2019年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)

2019 年全国普通高等学校高考数学模拟试卷 理科 年全国普通高等学校高考数学模拟试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 已知集合 A x x2 4x 0 C x x 2n n N 则 A B C A 2 4 B 0 2 C 0 2 4 D x x 2n n N 2 5 分 设 i 是虚数单位 若 x y R 则复数 x yi 的共轭复数 是 A 2 iB 2 iC 2 i D 2 i 3 5 分 已知等差数列 an 的前 n 项和是 Sn 且 a4 a5 a6 a7 18 则下列命题 正确的是 A a5是常数B S5是常数C a10是常数D S10是常数 4 5 分 七巧板是我们祖先的一项创造 被誉为 东方魔板 它是由五块等腰 直角三角形 两块全等的小三角形 一块中三角形和两块全等的大三角形 一 块正方形和一块平行四边形组成的 如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取 一点 则此点取自黑色部分的概率是 A B C D 5 5 分 已知点 F 为双曲线 C a 0 b 0 的右焦点 直线 x a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A 若 AF 的中点在双曲线上 则双 曲线的离心率为 A B C D 6 5 分 已知函数则 A 2 B C D 7 5 分 执行如图所示的程序框图 则输出的 S 的值为 A B C D 8 5 分 已知函数 0 的相邻两个 零点差的绝对值为 则函数 f x 的图象 A 可由函数 g x cos4x 的图象向左平移个单位而得 B 可由函数 g x cos4x 的图象向右平移个单位而得 C 可由函数 g x cos4x 的图象向右平移个单位而得 D 可由函数 g x cos4x 的图象向右平移个单位而得 9 5 分 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为 A 73 B 61 C 55 D 63 10 5 分 某几何体的三视图如图所示 其中俯视图中六边形 ABCDEF 是边长 为 1 的正六边形 点 G 为 AF 的中点 则该几何体的外接球的表面积是 A B C D 11 5 分 已知抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 过点 F 分别作两条直线 l1 l2 直 线 l1与抛物线 C 交于 A B 两点 直线 l2与抛物线 C 交于 D E 两点 若 l1与 l2 的斜率的平方和为 1 则 AB DE 的最小值为 A 16B 20C 24D 32 12 5 分 若函数 y f x x M 对于给定的非零实数 a 总存在非零常数 T 使得定义域 M 内的任意实数 x 都有 af x f x T 恒成立 此时 T 为 f x 的类周期 函数 y f x 是 M 上的 a 级类周期函数 若函数 y f x 是 定义在区间 0 内的 2 级类周期函数 且 T 2 当 x 0 2 时 函数 若 x1 6 8 x2 0 使 g x2 f x1 0 成立 则实数 m 的取值范围是 A B C D 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 5 分 已知向量 且 则 14 5 分 已知 x y 满足约束条件则目标函数的最小值为 15 5 分 在等比数列 an 中 a2 a3 2a1 且 a4与 2a7的等差中项为 17 设 bn a2n 1 a2n n N 则数列 bn 的前 2n 项和为 16 5 分 如图 在直角梯形 ABCD 中 AB BC AD BC 点 E 是线段 CD 上异于点 C D 的动点 EF AD 于点 F 将 DEF 沿 EF 折起到 PEF 的位置 并使 PF AF 则五棱锥 P ABCEF 的体积的取值范围为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 17 12 分 已知 ABC 的内角 A B C 的对边 a b c 分别满足 c 2b 2 2bcosA acosC ccosA 0 又点 D 满足 1 求 a 及角 A 的大小 2 求的值 18 12 分 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 是正方形 且 A1AB A1AD 60 1 求证 BD CC1 2 若动点 