2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修5-§1

知识点一 正弦定理 在 ABC 中 若角 A B C 所对的边分别是 a b c R 为 ABC 外接圆半径 则 定理正弦定理 内容 1 2R a sin A b sin B c sin C 变形 2 a 2Rsin A b 2Rsin B c 2Rsin C 3 sin A sin B sin C a 2R b 2R c 2R 4 a b c sin A sin B sin C 5 asin B bsin A bsin C csin B asin C csin A 知识点二 余弦定理 定理余弦定理 内容 a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2cacos B c2 a2 b2 2abcos C 变形 cos A b2 c2 a2 2bc cos B c2 a2 b2 2ca cos C a2 b2 c2 2ab 知识点三 三角形面积公式 1 S ABC ah h 表示边 a 上的高 1 2 2 S ABC absin C bcsin A acsin B 1 2 1 2 1 2 3 S r a b c r 为三角形内切圆的半径 1 2 知识点四 解三角形 1 已知两角和一边 如已知 A B 和 c 由 A B C 求 C 由正弦定理求 a b 2 已知两边和这两边的夹角 如已知 a b 和 C 应先用余弦定理求 c 再应用正弦定理先 求较短边所对的角 然后利用 A B C 求另一角 3 已知两边和其中一边的对角 如已知 a b 和 A 应先用正弦定理求 B 由 A B C 求 C 再由正弦定理或余弦定理求 c 要注意解可能有多种情况 4 已知三边 a b c 可以应用余弦定理求 A B C 5 判断三角形的形状通常利用正 余弦定理进行边角互化 根据边的关系或角的关系确定 三角形的形状 6 在 ABC 中 a b c A B C sin A sin B sin C 题型一 正 余弦定理的应用 例 1 1 2017 年 4 月学考 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 a A 60 B 45 则 b 的长为 3 A B 1 C D 2 2 22 2 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a 2 c 2 cos A 且 b c 3 3 2 则 b 等于 A 3 B 2 C 2 D 23 答案 1 C 2 C 解析 1 由正弦定理 得 a sin A b sin B b asin B sin A 3sin 45 sin 60 2 2 由 b2 c2 2bccos A a2 得 b2 6b 8 0 解得 b 2 或 b 4 因为 b c 2 所以 b 2 3 感悟与点拨 1 一般地 如果式子中含有角的余弦或边的二次式 就要考虑用余弦定理 如果 遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时 就考虑用正弦定理 以上特征都不明显时 则要 考虑两个定理都有可能用到 2 解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制 跟踪训练 1 1 2018 年 4 月学考 在 ABC 中 已知 AB 2 AC 3 则 cos C 的取值范围 是 答案 5 3 1 解析 设 BC a 由 22 a2 32 2 3 acos C 得 cos C 2 a2 9 4 6a a 6 5 6a a 6 5 6a 5 3 当且仅当 a 时 等号成立 5 cos C 1 5 3 2 2016 年 10 月学考 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 sin 2C cos C C 为锐角 3 求角 C 的大小 若 a 1 b 4 求边 c 的长 解 由 sin 2C cos C 得 2sin Ccos C cos C 33 因为 C 为锐角 所以 cos C 0 从而 sin C 3 2 故角 C 的大小是 3 由 a 1 b 4 根据余弦定理得 c2 a2 b2 2abcos 13 所以边 c 的长为 313 题型二 判断三角形的形状 例 2 2016 年 4 月学考 在 ABC 中 已知 A 30 AB 3 BC 2 则 ABC 的形状是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 不能确定 答案 A 解析 由正弦定理 得 BC sin A AB sin C sin C AB sin A BC 3sin 30 2 3 4 cos C 1 3 4 2 7 4 当 cos C 时 C 为钝角 7 4 则 ABC 为钝角三角形 当 cos C 时 7 4 cos B cos 180 A C cos A C cos Acos C sin Asin C 3 2 7 4 1 2 3 4 0 21 3 8 B 为钝角 故 ABC 为钝角三角形 感悟与点拨 