九年级数学二次函数应用题专题复习

多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 1 页 二次函数应用题专题复习 含答案 二次函数应用题专题复习 含答案 例例 1 1 实验数据显示 一般成人喝半斤低度白酒后 1 5 小时内其血液中酒精含量 y 毫克 百毫升 与时间 x 时 的关系可近似地用二次函数 y 200 x2 400 x 刻画 1 5 小时后 包括 1 5 小时 y 与 x 可近似地用反比 例函数 y k 0 刻画 如图所示 1 根据上述数学模型计算 喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为多少 当 x 5 时 y 45 求 k 的值 2 按国家规定 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克 百 毫升时属于 酒后驾驶 不能驾车上路 参照上述数学模型 假设某驾驶员 晚上 20 00 在家喝完半斤低度白酒 第二天早上 7 00 能否驾车去上班 请说明理由 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 2 页 例例 2 2016 葫芦岛 某文具店购进一批纪念册 每本进价为 20 元 出于营销考虑 要求每本纪念册的 售价不低于 20 元且不高于 28 元 在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y 本 与每本纪念册的售价 x 元 之间满足一次函数关系 当销售单价为 22 元时 销售量为 36 本 当销售单价为 24 元时 销售量 为 32 本 1 请直接写出 y 与 x 的函数关系式 2 当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时 每本纪念册的销售单价是多少元 3 设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元 将该纪念册销售单价定为多少元时 才能使 文具店销售该纪念册所获利润最大 最大利润是多少 例例 3 某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台 空调的采购单价 y1 元 台 与采购数量 x1 台 满足 y1 20 x1 1500 0 x1 20 x1为整数 冰箱的采购单价 y2 元 台 与采购数量 x2 台 满足 y2 10 x2 1300 0 x2 20 x2为整数 1 经商家与厂家协商 采购空调的数量不少于冰箱数量的 且空调采购单价不低于 1200 元 问该 商家共有几种进货方案 2 该商家分别以 1760 元 台和 1700 元 台的销售单价售出空调和冰箱 且全部售完 在 1 的条件下 问采购空调多少台时总利润最大 并求最大利润 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 3 页 例例 4 九年级 3 班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第 x 天 1 x 90 且 x 为整数 的 售价与销售量的相关信息如下 已知商品的进价为 30 元 件 设该商品的售价为 y 单位 元 件 每天 的销售量为 p 单位 件 每天的销售利润为 w 单位 元 时间 x 天 1 30 60 90 每天销售量 p 件 198 140 80 20 1 求出 w 与 x 的函数关系式 2 问销售该商品第几天时 当天的销售利润最大 并求出最大利润 3 该商品在销售过程中 共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元 请直接写出结果 例例 5 2016 绥化 自主学习 请阅读下列解题过程 解一元二次不等式 x2 5x 0 解 设 x2 5x 0 解得 x1 0 x2 5 则抛物线 y x2 5x 与 x 轴的交点坐标为 0 0 和 5 0 画出二 次函数 y x2 5x 的大致图象 如图所示 由图象可知 当 x 0 或 x 5 时函数图象位于 x 轴上方 此 时 y 0 即 x2 5x 0 所以 一元二次不等式 x2 5x 0 的解集为 x 0 或 x 5 通过对上述解题过程的学习 按其解题的思路和方法解答下列问题 1 上述解题过程中 渗透了下列数学思想中的 和 只填序号 转化思想 分类讨论思想 数形结合思想 2 一元二次不等式 x2 5x 0 的解集为 3 用类似的方法解一元二次不等式 x2 2x 3 0 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 4 页 例例 6 2016 黄石 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园 如图所示 图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8 30 开门后经过的时间 分钟 纵坐标 y 表示到达科技馆 的总人数 图中曲线对应的函数解析式为 y 10 00 之后来的游客较少 可忽略不计 1 请写出图中曲线对应的函数解析式 2 为保证科技馆内游客的游玩质量 馆内人数不超过 684 人 后来的人在馆外休息区等待 从 10 30 开始到 12 00 馆内陆续有人离馆 平均每分钟离馆 4 人 直到馆内人数减少到 624 人时 馆外等待的游 客可全部进入 请问馆外游客最多等待多少分钟 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 5 页 对应练习 对应练习 1 一个小球被抛出后 如果距离地面的高度 h 米 和运行时间 t 秒 的函数解析式为 h 5t2 10t 1 那么小球到达最高点时距离地面的高度是 A 1 米 B 3 