周世勋量子力学习题答案-第六章--散射

第六章第六章 散射散射 1 粒子受到势能为 粒子受到势能为 2 r a rU 的场的散射 求的场的散射 求 S 分波的微分散射截面 分波的微分散射截面 解解 为了应用分波法 求微分散射截面 首先必须找出相角位移 注意到第 l 个分波 的相角位移 l 是表示在辏力场中的矢径波函数 l R 和在没有散射势时的矢径波函数 l j 在 r 时的位相差 因此要找出相角位移 必须从矢径的波动方程出发 矢径的波动方程是 0 1 1 2 22 2 l l R r ll rVk dr dR r dr d r 其中 l R 是波函数的径向部分 而 EkrUrV 2 2 2 2 2 令 r rx R l l 不难把矢径波动方程化为 0 2 1 222 2 ll x rr ll kx 再作变换 rfrxl 得 0 2 2 1 1 2 2 2 2 rf r e krf r rf 这是一个贝塞尔方程 它的解是 krBNkrAJrf pp 其中 2 2 2 2 2 1 lp 注意到 krNp 在 0 r 时发散 因而当 0 r 时波函数 r N R p l 不符合波函数的标准条件 所以必须有 0 B 故 1 krJ r AR pl 现在考虑波函数 l R 在 r 处的渐近行为 以便和 l j 在 r 时的渐近行为比较 而求 得相角位移 l 由于 2 sin 1 42 sin 1 l l kr r p kr r rR 2 12 2 1 2242 2 2 l d llp l 当 l 很小时 即 较小时 把上式展开 略去高次项得到 2 1 2 2 l l 又因 l i ie l 21 2 故 0 2 cos 1 12 2 1 l l i Pel ik f l 0 2 cos 12 2 12 2 1 l l P l il ik 0 2 cos l l P k 注意到 0 21 2 1 2 0 21 1 2 1 21 2 2 2 1 12 cos 1 cos 1 cos2 11 l l l l l l rrP r r r rrP r r r rrrr r 当 当 如果取单位半径的球面上的两点来看 则 1 21 rr 即有 0 2 sin2 1 cos cos1 2 1 l l P 故 2 sin2 1 2 k f 微分散射截面为 d E d k df 2 csc 8 2 sin4 1 2 2 22 2 42 222 由此可见 粒子能量E愈小 则 较小的波对微分散射截面的贡献愈大 势能常数 愈大 1 r 2 r 12 r 0 微分散射截面也愈大 2 慢速粒子受到势能为 慢速粒子受到势能为 ar arU rU 当 当 0 0 的场的散射 若 0 00 UUE 求散射截面 解解 慢速粒子的德布罗意波长很长 所以只需要考虑 S 分波 在 ar 处 方程为 2 2 1 0 ll l l xkx r 其中 2 2 2 E k 在 ar 处 则有 2 2 1 0 ll l l xkx r 其中 2 0 2 2 EU k 而波函数是 r x R l l 在 a 的情况下 只故虑 S 分波 即 0 l 的情况 上面两个方程变为 0 0 2 0 xkxar 0 0 2 0 xkxar 其解分别为 当 ar 时 sin 00 krBx 当 ar 时 0 xAshk rA chk r 由于在 0 r 时 r x R 0 0 有限 但 1cos 0 r rk 当 故 0 A 即 0 arrkAshx 在 ar 处 波函数 0 R 及其微商必须连续 因此得出 sin 0 kaBakAsh sin cot 0 2 0 2 ka a B kak a B aksh a A akchk a A 用前式除后式可得 cot coth 0 kakakk 即 0 katg k k aktg kaaktg k k tg 1 0 因此 S 分波的辐射截面是 kaaktg k k tg kk Q 12 2 0 2 2 0 sin 4 sin 4 当速度较小时 0 k 可以近似地认为 2 0 0 2 U kk 这时有 0 tghkatghk a 00 0 k tghk aka k 2 0 0 22 0 2 0 14 4 ak aktg a k Q 假如 0 U 相当于在受到球形无限深势阱散射的情况 这时由于 121 1 0 0 0 22 0 2 0 2 0 0 k ak aktg ak aktg ak aktg 当 2 0 4Qa 3 只考虑 只考虑 S 分波 求慢速粒子受到势能分波 求慢速粒子受到势能 4 r rU 的场散射时的散射截面 的场散射时的散射截面 解解 当只考虑 0 l 即 S 分波时 令r R 则 x 满足的方程是 0 2 42 r x x 为了解此方程 作如下代换 令 rfrrx 由于 1 2 1 rf r rfrx 2 3 4 1 rrf r rf rfrx 可将原方程化为 0 4 112 2 3 2 72 rr d f r f fr 即 0 4 112 242 rr d f r f f 为了化简方程 再作变换 令 1 2 i r 注意到 2 2 2 12 d df i r i d df dr d d df dr df dr d d df