E 在棱 C1D1上 试确定点 E 的位置 使得直线 DE 与平面 BDB1所 成角的正弦值为 19 12 分 过大年 吃水饺 是我国不少地方过春节的一大习俗 2019 年春节 前夕 A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺 检测其某项质 量指标 1 求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表 2 由直方图可以认为 速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布 N 2 利用该正态分布 求 Z 落在 14 55 38 45 内的概率 将频率视为概率 若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺 记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于 10 30 内的包数为 X 求 X 的分布列和 数学期望 附 计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标的标准差为 若 则 P Z 0 6826 P 2 Z 2 0 9544 20 12 分 已知椭圆 C 的离心率为 且以两焦点为 直径的圆的内接正方形面积为 2 1 求椭圆 C 的标准方程 2 若直线 l y kx 2 与椭圆 C 相交于 A B 两点 在 y 轴上是否存在点 D 使 直线 AD 与 BD 的斜率之和 kAD kBD为定值 若存在 求出点 D 坐标及该定值 若不存在 试说明理由 21 12 分 已知函数 f x ex 2 a 1 x b 其中 e 为自然对数的底数 1 若函数 f x 在区间 0 1 上是单调函数 试求实数 a 的取值范围 2 已知函数 g x ex a 1 x2 bx 1 且 g 1 0 若函数 g x 在区间 0 1 上恰有 3 个零点 求实数 a 的取值范围 请考生在请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 选选 修修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 C1的参数方程为 为参数 a 是大于 0 的常数 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系 圆 C2的极坐标方程为 1 求圆 C1的极坐标方程和圆 C2的直角坐标方程 2 分别记直线 l R 与圆 C1 圆 C2的异于原点的焦点为 A B 若圆 C1与圆 C2外切 试求实数 a 的值及线段 AB 的长 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知函数 f x 2x 1 1 求不等式 f x 10 x 3 的解集 2 若正数 m n 满足 m 2n mn 求证 f m f 2n 16 2019 年全国普通高等学校高考数学模拟试卷 理科 年全国普通高等学校高考数学模拟试卷 理科 一 一 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 已知集合 A x x2 4x 0 C x x 2n n N 则 A B C A 2 4 B 0 2 C 0 2 4 D x x 2n n N 解答 解 A x x2 4x 0 x 0 x 4 x 3 4 3x 33 x 4 x 3 则 A B x 4 x 4 C x x 2n n N 可得 A B C 0 2 4 故选 C 2 5 分 设 i 是虚数单位 若 x y R 则复数 x yi 的共轭复数 是 A 2 iB 2 iC 2 i D 2 i 解答 解 由 得 x yi 2 i 复数 x yi 的共轭复数是 2 i 故选 A 3 5 分 已知等差数列 an 的前 n 项和是 Sn 且 a4 a5 a6 a7 18 则下列命题 正确的是 A a5是常数B S5是常数C a10是常数D S10是常数 解答 解 等差数列 an 的前 n 项和是 Sn 且 a4 a5 a6 a7 18 a4 a5 a6 a7 2 a1 a10 18 a1 a10 9 45 故选 D 4 5 分 七巧板是我们祖先的一项创造 被誉为 东方魔板 它是由五块等腰 直角三角形 两块全等的小三角形 一块中三角形和两块全等的大三角形 一 块正方形和一块平行四边形组成的 如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取 一点 则此点取自黑色部分的概率是 A B C