米 C 5 米 D 6 米 2 某公司在甲 乙两地同时销售某种品牌的汽车 已知在甲 乙两地的销售利润 y 单位 万元 与销 售量 x 单位 辆 之间分别满足 y1 x2 10 x y2 2x 若该公司在甲 乙两地共销售 15 辆该品牌的汽 车 则能获得的最大利润为 A 30 万元B 40 万元C 45 万元D 46 万元 3 向上发射一枚炮弹 经 x 秒后的高度为 y 公尺 且时间与高度关系为 y ax2 bx 若此炮弹在第 7 秒与 第 14 秒时的高度相等 则在下列哪一个时间的高度是最高的 A 第 9 5 秒 B 第 10 秒C 第 10 5 秒D 第 11 秒 4 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于 y 轴对称 AB x 轴 AB 4cm 最低点 C 在 x 轴上 高 CH 1cm BD 2cm 则右轮廓线 DFE 所在抛物线的函数解析式为 A y x 3 2B y x 3 2C y x 3 2D y x 3 2 5 烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮 这种礼炮的升空高度 h m 与飞行时间 t s 的关系 式是 若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆 则从点火升空到引爆需要的时间 为 A 2sB 4sC 6sD 8s 6 一小球被抛出后 距离地面的高度 h 米 和飞行时间 t 秒 满足下面函数关系式 h 5t2 20t 14 则 小球距离地面的最大高度是 A 2 米 B 5 米 C 6 米 D 14 米 7 烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮 这种礼炮的升空高度 h m 与飞行时间 t s 的关系 式是 若这种礼炮在点火升空到最高点引爆 则从点火升空到引爆需要的时间为 A 3sB 4sC 5sD 6s 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 6 页 8 某车的刹车距离 y m 与开始刹车时的速度 x m s 之间满足二次函数 y x 0 若该车 某次的刹车距离为 5m 则开始刹车时的速度为 A 40 m sB 20 m sC 10 m sD 5 m s 9 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥 当水面宽 4 米时 拱顶 拱桥洞的最高点 离水面 2 米 水 面下降 1 米时 水面的宽度为 米 10 如图的一座拱桥 当水面宽 AB 为 12m 时 桥洞顶部离水面 4m 已 知桥洞的拱形是抛物线 以水平方向为 x 轴 建立平面直角坐标系 若选取点 A 为坐标原点时的抛物线 解析式是 y x 6 2 4 则选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 11 某种商品每件进价为 20 元 调查表明 在某段时间内若以每件 x 元 20 x 30 且 x 为整数 出售 可卖出 30 x 件 若使利润最大 每件的售价应为 元 12 在平面直角坐标系中 点 A B C 的坐标分别为 0 1 4 2 2 6 如果 P x y 是 ABC 围成的区域 含边界 上的点 那么当 w xy 取得最大值时 点 P 的坐标是 13 如图 小李推铅球 如果铅球运行时离地面的高度 y 米 关于水平距离 x 米 的函数解析式 那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米 14 某种工艺品利润为 60 元 件 现降价销售 该种工艺品销售总利润 w 元 与降价 x 元 的函数关 系如图 这种工艺品的销售量为 件 用含 x 的代数式表示 15 某机械公司经销一种零件 已知这种零件的成本为每件 20 元 调查发现当销售价为 24 元时 平均每 天能售出 32 件 而当销售价每上涨 2 元 平均每天就少售出 4 件 1 若公司每天的现售价为 x 元时则每天销售量为多少 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 7 页 2 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元 该公司想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应当为多少元 16 某经销商销售一种产品 这种产品的成本价为 10 元 千克 已知销售价不低于成本价 且物价部门规 定这种产品的销售价不高于 18 元 千克 市场调查发现 该产品每天的销售量 y 千克 与销售价 x 元 千克 之间的函数关系如图所示 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 2 求每天的销售利润 W 元 与销售价 x 元 千克 之间的函数关系式 当销售价为多少时 每天的 销售利润最大 最大利润是多少 3 该经销商想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应定为多少 17 某研究所将某种材料加热到 1000 时停止加热 并立即将材料分为 A B 两组 采用不同工艺做降温 对比实验 设降温开始后经过 x min 时 A B 两组材料的温度分别为 yA yB yA yB与 x 的函数关 系式分别为 yA kx b yB x 60 2 m 部分图象如图所示 当 x 40 时 两组材料的温度相同 1 分别求 yA yB关于 x 的函数关系式 2 当 A 组材料的温度降至 120 时 B 组材料的温度是多少 3 在 0 x 40 的什么时刻 两组材料温差最大 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 