2011年四边形全国各地中考数学压轴题专集

20112011 年四边形全国各地中考数学压轴题专集年四边形全国各地中考数学压轴题专集 1 图形既关于点O中心对称 又关于直线AC BD对称 AC 10 BD 6 已知点E M是线段AB上的动 点 不与端点重合 点O到EF MN的距离分别为h1 h2 OEF 与 OGH组成的图形称为蝶形 1 求蝶形面积S的最大值 2 当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时 求h1与h2满 足的关系式 并求h1的取值范围 2 如图 1 已知正方形OABC的边长为 2 顶点A C分别在x y轴的正半轴上 M是BC的中点 P 0 m 是线段OC上一动点 C点除外 直线PM交AB的延长线于点D 1 求点D的坐标 用含m的代数式表示 2 当 APD是等腰三角形时 求m的值 3 设过P M B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E 过点O作直线ME的垂线 垂足为H 如图 2 当点P从点O向点C运动时 点H也随之运动 请直接写出点H所经过的路径长 不必写解答过程 3 以平行四边形ABCD的边AB BC CD DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形 直角顶点分别为 E F G H 顺次连结这四个点 得四边形EFGH 设 ADC 0 90 1 求 HAE的大小 用含 的代数式表示 2 求证 HE HG 3 判断四边形EFGH是什么四边形 并说明理由 CA D B G P E M N F Q H O 图 1 A B M O C D P x y 图 2 A B M O C D P x y E H E B F G D H A C 4 在 ABCD中 BAD的平分线交直线BC于点E 交直线DC于点F 1 在图 1 中证明CE CF 2 若 ABC 90 G是EF的中点 如图 2 直接写出 BDG的度数 3 若 ABC 120 FG CE FG CE 分别连结DB DG 如图 3 求 BDG的度数 5 如图 有一张长为 5 宽为 3 的矩形纸片ABCD 要通过适当的剪拼 得到一个与之面积相等的正方形 1 该正方形的边长为 2 现要求只能用两条裁剪线 请你设计一种裁剪的方法 在图中画出裁剪线 并简要说明剪拼的过 程 6 如图 矩形ABCD中 AB 6 BC 8 对角线AC与BD相交于点O 点E在射线BM上 1 连接OE 与边CD交于点F 若CE OC 求CF的长 2 连接DE AE AE与对角线BD相交于点P 若 ADE为等腰三角形 求DP的长 7 如图 梯形ABCD中 AD BC DCB 45 CD 2 BD CD 过点C作CE AB于E 交对角线BD 于F 点G为BC中点 连结EG AF 图 3 AD B C E F G 图 2 A B C F D E G 图 1 A B C F D E AB CD B C D A O EM F B C D A O M 备用图 A BC D G E F 1 求EG的长 2 求证 CF AB AF 8 如图 正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1 l2 l3 l4上 这四条直线中相邻两条之间的距 离依次为h1 h2 h3 h1 0 h2 0 h3 0 1 求证 h1 h3 2 设正方形ABCD的面积为S 求证 S h1 h2 2 h12 3 若 h1 h2 1 当h1变化时 说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况 3 2 9 如图 已知四边形ABDE ACFG都是 ABC外侧的正方形 连接DF 若M N分别为DF BC的中点 求证 MN BC且MN BC 1 2 10 矩形纸片ABCD中 AD 12cm 现将这张纸片按下列图示方式折叠 AE是折痕 1 如图 1 P Q分别为AD BC的中点 点D的对应点F在PQ上 求PF和AE的长 2 如图 2 DP AD CQ BC 点D的对应点F在PQ上 求AE的长 1 3 1 3 3 如图 3 DP AD CQ BC 点D的对应点F在PQ上 1 n 1 n 直接写出AE的长 用含n的代数式表示 当n越来越大时 AE的长越来越接近于 C A D B h1 h2 h3 l1 l2 l3 l4 C A F B D E G M N 11 如图 等腰梯形ABCD中 AD 4 BC 9 B 45 