公务员数量整理笔记

行程问题行程问题 车站与人数的关系 1 某公交线路共有 15 站 假设一辆公交车从起点站出发 从起点站起 每一站都会有 都到前方每一站下车的乘客各一名上车 那么站第九站和第十站之间 车上有多少 人 A 48 B 54 C 56 D 60 前面 9 站要下车的人全都下车了 剩下的是在前面 9 站上车要在第 10 站及以后下车的 人 从第 10 到第 15 站一共 6 站 所以只需计算在前面 9 站上了多少趟要在后面 6 站下车 的人即可 每站上一趟 一趟上 6 个人 即 6 9 54 人 2 开始是从第一个站一直开始计算 但是这样容易计算错误 最多坐三个站 包括上车的 那个站也计算在内 那么在第十个站下车的人最远也就是在第七个站上车 之前的人都下 车了 所以从第七个站算起 第七 第八 第九有人上车 5 3 15 3 某公共汽车从起点开往终点站 途中共有 13 个停车站 如果这辆公共汽车从起点站 开出 除终点站外 每一站上车的乘客中 正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站 为了使每位乘客都有座位 那么 这辆公共汽车至少应有多少个座位 山东 2005 10 A 48 B 52 C 56 D 54 原理一样 上车的人越来越少 下车的人越来越多 要让车里的人最多的时候就是车 里人数净增量为正时所有情况加总 即加总到净增人数为最小正数 想象等差递减数列和 第 N 站上车人数是 13 N 下车人数是 N 净增量为 13 N N 13 2N 令 13 2N 0 N 7 或者这样估计 通常是在中间的数 第七站上车 6 人 下车 7 人 净增 1 人 第 8 站上车 7 人 下车 8 人 净增 1 人 所以到第七站全车人数达到最大值 此时在车上 的人有 7 8 56 人 因为前面 7 站要下车的人全都下车了 剩下的是在前面 7 站上车要在 8 站及以后下车的人 所以只需计算上了多少趟要在后 8 站上车的人即可 每站上一趟 一趟上 8 个人 即 7 8 56 人 4 有甲 乙两汽车站 从甲站到乙站与从乙站到甲站每隔 6 分同时各发车一辆 且都是 1 小时到达目的地 问某旅客乘车从甲站到乙站 在途中可看到几辆从乙站开往甲站的 汽车 A 18 B 21 C 20 D 19 1 每隔 6 分钟开出辆车 都是一样的车 一样的速度 所以是两车相对而行 相遇时 间会减少到一半 6 2 3 分钟可以遇到一辆车 注意 这个乘客坐的不是第一辆发出的车 如果是的话他遇到第一辆车要 30 分钟 如果两站同时发车的话 要注意读题目 2 一个小时里面有 60 3 20 个三分钟 注意这个除法算出来的个数是如下情况 第一个 3 第二个 3 第三个 3 第二十个 3 表达成线段是这样的形式 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 60 3 20 是中间有 20 段小线段 如果要计算端点数 一小段对应一个点 则只得出 20 个 点 因为第一个端点是没有算进去的 题目要计算的是相遇的车辆数 就是计算端点 所以一共应该是 20 1 21 个点 但是题目 问的是途中的数目 也就是去除两端的端点 21 2 19 去除左边端点的意思是在始发站看 到对方到站的车 去除右边端点的意思是汽车到对方站的时候对方的车正准备出发 5 从甲 乙两车站相对同时开出公车 此后两站每隔 8 分钟再开出一辆 依次类推 已 知每辆车的车速相同且匀速 每辆车到达对方站都需 45 分钟 现有一乘客坐甲站开出的 第一辆车去乙站 问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车 1 这个乘客是做第一辆发出的车 两站又是同时发车的 所以在 45 2 22 5 分钟时他才遇 到第一辆车 0 22 5min 1 22 5min 1 2 而后 他还有 22 5 分钟和对面车相遇 所以是 22 5 4 5 4 是每隔 8 分钟一班车 相对 而行就是相遇时间减去半 4 分钟相遇一次 因为 22 5 4 是不包括最左边的端点的 这 正是乘客相遇的第一辆车 所以最后要加上 5 1 6 6 某人沿电车线路行走 每 12 分钟有一辆电车从后面追上 每 4 分钟有一辆电车迎面而来 2 个起点站的发车间隔相同 那么这个间隔是多少 A 12min B B B B A 4min1 10 于是 3 30 汽车走完全程用 30min 10 开始走了 10min 40min 第二种情况 5 3 2 对应 10 分钟 2 10 1 5 于是 3 15 10min 6 公里 15min 于是走 6 公里用了 40 10 15 15min 求得汽车速度为 6 15 全程就是 6 15 40 16 自行车与汽车车速比 3 比 5 时间比 5 比 3 差值 2 2 对应 20 分钟 3 对应 30 因此 原定汽车的时间为 30 10 40 分钟 第二次差值 2 对应 10 分钟 因此汽车时间为 15 分钟 与第一次相比汽车多了 15 分钟 对应 6 公里 40 分钟对应 16 公里 选择 D 5 高速公路上行驶的汽车 A 的速度是 100 公里每小时 汽车 B 的速度是每小时 120 公里 此刻汽车 A 在汽车 B 前方 80 公里处 汽车 A 中途加油停车 10 分钟后继续向前行驶 那 么从两车相距 80 公里处开始 汽车 B 至少要多长时间可以追上汽车 A A 