D 解答 解 设 AB 2 则 BC CD DE EF 1 S BCI S平行四边形 EFGH 2S BCI 2 所求的概率为 P 故选 A 5 5 分 已知点 F 为双曲线 C a 0 b 0 的右焦点 直线 x a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A 若 AF 的中点在双曲线上 则双 曲线的离心率为 A B C D 解答 解 设双曲线 C 的右焦点 F c 0 双曲线的渐近线方程为 y x 由 x a 代入渐近线方程可得 y b 则 A a b 可得 AF 的中点为 b 代入双曲线的方程可得 1 可得 4a2 2ac c2 0 由 e 可得 e2 2e 4 0 解得 e 1 1 舍去 故选 D 6 5 分 已知函数则 A 2 B C D 解答 解 cos2tdt cosx 2 故选 D 7 5 分 执行如图所示的程序框图 则输出的 S 的值为 A B C D 解答 解 第 1 次循环后 S 不满足退出循环的条件 k 2 第 2 次循环后 S 不满足退出循环的条件 k 3 第 3 次循环后 S 2 不满足退出循环的条件 k 4 第 n 次循环后 S 不满足退出循环的条件 k n 1 第 2019 次循环后 S 不满足退出循环的条件 k 2019 第 2019 次循环后 S 2 满足退出循环的条件 故输出的 S 值为 2 故选 C 8 5 分 已知函数 0 的相邻两个 零点差的绝对值为 则函数 f x 的图象 A 可由函数 g x cos4x 的图象向左平移个单位而得 B 可由函数 g x cos4x 的图象向右平移个单位而得 C 可由函数 g x cos4x 的图象向右平移个单位而得 D 可由函数 g x cos4x 的图象向右平移个单位而得 解答 解 函数 sin 2 x sin 2 x 0 的相邻两个零点差的绝对值为 2 f x sin 4x cos 4x cos 4x 故把函数 g x cos4x 的图象向右平移个单位 可得 f x 的图象 故选 B 9 5 分 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为 A 73 B 61 C 55 D 63 解答 解 展开式中所有各项系数和为 2 3 1 1 6 64 2x 3 1 其展开式中的常数项为 3 12 9 所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为 64 9 73 故选 A 10 5 分 某几何体的三视图如图所示 其中俯视图中六边形 ABCDEF 是边长 为 1 的正六边形 点 G 为 AF 的中点 则该几何体的外接球的表面积是 A B C D 解答 解 如图 可得该几何体是六棱锥 P ABCDEF 底面是正六边形 有一 PAF 侧面垂直底面 且 P 在底面的投影为 AF 中点 过底面中心 N 作底面垂线 过侧面 PAF 的外心 M 作面 PAF 的垂线 两垂线的交点即为球心 O 设 PAF 的外接圆半径为 r 解得 r 则该几何体的外接球的半径 R 表面积是则该几何体的外接球的表面积是 S 4 R2 故选 C 11 5 分 已知抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 过点 F 分别作两条直线 l1 l2 直 线 l1与抛物线 C 交于 A B 两点 直线 l2与抛物线 C 交于 D E 两点 若 l1与 l2 的斜率的平方和为 1 则 AB DE 的最小值为 A 16B 20C 24D 32 解答 解 抛物线 C y2 4x 的焦点 F 1 0 设直线 l1 y k1 x 1 直线 l2 y k2 x 1 由题意可知 则 联立 整理得 k12x2 2k12 4 x k12 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 设 D x3 y3 E x4 y4 同理可得 x3 x4 2 由抛物线的性质可得 丨 AB 丨 x1 x2 p 4 丨 DE 丨 x3 x4 p 4 AB DE 8 当且仅当 时 上式 成立 AB DE 的最小值 24 故选 C 12 5 分 若函数 y f x x M 对于给定的非零实数 a 总存在非零常数 T 使得定义域 M 内的任意实数 x 都有 af x f x T 恒成立 此时 T 为 f x 的类周期 函数 y f x 是 M 上的 a 级类周期函数 若函数 y f x 是 定义在区间 0 内的 2 级类周期函数 且 T 2 当 x 0 2 时 函数 若 x1 6 8 x2 0 使 g x2 f x1 0 成立 则实数 m 的取值范围是 A B