第八章组合变形解析.ppt

Chapter8Combineddeformation 第八章组合变形 第八章组合变形 Combineddeformation 8 2拉伸 压缩 与弯曲的组合 Combinedaxialandflexuralloads 8 3偏心压缩 截面核心 Eccentricloads thekern orcore ofasection 8 4扭转与弯曲的组合 Combinedtorqueandflexuralloads 8 1概述 在外力作用下 构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况 称为组合变形 拉弯组合 弯扭组合 压弯组合 拉扭组合 叠加原理的成立要求 内力 应力 应变 变形等与外力之间成线性关系 8 1组合变形和叠加原理 Combineddeformationandsuperpositionmethod 1 外力简化 将组合变形分解为几个基本变形 将外力简化并沿主惯性轴分解 将组合变形分解为基本变形 使之每个力 或力偶 对应一种基本变形 3 确定危险截面上的危险点 建立强度条件 分别计算在每一种基本变形下构件的应力 画出危险截面的应力分布图 利用叠加原理将基本变形下的应力叠加 确定危险点 进而建立强度条件 一 处理组合变形的基本步骤 Basicmethodforsolvingcombineddeformation 2 确定危险截面 求每个外力分量对应的内力方程和内力图 确定危险截面 例题 一 受力特点 Characterofexternalforce 杆件将发生拉伸 压缩 与弯曲组合变形 作用在杆件上的外力既有轴向拉 压 力 还有横向力 二 变形特点 Characterofdeformation 8 2拉伸 或压缩 与弯曲的组合 Combinedaxialloadingandbending F1产生弯曲变形 F2产生拉伸变形 Fy产生弯曲变形 Fx产生拉伸变形 示例1 示例2 三 确定危险截面 横截面上内力 2 弯曲 1 拉 压 轴力FN 弯矩Mz 剪力Fs 因为剪力引起的切应力较小 故一般不考虑 轴力 axialforce 所以跨中截面是杆的危险截面 F2 F2 l 2 l 2 画内力图确定危险截面 弯矩 bendingmoment 四 确定危险点 拉伸正应力 最大弯曲正应力 杆危险截面下边缘各点为危险点 其应力为 F2 F2 l 2 l 2 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时 应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件 五 强度条件 Strengthcondition 由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态 故其强度条件为 例题1小型压力机的铸铁框架如图所示 已知材料的许用拉应力 t 30MPa 许用压应力 c 160MPa 试按立柱的强度确定压力机的许可压力F 50 50 150 150 解 1 截面几何性质的计算 A 15 10 3m2 z0 7 5cm Iy 5310cm4 计算截面对中性轴y的惯性矩 350 F 2 外力简化 确定危险截面 由轴力FN产生的拉伸正应力为 由弯矩My产生的最大弯曲正应力为 每一个截面受力相同都是危险截面 3 确定危险点 建立强度条件 危险点为截面的左右边缘上的点 在截面外侧有最大压应力 F 45 1kN 所以取 例题2矩形截面柱如图所示 F1的作用线与杆轴线重合 F2作用在y轴上 已知 F1 F2 80kN b 24cm h 30cm 如要使柱的m m截面只出现压应力 求F2的偏心距e 解 1 外力简化将力F2向截面形心简化后 梁上的外力有 轴向压力 力偶矩 F1 m m 2 m m横截面上的内力有 轴力 弯矩 轴力产生压应力 弯矩产生的最大正应力 3 依题的要求 整个截面只有压应力 得 因为只让求mm截面 也可使用截面法计算横截面上的内力值 8 3偏心压缩 截面核心 Eccentricloads thekernofasection 1 定义 Definition 短柱上压力与轴线平行但不重合时 即为偏心压缩 一 偏心压缩 Eccentricloads x y z 2 以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心压缩F为例 1 将外力向截面形心简化 使每个力 或力偶 只产生一种基本变形形式 轴向拉力F 力偶矩M Fe 将M向y轴和z轴分解 F使杆发生拉伸变形 My使杆发生xOz平面内的弯曲变形 y为中性轴 Mz使杆发生xOy平面内的弯曲变形 z为中性轴 若杆件横截面不存在两个对称轴 则应该找到两个形心主惯性轴 二 任意横截面n n上的内力分析 Analysisofinternalforceonanycrosssectionn n 轴力FN F 弯矩 三 任意横截面n n上C点的应力分析 StressanalysisatpointConcrosssectionn n 由F产生的正应力 由My产生的正应力 由Mz产生的正应力 由叠加原理 得C点处的正应力为 式中 A为横截面面积 