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时 主要有如下两种方法 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用 A B C 这个结论 跟踪训练 2 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边长分别是 a b c 若 sin C sin B A sin 2A 试判断 ABC 的形状 解 sin C sin B A sin 2A sin B A sin B A 2sin Acos A 2sin Bcos A 2sin Acos A cos A sin A sin B 0 cos A 0 或 sin A sin B 0 当 cos A 0 即 A 时 ABC 为直角三角形 2 当 sin A sin B 0 时 sin A sin B a b 此时 ABC 为等腰三角形 综上 ABC 的形状为直角三角形或等腰三角形 题型三 与三角形面积有关的问题 例 3 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 b c 2acos B 1 证明 A 2B 2 若 ABC 的面积 S 求角 A 的大小 a2 4 1 证明 由正弦定理得 b c 2acos B sin B sin C 2sin Acos B 所以 2sin Acos B sin B sin A B sin B sin Acos B cos Asin B 则 sin B sin A B 又 A B 0 故 0 A B 所以 B A B 或 B A B 即 A 舍去 或 A 2B 所以 A 2B 2 解 由 S 得 a2 4 absin C 由正弦定理及 1 得 1 2 a2 4 sin Asin Bsin C sin2A 1 2 1 4 sin Bsin C sin 2B sin Bcos B 1 2 因为 sin B 0 得 sin C cos B 又 B C 0 所以 C B 2 当 B C 时 A 2 2 当 C B 时 A 2 4 综上 A 或 A 2 4 感悟与点拨 有关三角形面积问题的求解方法 1 灵活运用正 余弦定理实现边角转化 2 合理运用三角函数公式 如同角三角函数的基本关系式 二倍角公式等 跟踪训练 3 1 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 sin A 2sin B c 4 C 则 ABC 的面积为 3 A B C D 8 3 16 3 16 3 3 8 3 3 答案 D 解析 由 sin A 2sin B 得 a 2b 由 c2 a2 b2 2abcos C 得 b a 4 3 3 8 3 3 S absin C 1 2 8 3 3 2 已知 a b c 分别为 ABC 的内角 A B C 的对边 sin2B 2sin Asin C 若 a b 求 cos B 设 B 90 且 a 求 ABC 的面积 2 解 由题设及正弦定理可得 b2 2ac 又 a b 可得 b 2c a 2c 由余弦定理可得 cos B a2 c2 b2 2ac 1 4 由题意知 b2 2ac 因为 B 90 由勾股定理得 a2 c2 b2 故 a2 c2 2ac 得 c a 2 所以 ABC 的面积 S ac 1 1 2 题型四 解三角形应用举例 例 4 已知 A B 两地间的距离为 10 km B C 两地间的距离为 20 km 现测得 ABC 120 则 A C 两地间的距离为 A 10 km B 10 km 3 C 10 km D 10 km 57 答案 D 解析 如图所示 由余弦定理可得 AC2 AB2 BC2 2AB BC cos B 700 所以 AC 10 km 7 感悟与点拨 1 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形问题的模型 2 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解 3 将三角形问题还原为实际问题 注意实际问题中的有关单位问题 近似计算的要求等 跟踪训练 4 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到 A 处时测得公路北侧一山 顶 D 在西偏北 30 的方向上 行驶 600 m 后到达 B 处 测得此山顶在西偏北 75 的方向上 仰角为 30 则此山的高度 CD m 答案 100 6 解析 由题意 在 ABC 中 BAC 30 ABC 180 75 105 故 ACB 45 又 AB 600 m 故由正弦定理得 600 sin 45 BC sin 30 解得 BC 300 m 2 在 Rt BCD 中 CD BC tan 30 300 100 m 2 3 36 一 选择题 1 2018 年 6 月学考 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 B 45 C 30 c 1 则 b 等于 A B C D 2 2 3 223 答案 C 2 ABC 中 若 