8 页 18 某企业设计了一款工艺品 每件的成本是 50 元 为了合理定价 投放市场进行试销 据市场调查 销售单价是 100 元时 每天的销售量是 50 件 而销售单价每降低 1 元 每天就可多售出 5 件 但要求销 售单价不得低于成本 1 求出每天的销售利润 y 元 与销售单价 x 元 之间的函数关系式 2 求出销售单价为多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少 3 如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元 且每天的总成本不超过 7000 元 那么销售单价应 控制在什么范围内 每天的总成本 每件的成本 每天的销售量 19 某种商品每天的销售利润 y 元 与销售单价 x 元 之间满足关系 y ax2 bx 75 其图象如图所 示 1 销售单价为多少元时 该种商品每天的销售利润最大 最大利润为多少元 2 销售单价在什么范围时 该种商品每天的销售利润不低于 16 元 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 9 页 参考答案与点评参考答案与点评 例例 1 1 实验数据显示 一般成人喝半斤低度白酒后 1 5 小时内其血液中酒精含量 y 毫克 百毫升 与时间 x 时 的关系可近似地用二次函数 y 200 x2 400 x 刻画 1 5 小时后 包括 1 5 小时 y 与 x 可近似地用反比 例函数 y k 0 刻画 如图所示 1 根据上述数学模型计算 喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为多少 当 x 5 时 y 45 求 k 的值 2 按国家规定 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克 百毫升时属于 酒后驾驶 不能 驾车上路 参照上述数学模型 假设某驾驶员晚上 20 00 在家喝完半斤低度白酒 第二天早上 7 00 能 否驾车去上班 请说明理由 考点 二次函数的应用 反比例函数的应用 分析 1 利用 y 200 x2 400 x 200 x 1 2 200 确定最大值 直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可 2 求出 x 11 时 y 的值 进而得出能否驾车去上班 解答 解 1 y 200 x2 400 x 200 x 1 2 200 喝酒后 1 时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为 200 毫克 百毫升 当 x 5 时 y 45 y k 0 k xy 45 5 225 2 不能驾车上班 理由 晚上 20 00 到第二天早上 7 00 一共有 11 小时 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 10 页 将 x 11 代入 y 则 y 20 第二天早上 7 00 不能驾车去上班 例例 2 2016 葫芦岛 某文具店购进一批纪念册 每本进价为 20 元 出于营销考虑 要求每本纪念册的 售价不低于 20 元且不高于 28 元 在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y 本 与每本纪念册的售价 x 元 之间满足一次函数关系 当销售单价为 22 元时 销售量为 36 本 当销售单价为 24 元时 销售量 为 32 本 1 请直接写出 y 与 x 的函数关系式 2 当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时 每本纪念册的销售单价是多少元 3 设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元 将该纪念册销售单价定为多少元时 才能使 文具店销售该纪念册所获利润最大 最大利润是多少 分析 1 设 y kx b 根据题意 利用待定系数法确定出 y 与 x 的函数关系式即可 2 根据题意结合销量 每本的利润 150 进而求出答案 3 根据题意结合销量 每本的利润 w 进而利用二次函数增减性求出答案 解答 解 1 设 y kx b 把 22 36 与 24 32 代入得 解得 则 y 2x 80 2 设当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时 每本纪念册的销售单价是 x 元 根据题意得 x 20 y 150 则 x 20 2x 80 150 整理得 x2 60 x 875 0 x 25 x 35 0 解得 x1 25 x2 35 不合题意舍去 答 每本纪念册的销售单价是 25 元 3 由题意可得 w x 20 2x 80 2x2 120 x 1600 2 x 30 2 200 此时当 x 30 时 w 最大 又 售价不低于 20 元且不高于 28 元 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 11 页 x 30 时 y 随 x 的增大而增大 即当 x 28 时 w最大 2 28 30 2 200 192 元 答 该纪念册销售单价定为 28 元时 才能使文具店销售该纪念册所获利润最大 最大利润是 192 元 点评 此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用 待定系数法求一次函数解析式等知识 正确利用销量 每本的利润 w 得出函数关系式是解题关键 例例 3 某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台 空调的采购单价 y1 元 台 与采购数量 x1 台 满足 y1 20 x1 1500 0 x1 