椭圆典型题型归纳

第 1 页 椭圆典型题型归纳椭圆典型题型归纳 题型一题型一 定义及其应用定义及其应用 例 1 已知一个动圆与圆相内切 且过点 求这个动圆圆心 22 4 100Cxy 4 0 A 的轨迹方程 M 练习练习 1 方程对应的图形是 2222 3 3 6xyxy A 直线 B 线段 C 椭圆 D 圆 2 方程对应的图形是 2222 3 3 10 xyxy A 直线 B 线段 C 椭圆 D 圆 4 如果方程表示椭圆 则的取值范围是 2222 1xymxymm m 5 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点 则两点与椭圆 22 941xy 1 F A B A B 的另一个焦点构成的的周长等于 2 F 2 ABF 6 设圆的圆心为 是圆内一定点 为圆周上任意一点 线段 22 1 25xy C 1 0 AQ 的垂直平分线与的连线交于点 则点的轨迹方程为 AQCQMM 题型二题型二 椭圆的方程椭圆的方程 一 由方程研究曲线 一 由方程研究曲线 例 1 方程的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹 22 1 1625 xy 二 分情况求椭圆的方程 二 分情况求椭圆的方程 例 2 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴是短轴的 3 倍 并且过点 求椭圆的方 3 0 P 程 三 用待定系数法求方程 三 用待定系数法求方程 例 3 已知椭圆的中心在原点 以坐标轴为对称轴 且经过两点 1 6 1 P 求椭圆的方程 2 3 2 P 例 4 求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程 2 3 22 9436xy 第 2 页 注 一般地 与椭圆注 一般地 与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为共焦点的椭圆可设其方程为 22 22 1 xy ab 22 2 22 1 xy kb akbk 四 定义法求轨迹方程 四 定义法求轨迹方程 例 5 在中 所对的三边分别为 且 求满足ABC A B C a b c 1 0 1 0 BC 且成等差数列时顶点的轨迹 bac b a cA 五 相关点法求轨迹方程 五 相关点法求轨迹方程 例 6 已知轴上一定点 为椭圆上任一点 求的中点的轨迹x 1 0 AQ 2 2 1 4 x y AQM 方程 六 直接法求轨迹方程 六 直接法求轨迹方程 例 7 设动直线 垂直于轴 且与椭圆交于两点 点是直线 上满足lx 22 24xy A BPl 的点 求点的轨迹方程 1PA PB AP 七 列方程组求方程 七 列方程组求方程 例 8 中心在原点 一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标 0 50 F32yx 为 求此椭圆的方程 1 2 题型三题型三 焦点三角形问题焦点三角形问题 例 1 已知椭圆上一点的纵坐标为 椭圆的上下两个焦点分别为 22 1 1625 xy P 5 3 2 F 1 F 求 及 1 PF 2 PF 12 cosFPF 题型四题型四 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 例 1 已知是椭圆上的点 的纵坐标为 分别为椭圆的两个焦点 P 22 22 1 xy ab 5 3 1 F 2 F 椭圆的半焦距为 则的最大值与最小值之差为 c 12 PFPFA 第 3 页 例 2 椭圆的四个顶点为 若四边形的内切圆恰 22 22 1 xy ab 0 ab A B C DABCD 好过焦点 则椭圆的离心率为 例 3 若椭圆的离心率为 则 22 1 14 xy k 1 2 k 例 4 若为椭圆上一点 为其两个焦点 且P 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 F 则椭圆的离心率为 0 12 15PFF 0 21 75PF F 题型七题型七 求离心率求离心率 例 1 椭圆的左焦点为 是两个顶点 22 22 1 xy ab 0 ab 1 0 Fc 0 Aa 0 Bb 如果到直线的距离为 则椭圆的离心率 1 FAB 7 b e 例 2 若为椭圆上一点 为其两个焦点 且 P 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 F 12 PFF 则椭圆的离心率为 21 2PF F 例 3 为椭圆的两个焦点 过的直线交椭圆于两点 且 1 F 2 F 2 F P Q 1 PFPQ 则椭圆的离心率为 1 PFPQ 题型八题型八 椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用 例 1 椭圆上的点到直线的距离最大时 点的坐标 22 1 43 xy P270 xy P 例 2 方程 表示焦点在轴上的椭圆 求的取值范围 22 sincos1xy 0 y 题型九题型九 直线与椭圆的关系直线与椭圆的关系 1 1 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 第 4 页 例 1 当为何值时 