第八节极值与最值.ppt

回顾 一元函数y f x 的极值概念 总有 1 极值是一个局部概念 它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较 2 极值存在的必要条件 若f x 在极值点处可导 则导数一定为0 反之不成立 3 驻点为极值点的充分条件 设 存在 则有 1 如果 3 如果 则 为f x 的极小值 2 如果 则 为f x 的极大值 定理失效 定义 设z f x y 的定义域为D 总有 总有 是D的一个内点 若存在点的一个去心邻域 极大值和极小值统称为极值 一 多元函数的极值 例如 在点 0 0 有极小值 在点 0 0 有极大值 在点 0 0 无极值 使函数取得极值的点称为极值点 同一元函数一样 二元函数极值也是一个局部概念 极值点必是D的内点 结论 二元函数的极值点是其曲面在某个领域的最高 低 点 问题 什么点可能成为极值点 什么点必定是极值点 定理1 必要条件 设函数z f x y 在点 x0 y0 处具有偏导数 且在点 x0 y0 有极值 则有 证明 如果取y y0 则函数f x y0 是x的一元函数 同理有 极值点的几何意义 若曲面z f x y 在点处有切平面 则切平面 使函数的各偏导数同时为0的点 称为驻点 成为平行于xoy坐标面的平面 说明 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但驻点不一定是极值点 极值点也可能是偏导数不存在的点 极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生 例如 有驻点 0 0 例 解 得驻点 该函数无极值 时 具有极值 定理2 充分条件 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数 则f x y 在 x0 y0 处取得极值的条件如下 问题 如何判定一个驻点是否为极值点 求极值的步骤 第一步解方程组 得一切驻点 例1 求函数 解 第一步求驻点 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步求二阶偏导数及判别 在点 1 0 处 为极小值 解方程组 的极值 在点 3 0 处 不是极值 在点 3 2 处 为极大值 在点 1 2 处 不是极值 例2 讨论函数 及 是否取得极值 解 显然 0 0 都是它们的驻点 在 0 0 点邻域内的取值 因此z 0 0 不是极值 因此 为极小值 正 负 0 在点 0 0 并且在 0 0 都有 可能为 解 例3 令 代入上式 解得驻点为 得 二 最值应用问题 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别 当区域内部最值存在 且只有一个极值点P时 为极小值 为最小值 大 大 依据 求可微函数最大值和最小值的一般方法 1 求函数在D内的所有驻点 2 求函数在D的边界上的最大值和最小值 3 将函数在所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相比较 最大者就是函数在D上的最大值 最小者就是最小值 在实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数的最大或最小值存在且一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 则该驻点就是函数在D上的最大或最小值点 把它折起来做成 解 设折起来的边长为xcm 则断面面积 一个断面为等腰梯形的水槽 倾角为 积最大 为 问怎样折法才能使断面面 例4 有一宽为24cm的长方形铁板 令 解得 由题意知 最大值在定义域D内达到 而在域D内只有 一个驻点 故此点即为所求 解 得唯一驻点 2 在D的边界上 所以当 断面的面积最大 解 如图 解 设箱子的长 宽 高分别为x y z 容量为V 则V xyz 设箱子的表面积为S 则S 2 xy yz zx 例6 要造一个容量一定的长方形箱子 问选择怎样的尺寸 才能使用的材料最少 解得唯一驻点 根据实际问题可知S一定存在最小值 并一定在D内部取得 所以当 S取得最小值 此时用料最省 解 由 三 条件极值 极值问题 无条件极值 条件极值 条件极值的求法 方法1代入法 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 例如 例 求表面积为 解 设长方体的长 宽 高分别为x y z 体积为V 则问题可描述为 求体积 在约束条件 下的最大值 转化为无条件极值问题 而体积为最大的长方体体积 1 若z f x y 在取得极值 则有 2 若在的某一邻域内 f x y 与均有连续的一阶偏导数 而 方法2拉格朗日乘数法 由隐函数存在定理可知 确定一个单值可导且具有连续导数的函数 所以 z f x y 在取得所求的极值 即相当于函数取得极值 由一元函数取得极值的必要条件 有 而 用隐函数求导公式 有 代入上式得 3 令 由 1 2 3 式得 此即在取极值的必要条件 1 构造拉格朗日函数 Lagrange 其中 为参数 称之为拉格朗日乘子 2 联解方程组 求出问题的所有可能的极值点 求函数z f x y 在约束条件 x y 0下的极值 3 进一步确定所求点是否为极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断 拉格朗日乘数法 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形 设 解方程组 可得到条件极值的可能点 例如 求函数 下的极值 在条件 例8 要设计一个容量为 则问题为求x y 令 解方程组 解 设x y z分别表示长 宽 高 下水箱表面积 最小 z使在条件 水箱长 宽 高等于多少时所用材料最省 的长方体开口水箱 试问 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的 长 宽为高的2倍时 所用材料最省 因此 当高为 思考 1 当水箱封闭时 长 宽 高的尺寸如何 提示 利用对称性可知 2 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时 欲使造价 最省 应如何设拉格朗日函数 长 宽 高尺寸如何 提示 长 宽 高尺寸相等 例9 在椭球面 上 求距离平面 的最近点和最远点 解 设 x y z 为椭球面上任意一点 则该点到平面的距离为 问题1 在约束条件 下 求距离d的最大最小值 由于d中含有绝对值 为便于计算 考虑将问题1转化为下面的等价问题 1 作拉格朗日函数 2 联解方程组 求得两个驻点 对应的距离为 问题2 在条件 下 求函数 的最大最小值 3 判断 由于驻点只有两个 且由题意知最近距离和最远距离均存在 所以 最近距离为 最远距离为 例10 求 在条件 解 下的极值 其中 x 0 y 0 z 0 a 0 1 作拉格朗日函数 2 联解方程组 由对称性知 x y z 代入最后一个方程解得 这是唯一可能的极值点 3 判断 设条件 所确定的隐函数为 代入目标函数中得 它有唯一驻点 3a 3a 经计算可得 所以 3a 3a 是函数u xy x y 的极小值点 从而原条件极值问题有极小值点 3a 3a 3a 对应的极小值为 解 可得 即 例12求坐标原点到曲线C 的最短距离 解 设曲线C上点 x y z 到坐标原点的距离为d 解得 和 综合上面讨论可知只有两个驻点 它们到坐标原点的距离都是1 由实际问题一定有最短距离 可知最短距离为1 另外 由于C为双曲线 所以坐标原点到C的最大距离不存在 内容小结 1 函数的极值问题 第一步利用必要条件在定义域内找驻点 即解方程组 第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点 2 函数的条件极值问题 1 简单问题用代入法 如对二元函数 2 一般问题用拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值 解方程组 第二步判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步找目标函数 确定定义域 及约束条件 3 函数的最值问题 在条件 求驻点 提问 解答 已知平面上两定点A 1 3 B 4 2 试在椭圆 圆周上求一点C 使 ABC面积S 最大 解答提示 设C点坐标为 x y 思考与练习 则 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知 点C与E重合时 三角形 面积最大 点击图中任意点动画开始或暂停 备用题1 求半径为R的圆的内接三角形中