IIR数字滤波器设计及其MATLAB实现

cos arccos 1 1 N Nxx Cx ch NArchxx IIR 数字滤波器设计及其数字滤波器设计及其 MATLAB 实现实现 摘 要 IIR 数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果 如巴特沃斯 契比雪 夫和椭圆滤波器等 在设计一个 IIR 数字滤波器时 我们根据指标先写出模拟滤波器的 设计方法设计一个满足数字滤波器指标的 模拟滤波器 然后通过一定的变换 将模拟滤 波器转换成数字滤波器 本文介绍了 IIR 数字滤波器 设计 主要分析了其在满足上述要 求下的工程方法 冲激响应不变法和双线性变换法 通过理论与实践的分析对比 表明了 两种方法的优弊端 关键词 IIR 数字滤波器 MATLAB 冲激响应不变法 双线性变换法 1 引 言 IIR 数字滤波器的最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法 模拟滤波器设计已经有 了相当成熟的技术和方法 有完整的设计公式 还有比较完整的图表可以查询 因此设计数字 滤波器可以充分利用这些丰富的资源来进行 对于 IIR 数字滤波器的设计具体步骤 1 按照 一定的规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标 2 根据转换 后的技术指标设计模拟低通滤波器 G s G s 是低通滤波器的传递函数 3 再按照一定的规则 将 G s 转换成 H z H z 是数字滤波器的传递函数 下面从原理分析在到实践来分析设计用冲 激响应不变法和双线性变换法来设计IIR 数字滤波器的过程 2 原理分析 我们书本上重点介绍了巴特沃斯低通滤波器的设计 但巴特沃斯滤波器的频率特性无论在 通带还是在阻带豆岁频率而单调变化 因此 如果在通带边缘满足指标 则在通带内肯定会有 富裕量 也就是超过指标的要求 因而并不经济 所以 更有效果的办法是将指标的精度要求 欧均匀地分布在通带内 或均匀分布在阻带内 或同时均匀分布在通带与阻带内 这样在同样 通带 阻带性能要求下 就可以设计出阶数较低的滤波器 下面分析典型的滤波器 切比雪夫 1 2 1 切比雪夫 1 低通滤波器的原理 设计 IIR 滤波器的基础是设计模拟滤波器 的原型 其中 切比雪夫 1 就是一种 切比雪夫 1 低通滤波器的原理 幅度平方函数为 式中 为小于 1 的正数 表示通带内幅度波动的程度 愈大 波动幅度也愈 大 p 称为通带截止频率 令 p 称为对 p 的归一化频率 CN x 称为 N 阶切比雪夫多项式 定义为 切比雪夫的特性 1 切比雪夫多项式的过零点在 x 1 的范围内 2 当 x 1 时 CN x 1 在 x 1 时 CN x 是双曲线函数 随 x 单调上升 Matlab 信号工具箱提供了几个直接设计 IIR 数字滤波器的函数 直接调用这些函数就可以很方便地对 滤波器进行设计 他们为 cheblap cheblord cheby1 2 2 22 1 1 a N p AHj C 2 2 冲激响应不变法 顾名思义 所谓冲激响应不变法 就是使离散时间系统的冲激响应等于连续时间系统冲激 响应的抽样值 即 1 这样 如果连续时间系统的冲激响应为 则根据式子 1 离散时间系统的冲激响应就等于 2 由式子 2 可得连续时间系统的系统函数可见 在 2 中 p i 是 系统函数的极点 或者系统微分方程的特征根 这里 我们假设 p i 都是一阶极点 而 A i 是 与每个极点相对应的系数 其值为 3 而从式子 3 可求得离 散时间系统的系统函数 根据 s 平面和 z 平面之间的映射关系 可知 s 平面上的 j 轴将映射成 z 平面上的单位园 而左半 s 平面将映射为单位 园内部分 右半 s 平面将映射为单位园外部分 如图 z6 1 所示 而且 从连续时间频率 到 离散时间频率 是一个多值映射 根据这种映射关系可知 左半 s 平面上的极点将映射到 z 平面上的单位园内 由此而可得到一个基本结论 即冲激响应不变法可以将一个稳定的连续时 间系统转换为一个稳定的离散时间系统 此外 由于可以将离散时间系统的冲激响应看作是连 续时间系统的抽样 于是 根据抽样定理和连续时间频率与离散时间频率之间的关系 可以求 得离散时间系统的频率响应和连续时间系统的频率响应满足下述关系 此式表明 如果连续时间系统的频率特性不是一个限带频谱 则转换为离散时间系统后将 出现频谱混叠 从 s 平面到 z 平面的映射来看 多值映射是造成频谱混叠的原因 2 3 双线性变换法 双线性变换法是在冲激响应不变法的基础上采用不同的变换 分为两步 第一步 将整 个 S 平面压缩到 S1 平面的一条横带里 第二步 通过标准变换关系将此横带变换到整个 Z 平面上去 为了将 s 平面的 j 轴压缩到 s1平面 j 轴上的 一段上 可通过以下的 正切变换实现 经过这样的频率变 当 1 由 时 由 即映射了 整个 j 轴 将这一解析关系延拓至整个 s 平面 则得到 s 平面 平面的映射关系 再将 s1平面通过标准变换关系映射到 z 平面 即单值映 射关系 令 最后得 S 平面与 Z 平面的关系 3 目标分析 冲激响应不变法是一种简单的转换方法 它可以将一个稳定的连续时间系统转换为一个稳 定的离散时间系统 而且可以使离散时间系统的冲激响应形状和连续时间系统相同 但是 由 于连续时间系统的频率响应往往不是限带频谱 因此 这种方法存在着频谱混叠的现象 这种 