20 x1为整数 冰箱的采购单价 y2 元 台 与采购数量 x2 台 满足 y2 10 x2 1300 0 x2 20 x2为整数 1 经商家与厂家协商 采购空调的数量不少于冰箱数量的 且空调采购单价不低于 1200 元 问该 商家共有几种进货方案 2 该商家分别以 1760 元 台和 1700 元 台的销售单价售出空调和冰箱 且全部售完 在 1 的条件下 问采购空调多少台时总利润最大 并求最大利润 考点 二次函数的应用 一元一次不等式组的应用 菁优网 分析 1 设空调的采购数量为 x 台 则冰箱的采购数量为 20 x 台 然后根据数量和单价列出不 等式组 求解得到 x 的取值范围 再根据空调台数是正整数确定进货方案 2 设总利润为 W 元 根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到 W 与 x 的函数关系式并整理成顶 点式形式 然后根据二次函数的增减性求出最大值即可 解答 解 1 设空调的采购数量为 x 台 则冰箱的采购数量为 20 x 台 由题意得 解不等式 得 x 11 解不等式 得 x 15 所以 不等式组的解集是 11 x 15 x 为正整数 x 可取的值为 11 12 13 14 15 所以 该商家共有 5 种进货方案 2 设总利润为 W 元 y2 10 x2 1300 10 20 x 1300 10 x 1100 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 12 页 则 W 1760 y1 x1 1700 y2 x2 1760 x 20 x 1500 x 1700 10 x 1100 20 x 1760 x 20 x2 1500 x 10 x2 800 x 12000 30 x2 540 x 12000 30 x 9 2 9570 当 x 9 时 W 随 x 的增大而增大 11 x 15 当 x 15 时 W最大值 30 15 9 2 9570 10650 元 答 采购空调 15 台时 获得总利润最大 最大利润值为 10650 元 点评 本题考查了二次函数的应用 一元一次不等式组的应用 1 关键在于确定出两个不等关系 2 难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式 例例 4 九年级 3 班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第 x 天 1 x 90 且 x 为整数 的 售价与销售量的相关信息如下 已知商品的进价为 30 元 件 设该商品的售价为 y 单位 元 件 每天 的销售量为 p 单位 件 每天的销售利润为 w 单位 元 时间 x 天 1 30 60 90 每天销售量 p 件 198 140 80 20 1 求出 w 与 x 的函数关系式 2 问销售该商品第几天时 当天的销售利润最大 并求出最大利润 3 该商品在销售过程中 共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元 请直接写出结果 分析 1 当 1 x 50 时 设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y kx b 由点的坐标利用待定 系数法即可求出此时 y 关于 x 的函数关系式 根据图形可得出当 50 x 90 时 y 90 再结合给定表格 设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p mx n 套入数据利用待定系数法即可求出 p 关于 x 的函数 关系式 根据销售利润 单件利润 销售数量即可得出 w 关于 x 的函数关系式 2 根据 w 关于 x 的函数关系式 分段考虑其最值问题 当 1 x 50 时 结合二次函数的性质即可求 出在此范围内 w 的最大值 当 50 x 90 时 根据一次函数的性质即可求出在此范围内 w 的最大值 两 个最大值作比较即可得出结论 3 令 w 5600 可得出关于 x 的一元二次不等式和一元一次不等式 解不等式即可得出 x 的取值范围 由此即可得出结论 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 13 页 解答 解 1 当 1 x 50 时 设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y kx b k b 为常数且 k 0 y kx b 经过点 0 40 50 90 解得 售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y x 40 当 50 x 90 时 y 90 售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y 由数据可知每天的销售量 p 与时间 x 成一次函数关系 设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p mx n m n 为常数 且 m 0 p mx n 过点 60 80 30 140 解得 p 2x 200 0 x 90 且 x 为整数 当 1 x 50 时 w y 30 p x 40 30 2x 200 2x2 180 x 2000 当 50 x 90 时 w 90 30 2x 200 120 x 12000 综上所示 每天的销售利润 w 与时间 x 的函数关系式是 w 2 当 1 x 50 时 w 2x2 180 x 2000 2 x 45 2 6050 a 2 0 且 1 x 50 当 x 45 时 w 取最大值 最大值为 6050 元 当 50 x 90 时 w 120 x 12000 k 120 0 w 随 x 增大而减小 当 x 50 时 w 取最大值 最大值为 6000 元 6050 6000 