a 1 c 2 B 60 则 ABC 的面积为 A B C 1 D 1 2 3 23 答案 B 解析 S ac sin B 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 已知 ABC 中 a 4 b 4 A 30 则 B 等于 3 A 60 B 30 C 60 或 120 D 30 或 150 答案 C 解析 根据正弦定理 得 sin B a sin A b sin B 3 2 又 a b 0 B 180 B 60 或 120 4 在 ABC 中 已知 a2 b2 bc c2 则角 A 为 A B 3 6 C D 或 2 3 3 2 3 答案 C 解析 由 a2 b2 bc c2 得 b2 c2 a2 bc 由余弦定理得 cos A b2 c2 a2 2bc 1 2 0 A A 2 3 5 如图所示 为测一树的高度 在地面选取 A B 两点 从 A B 两点分别测得树尖的仰角 为 30 45 且 A B 两点之间的距离为 60 m 则树的高度为 A 30 30 m B 30 15 m 33 C 15 30 m D 15 15 m 33 答案 A 解析 由正弦定理可得 AB sin 45 30 PB sin 30 解得 PB 60 1 2 sin 45 30 又 sin 45 30 sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 6 2 4 所以 h PB sin 45 sin 45 30 sin 45 30 30 30 m 3 6 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别是 a b c 已知 8b 5c C 2B 则 cos C 的 值为 A B 7 25 7 25 C D 7 25 24 25 答案 A 解析 由正弦定理 b sin B c sin C 将 8b 5c 及 C 2B 代入得 b sin B 8 5b sin 2B 化简得 1 sin B 8 5 2sin Bcos B 则 cos B 4 5 cos C cos 2B 2cos2B 1 2 2 1 4 5 7 25 7 在 ABC 中 已知 sin2 则 ABC 的形状为 A 2 c b 2c A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形 答案 B 解析 因为 sin2 A 2 c b 2c 所以 1 cos A 2 c b 2c 利用正弦定理得 1 cos A 2 sin C sin B 2sin C 化简得 sin C sin Ccos A sin C sin B 所以 sin Ccos A sin B sin A C sin Acos C cos Asin C 所以 sin Acos C 0 又 sin A 0 所以 cos C 0 又 C 0 所以 C 2 所以 ABC 为直角三角形 8 在 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 的对边 如果 2b a c B 30 ABC 的 面积为 则 b 等于 3 2 A 1 B 3 1 3 2 C D 2 2 3 23 答案 A 解析 由 ac sin 30 得 ac 6 1 2 3 2 由余弦定理得 b2 a2 c2 2accos 30 a c 2 2ac ac 3 4b2 12 6 b 1 33 9 在 ABC 中 若 a2 b2 2c2 则 cos C 的最小值为 A B 3 2 2 2 C D 1 2 1 2 答案 C 解析 在 ABC 中 a2 b2 2c2 由余弦定理得 cos C a2 b2 c2 2ab a2 b2 a2 b2 2 2ab 当且仅当 a b 时取等号 a2 b2 4ab 2ab 4ab 1 2 cos C 的最小值为 1 2 10 已知 ABC 的面积为 AC ABC 则 ABC 的周长等于 3 23 3 A B 3 3 3 23 C 2 D 3 33 答案 D 解析 由题意 可得 AB BC sin ABC 1 2 3 2 即 AB BC 1 2 3 2 3 2 所以 AB BC 2 再由余弦定理可得 AC2 AB2 BC2 2AB BC cos 3 AB2 BC2 2 即 AB2 BC2 5 得 AB BC 2 AB2 BC2 2AB BC 5 4 9 所以 AB BC 3 所以 ABC 的周长等于 AB BC AC 3 3 故选 D 二 填空题 11 在 ABC 中 若角 A B C 成等差数列 则 B ac b2sin Asin C 答案 3 4 3 解析 由 A C 2B 且 A B C B 3 ac b2sin Asin C sin Asin C sin2Bsin Asin C 1 sin2B 4 3 12 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 若 a b 1 cos C 3 则 sin B 3 3 答案 3 3 解析 由题意和余弦定理可得 c2 a2 b2 2abcos C 2 1 2 1 2 33 3 3 c 0 C cos C 2 3