动点P从点B出发沿BC向点C运动 动点Q 同时以相同速度从点C出发沿CD向终D运动 其中一个动点到达端点时 另一个动点也随之停止运动 1 求AB的长 2 设BP x 问当x为何值时 PCQ的面积最大 并求出最大值 3 探究 探究 在AB边上是否存在点M 使得四边形PCQM为菱形 请说明理由 12 如图 将矩形ABCD折叠 使点B落在边AD 含端点 上 落点记为E 此时折痕与边BC或边 CD 含端点 交于点F 然后展开铺平 则以B E F为顶点的 BEF称为矩形ABCD的 折痕三角形 1 由 折痕三角形 的定义可知 矩形ABCD的任意一个 折痕 BEF 是一个 三角形 2 如图 在矩形ABCD中 AB 2 BC 4 当它的 折痕 BEF 的顶点E位于AD的中点时 画出 这个 折痕 BEF 并求出点F的坐标 3 如图 在矩形ABCD中 AB 2 BC 4 该矩形是否存在面积最大的 折痕 BEF 若存在 说 明理由 并求出此时点E的坐标 若不存在 为什么 13 如图 在梯形ABCD中 AB CD A 90 AB 3 CD 6 BE BC交直线AD于点E 1 当点E与D恰好重合时 求AD的长 2 当点E在边AD上时 E不与A D重合 设AD x ED y 求y关于x的函数关系式 并写出自 变量x取值范围 3 是否可能使 ABE CDE与 BCE都相似 若能 请求出此时AD的长 若不能 请说明理由 图 1 C A F B D E PQ 图 2 C A F B D E PQ 图 3 C A F B D E PQ C A B D P Q C A E D FO B x y 图 C A E D O B x y 图 C AD O B x y 图 D AB C E 14 如图 矩形ABCD中 AB 3 BC 4 M为CD中点 点E在线段MC上运动 FG垂直平分AE 垂足为 O 分别交AD BC于F G 1 求 的值 AE FG 2 设CE x 四边形AGEF的面积为y 求y关于x 的函数关系式 当y取最大值时 判断四边形AGEF的 形状 并说明理由 15 如图 1 矩形ABCD中 AB 10cm BC 6cm 在BC边上取一点E 将 ABE沿AE翻折 使点B落在 DC边上的点F处 1 求CF和EF的长 2 如图 2 一动点P从点A出发 以每秒 1cm 的速度沿AF向终点F作匀速运动 过点P作PM EF交 AE于点M 过点M作MN AF交EF于点N 设点P运动的时间为t 0 t 10 四边形PMNF的面积为 S 试探究S的最大值 3 以A为坐标原点 AB所在直线为x轴 建立平面直角坐标系 如图 3 在 2 的条件下 连接 FM 若 AMF为等腰三角形 求点M的坐标 16 如图 四边形OABC是矩形 点A C的坐标分别为 6 0 0 2 M是线段BC上的动点 与端点 B C不重合 过点M的直线y x m交折线OAB于点N 2 3 1 记 MOE的面积为S 求S与m的函数关系式 并写出m的取值范围 2 当点N在线段OA上时 若矩形OABC关于直线MN的对称图形为四边形O1A1B1C1 当m为何值时 B N B1三点在同一直线上 DA BC E M F G O 图 3 D N B C E M F A P x y 图 2 D N B C E M F A P 图 1 D B C E F A 试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化 若不变 求出该重叠部分的面积 若改变 请说明理由 17 如图 边长为 1 的正方形ABCD中 以A为圆心 1 为半径作 将一块直角三角板的直角顶点P放 BD 置在 不包括端点B D 上滑动 一条直角边通过顶点A 另一条直角边与边BC相交于点Q 连接 BD PC 设PQ x 1 CPQ能否为等边三角形 若能 求出x的值 若不能 说明理由 2 求 CPQ周长的最小值 3 当 CPQ分别为锐角三角形 直角三角形和钝角三角形时 求x的取值范围 18 如图 菱形ABCD中 AB 10 sinA 点E在AB上 AE 4 过点E作EF AD 交CD于F 点 4 5 P从点A出发 以每秒 1 个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动 同时点Q从点E出发 以相同的 速度沿线段EF向终点F匀速运动 设运动时间为t 秒 1 当t 5 秒时 求PQ的长 2 当BQ平分 ABC时 直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分 求这两部分的比 