C D 解答 解 根据题意 对于函数 f x 当 x 0 2 时 分析可得 当 0 x 1 时 f x 2x2 有最大值 f 0 最小值 f 1 当 1 x 2 时 f x f 2 x 函数 f x 的图象关于直线 x 1 对称 则此时 有 f x 又由函数 y f x 是定义在区间 0 内的 2 级类周期函数 且 T 2 则在 6 8 上 f x 23 f x 6 则有 12 f x 4 则 f 8 2f 6 4f 4 8f 2 16f 0 8 则函数 f x 在区间 6 8 上的最大值为 8 最小值为 12 对于函数 有 g x x 1 分析可得 在 0 1 上 g x 0 函数 g x 为减函数 在 1 上 g x 0 函数 g x 为增函数 则函数 g x 在 0 上 由最小值 f 1 m 若 x1 6 8 x2 0 使 g x2 f x1 0 成立 必有 g x min f x max 即 m 8 解可得 m 即 m 的取值范围为 故选 B 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 5 分 已知向量 且 则 解答 解 根据题意 向量 若 则 2sin cos 0 则有 tan 又由 sin2 cos2 1 则有或 则 或 则 则 2 2 2 故答案为 14 5 分 已知 x y 满足约束条件则目标函数的最小值为 解答 解 由约束条件作出可行域如图 联立 解得 A 2 4 令 t 5x 3y 化为 y 由图可知 当直线 y 过 A 时 直线在 y 轴上的截距最大 t 有最小值为 2 目标函数的最小值为 故答案为 15 5 分 在等比数列 an 中 a2 a3 2a1 且 a4与 2a7的等差中项为 17 设 bn a2n 1 a2n n N 则数列 bn 的前 2n 项和为 解答 解 等比数列 an 中 a2 a3 2a1 且 a4与 2a7的等差中项为 17 设首项为 a1 公比为 q 则 整理得 解得 则 所以 bn a2n 1 a2n 22n 4 则 T2n 故答案为 16 5 分 如图 在直角梯形 ABCD 中 AB BC AD BC 点 E 是线段 CD 上异于点 C D 的动点 EF AD 于点 F 将 DEF 沿 EF 折起到 PEF 的位置 并使 PF AF 则五棱锥 P ABCEF 的体积的取值范围为 0 解答 解 PF AF PF EF AF EF F PF 平面 ABCD 设 PF x 则 0 x 1 且 EF DF x 五边形 ABCEF 的面积为 S S梯形 ABCD S DEF 1 2 1 x2 3 x2 五棱锥 P ABCEF 的体积 V 3 x2 x 3x x3 设 f x 3x x3 则 f x 3 3x2 1 x2 当 0 x 1 时 f x 0 f x 在 0 1 上单调递增 又 f 0 0 f 1 五棱锥 P ABCEF 的体积的范围是 0 故答案为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 17 12 分 已知 ABC 的内角 A B C 的对边 a b c 分别满足 c 2b 2 2bcosA acosC ccosA 0 又点 D 满足 1 求 a 及角 A 的大小 2 求的值 解答 解 1 由 2bcosA acosC ccosA 0 及正弦定理得 2sinBcosA sinAcosC cosAsinC 即 2sinBcosA sin A C sinB 在 ABC 中 sinB 0 所以 又 A 0 所以 在 ABC 中 c 2b 2 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 bc 7 所以 2 由 得 所以 18 12 分 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 是正方形 且 A1AB A1AD 60 1 求证 BD CC1 2 若动点 E 在棱 C1D1上 试确定点 E 的位置 使得直线 DE 与平面 BDB1所 成角的正弦值为 解答 解 1 连接 A1B A1D AC 因为 AB AA1 AD A1AB A1AD 60 所以 A1AB 和 A1AD 均为正三角形 于是 A1B A1D 设 AC 与 BD 的交点为 O 连接 A1O 则 A1O BD 又四边形 ABCD 是正方形 所以 AC BD 而 A1O AC O 所以 BD 平面 A1AC 又 AA1 平面 A1AC 所以 BD AA1 又 CC1 AA1 所以 BD CC1 2 由 及 知 A1B A1D 于是 从而 A1O AO 结合 A1O BD AO AC O 得 A1O 底面 