混叠将造成频谱高端的严重失真 从而使得这种方法只适用于低通滤波器或者频谱限带的高通 或带通 与脉冲响应不变法相比 双线性变换的主要优点 靠频率的严重非线性关系得到S 平面与 Z 平面的单值一一对应关系 整个j 轴单值对应于单位圆一周 这个关系就是 式 所表示的 其中 和 为非线性关系 如图图中看到 在零频率附近 接 近于线性关系 进一步增加时 增长变得缓慢 终止于折叠频率处 所以双 线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象 双线性变换 法的缺点 与 的非线性关系 导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频 响应有畸变 使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变 下面通过实例来分析两种方法设计IIR 低通滤波器 4 实例分析 设计低通数字滤波器 要求在通带内频率低于 0 2 rad 时 允许幅度误差在 1dB 以内 在频率 0 3 rad 到 rad 之间的阻带衰减大于 15dB 用脉冲响应不变 法设计数字滤波器 T 1 要求利用 切比雪夫滤波器原型来设计 IIR 低通滤波器 需要 对信号做频谱分析 为了简便对比 对信号进行频谱分析时 这里统一采用无纲量的归一化频 率单位 即模拟频率对采样频率归一化 模拟角频率对采样角频率归一化 数字频率对 2 归 一化 方法步骤先将技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标 再求出阶数 N 查表 得出 模拟低通滤波器 G s 按一定规则 G s 转换成 H z 并作出频谱分析的图像 利用 MATLAB 实 现上述分析过程的程序如下 冲激响应不变法 wp 0 2 pi wr 0 3 pi Ap 1 Ar 15 T 1 Omegap wp T Omegar wr T cs ds afd chb1 Omegap Omegar Ap Ar 切比雪夫 1 型 C B A sdir2cas cs ds 模拟滤波器级联型 db mag pha Omega freqs m cs ds pi 模拟滤波器响应 subplot 224 plot Omega pi mag title 模拟滤波器幅度响应 Ha j Omega b a imp invr cs ds T 脉冲响应不变法设计 C B A dir2par b a 数字低通滤波器并联 db mag pha w freqz m b a 数字滤波器响应 subplot 2 2 1 plot w pi mag title 数字滤波器幅度响应 H ej omega subplot 2 2 2 plot w pi db title 数字滤波器幅度响应 dB subplot 2 2 3 plot w pi pha pi title 数字滤波器相位响应 双线性变换法 wp 0 2 pi wr 0 3 pi Ap 1 Ar 15 T 1 Omegap 2 T tan wp 2 Omegar 2 T tan wr 2 cs ds afd chb1 Omegap Omegar Ap Ar 切比雪夫原型 C B A sdir2cas cs ds 模拟滤波器级联型 db mag pha Omega freqs m cs ds pi 模拟滤波器响应 subplot 224 plot Omega pi mag title 模拟滤波器幅度响应 Ha j Omega b a bilinear cs ds T 双线性变换法设计 C B A dir2cas b a 数字低通滤波器级联型 db mag pha w freqz m b a 数字滤波器响应 subplot 2 2 1 plot w pi mag title 数字滤波器幅度响应 H ej omega subplot 2 2 2 plot w pi db title 数字滤波器幅度响应 dB subplot 2 23 plot w pi pha pi title 数字滤波器相位响应 delta w 2 pi 1000 Ap min db 1 1 wp delta w 1 Ar round max db wr delta w 1 1 501 程序设计清晰 容易理解 脉冲响应不变法设计的切比雪夫 1 型数字滤波器 双线性变换 法设计的切比雪夫 1 型数字滤波器 运行结果如图 1 2 从结果图像 1 中可以看到脉冲响应不 变法设计会造成频响的混叠 不宜用来设计高通 带阻滤波器 使用于基本上市限带的滤波器 如低通和带通滤波器 当强调以控制时间响应为目的来设计滤波器 采用这种方法比较适合 从结果图像 2 可以看到双线性变换法设计克服了频响的混叠 但频率变换关系不是线性的 5 结束语 本次课程设计是用脉冲响应不变法和双线性不变法来设计IIR 滤波器 认真阅读数字信 号处理课本的相关内容 但在设计的过程中遇到了一些问题 通过查阅资料 对一些问 题由了进一步的认识 本次课程设计不仅考察了我对专业知识的理解程度 也锻炼了我的 动手能力 提高了自己的独立思考问题 解决问题的能力 所以 整个过程我觉得学到不 少东西 参考文献 1 钱同惠 数字信号处理 M 机械工业出版社 2005 2 丛玉良 王宏志 数字信号处理原理及其 MATLAB 实现 M 北京 电子工业出版社 2006 3 周辉 董正宏 数字信号处理基础及 MAATLAB 实现 M 中国林业出版社 2006 4 楼