点差法求椭圆中点弦

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 我们称之为圆锥曲线的中点弦问题 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是 联立直线和圆锥曲线的方程 借助于一元二次方程的 根的判别式 根与系数的关系 中点坐标公式及参数法求解 若设直线与圆锥曲线的交点 弦的端点 坐标为 将这两点代入圆锥曲 11 yxA 22 yxB 线的方程并对所得两式作差 得到一个与弦的中点和斜率有关的式子 可以大大减少运算量 AB 我们称这种代点作差的方法为 点差法 本文用这种方法作一些解题的探索 一 以定点为中点的弦所在直线的方程 例 1 过椭圆内一点引一条弦 使弦被点平分 求这条弦所在直线的方程 1 416 22 yx 1 2 MM 解 设直线与椭圆的交点为 11 yxA 22 yxB 为的中点 1 2 MAB 4 21 xx2 21 yy 又 两点在椭圆上 则 AB164 2 1 2 1 yx164 2 2 2 2 yx 两式相减得0 4 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 于是0 4 21212121 yyyyxxxx 2 1 24 4 4 21 21 21 21 yy xx xx yy 即 故所求直线的方程为 即 2 1 AB k 2 2 1 1 xy042 yx 例 2 已知双曲线 经过点能否作一条直线 使 与双曲线交于 且点1 2 2 2 y x 1 1 MllAB 是线段的中点 若存在这样的直线 求出它的方程 若不存在 说明理由 MABl 策略 这是一道探索性习题 一般方法是假设存在这样的直线 然后验证它是否满足题设的条件 本题属于中点弦问题 应考虑点差法或韦达定理 解 设存在被点平分的弦 且 MAB 11 yxA 22 yxB 则 2 21 xx2 21 yy 1 2 2 1 2 1 y x1 2 2 2 2 2 y x 两式相减 得 0 2 1 21212121 yyyyxxxx 2 21 21 xx yy kAB 故直线 1 21 xyAB 由 消去 得 1 2 1 21 2 2 y x xy y0342 2 xx 08324 4 2 这说明直线与双曲线不相交 故被点平分的弦不存在 即不存在这样的直线 ABMl 评述 本题如果忽视对判别式的考察 将得出错误的结果 请务必小心 由此题可看到中点弦 问题中判断点的位置非常重要 1 若中点在圆锥曲线内 则被点平分的弦一般存在 MMM 2 若中点在圆锥曲线外 则被点平分的弦可能不存在 MM 二 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例 3 已知椭圆的一条弦的斜率为 3 它与直线的交点恰为这条弦的中点 1 2575 22 xy 2 1 xM 求点的坐标 M 解 设弦端点 弦的中点 则 11 yxP 22 yxQPQ 00 yxM 2 1 0 x 12 021 xxx 021 2yyy 又 1 2575 2 1 2 1 xy 1 2575 2 2 2 2 xy 两式相减得0 75 25 21212121 xxxxyyyy 即 0 3 2 21210 xxyyy 021 21 2 3 yxx yy 即 3 21 21 xx yy k 3 2 3 0 y2 1 0 y 点的坐标为 M 2 1 2 1 例 4 已知椭圆 求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程 1 2575 22 xy 解 设弦端点 弦的中点 则 11 yxP 22 yxQPQ yxM xxx2 21 yyy2 21 又 1 2575 2 1 2 1 xy 1 2575 2 2 2 2 xy 两式相减得0 75 25 21212121 xxxxyyyy 即 即0 3 2121 xxxyyy y x xx yy3 21 21 即 3 21 21 xx yy k 3 3 y x 0 yx 由 得 1 2575 0 22 xy yx 2 35 2 35 P 2 35 2 35 Q 点在椭圆内 M 它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为 2 35 2 35 0 xyx 三 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例 5 已知中心在原点 一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标 50 0 F23 xyl 为 求椭圆的方程 2 1 解 设椭圆的方程为 则 1 2 2 2 2 b x a y 50 22 ba 设弦端点 弦的中点 则 11 yxP 22 yxQPQ 00 yxM 2 1 0 x 2 1 23 00 xy 12 021 xxx12 021 yyy 又 1 2 2 1 2 2 1 b x a y 1 2 2 2 2 2 2 b x a y 两式相减得0 2121 2 2121 2 xxxxayyyyb 即0 21 2 21 2 xxayyb 2 2 21 21 b a xx yy 3 2 2 b a 联立 解得 75 2 a25 2 b 所求椭圆的方程是 1 2575 22 xy 四 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例 6 已知椭圆 试确定的取值范围 使得对于直线 椭圆上总有不同1 34 22 yx mmxy 4 的两点关于该直线对称 解 设 为椭圆上关于直线的对称两点 为弦的中点 111 yxP 222 yxPmxy 4 yxP 21P P 则 1243 2 1 2 1 yx1243 2 2 2 2 yx 两式相减得 0 4 3 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 即0 4 3 21212121 yyyyxxxx xxx2 21 yyy2 21 4 1 21 21 xx yy 这就是弦中点轨迹方程 xy3 21P PP 它与直线的交点必须在椭圆内mxy 4 联立 得 则必须满足 mxy xy 4 3 my mx 3 22 4 3 3xy 即 解得 22 4 3 3 3 mm 13 132 13 132 m 五 注意的问题 1 双曲线的