直线与椭圆相切 相交 相离 m l yxm 22 916144xy 例 2 曲线 与连结 的线段没有公共点 求的 222 22xya 0a 1 1 A 2 3 Ba 取值范围 例 3 过点作直线 与椭圆相交于两点 为坐标原点 0 3 Pl 22 3412xy A BO 求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值 OAB 例 4 求直线和椭圆有公共点时 的取值范围cossin2xy 22 36xy 0 二 弦长问题 二 弦长问题 例 1 已知椭圆 是轴正方向上的一定点 若过点 斜率为 1 的直线 22 212xy AxA 被椭圆截得的弦长为 求点的坐标 3 134 A 例 2 椭圆与直线相交于两点 是的中点 22 1axby 1xy A BCAB 若 为坐标原点 的斜率为 求的值 22 ABOOC 2 2 a b 例 3 椭圆的焦点分别是和 过中心作直线与椭圆交于两点 若1 2045 22 yx 1 F 2 FO A B 的面积是 20 求直线方程 2 ABF 第 5 页 三 弦所在直线方程 三 弦所在直线方程 例 1 已知椭圆 过点能否作直线 与椭圆相交所成弦的中点恰好是 22 1 164 xy 2 0 PlP 例 2 已知一直线与椭圆相交于两点 弦的中点坐标为 22 4936xy A BAB 1 1 M 求直线的方程 AB 例 3 椭圆中心在原点 焦点在轴上 其离心率 过点的直线 与椭EOx 3 2 e 1 0 C l 圆相交于两点 且 C 分有向线段的比为 2 E A BAB 1 用直线 的斜率表示的面积 l 0 k k OAB 2 当的面积最大时 求椭圆 E 的方程 OAB 例 4 已知是椭圆上的三点 为椭圆的左焦点 11022 1 A x yByC xy 22 1 43 xy F 且成等差数列 则的垂直平分线是否过定点 请证明你的结论 AFBFCFAC 四 关于直线对称问题四 关于直线对称问题 例 1 已知椭圆 试确定的取值范围 使得椭圆上有两个不同的点关于直线 22 1 43 xy m 对称 4yxm 第 6 页 例 2 已知中心在原点 焦点在轴上 长轴长等于 6 离心率 试问是否存在直y 3 22 e 线 使 与椭圆交于不同两点 且线段恰被直线平分 若存在 求出直ll A BAB 2 1 x 线 倾斜角的取值范围 若不存在 请说明理由 l 题型十题型十 最值问题最值问题 例 1 若 为椭圆的右焦点 点 M 在椭圆上移动 求 2 3 P 2 F1 1625 22 yx 的最大值和最小值 2 MPMF 结论结论 1 设椭圆 设椭圆的左右焦点分别为的左右焦点分别为 为椭圆内一点 为椭圆内一点 1 2 2 2 2 b y a x 12 F F 00 P xy 为椭圆上任意一点 则为椭圆上任意一点 则的最大值为的最大值为 最小值为最小值为 M x y 2 MPMF 1 2aPF 1 2aPF 例 2 为椭圆的右焦点 点 M 在椭圆上移动 求的 2 6 P 2 F1 1625 22 yx 2 MPMF 最大值和最小值 论论 2 设椭圆设椭圆的左右焦点分别为的左右焦点分别为 为椭圆外一点 为椭圆外一点 为为1 2 2 2 2 b y a x 12 F F 00 P xy M x y 椭圆上任意一点 则椭圆上任意一点 则的最大值为的最大值为 最小值为 最小值为 2 MPMF 1 2aPF 2 PF 2 二次函数法 例 3 求定点到椭圆上的点之间的最短距离 0 A a1 2 2 2 2 b y a x F2 F1 M1 M2 第 7 页 结论结论 3 椭圆 椭圆上的点上的点到定点到定点 A m 0 或或 B 0 n 距离的最值问题 可以距离的最值问题 可以1 2 2 2 2 b y a x M x y 用两点间距离公式表示用两点间距离公式表示 MA 或或 MB 通过动点在椭圆上消去 通过动点在椭圆上消去 y 或或 x 转化为二次函数转化为二次函数 求最值 注意自变量的取值范围 求最值 注意自变量的取值范围 3 三角函数法三角函数法 例 4 求椭圆上的点到直线的距离的最值 1 4 2 2 2 y x M x y 24l xy 结论结论 4 若椭圆 若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时 可通过椭圆的参可通过椭圆的参1 2 2 2 2 b y a x 数方程 统一变量转化为三角函数求最值 数方程 统一变量转化为三角函数求最值 4 判别式法判别式法 例 4 的解决还可以用下面方法 结论结论 5 椭圆上的点到定直线 椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题距离的最值问题 可转化为与可转化为与 l 平行的直线平行的直线 m 与椭圆相切的与椭圆相切的 问题问题 利用判别式求出直线利用判别式求出直线 m 方程 再利用平行线间的距离公式求出最值方程 再利用平行线间的距离公式求出最值 例 5 已知定点 点为椭圆的右焦点 点在该椭圆上移动时 2 3 A F 22 1 1612 xy M 求的最小值 并求此时点的坐标 第二定义的应用 2AMMF M 题型十一题型十一 轨迹问题轨迹问题 例 1 到两定点 的距离之和为定值 5 的点的轨迹是 2 1 2 2 A 椭圆 双曲线 直线 线段 例 2 已知点 点在圆的上半圆周上 即