当 x 45 时 w 最大 最大值为 6050 元 即销售第 45 天时 当天获得的销售利润最大 最大利润是 6050 元 3 当 1 x 50 时 令 w 2x2 180 x 2000 5600 即 2x2 180 x 3600 0 解得 30 x 50 50 30 1 21 天 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 14 页 当 50 x 90 时 令 w 120 x 12000 5600 即 120 x 6400 0 解得 50 x 53 x 为整数 50 x 53 53 50 3 天 综上可知 21 3 24 天 故该商品在销售过程中 共有 24 天每天的销售利润不低于 5600 元 点评 本题考查了二次函数的应用 一元一次不等式的应用 一元二次不等式的应用以及利用待定系数 法求函数解析式 解题的关键 1 根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式 2 利用二次函数 与一次函数的性质解决最值问题 3 得出关于 x 的一元一次和一元二次不等式 本题属于中档题 难 度不大 但较繁琐 解决该题型题目时 根据给定数量关系 找出函数关系式是关键 例例 5 2016 绥化 自主学习 请阅读下列解题过程 解一元二次不等式 x2 5x 0 解 设 x2 5x 0 解得 x1 0 x2 5 则抛物线 y x2 5x 与 x 轴的交点坐标为 0 0 和 5 0 画出二 次函数 y x2 5x 的大致图象 如图所示 由图象可知 当 x 0 或 x 5 时函数图象位于 x 轴上方 此 时 y 0 即 x2 5x 0 所以 一元二次不等式 x2 5x 0 的解集为 x 0 或 x 5 通过对上述解题过程的学习 按其解题的思路和方法解答下列问题 1 上述解题过程中 渗透了下列数学思想中的 和 只填序号 转化思想 分类讨论思想 数形结合思想 2 一元二次不等式 x2 5x 0 的解集为 0 x 5 3 用类似的方法解一元二次不等式 x2 2x 3 0 分析 1 根据题意容易得出结论 2 由图象可知 当 0 x 5 时函数图象位于 x 轴下方 此时 y 0 即 x2 5x 0 即可得出结果 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 15 页 3 设 x2 2x 3 0 解方程得出抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴的交点坐标 画出二次函数 y x2 2x 3 的大致图 象 由图象可知 当 x 1 或 x 5 时函数图象位于 x 轴上方 此时 y 0 即 x2 5 2x 3 0 即可得出结 果 解答 解 1 上述解题过程中 渗透了下列数学思想中的 和 故答案为 2 由图象可知 当 0 x 5 时函数图象位于 x 轴下方 此时 y 0 即 x2 5x 0 一元二次不等式 x2 5x 0 的解集为 0 x 5 故答案为 0 x 5 3 设 x2 2x 3 0 解得 x1 3 x2 1 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴的交点坐标为 3 0 和 1 0 画出二次函数 y x2 2x 3 的大致图象 如图所示 由图象可知 当 x 1 或 x 3 时函数图象位于 x 轴上方 此时 y 0 即 x2 2x 3 0 一元二次不等式 x2 2x 3 0 的解集为 x 1 或 x 3 点评 本题考查了二次函数与不等式组的关系 二次函数的图象 抛物线与 x 轴的交点坐标 一元二次 方程的解法等知识 熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键 例例 6 2016 黄石 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园 如图所示 图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8 30 开门后经过的时间 分钟 纵坐标 y 表示到达科技馆 的总人数 图中曲线对应的函数解析式为 y 10 00 之后来的游客较少 可忽略不计 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 16 页 1 请写出图中曲线对应的函数解析式 2 为保证科技馆内游客的游玩质量 馆内人数不超过 684 人 后来的人在馆外休息区等待 从 10 30 开始到 12 00 馆内陆续有人离馆 平均每分钟离馆 4 人 直到馆内人数减少到 624 人时 馆外等待的游 客可全部进入 请问馆外游客最多等待多少分钟 分析 1 构建待定系数法即可解决问题 2 先求出馆内人数等于 684 人时的时间 再求出直到馆内人数减少到 624 人时的时间 即可解决问 题 解答 解 1 由图象可知 300 a 302 解得 a n 700 b 30 90 2 700 300 解得 b y 2 由题意 x 90 2 700 684 解得 x 78 15 15 30 90 78 57 分钟 所以 馆外游客最多等待 57 分钟 点评 本题考查二次函数的应用 一元二次方程等知识 解题的关键是熟练掌握待定系数法 学会用方 程的思想思考问题 属于中考常考题型 反馈练习反馈练习参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 8 小题 小题 1 一个小球被抛出后 如果距离地面的高度 h 米 和运行时间 t 秒 的函数解析式为 h 5t2 10t 1 那么小球到达最高点时距离地面的高度是 A 1 米B 3 米C 5 米D 6 米 考点 二次函数的应用 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 17 页 分析 