Iy Iz分别为横截面对y轴和z轴的惯性矩 zF yF 为力F作用点的坐标 z y 为所求应力点的坐标 上式是一个平面方程 应力平面与横截面的交线 直线 0 就是中性轴 四 中性轴的位置 Thelocationofneutralaxis 令y0 z0代表中性轴上任一点的坐标 即得中性轴方程 讨论 1 在偏心拉伸 压缩 情况下 中性轴是一条不通过截面形心的直线 y z O 2 用ay和az记中性轴在y z两轴上的截距 则有 3 中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧 z 4 中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 D2两切点 a b c y y z z 5 对于周边具有棱角的截面 其危险点必定在截面的棱角处 并可根据杆件的变形来确定 y z FyF Wz 最大拉应力 tmax和最大压应力 cmin分别在截面的棱角D1D2处 无需先确定中性轴的位置 直接观察确定危险点的位置即可 由于危险点处仍为单向应力状态 因此 求得最大正应力后 建立的强度条件为 y z 五 截面核心 Thekernofasection yF zF 为外力作用点的坐标 ay az为中性轴在y轴和z轴上的截距 当中性轴与图形相切或远离图形时 整个图形上将只有压应力 y z y z y z y z 截面核心 1 定义 Definition 当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时 就可以保证中性轴不穿过横截面 整个截面上只有压应力 这个区域就称为截面核心 thekernofasection y z 当外力作用在截面核心的边界上时 与此相应的中性轴正好与截面的周边相切 截面核心的边界就由此关系确定 2 截面核心的确定 Determinethekernofasection 例5求圆形截面的截面核心 y z O d 解 作切线 为中性轴 在两个形心主惯性轴上的截距分别为 圆截面的惯性半径 由于圆截面对于圆心O是对称的 因而 截面核心的边界对于圆也应是对称的 从而可知 截面核心边界是一个以O为圆心 以d 8为半径的圆 解 作切线 为中性轴 得两截距分别为 矩形截面的 例6求矩形截面的截面核心 2 同理 分别作切线 可求得对应的核心边界上点的坐标依次为 3 矩形截面核心形状分析 直线 绕顶点B旋转到直线 时 将得到一系列通过B点但斜率不同的中性轴 而B点坐标yB zB是这一系列中性轴上所共有的 这些中性轴方程为 上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程 故外力作用点移动的轨迹是直线 a 对于具有棱角的截面 均可按上述方法确定截面核心 b 对于周边有凹进部分的截面 不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴 因为这种直线穿过横截面 4 讨论 discussion 8 4两相互垂直平面内的弯曲 所有外力都作用在同一平面内 但是这一平面不是对称面 所有外力都作用在对称面 但不是在同一对称面内 梁也会产生弯曲 但不是平面弯曲 这种弯曲称为斜弯曲 试分析如图所示梁的弯曲情况 1 分析方法 Analysismethodforunsymmetricalbending 2 叠加 Superposition 对两个平面弯曲进行研究 然后将计算结果叠加起来 Fz Fy y z F j B A 1 分解 Resolution 将外载沿横截面的两个形心主轴分解 于是得到两个正交的平面弯曲 梁在垂直纵向对称面xy面内发生平面弯曲 z轴为中性轴 梁的轴线 梁的轴线 水平纵向对称面 梁在水平纵向对称面xz平面内弯曲 y轴为中性轴 2 梁内任意横截面上的内力分析 Analysisofinternalforceonanycrosssection B A x My Fzx Fxsin 使梁在xz平面内弯曲 y为中性轴 Mz Fyx Fxcos 使梁在xy平面内弯曲 z为中性轴 m m 3 横截面上的应力分析 Stressanalysisofcrosssections 3 横截面上的应力分析 Stressanalysisofcrosssections 1 与My相应的正应力为 ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy 2 与Mz相应的正应力为 ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz C点处的正应力 ThenormalstressatpointC 4 横截面上中性轴的位置 Locationofneutralaxisoncrosssection 中性轴上的正应力为零 假设点e z0 y0 为中性轴上任意一点 Mz O e z0 y0 中性轴方程为 中性轴是一条通过横截面形心的直线 theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea My 中性轴的位置由它与y轴的夹角 确定 公式中角度 是横截面上力P矢量与y轴的夹角 横截面上合成弯矩M为 