2 小时 B 3 小时 10 分 C 3 小时 50 分 D 4 小时 10 分 A 加油十分钟 B 开了 20 公里 相当于按速度差 120 100 追击 80 20 需要时 间为 3 小时 加上最开始加油的 10 分钟 所以选 B 6 甲从 A 地到 B 地需要 30 分钟 乙从 B 地到 A 地需要 45 分钟 甲乙两人同时从 A B 两 地相向而行 中间甲休息了 20 分钟 乙也休息了一段时间 最后两人在出发 40 分钟后相 遇 问乙休息了多少分钟 A 25 B 20 C 15 D 10 注意甲走的加上乙走的等于全程 特值法 假设 AB 两地相距 90 米 则甲乙速度分别为 3 2 甲走了 40 20 20 分钟 走了 60 米 那么乙走了 90 60 30 净走 15 分钟 休息 25 分钟 选 A 7 一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时 回来时顺水 比去时的速度每小时多行驶 8 千米 因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米 那么甲 乙两地之间的距离是多少千米 解 所用时间 T 顺 6 8 3 4 相当在 1 小时内走完同样的路程外还要额外多走 6 千米 所以每小时多走 8 千米 走了 N 小时 则多走 8N 千米 8N 6 N 6 8 这个正好是顺流所用的时间 T 逆 2 3 4 5 4 速度 V 顺 V 逆 5 3 V 顺 V 逆 8 差 2 份 1 份则为 4 所以 5 份的 V 顺是 20 全程 20 3 4 15 顺水的速度 顺水的时间 全程 8 甲 乙两人同时从 A 地出发 以相同的速度向 B 地前进 甲每行 5 分钟休息 2 分钟 乙 每行 210 米休息 3 分钟 甲出发后 50 分钟到达 B 地 乙到达 B 地比甲迟了 10 分钟 已 知两人最后一次的休息地点相距 70 米 两人的速度是多少米 分钟 A 20 B 30 C 40 D 50 实际行走的路程 实际行走的时间 全部时间 休息时间 速度 关键是将时间分段 求行进的路程和行进时间 排除休息的时间 画出图就容易解 图中可以看出 甲去除最后 1 分钟所行走的路程等于乙最后一次休息前走的路程加上 70 画图找清楚关系就容易解决 1 两人速度相同 所以两人走完全程的时间也相同 2 求实际行走时间 50 7 7 1 甲全程走 50 分钟 休息了 2 7 14 分钟 行走 50 14 36 分钟 乙全程要走 60 分钟 因为速度一样 所以也是行走 36 分钟 休息 60 36 24 分钟 3 求行走路程 乙一共休息了 8 次 每走 210 米就休息一次 所以在最后一次休息 之前 乙走了 8 210 1680 米 所以甲在最后一次休息之前 走了 1680 70 1750 米 4 求速度 到甲最后一次休息地点 他实际走了 7 回也就是 35 分钟 则速度为 1750 35 50 选 D 9 一列火车出发一小时后因故停车 0 5 小时 然后以原速的 3 4 前进 最终到达目的地晚 1 5 小时 若出发 1 小时后又前进 120 公里再因故停车 0 5 小时 然后同样以原速的 3 4 前进 则到达目的地仅晚 1 小时 那么整个路程为多少公里 A 240 B 300 C 320 D 360 比例法的典型应用 第一次实际是延误了 1 小时 前后速度比 4 比 3 时间比 3 比 4 差值 1 1 对应 1 小时 也就是原速度计划行驶 3 小时 总计划行驶 4 小时 第二次 实 际延误 0 5 小时 前后速度比 4 比 3 时间比 3 比 4 差值 1 1 对应 0 5 小时 也就是原 速度计划行驶 1 5 小时 与第一次差了 1 5 小时 1 5 小时对应 120 公里 4 小时对应 320 公里 秒杀 C 注意停车的时间直接减掉就可以 10 邮递员骑自行车从邮局到渔村送邮件 平常需要 1 小时 某天在距离渔村 2 公里处 自 行车出现故障 邮递员只好推车步行至渔村 步行速度只有骑车的 1 4 结果比平时多用 22 5 分钟 问邮局到渔村的距离是多少公里 A 15 B 16 C 18 D 20 用比例法比较方便 不容易计算错误 在最后 2 公里的路程里 速度比 4 1 时间比 1 4 时间相差 3 正好对应 22 5 一份为 22 5 3 7 5 自行车速度 2 7 5 全程为 2 7 5 60 16 11 一艘轮船从上游甲地开往下游乙地需要 5 个小时 以同样的功率从乙地开往甲地需要 6 小时 如在甲地放下一无动力竹排 它到达乙地需要多长时间 A 5 小时 B 15 小时 C 30 小时 D 60 小时 同样要找到相等的量 因为要求水速 所以设水速度为 v 轮船的静水速度是不变的 设总路程为 1 所以有 1 5 v 1 6 v v 1 60 t 60 12 公路上有三辆同向行驶的汽车 其中甲车的时速为 63 公里 乙 丙两车的时速均为 60 公里 但由于水箱故障 丙车每连续行驶 30 分钟后必须停车 2 分钟 早上 10 点 三 车到达同一位置 问 1 小时后 甲 丙两车最多相距多少公里 A 5 B 7 C 9 D 11 答案 B 解析 根据题意 三车早上 10 点的时候在同一位置 同向而行 行驶 1 小时之后想让 甲 丙两车之间距离最多 分析发现两车的运动轨迹为追及运动 那么甲车一直往前走 让丙车的休息时间尽可能长 则两车之间距离最长 