不等式证明的若干方法

学科分类号学科分类号 110 本本 科科 毕毕 业业 论论 文文 题 目 不等式证明的若干方法 姓 名 朱虹霞 学 号 1106020540051 院 系 数学与计算机科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2011级 指导教师 李晟 职 称 副教授 二二 一一 五年五月五年五月 贵州师范学院本科毕业论文诚信声明 本人郑重声明 所呈交的本科毕业论文 是本人在指导老师的指导下 独立进行研究工作所取得的成果 成果不存在知识产权争议 除文中已经注 明引用的内容外 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品 成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 本科毕业论文作者签名 年 月 日 目 录 摘 要 1 Abstract 2 1 常用的不等式证明方法 3 1 1 作差比较法 3 1 2 作商比较法 4 1 3 分析法 5 2 假设法证明不等式 5 2 1 反证法 5 2 2 数学归纳法 6 3 构造法证明不等式 7 3 1 代换法 7 3 2 构造复数 8 4 利用微分中值定理证明不等式 9 4 1 利用拉格朗日中值定理 9 4 2 利用柯西中值定理证明不等式 10 4 3 利用泰勒展开式证明不等式 11 5 利用积分定理证明不等式 12 5 1 利用定积分定义证明不等式 12 5 2 利用定积分性质证明不等式 13 6 一题多解 14 结语 17 参考文献 18 致 谢 19 摘 要 不等式是数学学习过程当中一个根本的问题 它浸透于数学研究的各个 方面 因而不等式证明在数学中有着至关重要的作用和地位 在本文中 我 主要从不同方面总结了一些证明不等式的方法 尤其是在初等数学中不等式 证明 经常会使用到比较法 假设法 反证法等等 在高等数学中还会用到 中值定理 积分定理等等 于是 一个更完美的不等式的证明 有助于我们 进一步的探索研究 经过去掌握这些证明方法 可能会帮助我们去解决一些 数学题目 关键词 比较法 中值定理 积分定理 Abstract Inequality is the mathematical learning process is a fundamental issue it soaked in all aspects of mathematical research which proves inequality has a crucial role and position in mathematics In this article I mainly summarizes some different aspects to prove inequality Especially proving inequalities in elementary mathematics is often used to compare methods assumptions law reductio ad absurdum and so on Higher Mathematics will be used in the mean value theorem integral theorem and so on Thus a more perfect proof of inequality helping us to further exploration and research After prove to master these methods may help us to solve some math problems Keywords Comparative Law value theorem integral theorem 引言 在数学学习过程中 不等式是基本的数学关系 不等式的证明也证明了 它是数学领域一个非常重要的内容 然而 这些内容在初等数学与高等数学 中又有一个很好的体现 到 17 世纪之后 它已经逐渐发展为不等式理论 成为数学基础的一个重要要组成部分 在不等式证明之前 要根据其结构特 点 往往需要对其内部结构进行分析 来采取适当的 熟悉各种证据推理方 法 并要掌握相应的环节 技术和语言特点 揭示问题的本质特点 使得难 解的问题变动为可解性问题 黄冬梅在 关于不等式证明的若干方法的探究 中提到过 利用 对 称和均分 的观点 根据微积分的知识 通过一些例子来探讨不等式证明在 初等数学中应用 东洪平在 利用二次求导确定函数单调性证明一些不等式 