3 以P为圆心 PQ长为半径的 P是否能与直线AD相切 如果能 求此时t的值 如果不能 说明 理由 A M y BC ONx A y BC Ox 备用图 A y BC Ox 备用图 A P B CD Q AB CD 备用图 AB CD 备用图 AD CB E F Q P AD CB E 备用图 F 19 如图 在平面直角坐标系中 四边形ABCD为菱形 AB 10 AB边在x轴上 点D在y轴上 点A的 坐标是 6 0 1 求点C的坐标 2 连接BD 点P是线段CD上一动点 点P不与C D两点重合 过点P作PE BC交BD于点E 过 点B作BQ PE交PE的延长线于点Q 设PC的长为x PQ的长为y 求y与x之间的函数关系式 直接 写出自变量x的取值范围 3 在 2 的条件下 连接AQ AE 当x为何值时 S BQE S AQE S DEP 并判断此时以点P为 4 5 圆心 以 5 为半径的 P与直线BC的位置关系 请说明理由 20 在正方形ABCD的边AB上任取一点E 作EF AB交BD于点F 如图 1 1 将图 1 中的 BEF绕点B逆时针旋转 90 取DF的中点G 连接EG CG 如图 2 则线段EG和CG 有怎样的数量关系和位置关系 请直接写出你的猜想 2 将图 1 中的 BEF绕点B逆时针旋转 180 取DF的中点G 连接EG CG 如图 3 则线段EG和 CG有怎样的数量关系和位置关系 请写出你的猜想 并加以证明 3 将图 1 中的 BEF绕点B逆时针旋转任意角度 取DF的中点G 连接EG CG 如图 3 则线段EG 和CG又有怎样的数量关系和位置关系 请写出你的猜想 并加以证明 C AB y D O 备用图 x C AB y D Ox C A B D E G F 图 2 C A B D E G F 图 4 C A B D E G F 图 3 C A B D E F 图 1 21 如图 将矩形OABC放置在平面直角坐标系中 点D在边OC上 点E在边OA上 把矩形沿直线DE 翻折 使点O落在边AB上的点F处 且 tan BFD 若线段OA的长是一元二次方程x 2 7x 8 0 4 3 的一个根 又 2AB 3OA 请解答下列问题 1 求点B F的坐标 2 求直线ED的解析式 3 在直线ED FD上是否存在点M N 使以点C D M N为顶点的四边形是等腰梯形 若存在 求 点M的坐标 若不存在 请说明理由 22 如图 在平面直角坐标系中 四边形OABC是梯形 BC OA 点A的坐标为 10 0 点C的坐标为 0 8 OA OB 1 求点B的坐标 2 点P从点A出发 沿线段AO以 1 个单位 秒的速度向终点O匀速运动 过点P作PH OA 交折线 A B O于点H 设点P的运动时间为t秒 0 t 10 是否存在某个时刻t 使 OPH的面积等于 OAB面积的 若存在 求出t的值 若不存在 请 3 20 说明理由 以P为圆心 PA长为半径作 P 当 P与线段OB只有一个公共点时 求t的值或t的取值范围 B A y C Ox B A y C Ox 备用图 B A y C Ox 备用图 B F D y A Ox C E 23 如图 在 Rt OAB中 A 90 ABO 30 OB 边AB的垂直平分线CD分别与AB x 轴 y轴交于点C E D 1 求点E的坐标 2 求直线CD的解析式 3 在直线CD上和坐标平面内是否分别存在点Q P 使得 以O D P Q为顶点的四边形是菱形 若存在 求出点Q的 坐标 若不存在 请说明理由 24 在四边形ABCD中 对角线AC BD相交于点O 设锐角 DOC 将 DOC绕点O按逆时针方向旋 转得到 D OC 0 旋转角 90 连接 AC BD AC 与 BD 相交于点M 1 当四边形ABCD是矩形时 如图 1 请猜想 AC 与 BD 的数量关系以及 AMB与 的大小关系 并证明你的猜想 2 当四边形ABCD是平行四边形时 如图 2 已知AC kBD 请猜想此时 AC 与 BD 的数量关系以及 AMB与 的大小关系 并证明你的猜想 3 当四边形ABCD是等腰梯形时 如图 3 AD BC 此时 1 AC 与 BD 的数量关系是否成立 AMB与 的大小关系是否成立 不必证明 直接写出结论 EB C A O D y x M BC A O D C D 图 1 M BC A O D C D 图 2 M BC A O D C D 图 3 25 如图 l 己知正方形ABCD 点E F分别在边AB AD上 且AE AF 1 如图 2 将 AEF绕点A顺时针旋转 当 0 90 时 连接BE DF 判断线段BE