甲车以 1 小时的路程 63 公里 丙车 10 点钟的时候先休息 2 分钟 行驶 30 分钟再休息 2 分钟 总共行驶的时间为 56 分钟 那么丙车路程 60 56 60 56 公里 所以两车之间距离 63 56 7 公里 答案选择 B 注意读题 题意是在路上的过程中 10 点的时候三车在共同一位置 并且题目要求两车之 间距离最大 即也要做出丙在一开始休息的假设 汽车载人问题 1 某团体从甲地到乙地 甲 乙两地相距 100 千米 团体中的一部分人乘车先行 余下的 人步行 先坐车的人到途中某处下车步行 汽车返回接先步行的那部分人 已知步行速度 为 8 千米 小时 汽车速度为 40 千米 小时 问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间 A 5 5 小时 B 5 小时 C 4 5 小时 D 4 小时 解 A B C D 车先送一批人到 C 点然后返回到 B 点的时间 与另一部分人从 A 点步行到 B 点的时间相 同 速度比 5 1 路程比也是 5 1 所以 AB BC CB AB 5 整理可得 BC 2AB 后面那些第一批人从 C 点开始步行到 D 点 与车最终到 D 点的时间 也是相同 同理可得 BC 2CD 所以全程 4 份 AB 和 CD 分别为 1 份 中间的 BC2 份 车一直跑来跑去直到最终到 D 走的总路程是 AB BC CB BC CD 8 份 也就是 2 倍全程 的距离 所以 200 40 5 小时 寻找比例关系时 要注意找同一时间内 不间断或不重叠的前进的路程比才等于速度比 这样才能约去 t 如果有段时间没有前进 就不是用匀速前进 t 时间了 是 t a 的时间 此 题中 寻找比例关系 要拿 A B C 段参照 因为此段中人行 AB 的时间等于车走 AB BC CB 的时间 当中两者都是不间断的行走的 但是 虽然两批人走完全程的时间和车运送 完两批人到达终点的时间一样 人走的路程是 AB CD 车走的路程是 AB BC CB BC CD AD 2BC AB CD AD 2BC 不等于速度比 因为第一批人在 C 处 下车后开始行走 此时车还没有返回到 B 所以同时第二批人也正在 AB 的途中没有到达 B 这段时间第一批人和第二批人都在行走 走的路程是重叠的 所以实质全程的时间里 行走路程多于 AB CD 比例不成立 2 甲 乙两城相距 91 千米 有 50 人一起从甲城到乙城 步行的速度是每小时 5 千米 汽 车行驶的速度为 35 千米 小时 他们有一辆可乘坐五人的面包车 最短用多少时间使 50 人全部到达乙城 13 4 思路 人走的路程 人速度 人坐车的路程 车速度 人走时间 人坐车的时间 关键求出 人和人坐车时各走了多少路 最省时间的方法是先用车载一批人一段路 再让这批人下车走一段路 这时候车就可以 折回载另一批人 将第二批人载到和第一批人汇合一起走 如此反复 每批人走的路程和 坐车的路程是一样的 且所有人同时到达 将重复的过程分解出来 先分析单独一个过程 车先从 A 点载 5 人出发 在 A 处剩下 的 45 人继续步行 车到 C 处后让车上 5 人下车步行 然后折回载步行的人 正好两者在 B 处相遇 灰色是车的路程 粉红色绿色是第一批人走的路程 绿色是第二批人在上车之 前走的路程 人走 AB 路程的时间与车走 AC BC 的时间是相同的 所以速度比等于路程比 5 35 1 7 人走的路程是 1 份 车走的路程是份 7 份 也就是说 每一个过程中 人走的 路程是 1 份 车走的路程是 7 份 现在利用上面关系分析一批人走完全程中 人走的路和车走的路的比例 对于第一批人来说 C 到 D 是走路 A 到 C 是坐车 因为每个过程的时间相同 所以每个 过程中走路的人都会走 AB 距离的路程 第一批人下车后 后面还有 9 批人 即要重复 9 个过程 正好这段时间第一批人走完 CD 距离 所以 CD 距离是 9 1 9 份 是占全程的 9 份 全程一共是 1 3 9 13 份 又 AB AB 2BC 1 7 可知 BC 占三分 所以 AC 占 4 份 AC 是第一批人坐车的路程 CD 是第一批人走路的路程 则有 91 13 4 35 91 13 9 5 13 4 91 13 4 是车走的路程 91 13 9 是人走的路程 各自分别除以车的速度和人的速度 相 加就得出时间了 因为后面在人走 CD 的同时汽车不断往返 这两个是同时进行的 所以 只需要加一段车走的时间 和后面人走的时间就可以了 3 有两个班的小学生要到少年宫参加活动 但只有一辆车接送 第一班的学生坐车从学校 出发的同时 第二班学生开始步行 车到途中某处 让第一班学生下车步行 车立刻返回 接第二班学生上车并直接开往少年宫 学生步行速度为每小时 4 公里 载学生时车速每小 时 40 公里 空车每小时 50 公里 那么 要使两班学生同时到达少年宫 第一班学生步行 了全程的几分之几 学生上下车时间不计 A 1 7 B 1 6 C 3 4 D 2 5 解 两个班要一起到达 那么他们步行和坐车的路程肯定都是一样的 假设总路程为 1 步行路程 a 空车走的路程 b 即 2a 1 b 又因为第 2 班走路的时间 第 1 班坐车的时间 空车返回的时间 所以有 a 4 1 a 40 b 50 联立可得 a 1 7 多次相遇计算距离多次相遇计算距离 1 甲 乙两人同时从 A B 两地出发 相向而行 甲到达 B 地后 立即往回走 回到 