中涉及到 根据利用二阶导数方法来证明函数的单调性 通常用一个函数来 求导确定 因此 某些函数的单调性不能确定的时候 对这些函数进行二次 求导来确定其单调函数 赵忠彦在 用数学归纳法证明一类不等式的技巧 中提到 对于一边是常数的数列不等式 不妨借助于数学归纳法 直接证明 概括往往有一定的困难 如果使用不等式的传递性 可加性 通过增强命题 比例常数和其他技能 就可以成功完成了归纳过渡 1 常用的不等式证明方法 比较法是不等式数学证明中最基本 最根本的方法 主要有作差法和作 商法 1 1 作差比较法作差比较法 作差比较法 要证不等式 只要证即可 比较 ab ab 00abab 法包括以下几个步骤 作差 变形 判断的符号 正或负 得出结论 例 1 实数为正数 求证 a b 22 222abab 分析 两个多项式大小的比较通常是用作差比较法 解 22 222abab 22 2121aabb 22 110ab 小结 作差 要比较两个数 或式子 作差的大小 变形 对差值进行因式分解或几个数 或式子 的完全平方和 判别 结合变形和题设前提下判断差的符号 1 2 作商比较法作商比较法 商比较 在一般情况下 当均为正数时 借助或 来表示 a b1 a b 1 a b 它的大小 一般步骤为 作商 变形 判别 大于 1 或小于 1 例 2 设 求证 a bR 2 a b ab a bab 分析 关于一些含有幂指数类型的题通常都用作商比较法 证明 2 22 2 a b a bb aab a b a ba ab b ab 又指数函数的性质 当时 ab 2 1 a b a b 当时 0ab 1 a b 0 2 ab 2 1 a b a b 当时 0ba 01 a b 0 2 ab 2 1 a b a b 即 2 a b ab a bab 注 作商法通常适用于含 幂 指数 比较类型的式子 1 3 分析法分析法 分析法是从结论开始 一步步的向上推导 探索下去 然而证明已知的 题目中设条件 在证明的过程中 推导的每一步都要可逆 例 3 已知 为互不相等的实数 求证 cba cabcabcba 222 证明 要证成立 cabcabcba 222 即证明 0 222 cabcabcba 需要证 0222222 222 cabcabcba 即 0 222 accbba 因为 所以cba 0 0 0 222 accbba 由此逆推 即可证明 2 假设法证明不等式 2 1 反证法反证法 反证法是证明与命题相对立的结论 可以先来假设一个错误的结论 应 用到以往所学的知识来证明假设是错误的 理论依据 命题 与命题 非 一真 一假 pp 例 4 已知 求证 至少有一个小10 10 10 cba accbba 1 1 1 于等于 4 1 分析 小于等于 的反面是 大于 可以考虑用反证法 证明 假设都大于 accbba 1 1 1 4 1 则 10 10 10 cba 01 01 01 cba 根据平均值不等式 有 2 1 4 1 1 2 1 ba ba 同理 2 1 2 1 2 1 2 1 accb 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 accbba 2 3 2 3 显然矛盾 所以结论成立 注 反证法适合用于证明一些 存在性的问题 唯一性的问题 至少有 一个 或 至多有一个 等类型的数学问题 2 2 数学归纳法数学归纳法 一般地 证明一个与正整数 有关的命题 即按下列步骤进行 n 证明当 取第一个值时命题成立 1n1 n 一个命题 证明了命题的假设命题进行证明 2 0 nk kn kN 建立当时 命题也成立 综上所述 建立了所有的自然数都成立 1nk 例 5 nnnnn2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 证明 当时 左 右 一个命题成立 11n 11 1 22 1 2 假设当时 命题成立 2nk 即 kk2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 kkk2 1 2 1 1 1 那么当时 1nk 左边 22 1 12 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 kkkk 22 1 12 1 2 1 2 1 1 1 kkkkk 22 1 12 1 3 1 2 1 kkkk 上式表明当时 命题也成立 1nk 由知 命题对一切正整数均成立 12 注意 1 数学归纳法证明命题 步骤严谨 务必严格按步骤进行 2 归纳推理是难点 要仔细看准再变形 3 构造法证明不等式 