直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案 解答 解 h 5t2 10t 1 5 t2 2t 1 5 t 1 2 6 故小球到达最高点时距离地面的高度是 6m 故选 D 点评 此题主要考查了二次函数的应用 正确利用配方法求出是解题关键 2 某公司在甲 乙两地同时销售某种品牌的汽车 已知在甲 乙两地的销售利润 y 单位 万元 与销 售量 x 单位 辆 之间分别满足 y1 x2 10 x y2 2x 若该公司在甲 乙两地共销售 15 辆该品牌的汽 车 则能获得的最大利润为 A 30 万元B 40 万元C 45 万元D 46 万元 考点 二次函数的应用 分析 首先根据题意得出总利润与 x 之间的函数关系式 进而求出最值即可 解答 解 设在甲地销售 x 辆 则在乙地销售 15 x 量 根据题意得出 W y1 y2 x2 10 x 2 15 x x2 8x 30 最大利润为 46 万元 故选 D 点评 此题主要考查了二次函数的应用 得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键 3 向上发射一枚炮弹 经 x 秒后的高度为 y 公尺 且时间与高度关系为 y ax2 bx 若此炮弹在第 7 秒与 第 14 秒时的高度相等 则在下列哪一个时间的高度是最高的 A 第 9 5 秒B 第 10 秒C 第 10 5 秒D 第 11 秒 考点 二次函数的应用 分析 根据题意 x 7 时和 x 14 时 y 值相等 因此得到关于 a b 的关系式 代入到 x 中求 x 的值 解答 解 当 x 7 时 y 49a 7b 当 x 14 时 y 196a 14b 根据题意得 49a 7b 196a 14b b 21a 根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 18 页 当 x 10 5 时 y 最大即高度最高 因为 10 最接近 10 5 故选 C 点评 此题主要考查了二次函数的应用 根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关 键 4 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于 y 轴对称 AB x 轴 AB 4cm 最低点 C 在 x 轴上 高 CH 1cm BD 2cm 则右轮廓线 DFE 所在抛物线的函数解析式为 A y x 3 2B y x 3 2C y x 3 2D y x 3 2 考点 二次函数的应用 专题 应用题 分析 利用 B D 关于 y 轴对称 CH 1cm BD 2cm 可得到 D 点坐标为 1 1 由 AB 4cm 最低点 C 在 x 轴上 则 AB 关于直线 CH 对称 可得到左边抛物线的顶点 C 的坐标为 3 0 于是得到右边抛物线的顶点 C 的坐标为 3 0 然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式 解答 解 高 CH 1cm BD 2cm 而 B D 关于 y 轴对称 D 点坐标为 1 1 AB x 轴 AB 4cm 最低点 C 在 x 轴上 AB 关于直线 CH 对称 左边抛物线的顶点 C 的坐标为 3 0 右边抛物线的顶点 C 的坐标为 3 0 设右边抛物线的解析式为 y a x 3 2 把 D 1 1 代入得 1 a 1 3 2 解得 a 故右边抛物线的解析式为 y x 3 2 故选 C 点评 本题考查了二次函数的应用 利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来 再确定某些点的坐标 然后利用待定系数法确定抛物线的解析式 再利用抛物线的性质解决问题 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 19 页 5 烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮 这种礼炮的升空高度 h m 与飞行时间 t s 的关系 式是 若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆 则从点火升空到引爆需要的时间 为 A 2sB 4sC 6sD 8s 考点 二次函数的应用 分析 礼炮在点火升空到最高点处引爆 故求 h 的最大值 解答 解 由题意知 礼炮的升空高度 h m 与飞行时间 t s 的关系式是 0 当 t 4s 时 h 最大为 40m 故选 B 点评 本题考查二次函数的实际应用 借助二次函数解决实际问题 6 一小球被抛出后 距离地面的高度 h 米 和飞行时间 t 秒 满足下面函数关系式 h 5t2 20t 14 则小球距离地面的最大高度是 A 2 米B 5 米C 6 米D 14 米 考点 二次函数的应用 分析 把二次函数的解析式化成顶点式 即可得出小球距离地面的最大高度 解答 解 h 5t2 20t 14 5 t2 4t 14 5 t2 4t 4 20 14 5 t 2 2 6 5 0 则抛物线的开口向下 有最大值 当 t 2 时 h 有最大值是 6 米 故选 C 点评 本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值 把函数式化成顶点式是解题关 键 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 20 页 7 烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮 这种礼炮的升空高度 h m 与飞行时间 t s 的关系 式是 若这种礼炮在点火升空到最高点引爆 则从点火升空到引爆需要的时间为 A 3sB 4sC 5sD 6s 考点 二次函数的应用 专题 计算题 应用题 分析 到最高点爆炸 那么所需时间为 