A 地 后 又立即向 B 地走去 乙到达 A 地后 立即往回走 回到 B 地后又立即向 A 地走去 如此往复 行走的速度不变 若两人第二次迎面相遇的地点距 A 地 500 米 第四次迎面相 遇地点距 B 地 700 米 则 A B 两地的距离是 A 1350 米 B 1460 米 C 1120 米 D 1300 米 相遇总路程比 多少个全程 时间比 单人路程比 为什么 设第一次相遇走了 a 个全程 第四次相遇走了 b 个全程 甲乙速度分别为 v1 v2 相遇时 间分别为 t1 t2 则有 aS bS v1 v2 t1 v1 v2 t2 t1 t2 a b 如果求甲两次的路程比 则会是 v1 t1 v1 t2 a b 因为约去了 v1 解 第二次相遇两人一共走了 3S 第四次相遇时两人一共走了 7S 路程比 7 3 即 3S 700 2S 500 7 3 s 1120 2 甲乙两车同时从 A B 两地相向而行 在距 B 地 54 千米处相遇 它们各自到达对方车 站后立即返回 在距 A 地 42 千米处相遇 请问 A B 两地相距多少千米 A 120 B 100 C 90 D 80 考虑乙走过的路 42 第一次相遇两人一共走了一个全程 S 其中乙走了 54 千米 第二次相遇两个人一共走了 3S 乙一个全程就走了 54 3 个全程一共走了 54 3 此时还距离 A 地 42 这 42 是多走 的 减去了就得出 S 了 54 3 42 120 3 甲乙两人早上 10 点同时出发匀速向对方的工作单位行进 10 点 30 分两人相遇并继续以 原速度前行 10 点 54 分甲到达乙的工作单位后 立刻原速返回自己单位 问甲返回自己 单位时 乙已经到了甲的工作单位多长时间 A 42 分 B 40 分 30 秒 C 43 分 30 秒 D 45 分 关键找出时间比或速度比 找到相等量 路程或时间 从 30 分到 54 分 甲走了 24 分 这段路 正好的乙用 30 分走的 所以时 间比为 24 30 4 5 则乙走甲从出发到相遇的路程 用时为 5 4 30 75 2 甲从相遇后到返回原点用时 24 54 78 两者相差 78 75 2 81 2 即 40 分 30 秒 4 甲乙两车分别从 A B 两地出发 并在 A B 两地间不间断往返行驶 已知甲车的速度是 15 千米 小时 乙车的速度是每小时 35 千米 甲乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点 差 100 千米 求 A B 两地的距离 A 200 千米 B 250 千米 C 300 千米 D 350 千米 A o B A o B A o B A o B 速度比为 3 7 全程共 10 份 第三次相遇 甲走的路程为 10 5 3 10 15 一个全程 10 份 三次相遇大家一共走了 5 个全程 所以 10 5 第四次相遇 甲走得路成为 10 7 3 10 21 即 第三次相遇时 甲走完了 1 个全程又多了 5 份 10 5 红色线部分 第四次相遇时 甲走了 2 个全程又多了 1 份 20 1 粉色线部分 恰好中间那段是 100M 中间那段占 10 5 1 4 份 求得全程为 100 4 10 250M 速度计算 1 一辆汽车从 A 地到 B 地的速度为每小时 30 千米 返回时速度为每小时 20 千米 则它的 平均速度为 A 24 千米 小时 B 24 5 千米 小时 C 25 千米 小时 D 25 5 千米 小时 平均速度 总路程 平均时间 设总路程 60 则平均时间为 2 3 2 2 5 平均速度 60 2 5 24 2 小明在 360 米长的环形跑道上跑了一圈 前一半时间里 他每秒跑 5 米 后一半时间里 他每秒跑 4 米 他跑后半圈用了多少秒 A 40 B 42 C 43 D 44 注意概念 总路程 总时间 平均速度 即 v1 t v2 t 2t v1 v2 2 这是当每个速度行走的 时间相等的时候 才会约去时间 X 2 5 X 2 4 360 5X 2 2X 360 9X 2 360 X 80 前一半时间跑了 40 5 200 剩下 360 200 160 所以后半段时间里 有 160 是 4 的速度 有 200 180 20 是 5 的速度 所以用时 160 4 200 5 44 解 平均走了 360 5 4 40 秒 那么前后一共用了 40 2 80 秒 前半圈用了 180 5 36 秒 所以后半圈就是 44 秒 选 D 其他 1 一列队伍沿直线匀速前进 某时刻一传令兵从队尾出发 匀速向队首前进传送命令 他 到达队首后马上以原速返回 当他返回队尾时 队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相 等 问传令兵从出发到最后到达队尾所行走的整个路程是队伍长度的多少倍 A 1 5 B 2 C D 抓住两个主体都相等的量 设特殊值 一个追击一个相遇 设队伍长度 1 队伍行走的速度为 a 传令兵速度为 b 传令兵从出发 到到达队尾的时间为 t 则有 at 1 t 解得 bt 选择 C 顺水逆水问题 核心公式 1 顺水速度 船速 水速 2 逆水速度 船速 水速 1 2 可以算水速 1 2 可以算出船速 先给大家看下一道简单的题 有人在河中游泳逆流而上 丢失了水壶 水壶顺流而下 经过 30 分钟才发觉此事 他立即 返回寻找 结果在离丢失地点下游 6 千米处找到水壶 水流的速度为多少 