构造法是利用已知条件为前提 把条件进行变换和替代或模型结构的条 件下 复杂等 来实现不等式的证明过程的简单化 3 1 代换法代换法 提取一个式子作为一个整体 一个变量来代替它 使问题得以简单化 称为代换法 还原转化的本质 关键在于构建元素和组元 理论原由是基于 等效替代 这样的非标准化的问题 复杂的问题 例 7 计算下面的算式 7 886 775 669 31 10 98 107 886 775 66 109 31 10 98 解 令 7 886 775 66a 9 31 10 98b 则原式 1010abab 1010abaabb 1010abaabb 10ab 107 886 775 669 31 10 98 10 0 02 0 2 注意 在解题过程中 往往要根据解题的需要 通常把较大的数字或者 复式的式子用字母来代替 这样才会使式子中的复杂的关系更加简单明了 简化或计算过程也会简便些 3 2 构造复数构造复数 对某些含有二次根式且变数字母具有对称或轮换对称的不等式 可以构 造复数 利用复数模的性质 证明 1 nn zzzzzz 2121 例 8 若为非负实数 证明 a b c 222222 2abbccaabc 证明 构造复数 1 zabi 2 zbci 3 zcai 则左边 123123 zzzzzz abcabc i 2 abc 从这个例子可以看出 证明的不等式中出现 平方和算术根 构造复数 解决问题的方法是独特的 思路也清晰明了 只有在出现平方和或算术根的 情况下 才考虑用构造复数 4 利用微分中值定理证明不等式 利用微分中值定理证明不等式的步骤 构造辅助函数 1 f x 构造微分中值定理需要的区间 2 a b 利用 对进行适当的放缩 3 a b f 4 1 利用拉格朗日中值定理利用拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 2 如果在上连续 在内可导 则在 f x a b a b 内至少存在一点 使 a b f af b f ba 例 9 求证 当时 0 x xxIn x x 1 1 分析 最初要来构造一个辅助的函数 继续利用拉格朗日中值定理 xf 就可以解出此题 证明 设辅助函数 在上满足 xInxf 1 xf x 0 中值定理 则Lagrange 00 xffxf x 0 因为 00 f x xf 1 1 由上式可得 1 1 x xIn 又因为 x 0 x 111 1 1 1 1 1 x 所以 x x x x 11 即 xxIn x x 1 1 注 很多证明题都不能直接利用定理来进行解决问题 再利用拉格朗日中指 定理问题时 怎样去构造辅助函数 这才是证明问题的关键 4 2 利用柯西中值定理证明不等式利用柯西中值定理证明不等式 柯西中值定理 3 假设函数在闭区间上连续 在开区间 f xg x a b 内可导 且在内每一点均不为零 那么在内至少存在一 a b gx a b a b 点 使 4 2 f bf af g bg ag 例 10 如果 试证 0 x 1 1 x Inxx x 证明 令 1f xInx g xx 在区间上连续 在内可导 f xg x 0 0 xx 0 0 xx 且在内每一点都不为零 gx 0 0 xx 那么由柯西中值定理可得 见式 4 2 111 111 InxIn x 0 x 则有 11 1 x InxIn 0 x 由于在闭区间上 有 0 x 11 xx x x 所以 10 1 x Inxx x x 4 3 利用泰勒展开式证明不等式利用泰勒展开式证明不等式 泰勒定理 设在闭区间上连续 在开 xfxfxfxf n a b 1n fx 区间上存在 则对任何 至少存在一点 这样 a baxb ab n n n Rxx n xf xx xf xxxfxfxf 0 0 2 0 0 00 0 2 3 4 其中 在 与 之间 称为余项 1 1 n n f Rx n ax 上式称为 阶泰勒公式 n 令 则公式变为 0 0 x 3 4 xRx n xf x xf xffxf n n n 2 00 0 2 0 其中 在 与 之间 1 1 n f xR n n ax 例 11 当时 证明 0 x 3 1 sin 6 xxx 证明 取 3 1 sin 6 f xxxx 0 0 x 则 00 00 00 1 cosffffxx 00f 代人泰勒公式 其中 得3n 3 1 cos 000 3 x f xx 其中 01 故当时 0 x 3 1 sin 6 xxx 5 利用积分定理证明不等式 5 15 1 利用定积分定义证明不等式利用定积分定义证明不等式 设函数在区间上有界 f x a b 在区间内插入分点 