M My Fzx Fxsin Mz Fyx Fxcos My Mz y z O 中性轴 Mz My 5 斜弯曲的挠度 分别求出Fy引起的挠度wy和Fz引起的挠度wz 方法 叠加原理 wz wy w 总挠度为w 总挠度与轴的夹角为y 讨论 1 一般情况下 截面的Iz Iy 故中性轴与合成弯矩M所在平面不垂直 此为斜弯曲的受力特征 所以挠曲线与外力 合成弯矩 所在面不共面 此为斜弯曲的变形特征 2 对于圆形 正方形等Iy Iz的截面 有 y 梁发生平面弯曲 planebending 正应力可用合成弯矩M按正应力计算公式计算 梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线 故梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算 不能直接用合成弯矩进行计算 对于圆形截面 因为过形心的任意轴均为截面的对称轴 所以当横截面上同时作用两个弯矩时 可以将弯矩用矢量表示 然后求二者的矢量和 于是 斜弯曲圆截面上的应力计算公式为 注意 斜弯曲任一横截面依然存在中性轴 而且中性轴一定通过横截面的形心 但不垂直于加载方向 6 最大正应力分析 Analysisofmaximumnormalstress 作平行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于D1 D2两点 D1 D2两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点 O D1 D2 对于矩形 工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面 梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处 可根据梁的变形情况 直接确定截面上最大拉 压应力点的位置 无需定出中性轴 D2 D1 O x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m 40 80 z y O ad bc 例题矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示 试确定危险截面上危险点所在的位置 计算梁内最大正应力的值 解 1 外力分析 梁在F2的作用下将在xOz平面内发生平面弯曲 y为中性轴 故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合 斜弯曲 梁在F1的作用下将在xOy平面内发生平面弯曲 z为中性轴 x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m 2 绘制弯矩图 绘出Mz x 图 绘出My x 图 A截面为梁的危险截面 Mz 1kN m My 1kN m x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m Mz使A截面上部受拉 下部受压 My使A截面前部受拉 后部受压 3 应力分析 D1是最大拉应力点 D2是最大压应力点 两点正应力的绝对值相等 拉 压 拉 压 拉 压 拉 压 4 中性轴的位置 5 绘制总应力分布图 D1 7 02 D2 7 02 拉 压 研究对象 researchobject 圆截面杆 circularbars 受力特点 characterofexternalforce 杆件同时承受转矩和横向力作用 变形特点 characterofdeformation 发生扭转和弯曲两种基本变形 8 5扭转与弯曲的组合 Combinedbendingandtorsion 一 外力简化 设一直径为d的等直圆杆AB B端具有与AB成直角的刚臂 研究AB杆的内力 将力F向AB杆右端截面的形心B简化得 横向力F 引起平面弯曲 力偶矩M Fa 引起扭转 AB杆为弯曲与扭转组合变形 二 画内力图确定危险截面 固定端A截面为危险截面 Fl 三 确定危险点 危险截面上的危险点为C1和C2点 最大扭转切应力 发生在截面周边上的各点处 危险截面上的最大弯曲正应力 发生在C1 C2处 对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆 这两点的危险程度是相同的 可取任意点C1来研究 C1点处于平面应力状态 该点的单元体如图示 四 强度分析 Analysisofstrengthcondition 1 主应力计算 Calculatingprincipalstress 2 相当应力计算 Calculatingequalstress 第三强度理论 计算相当应力 第四强度理论 计算相当应力 3 强度校核 Checkthestrength 该公式适用于图示的平面应力状态 是危险点的正应力 是危险点的切应力 与截面形式 所受外力无关 讨论 该公式适用于弯扭组合变形 拉 压 与扭转的组合变形 以及拉 压 扭转与弯曲的组合变形 1 弯扭组合变形时 相应的相当应力表达式可改写为 2 对于圆形截面杆有 式中W为杆的抗弯截面系数 M T分别为危险截面的弯矩和扭矩 以上两式只适用于弯扭组合变形下