DF的 数量关系和位置关系 并加以证明 2 如图 3 将 AEF绕点A顺时针旋转 当 90 时 连接BE DF 当AE与AD满足什么数量 关系时 直线DF垂直平分BE 请说明理由 3 如图 4 将 AEF绕点A顺时针旋转 当 90 180 时 连接BD DE EF FB得到四边 形BDEF 则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形 请说明理由 26 如图 ABCD是一张矩形纸片 AD BC 1 AB CD 5 在矩形ABCD的边AB上取一点M 在CD上取 一点N 将纸片沿MN折叠 使MB与DN交于点K 得到 MNK 1 若 1 70 求 MKN的度数 2 MNK的面积能否小于 若能 求出此时 1 的度数 若不能 试说明理由 1 2 3 如何折叠能够使 MNK的面积最大 请你用备用图探究可能出现的情况 求最大值 B D A C E F 图 1 B D A C E F 图 2 B D A C E F 图 3 B D A C E F 图 4 B D A CBD A M N C K 1 B D A C B D A C 27 如图 等腰梯形MNPQ的上底长为 2 腰长为 3 一个底角为 60 正方形ABCD的边长为 1 它的一 边AD在MN上 且顶点A与M重合 现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN NP PQ进行翻滚 翻滚到 有一个顶点与Q重合即停止滚动 1 请在所给的图中 用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图 2 求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN NP PQ所围成图形的面积 S 28 已知四边形ABCD是边长为4 的正方形 以AB为直径在正方形内作半圆 P是半圆上的动点 不与点 A B重合 连接PA PB PC PD 1 如图 当PA的长度等于 时 PAB 60 当PA的长度等于 时 PAD是等腰三角形 2 如图 以AB边所在直线为x轴 AD边所在直线为y轴 建立如图所示的直角坐标系 点A即为 原点O 记 PAD PAB PBC的面积分别为S1 S2 S3 设P点坐标为 a b 试求 2S1S3 S22的 最大值 并求出此时a b的值 B D A N M Q C P A P B CD 图 A P B CD 图 O x y S1S3 S2 29 如图 把边长为 1 的正方形纸片OABC放在直线l上 OA边与直线l重合 将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转 90 此时点O运动到了点O1处 即点B处 点C运动到了点C1处 点B运动到了 点B1处 再将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转 90 按上述方法经过若干次旋 转 请解答下列问题 1 求正方形纸片OABC经过 3 次旋转 顶点O经过的路程以及顶点O在此过程中所形成的图形与直线 l围成图形的面积 2 求正方形纸片OABC经过 5 次旋转 顶点O经过的路程 3 正方形纸片OABC经过多少次旋转 顶点O经过的路程是 30 如图 将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠 对折 展平 得折痕EF 如图 沿GC折叠 使点 B落在EF上的点 B 处 如图 展平 得折痕GC 如图 沿GH折叠 使点C落在DH上的点 C 处 如图 沿 GC 折叠 如图 展平 得折痕 GC GH 如图 1 求图 中 BCB 的大小 2 图 中的 GCC 是正三角形吗 请说明理由 A BC O O1 B1 l C1 AED CBF 图 AED CBF 图 B G AD CB 图 G AD CB 图 C GH AD CB 图 C GH A AED CBF 图 G C H 31 如图 在边长为 2 的正方形ABCD中 P为AB的中点 Q为边CD上一动点 设DQ t 0 t 2 线 段PQ的垂直平分线分别交边AD BC于点M N 过Q作QE AB于点E 过M作MF BC于点F 1 当t 1 时 求证 PEQ NFM 2 顺次连接P M Q N 设四边形PMQN的面积为S 求出S与自变量t之间的函数关系式 并求S 的最小值 32 已知 矩形ABCD中 AB 4cm BC 8cm AC的垂直平分线EF分别交AD