i d fd i dr d d df i d d dr fd 2 2 22 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 i d dfi d fd 方程可以化为 0 4 1 1 1 22 2 d df d fd 这是 2 1 阶的贝塞尔方程 它的解是 r i Hrf 12 1 2 1 式中 1 H表示第一类汉克尔函数 按定义为 sin 1 pp ip p JJe p i H 当 1 时 1 2 p J p p P 当 0 r 时 2 1 2 2 3 2 2 sin 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 i i H r当 而 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 r x iHrrfrx 2 1 2 1 当r很大时 4 1 2 4 1 2 2 2 rx常数 r c C rr rx R 2 1 4 1 2 4 1 2 21 2 常数常数 另一方面 r kr r kr C kr kr CR sin 0cos 0sin 0 21 常数 当 1 kr 时 r C CR 2 1 常数 其中 4 1 2 2 4 1 2 1 2 2 CC 0 1 2 0 2 kk C C tg 散射截面 2 2 2 2 0 8 4 2 4kkQ 上述解的条件是 1 kr 即 1 12 r i 亦即要求 k r 12 4 用玻恩近似法求粒子在势能 用玻恩近似法求粒子在势能 22 0 r eUrU 场中散射时的散射截面 场中散射时的散射截面 解解 按玻恩近似法计算微分散射截面的公式 2 fq 而 0 2 22 sin 2 drkrer K f r 见教材 55 23 式 其中 2 sin4 222 kK 为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角 在本题中 22 0 r eUrU 0 2 0 22 sin 2 drKrer K U f r 0 2 0 2222 dreer K U i iKrriKrr 00 24 2 024 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 drree K Ui drree K Ui iK r KiK r K 注意到 000 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 dre iK dre iK rdrre iK r iK r iK r 0 322 42 1 22 22 iKiK dxxe x 又 000 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 dre iK dre iK rdrre iK r iK r iK r 32 42 1 iK 2 2 2 2 4 32 0 3 4 2 0 22 KK e UiK e K Ui f 而 2 sin4 222 KK 2 2 2 64 2 0 2 2 4 K e U fq 5 利用玻恩近似法求粒子在势能 利用玻恩近似法求粒子在势能 2 0 s Zer ra U r rb ra 场中散射的微分散射截面 式中 2 2 s a b Ze 解解 由势能 rU 的形状容易看出 计算 f 时只需计算由 a 0 的积分即可 a dr b r r ze Krr K f 0 2 2 sin 2 aa Krdrr bK Krdrze K 00 2 2 2 2 sin 2 sin 2 a Kadr a rKr bK a Kr KK ze 0 2 222 2 cos 0 cos 2 0 cos 1 a Krdr k Ka k a Kaa bK ka K ze 0 2 2222 2 sin 2 sin 2 cos 2 1 cos cos1 2 sin 2 cos 2 cos1 2 2 2222 2 Ka K Ka K a Kaa bK Ka K ze 2 fq 2 2 22 44 2 cos1 2 sin 2 cos 1 cos1 4 Ka K Ka K a Kaa b Kaze K 其中 2 sin2 kK 6 用玻恩近似法求在势能0 0 r a U r U e a 场中散射时的微分散射截面 并讨 论在什么条件下 可以应用玻恩近似法 解解 1 求微分散射截面 0 0 2 sin 2 dreUkrr k f a r 0 2 0 2 2 dreee i r k U a r ikrikr 00 11 2 0 drredrre ik U r a ikr a ik 222 0 1 1 1 1 ik a ik a ik U 222 22 2 0 2 1 1 1 ka ikaika ik Ua 2222 0 3 1 4 ka Ua 42224 62 0 2 4224 62 0 2 2 2 sin41 16 1 16 ka aU ka aU fq 2 讨论玻恩近似法可以应用的条件 显然 这个条件是 1 2 u 由教材 55 25 式和 55 26 式 drerV k dr