分析下 如果在静水中 水壶不懂 当人发现水壶的时候 水壶和人的距离 V 人 30 现在在水流中 水把水壶向下推 同时水也把人向下推 他们之间的距离还是 V 人 30 人返回用了 30 分钟 水壶漂了 30 30 60 分钟 6 1 6KM H 说明 1 不管这人游泳的速度是多少 他向上逆游 K 分钟后 再返回寻找失物 所用的 时间必为 K 分钟 2 若分别在上下游的两个人与一漂浮物等距 并且这两人的速度相同 那么他们同时拿到 漂浮物 用物理上来说 他们相对于漂浮物的相对速度一定 1 小刚和小强租一条小船 向上游划去 不小心把水壶掉到了江中 当他们发现并掉头时 小船离水壶已相距 千米 假设小船的速度是每小时 千米 水流速度是每小时 千米 那么他们追上水壶需要多长时间 2 4 2 2 0 5 2 是路程 4 2 是船在顺水时的速度 因为是追及 所以还要减去水壶的速度 水壶的速度 正好等于水流速度 水壶丢失多少时间后发现 2 2 2 0 5 小时 所以追上水壶也要 0 5 小时 2 一个游泳者逆流游泳 在 A 桥遗失一个空水壶 水壶飘在水面 随水漂流 游泳者继续 逆游 1 小时到达 D 桥 发觉水壶丢失 休息了 12 分钟再游回去寻找水壶 又游了 1 05 小 时后 再 B 桥找到水壶 求 AD 距离是 AB 距离的几倍 1 小时后发现 应该追一个小时能追上 但是用了 1 05 小时 说明 水壶漂的 12 分钟 人要游 0 05 60 3 分钟 所以 V 人 V 水 3 1 D A B AD 4 1 V 水 3V 水 AB 1 1 05 0 2 2 25 水 AD AB 3 2 25 4 3 3 一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时 回来时顺水 比去时的速度每小时多行驶 8 千米 因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米 那么甲 乙两地之间的距离是多少千米 A 15 B 16 C 24 D 30 这种题是有模块的 比较死 因为 比去时的速度每小时多行驶 8 千米 因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米 所以顺水的时间 X 1 8 X 6 算出顺水时间为 顺水时间 6 4 3 4 逆水时间 2 3 4 5 4 根据路程相等 3 4 V 8 5 4 V V 12 逆水的速度 12 5 4 15 4 一只船从甲码头往返一次共用 4 小时 回来时顺水比去时每小时多行 12 千米 因此后 2 小时多行 16 千米 那么甲 乙两个码头距离时多少千米 顺水的时间是 16 12 4 3 小时 逆水时间 4 4 3 8 3 T 4 3 8 3 V 2 1 V 相差 1 份 1 份对应 12k 所以顺流速度是 2 12 24 全程是 24 4 3 32 5 一只游轮从甲港顺流而下到乙港 又逆水返回甲港 共用 8 小时 顺水每小时比逆水每 小时多行 12 千米 前 4 小时比后 4 小时多行 30 千米 甲 已两港相距多少千米 A 72 B 60 C 55 D 48 顺水时间 30 12 2 5 小时 时间比为 5 11 速度比为 11 5 6 个点 距离为 12 2 11 2 5 55 6 游船顺水每小时 KM 逆水每小时 KM 两船同进同地出发 甲船顺水而下然后返回 乙 船逆水而上然后返回 经过两个小时同时回到出发点 在这两个小时中有多少时间两船航 行方向相同 A2 15 B 1 5 C 4 15 D 1 3 解法一 军团云淡提供 速度比 8 7 时间比 7 8 时间和 15 2 小时 时间差 1 2 15 顺流到达对岸时刻到逆流到达对岸时刻的时间差方向相同 解法二 设逆水的时间为 T 7T 8 2 T T 16 15 2 16 15 14 15 16 15 14 15 2 15 工程问题工程问题 效率计算 轮流工作 1 一件工作 甲单独做需要 10 天完成 乙单独做需要 30 天完成 两人合作 期间甲休息 了 2 天 乙休息了 8 天 不在同一天休息 从开始到完工共用了多少天 A 11 B 15 C 16 D 20 甲休息的 2 天 乙单独做 同理 乙休息的 8 天甲单独做 所以甲 8 天的 乙 2 天的 合作的 1 1 甲和乙各自单独做的加起来完成了全部的多少 8 10 2 30 26 30 2 还剩下多少没做 1 26 30 4 30 3 剩下的就是两人合作要完成的 两人合作完成要花多少时间 4 30 1 10 1 30 1 4 一共用时 8 2 1 11 2 加工一批零件 甲乙合作 24 天可以完成 现在由甲先做 16 天 然后乙再做 12 天 还 剩这批零件的 2 5 没有完成 已知甲每天比乙多加工 3 个零件 这批零件共有多少个 甲做了 16 天 乙做了 12 天 其中有 12 天是两人重叠的工作量 甲乙合作 12 天完成了工作的 12 1 24 1 2 关键在两个数中找到含有的一个相同量 两者 相减就是另一个量自己的数了 甲的工效为 3 5 1 2 4 1 40 3 5 1 2 的意思 已经完成的工作量 两人合作 甲单独完成的 乙的工效为 1 24 1 40 1 60 这批零件共 3 1 40 1 60 360 个 3 一件工作甲先做 6 小时 乙接着做 12 小时可以完成 甲先做 8 小时 乙接着做 6 小时 也可以完成 如果甲先做 3 