解答 解 礼炮在点火升空到最高点引爆 t 4s 故选 B 点评 考查二次函数的应用 判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的 关键 8 某车的刹车距离 y m 与开始刹车时的速度 x m s 之间满足二次函数 y x 0 若该车 某次的刹车距离为 5m 则开始刹车时的速度为 A 40 m sB 20 m sC 10 m sD 5 m s 考点 二次函数的应用 专题 应用题 分析 本题实际是告知函数值求自变量的值 代入求解即可 另外实际问题中 负值舍去 解答 解 当刹车距离为 5m 时 即可得 y 5 代入二次函数解析式得 5 x2 解得 x 10 x 10 舍 故开始刹车时的速度为 10m s 故选 C 点评 本题考查了二次函数的应用 明确 x y 代表的实际意义 刹车距离为 5m 即是 y 5 难 度一般 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 小题 9 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥 当水面宽 4 米时 拱顶 拱桥洞的最高点 离水面 2 米 水 面下降 1 米时 水面的宽度为 米 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 21 页 考点 二次函数的应用 专题 函数思想 分析 根据已知得出直角坐标系 进而求出二次函数解析式 再通过把 y 1 代入抛物线解析式得 出水面宽度 即可得出答案 解答 解 建立平面直角坐标系 设横轴 x 通过 AB 纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点 则通 过画图可得知 O 为原点 抛物线以 y 轴为对称轴 且经过 A B 两点 OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米 抛物线顶点 C 坐标为 0 2 通过以上条件可设顶点式 y ax2 2 其中 a 可通过代入 A 点坐标 2 0 到抛物线解析式得出 a 0 5 所以抛物线解析式为 y 0 5x2 2 当水面下降 1 米 通过抛物线在图上的观察可转化为 当 y 1 时 对应的抛物线上两点之间的距离 也就是直线 y 1 与抛物线相交的两点之间的距离 可以通过把 y 1 代入抛物线解析式得出 1 0 5x2 2 解得 x 所以水面宽度增加到米 故答案为 米 点评 此题主要考查了二次函数的应用 根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问 题的关键 10 如图的一座拱桥 当水面宽 AB 为 12m 时 桥洞顶部离水面 4m 已知桥洞的拱形是抛物线 以水平 方向为 x 轴 建立平面直角坐标系 若选取点 A 为坐标原点时的抛物线解析式是 y x 6 2 4 则选取 点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 y x 6 2 4 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 22 页 考点 二次函数的应用 专题 数形结合 分析 根据题意得出 A 点坐标 进而利用顶点式求出函数解析式即可 解答 解 由题意可得出 y a x 6 2 4 将 12 0 代入得出 0 a 12 6 2 4 解得 a 选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 y x 6 2 4 故答案为 y x 6 2 4 点评 此题主要考查了二次函数的应用 利用顶点式求出函数解析式是解题关键 11 某种商品每件进价为 20 元 调查表明 在某段时间内若以每件 x 元 20 x 30 且 x 为整数 出售 可卖出 30 x 件 若使利润最大 每件的售价应为 25 元 考点 二次函数的应用 专题 销售问题 分析 本题是营销问题 基本等量关系 利润 每件利润 销售量 每件利润 每件售价 每件进 价 再根据所列二次函数求最大值 解答 解 设最大利润为 w 元 则 w x 20 30 x x 25 2 25 20 x 30 当 x 25 时 二次函数有最大值 25 故答案是 25 点评 本题考查了把实际问题转化为二次函数 再利用二次函数的性质进行实际应用 此题为数 学建模题 借助二次函数解决实际问题 12 在平面直角坐标系中 点 A B C 的坐标分别为 0 1 4 2 2 6 如果 P x y 是 ABC 围成的区域 含边界 上的点 那么当 w xy 取得最大值时 点 P 的坐标是 5 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 23 页 考点 二次函数的应用 专题 压轴题 分析 分别求得线段 AB 线段 AC 线段 BC 的解析式 分析每一条线段上横 纵坐标的乘积的 最大值 再进一步比较 解答 解 线段 AB 的解析式是 y x 1 0 x 4 此时 w x x 1 x 则 x 4 时 w 最大 8 线段 AC 的解析式是 y x 1 0 x 2 此时 w x x 1 x 此时 x 2 时 w 最大 12 线段 BC 的解析式是 y 2x 10 2 x 4 此时 w x 2x 10 2x2 10 x 此时 x 时 w 最大 12 5 综上所述 当 w xy 取得最大值时 点 P 的坐标是 5 点评 此题综合考查了二次函数的一次函数 能够熟练分析二次函数的最值 13 如图 小李推铅球 如果铅球运行时离地面的高度 y 米 关于水平距离 x 米 的函数解析式 那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米 考点 二次函数的应用 分析 