1 a b bxxxxxa nn 1210 记 nixxx iii 2 1 1 n xxx max 21 在小区间上任取一点作和 2 1 ii xx ni i 2 1 i n i i xf 1 如果当时 以上的极限存在 且极限值与区间的分法和的取 30 a b i 值无关 积分函数的极限在区间上的表示 记为 f x a b b a f x dx 即 5 1 i n i i b a xfdxxf 1 0 lim 例 12 计算 dxex 1 0 解 取分点为 则 1 2 1 1 vi n xi vi n i xi 2 1 在第 个小区间上取右端点i vi n i xi i 2 1 于是 n n nn n n i n i n x eee nn edxe 21 1 1 0 1 lim 1 lim n n nn n e ee n 1 11 1 1 1 lim n n n en ee 1 1 1 1 lim 1 e 5 2 利用定积分性质证明不等式利用定积分性质证明不等式 积分不等式性 若函数和在上的两个可积函数 且 f x g x a b 则有 f xg x 5 2 bb aa f x dxg x dx 例 13 试证 22 00 cos sinsin cost dtt dt 证明 由定积分的不等式性 只需要证许可 cos sinsin costt 当时 因0 2 t 02sin2 42 t 0 2 t 所以 sincos 2 tt 即 sincos 2 tt 且 0cossin 2 tt 0cos 2 t 在是增函数 所以 sin x0 2 sinsinsin cos 2 tt 即 cos sinsin costt 因而时 结论成立 0 2 t 利用定积分的性质来证明不等式当中 要学会利用微分和积分的互逆 行 使积分本身的单一性 把步骤放在不等式双方结构的积分方式中 使用定积分 不等式的证明 常会用到定积分的性质 有时还要结合积分中值定理 6 一题多解 证明 若 求证 0 0 baba b a a b 22 思路点拨 因为 所以证明不等式两边的值大于零 本题主要用作0 0 ba 差法 作商法和分析法证明 证法一 作差法 证明 ab abbaba ba b a a b 3322 ab abbababa 22 ab baba 2 因为 所以 0 0 ba0 0 abba 即 0 2 ab baba 得证 证法二 作商法 因为 所以 0 0 ba0 ba0 22 b a a b 1 2 22 22 ab abab ab baba ba b a a b 所以得证 证法三 分析法 要证 ba b a a b 22 只需证 abbaba 33 只需证 abbabababa 22 0 ba 只需证 abbaba 22 只需证 因为成立 0 2 ba 0 2 ba 所以得证 例 已知求证 Rdcba 2222 dcbabdac 证法一 分析法 证明 1 当时 显然成立 0 bdac 2 当时 欲证原不等式成立 0 bdac 只需证 2222 2 dcbabdac 即证 222222222222 2dbcbdacadbabcdca 即证 2222 2dacbabcd 即证 0 2 adbc 因为 所以上式恒成立 Rdcba 综合 1 2 可知 原不等式成立 证法二 比较法 证明 因为 0 22 2222 adbcbdacdcba 所以 2 2222 bdacdcba 所以 bdacbdacdcba 2222 即 2222 dcbabdac 证法三 代换法 证明 设 2 1 22 rba 2 2 22 rdc 则可设 cos 1 ra sin 1 rb cos 2 rc sin 2 rd 所以 sinsincoscos 2121 rrrrbdac cos 21r r 21r r 2222 dcba 结语 在这里我只是总结一些简单几种比较常见的方法 这些方法只能解决一 些常见的一部分不等式问题 要求要大家开拓思维 善于分析解决问题 培 养良好的思维能力 但对于不等式的证明要仔细观察 找到最合适最方便的 方法并学习总结 于是 本文对不等式的一些证明方法进行了体系的总结 并精选一些典 型的例题来证明 以便大家对其证明有更好的了解 同时密切联系现实 不 等式在实际中解决一些简单问题的应用 为了进一步证明不等式的重要性 不等式的证明方法多种多样 往往取决于题型 没有一定的途径 如果能够 熟练掌握不等式的性质 认识基本不等式的特点 认真地审题进行思考探索 也不难找到证题的途径 参考文献 1 董堆华 构造复数解题的常见方法与技巧 J 濮阳教育报 2003 16 1 106 107 2 党艳霞 浅谈微分中值定理及其应用