小时后由乙接着做 还需要多少小时完成 甲多做 2 相当于乙少做 6 效率比为 1 3 整个工作为 3 6 1 12 30 份 30 3 3 21 4 一件工作 甲单独做 12 小时完成 乙单独做 9 小时完成 如果按照甲先乙后的顺序轮流 做进行 完成这件工作需要几小时 甲 12 小时完成 乙 9 小时完成 设总量为 12 9 108 则甲效率为 9 乙效率为 12 把甲 乙各做一个小时看做一个周期 一个周期他们完成的工作量是 12 9 21 计算要合作多少个周期 108 21 5 3 即合作了 5 个周期后还剩下 3 的工作量 这刚好轮到甲完成 甲用时 3 9 1 3 小时 所以总的需要 5 2 1 3 个小时 10 小时 20 分钟 注意要乘以 2 因为一个周期是 2 个小时的 合作 1 有甲 乙两项工程 张师傅单独完成甲工程需 6 天 单独完成乙工程需 30 天 李师傅 单独完成甲工程需 18 天 单独完成乙工程需 24 天 若两人合作完成这两项工程 则最少 需要的天数 A 16 B 15 C 12 D 10 解 最少的天数是张做甲工程 李做乙工程 张完成甲工程后再和李一起合作完成剩下的 乙工程 1 张完成甲工程要 6 天 2 假设乙工程总量是 120 则张的效率是 4 李的效率是 5 6 天后乙工程剩下 120 6 5 90 由两个人一起完成 则 90 4 5 10 所以一共是 10 6 16 天 选 A 2 有一批废旧建筑材料和垃圾清理并运离现场 由两位司机负责清理和运输 两人清理废 旧建筑材料需 2 小时 两人一起清理垃圾需 0 5 小时 将垃圾运往郊外 往返需要 3 小时 将废旧材料运到收购站 往返需 1 小时 那么 两人完成工作返回工地最少需要多少 解 先两人一起清垃圾 0 5 小时 接着一起清废旧材料 1 小时 最后一人运垃圾到郊外 3 小时 这 3 小时里面 另外一人可以同时清剩余的废旧材料 2 小时 和运废旧材料到收 购站 1 小时 所以最少需要 0 5 1 3 4 5 小时 3 一份稿件 甲 乙 丙三人单独打各需 20 24 30 小时 现在三人合打 但甲因中途 另有任务提前撤出 结果用 12 小时才完成 那么甲只打了几小时 我们先考虑乙和丙 他们 12 个小时能打 1 2 4 10 9 10 所以甲打了 1 10 1 20 2 小时 关键寻找不变量 4 一项工程 甲乙两队合作需 12 天完成 乙丙两队合作需 15 天完成 甲丙两队合作需 20 天完成 问由甲乙丙三队合作需几天完成 1 12 1 15 1 20 1 5 甲乙 乙丙 甲丙 2 甲 2 乙 2 丙 所以 三人合作的效率 1 5 2 1 10 所以需要 10 天 5 6 一项工程甲队独做 24 天完成 乙队独做 30 天完成 甲乙两队合作 8 天后 余下的由丙 队做 又做了 6 天才完成 这个工程由丙队单独作需几天完成 设总数为 120 那么甲每天做 5 乙每天做 4 8 5 4 72 120 72 48 48 6 8 120 8 15 7 一项工程 甲队独做 20 天完成 乙队独做 30 天完成 现在他们两队一起做 其间甲队 休息了 4 天 乙队休息若干天 从开始到完工共用了 16 天 问乙队休息了多少天 设总量为 60 甲每天 3 乙 2 甲休息的 4 天 乙单独做 乙休息的 X 天 甲单独做 所以有 4 2 3X 5 12 X 60 X 4 8 修一段公路 甲队独做要用 40 天 乙队独做要用 24 天 现在两队同时从两端开工 结 果在距中点 750 米处相遇 这段公路长多少米 效率相当于是速度 路程一定 速度比是时间比的反比 所以 V 甲 V 乙 3 5 注意 是距离终点 750 不是乙比甲多 750 甲做了 3 份 乙做了 5 份 750 米是对应 1 份的 3 1 4 所以总的就是 8 750 6000 9 甲乙丙三人合作完成一件工程 共得报酬 1800 元 三人完成这项工作的情况是 甲乙合 作 8 天完成工程的 1 3 接着乙丙又合作 2 天 完成余下的 1 4 以后三人合作 5 天完成了 这项工程 按劳付酬 各人应得报酬多少元 甲乙合作 8 天完成工程的 1 3 所以 1 Y 1 Z 1 12 乙丙又合作 2 天 完成余下的 1 4 1 Y 1 X 1 24 三人合作 5 天完成了这项工程 1 Y 1 X 1 Z 1 10 算出来 1 X 1 60 1 Y 1 40 1 Z 1 15 10 国家真题 铺设一条自来水管道 甲队单独铺设 8 天可以完成 而乙队每天可铺设 50 米 如果甲 乙两队同时铺设 4 天可以完成全长的 2 3 这条管道全长是多少米 A 1 000 B l 100 C l 200 D 1 300 秒杀实战法 数学联系法 完成全长的 2 3 说明全长是 3 的倍数 直接选 C 10 秒就选出答案 11 某工程 甲队单独做所需天数是乙 丙两队合作天数的 a 倍 乙队单独所需天数是 甲 丙两队合作天数的 b 倍 丙队单独做所需天数是甲 乙两队合作天数的 c 倍 则 的值是 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 先看答案 是一个具体的数值 但是题目是字母 所以可以推测无论题目中字母是 什么样的的数 答案都是固定的具体数值 设最特殊的 假如甲乙丙的工作效率都一样 则 a b c 1 代入马上可得答案 效率改变 1 王师傅加工一批零件 每天加工 20 个 可以提前一天完成 工作 4 