ABCD 所以 OA OB OA1两两垂直 如图 以点 O 为坐标原点 的方向为 x 轴的正方向 建立空间直角坐标系 O xyz 则 A 1 0 0 B 0 1 0 D 0 1 0 A1 0 0 1 C 1 0 0 由 得 D1 1 1 1 设 0 1 则 xE 1 yE 1 zE 1 1 1 0 即 E 1 1 1 所以 设平面 B1BD 的一个法向量为 由得令 x 1 得 设直线 DE 与平面 BDB1所成角为 则 解得或 舍去 所以当 E 为 D1C1的中点时 直线 DE 与平面 BDB1所成角的正弦值为 19 12 分 过大年 吃水饺 是我国不少地方过春节的一大习俗 2019 年春节 前夕 A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺 检测其某项质 量指标 1 求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表 2 由直方图可以认为 速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布 N 2 利用该正态分布 求 Z 落在 14 55 38 45 内的概率 将频率视为概率 若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺 记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于 10 30 内的包数为 X 求 X 的分布列和 数学期望 附 计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标的标准差为 若 则 P Z 0 6826 P 2 Z 2 0 9544 解答 解 1 所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 为 2 Z 服从正态分布 N 2 且 26 5 11 95 P 14 55 Z 38 45 P 26 5 11 95 Z 26 5 11 95 0 6826 Z 落在 14 55 38 45 内的概率是 0 6826 根据题意得 X B 4 X 的分布列为 X01234 P 20 12 分 已知椭圆 C 的离心率为 且以两焦点为 直径的圆的内接正方形面积为 2 1 求椭圆 C 的标准方程 2 若直线 l y kx 2 与椭圆 C 相交于 A B 两点 在 y 轴上是否存在点 D 使 直线 AD 与 BD 的斜率之和 kAD kBD为定值 若存在 求出点 D 坐标及该定值 若不存在 试说明理由 解答 解 1 由已知可得解得 a2 2 b2 c2 1 所求椭圆方程为 2 由得 1 2k2 x2 8kx 6 0 则 64k2 24 1 2k2 16k2 24 0 解得或 设 A x1 y1 B x2 y2 则 设存在点 D 0 m 则 所以 要使 kAD kBD为定值 只需 6k 4k 2 m 6k 8k 4mk 2 2m 1 k 与参数 k 无关 故 2m 1 0 解得 当时 kAD kBD 0 综上所述 存在点 使得 kAD kBD为定值 且定值为 0 21 12 分 已知函数 f x ex 2 a 1 x b 其中 e 为自然对数的底数 1 若函数 f x 在区间 0 1 上是单调函数 试求实数 a 的取值范围 2 已知函数 g x ex a 1 x2 bx 1 且 g 1 0 若函数 g x 在区间 0 1 上恰有 3 个零点 求实数 a 的取值范围 解答 解 1 根据题意 函数 f x e2 2 a 1 x b 其导数为 f x ex 2 a 1 当函数 f x 在区间 0 1 上单调递增时 f x ex 2 a 1 0 在区间 0 1 上 恒成立 2 a 1 ex min 1 其中 x 0 1 解得 当函数 f x 在区间 0 1 单调递减时 f x ex 2 a 1 0 在区间 0 1 上恒成立 2 a 1 ex max e 其中 x 0 1 解得 综上所述 实数 a 的取值范围是 2 函数 g x ex a 1 x2 bx 1 则 g x ex 2 a 1 x b 分析可得 f x g x 由 g 0 g 1 0 知 g x 在区间 0 1 内恰有一个零点 设该零点为 x0 则 g x 在区间 0 x0 内不单调 所以 f x 在区间 0 x0 内存在零点 x1 同理 f x 在区间 x0 1 内存在零点 x2 所以 f x 在区间 0 1 内恰有两个零点 由 1 知 当时 f x 在区间 0 1 上单调递增 故 f x 在区间 0 1 内至多有一个零点 不合题意 当时 f x 在区间 0 1 上单调递减 故 f