形 DF BC 因为 所以 DE BC 2 1 法 4 如图所示 过点 E 作 MN AB 过点 A 作 AM BC 则四边形 ABNM 为平行四边形 易证 从而点 E 是 MN 的中点 易证四边形CENAEM ADEM 和 BDEN 都为平行四边形 所以 DE AM NC BN DE BC 即 DE BC 2 1 法 5 如图所示 过三个顶点分别向中位线作垂线 二 教学说明二 教学说明 1 三角形中位线定理的另外一种猜想过程 二维 转化为 一维 在引导学生探索三角形中位线定理时 由于学生画出中位线后 就不难直 观地发现平行关系 难的是发现数量关系 我联想到在此之前认识线段中点时 的一道典型例题 挖掘它与原有知识的内在联系 从而作如下探索引导 如图 A 为线段 BC 或线段 BC 的延长线 上的任意一点 D E 分别是 AB AC 的中点 线段 DE 与 BC 有什么关系 ED A B C 图 如果点 A 不在直线 BC 上 图形如何变化 上述结论仍然成立吗 图 说明 学生观察 几何画板制作的 课件演示 当 ABC 的顶点 A 运动到直线 B C 上时 中位线 DE 也运动到 BC 上 这样由 二维 转化为 一维 学生就不 难猜想性质的两方面 特别是数量关系 而想到去度量 验证和猜想 水到渠 成 如果教师直接叫学生去度量角度和长度 是强扭的瓜不甜 2 教学重点 本课重点是掌握和运用三角形中位线定理 第一 要知道中位线定理的作用 可以证明两条直线平行及线段的倍分关 系 计算边长或中位线的长 第二 要知道中位线定理的使用形式 如 DE 是 ABC 的中位线 ED A BC E D A B C DE BC BCDE 2 1 第三 让学生通过部分题目进行训练 进而掌握和运用三角形中位线定理 题 1 如图 4 11 7 Rt ABC BAC 90 D E 分别为 AB BC 的中点 点 F 在 CA 延长线上 FDA B 1 求证 AF DE 2 若 AC 6 BC 10 求四边形 AEDF 的周长 分析 本题是考查知识点较多的综合题 它不但考查应用三角形中位线定 理的能力 而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力 1 要证 AF DE 因为它们刚好是四边形的一组对边 这就启发我们设法证 明 AEDF 是平行四边形 因为 DE 是三角形的中位线 所以 DE AC 又题给条件 FDA B 而在 Rt ABC 中 因 AE 是斜边上的中线 故 AE EB 从而 EAB B 于是 EAB FDA 故得到 AE DF 所以四边形 AEDF 为平行四边形 2 要求四边形 AEDF 的周长 关键在于求 AE 和 DE AE 2 1 BC 5 DE 2 1 AC 3 证明 1 D E 分别为 AB BC 的中点 DE AC 即 DE AF Rt ABC 中 BAC 90 BE EC EA EB 2 1 BC EAB B 又 FDA B EAB FDA EA DF AEDF 为平行四边形 AF DE 2 AC 6 BC 10 DE 2 1 AC 3 AE 2 1 BC 5 四边形 AEDF 的周长 2 AE DE 2 3 5 16 题 2 如图 在四边形 ABCD 中 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 延 长 BA 和 CD 分别与 EF 的延长线交于 K H 求证 BKE CHE 分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用 平行线的性质 由中点想 到中位线 又要把结论联系起来 既要使中位线的另一端点处一理想的位置 又使需证明的角转移过来 可考虑 连 BD 找 BD 中点 G 则 EG FG 分别为 BCD DBA 的中位线 于是得到了解题方法 考虑到结论辅助线不要乱作 取 中点比作平行线好 证明 连 BD 并取 BD 的中点 G 连 FG GE 在 DAB 和 BCD 中 F 是 AD 的中点 E 是 BC 的中点 FG AB 且 FG 2 1 AB EG DC 且 EG 2 1 DC BKE GFE CHE GEF AB CD FG EG GFE GEF BKE CHE 题 3 如图 ABCD 为等腰梯形 AB CD O 为 AC BD 的交点 P R Q 分别为 AO DO BC 的中点 AOB 60 求证 PQR 为等边三角形 分析 本题考查三角形中位线定理 等边三角形判定方法 直角三角形斜 边中线定理 利用条件可知 PR 2 1 AD 能否把 PQ RQ 与 AD BC 联系起来成为 解题的关键 由于 AOB 60 OD OC 则 ODC 为等边三角形 再由 R 为 OD 中点 则 BRC 90 QR 就为斜边 BC 的中线 证明 连 RC 四边形 ABCD 为等腰梯形且 AB DC AD BC ADC BCD 又 DC 为公共边 ADC BCD ACD BDC ODC 为等腰三角形 DOC AOB 60 ODC 为等边三角形 R 为 OD 的中点 ORC 90 DRC 等腰三角形底边上的中线也是底边上的高 Q 为 BC 的中点 RQ 2 1 BC 2 1 AD 同理 PQ 2 1 BC 2 1 AD 在 OAD 中 P R 分别为 AO OD 的中点 PR 2 1 AD PR PQ RQ 故 PRQ 为等边三角形 3 教学难点 本课难点是三角形中位线定理的证明 证明方法的关键在于如何 添加辅助线 教师可以在证明思路上进行引导 启发 避免生硬地将辅助线直接作出来 让学生接受 例如 教师可以启发学生 要证明一条线段的长等于另一条线段 的长的一半 可将较短的线段延长一倍 或者截取较长的线段的一半 上面的这种辅助线的作法可以概括为 短延长 长截短 这种辅助线的 作法还可以用于证明线段和 差 倍 分等方面 证明线段的和 差 倍 分常用的证明策略 1 长截短 要证明一条线段等于另外两条线段的和与差 可在长线上截取一 部分等于另两条线段中的一条 然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长 角也亦然 2 短延长 要证明一条线段等于另外两条线段的和与差 可先延长较短的一 条线段 得到两条线段的和 然后再证明其与长的线段相等 角也这样 3 加倍法 要证明一条线段等于另一条线段的 2 倍或 1 2 可加倍延长线段 延长后使之为其 2 倍 再证明与另一条线段相等 角也这样 4 折半法 要证明一条线段等于另一条线段的 2 倍或 1 2 也可取长线段的 中点 再证明其中之一与另一条线段相等 角也可用 5 代数运算推理法 这种方法是利用代数运算证明线段或角的和 差 倍 分 6 相似三角形及比例线段法 利用相似三角形的性质进行推理论证 题题 1 短延长 短延长 如图所示 在正方形 ABCD 中 P Q 分别为 BC CD 上的点 1 若 PAQ 45 求证 PB DQ PQ 2 若 PCQ 的周长等于正方形周长的一半 求证 PAQ 45 A D Q B P C 证明 1 延长 CB 至 E 使 BE DQ 连接 AE 四边形 ABCD 是正方形 ABE ABC D 90 AB AD 在 ABE 和 ADQ 中 AB AD ABE D BE DQ ABEADQ AEAQBAEQAD PAQ BAPQAD BAPBAE EAPPAQ 即 45 45 45 45 在和中 即 AEPAQP AEAQEAPPAQAPAP AEPAQP EPPQ EPEBBPDQBPPQ PBDQPQ A D Q E B P C 2 延长 CB 至 E 使 BE DQ 连接 AE 由 1 可知 ABEADQ AEAQBAEQAD DAQBAQBAEBAQ PCQ PCQCQPBCCD PQBCPCCDQCBPDQBPEBEP AEPAQP AEAQEPPQAPAP AEPAQP EAPPAQ 的