天后 每天多加工 5 个 结果提前三天完成 问这批零件有多少个 A 200 B 250 C 280 D 300 方法一 首先理由数字特性 答案减去 4 20 80 后能整除 25 秒 280 方法二 解法 前后效率比 20 25 4 5 所以时间比是 5 4 差 1 个比例点 对应 2 天 提前 3 天跟提前 1 天的差 所以工作 4 天后 按照原来的速度需要 5 2 10 天 因此 总的零件数有 10 4 20 280 个 选 C 注意第一个提前 1 天 第二个提前 3 天 实质相差了 2 天 每天增加 5 个后 做了 2 20 5 8 天 则零件总数为 4 20 8 25 280 个 2 某建筑队完成工程的三分之一后 购买新设备 工作效率提高了百分之五十 但同时由 于酷暑难耐 为工人健康着想 每天工作时间减少为原来的四分之三 最终工程共用 75 天完成 则若按原有效率和每天工作时间 完成工程共需要多少天 A 60 B 72 C 81 D 96 解 设原来需要 X 天 则一天做 1 X 三份之一的时候 做了 1 3 1 X X 3 天 后来工作效率提高和工作时间减少后 每天完成 1 5 X 3 4 9 8X 则有 X 3 2 3 9 8X 75 解得 X 81 选 C 比例法 假设总量是 150 则前面是做了 50 后面做了 100 设原来每天做 X 的量 后面改变后 效率比 2 3 每天工作时间比 4 3 工作量比是 8 9 则改变后的每天工作量是 9X 8 有 50 X 100 9X 8 75 其实等式还是一样 只是这样简单好算很多 求得 X 50 27 则 150 50 27 81 天 牛吃草牛吃草 此消彼长此消彼长 原有原有的草量的草量 牛数量 牛数量 每天长草量 每天长草量 天数天数 1 蓄水池有甲 丙两条进水管和乙 丁两条排水管 注满一池水 甲管需 3 小时 丙管需 5 小时 而排完一池水 乙管需 4 小时 丁管需 6 小时 现水池内有六分之一的水 如按甲 乙 丙 丁 甲 乙 轮流打开 1 小时 问多少时间后水开始溢出水池 解 根据题目的数据 可以设个总量 60 3 5 4 6 的最小公倍数 那么甲 1 小时进 20 乙 1 小时出 15 丙 1 小时进 12 丁 1 小时出 10 没注水前池子本 身就有 1 6 也就是 60 6 10 的量 好了 现在开始注水 甲乙丙丁一个周期也就是 4 小时总共可以注进 20 15 12 10 7 5 个周期后池子里有水 10 7 5 45 这里为什么一定是 5 个周期 因为总量也才 60 而现在已经有 45 如果再来一个周期 让甲注满 1 小时 就会超过 60 而溢出水池了 45 20 所以只能是 5 个周期也就是 20 小时 剩下 15 的量 60 45 15 让甲来进需要 15 20 3 4 小时 因此总共就是需要 20 又 3 4 小时了 注意不可以倒推认为注水到最后剩下 20 时 再加个甲的时间 因为去除 20 后 不一 定能整除一个周期的注水量 这类题目要按顺序向前推 不要倒推 除非池子容量能整除 一个周期的注水量 2 有 块牧场 可供 3 头牛吃 36 天 或者 5 头牛吃 20 天 则它可供 8 头牛吃多少天 A 9 B 12 C 15 D 18 3 头牛所吃的量相当于原来草的量 长了 36 的天的草 同理 5 头牛吃的相当于原来的草 长了 20 天的草 所以有如下式子 选 B 3 三块草地 面积分别是 4 亩 8 亩 10 亩 草地上的草一样厚 而且长得一样快 第一 块草地可供 24 头牛吃 6 周 第二块草地可供 36 头牛吃 12 周 问第三块草地可供 50 头牛 吃几周 A 6 B 9 C 3 D 7 解 草每天长 36 12 8 24 6 4 12 6 3 设 X 周 则 50X 10 24 6 4 X 6 3 求得 X 9 选 B 4 在春运高峰期 某客运中心售票 大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买 票 买好票的旅客及时离开大厅 按照这种安排 如果开 10 个售票窗口 5 个小时可使大 厅的所有旅客买到票 如果开了 12 个窗口 3 小时可以使所有旅客买到票 假设每个窗口 卖票速度相等 如果大厅入口处旅客速度增加到原速度的 1 5 倍 在 2 小时内使大厅内所 有旅客买到票 至少应开多少售票窗口 A15 B16 C18 D19 解 12 X 3 Y 1 5X 2 消去两边的 3X 36 2Y Y 18 5 某河段中的沉积河沙可供 80 人连续开采 6 个月或 60 人连续开采 10 个月 如果要保证该 河段河沙不被开采枯竭 问最多可供多少人进行连续不问断的开采 假定该河段河沙沉积 的速度相对稳定 A 25 B 30 C 35 D 40 开始时的思路是计算出每月沉积量为 30 想到还有原来的沙量 所以开采速度可以稍 微大于沉积量 但是 应该再仔细想 题目要求不会枯竭 如果每月保持大于沉积量的速 度开采 原来的 L 是一定的时候 某个时点 L 定会消耗完 此时开采量就大于沉积量了 于是会出现枯竭 注意当题目问到不会枯竭 其实就是在问沉积量 b 牛吃草可以解 设收割速度为 a 捆麦子速度为 V 有 10v 10a 1 5 20 1 5a v 3a 所以 20v 15a t 15 3 直接 20 3 15 t 45 t 1 一个钟后捆好所有麦子 抽屉原理抽屉原理 N 1 个物品放入 N 个抽屉中 