直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离 解答 解 函数解析式为 y最值 2 故答案为 2 点评 此题主要考查了二次函数的应用 正确记忆最值公式是解题关键 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 24 页 14 某种工艺品利润为 60 元 件 现降价销售 该种工艺品销售总利润 w 元 与降价 x 元 的函数关 系如图 这种工艺品的销售量为 60 x 件 用含 x 的代数式表示 考点 二次函数的应用 分析 由函数的图象可知点 30 2700 和点 60 0 满足解析式 w mx2 n 设销售量为 a 代入函数的解析式 即可得到 a 和 x 的关系 解答 解 由函数的图象可知点 30 2700 和点 60 0 满足解析式 w mx2 n 解得 w x2 3600 设销售量为 a 则 a 60 x w 即 a 60 x x2 3600 解得 a 60 x 故答案为 60 x 点评 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 此题为数学建模题 借助二次函数解决 实际问题 用的知识点为 因式分解 题目设计比较新颖 同时也考查了学生的逆向思维思考问题 三 解答题 共三 解答题 共 8 小题 小题 15 某机械公司经销一种零件 已知这种零件的成本为每件 20 元 调查发现当销售价为 24 元时 平均每 天能售出 32 件 而当销售价每上涨 2 元 平均每天就少售出 4 件 1 若公司每天的现售价为 x 元时则每天销售量为多少 2 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元 该公司想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应当为多少元 考点 二次函数的应用 分析 1 由原来的销量 每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论 2 由每件的利润 数量 总利润建立方程求出其解即可 解答 解 1 由题意 得 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 25 页 32 4 80 2x 答 每天的现售价为 x 元时则每天销售量为 80 2x 件 2 由题意 得 x 20 80 2x 150 解得 x1 25 x2 35 x 28 x 25 答 想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应当为 25 元 点评 本题考查了销售问题的数量关系每件的利润 数量 总利润的运用 列一元二次方程解实际 问题的运用 一元二次方程的解法的运用 解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键 16 某经销商销售一种产品 这种产品的成本价为 10 元 千克 已知销售价不低于成本价 且物价部门规 定这种产品的销售价不高于 18 元 千克 市场调查发现 该产品每天的销售量 y 千克 与销售价 x 元 千克 之间的函数关系如图所示 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 2 求每天的销售利润 W 元 与销售价 x 元 千克 之间的函数关系式 当销售价为多少时 每天的 销售利润最大 最大利润是多少 3 该经销商想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应定为多少 考点 二次函数的应用 专题 销售问题 分析 1 设函数关系式 y kx b 把 10 40 18 24 代入求出 k 和 b 即可 由成本价 为 10 元 千克 销售价不高于 18 元 千克 得出自变量 x 的取值范围 2 根据销售利润 销售量 每一件的销售利润得到 w 和 x 的关系 利用二次函数的性质得最值即可 3 先把 y 150 代入 2 的函数关系式中 解一元二次方程求出 x 再根据 x 的取值范围即可确定 x 的 值 解答 解 1 设 y 与 x 之间的函数关系式 y kx b 把 10 40 18 24 代入得 解得 多一点细心 少一点后悔 多一份勤奋 少一份后悔 第 26 页 y 与 x 之间的函数关系式 y 2x 60 10 x 18 2 W x 10 2x 60 2x2 80 x 600 对称轴 x 20 在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而增大 10 x 18 当 x 18 时 W 最大 最大为 192 即当销售价为 18 元时 每天的销售利润最大 最大利润是 192 元 3 由 150 2x2 80 x 600 解得 x1 15 x2 25 不合题意 舍去 答 该经销商想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应定为 15 元 点评 本题考查了二次函数的应用 得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键 结合实际 情况利用二次函数的性质解决问题 17 某研究所将某种材料加热到 1000 时停止加热 并立即将材料分为 A B 两组 采用不同工艺做降温 对比实验 设降温开始后经过 x min 时 A B 两组材料的温度分别为 yA yB yA yB与 x 的函数关 系式分别为 yA kx b yB x 60 2 m 部分图象如图所示 当 x 40 时 两组材料的温度相同 1 分别求 yA yB关于 x 的函数关系式 2 当 A 组材料的温度降至 120 时 B 组材料的温度是多少 3 在 0 x 40 的什么时刻 两组材料温差最大 考点 二次函数的应用 专题 应用题 数形结合 分析 1 首先求出 yB