至少有一个抽屉放 2 个或更多的物品 1 一个袋内有 100 个球 其中有红球 28 个 绿球 20 个 黄球 12 个 蓝球 20 个 白球 10 个 黑球 10 个 现在从袋中任意摸球出来 如果要使摸出的球中 至少有 15 个球的颜色 相同 问至少要摸出几个球才能保证满足上述要求 A 78 B 77 C 75 D 68 解 至少 最坏的情况 尽量不摸出 15 个颜色相同的 最多发出多少个球 所以每一次每 种颜色都摸 14 个 不足 14 个的全摸出来 14 个红球 14 个绿球 12 个黄球 14 个蓝球 10 个白球 10 个黑球 一共是 74 个 再 取一个就满足 所以是 75 个 选 C 2 现在有 64 个乒乓球 18 个乒乓球盒 每个盒子最多可以放 6 个乒乓球 最少也要放 1 个乒乓球 至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同 A 4 B 38 C 33 D 10 注意这题知道了总数 不能只靠盒子总数来判断 这是题目设置的目的 解 六个盒子数目不一样 有 1 6 6 2 21 个乒乓球 64 21 3 1 所以至少有 4 个盒子数目相同 选 A 首先尽量摆不相同的 从 1 6 等差数列 一共用了 21 个 相当于 1 6 的摆法为一组 一 共可以摆 64 21 3 1 可以摆 3 组 还剩下 1 个 虽然用完 18 个盒子 但这个球只要不 放在有 6 个球盒子里 任意放 就会增加相同数的盒子 1 个 3 将 400 本书随意分给若干同学 但每个人最多能拿 11 本书 请问 至少有多少名同学 得到的书的本数相同 A 6 B 7 C 9 D 10 题目的意思 是在众多分发方法中找到让书本相同的人数尽量少的方法 使用这种方法时 即使是最差的情况下都能保证最多书本数相同人数比其他方法少 并求这个最差情况下的 人数 思路是 方法最优 最优方法下的最坏情况 解 1 2 11 66 400 66 6 4 4 本给随便一个人 所以至少是 7 名 4 某商店有 126 箱苹果 每箱至少有 120 个苹果 至多有 144 个苹果 现将苹果个数相 同的箱子算作一类 设其中箱子数最多的一类有 N 个箱子 则 N 的最小值为多少 A 4 B 5 C 6 D 7 解 一共可以分成 144 120 1 25 类箱子 126 25 5 1 所以最小值是 6 选 B 相当于 6 个苹果 5 个箱子 每个箱子最多只能放 1 个苹果 那么不管怎么放都至少会有 一个箱子是装了 2 个苹果 因为 6 5 1 1 剩余了 1 个 5 单位组织党员参加党史 党风康政建设 科学发展观和业务能力四项培训 要求每名党 员参加且只参加其中的两项 无论如何安排 都有至少 5 名党员参加的培训完全相同 问 该单位至少有多少名党员 A 17 B 21 C 25 D 29 抽屉原理 将党员看做抽屉和将选择看做抽屉都可以 但是将小的数看做抽屉会比较方便 且不要搞乱重复的个数 选 C 将不同的元素看成抽屉 通常题目说每人选多少项 其实抽屉就是组合的个数 共 C 4 2 6 种选择 将每种选择 看做抽屉 则先要每个选择有 4 个人选 这个时候再多一个人就会是至少 5 个人重复了 4 6 1 25 6 有 100 人参加运动会的三个比赛项目 每人至少参加一项 其中未参加跳远的有 50 人 未参加跳高的有 60 人 未参加赛跑的有 70 人 问至少有多少人参加了不止一个项目 A 7 B 10 C 15 D 20 由题意 参加跳远的人数为 100 50 50 人次 参加跳高的为 100 60 40 人次 参加 赛跑的为 100 70 30 人次 则参加项目的人次为 120 人次 怎么才能让参加不止一个 项目的人最少呢 其实就是将 120 个项目分到 100 人中 至少有多少人分得 1 个以上项目 抽屉原理 每人参加一项 用了 100 项 剩下 20 项 尽量集中 那就是让尽量多的人报三 项 因为每人已报一项 所以剩下 20 项以 2 项为一组 20 2 10 人 因此答案为选项 B 7 单位组织党员参加党史 党风康政建设 科学发展观和业务能力四项培训 要求每名党 员参加且只参加其中的两项 无论如何安排 都有至少 5 名党员参加的培训完全相同 问 该单位至少有多少名党员 A 17 B 21 C 25 D 29 抽屉原理 将党员看做抽屉和将选择看做抽屉都可以 但是将小的数看做抽屉会比较方便 且不要搞乱重复的个数 选 C 通常题目说每人选多少项 其实抽屉就是组合的个数 共 C 4 2 6 种选择 将每种选择看做抽屉 则先要每个选择有 4 个人选 这个时候再多一 个人就会是至少 5 个人重复了 4 6 1 25 8 派出所某月内共受理案件 160 起 其中甲派出所受理的案件中有 17 是刑事案件 乙派 出所受理的案件中有 20 是刑事案件 问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件 A 48 B 60 C 72 D 96 注意数字特性 题中的 17 需要 100 或是几百的数相乘才能得到整数 而宗案件才 160 件 可知道甲派出所宗案件 100 件 如此就可以计算乙的数据了 选 A 9 如右图所示 在 3 行 3 列的方格表中 分别填上 O 2 4 这三个数字中的任意一个 则 每行 每列以及对角线 AC BD 上的各个数之和至少有 个相同 A 2 B 3 C 4 D 5 三个数相加最