BC于点E F 垂足为O 1 如图 1 连接AF CE 求证四边形AFCE为菱形 并求AF的长 2 如图 2 动点P Q分别从A C两点同时出发 沿 AFB和 CDE各边匀速运动一周 即点P自 A F B A停止 点Q自C D E C停止 在运动过程中 已知点P的速度为每秒 5cm 点Q的速度为每秒 4cm 运动时间为 t 秒 当A C P Q四点为顶点的 四边形是平行四边形时 求t的值 若点P Q的运动路程分别为a b 单位 cm ab 0 已知A C P Q四点为顶点的四边形是平行 四边形 求a与b满足的数量关系式 33 如图 在直角梯形ABCD中 AD BC A 90 AB 6 BC 8 AD 14 点E F G分别在 BC AB AD上 且BE 3 BF 2 以EF FG为邻边作 EFGH 连接CH DH 1 直接写出点H到AD的距离 2 若点H落在梯形ABCD内或其边上 求 HGD面积的最大值与最小值 A DC EP B FM N Q AD C E P BF 图 2 Q AD C E O BF 图 1 AD C E P BF 备用图 Q 3 当 EHC为等腰三角形时 求AG的长 34 已知菱形ABCD中 点E F分别在边BC CD上 点E F分别不与点C D重合 且 AE AF EAF 54 1 如图 1 当AC平分 EAF时 若AB AE 求 AEB的度数 2 如图 2 当AC不平分 EAF时 若 ABE是一个等腰三角形 求 AEB的度数 35 如图 ABC是等腰直角三角形 BAC 90 BC 2 D是线段BC上一点 以AD为边 在AD的右 侧作正方形ADEF 直线AE与直线BC交于点G 连接CF 1 猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系 并说明理由 2 连接FG 当 CFG是等腰三角形时 求BD的长 AD C G B F E H A D C B FE 图 1 A D C B F E 图 2 D CB F E A G CB A 备用图 36 在矩形ABCD中 点E是AD边上一点 ABE 30 BE DE 连接BD 动点M从点E出发沿射线 ED运动 过点M作MN BD交直线BE于点N 1 如图 1 当点M在线段ED上时 求证 BE PD MN 2 若BC 6 设MN长为x 以M N D为顶点的三角形面积为y 求y关于x的函数关系式 3 在 2 的条件下 当点M运动到线段ED的中点时 连接NC 过点M作MF NC于F MF交对角线 BD于点G 如图 2 求线段MG的长 37 在矩形ABCD中 点P在AD上 AB 2 AP 1 将直角尺的顶点放在P处 直角尺的两边分别交 AB BC于点E F 连接EF 如图 1 1 当点E与点B重合时 点F恰好与点C重合 如图 2 求PC的长 2 探究 将直尺从图 2 中的位置开始 绕点P 顺时针旋转 当点E和点 A重合时停止 在这个过 程中 请你观察 猜想 并解答 tan PEF的值是否发生变化 请说明理由 直接写出从开始到停止 线段EF的中点经过的路线长 38 已知菱形ABCD的边长为 1 ADC 60 等边 AEF两边分别交边DC CB于点E F 1 特殊发现 特殊发现 如图 1 若点E F分别是边DC CB的中点 求证 菱形ABCD对角线AC BD的交点O 即为等边 AEF的外心 2 若点E F始终分别在边DC CB上移动 记等边 AEF的外心为点P A EM B D N C 图 1 A E B D C 备用图 A EM B D N C 图 2 G F A E B D F C P 图 1 A B D C P 图 2 F E 猜想验证 猜想验证 如图 2 猜想 AEF的外心P落在哪一直线上 并加以证明 拓展运用 拓展运用 如图 3 当 AEF面积最小时 过点P任作一直线分别交边DA于点M 交边DC的延长线于 点N 试判断 是否为定值 若是 请求出该定值 若不是 请说明理由 1 DM 1 DN 39 如图 在直角梯形ABCD中 D BCD 90 B 60 AB 6 AD 9 点E是CD上的一个动 点 E不与D重合 过点E作EF AC 交AD于点F 当E运动到C时 EF与AC重合 把 DEF沿着 EF对折 点D的对应点是点G 设DE x GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y 1 求CD的长及 1 的度数 2 若点G恰好在BC上 求此时x的值 3 求y与x之间的函数关系式 并求x为何值时 y的值最大 最大值是多少 40 如图 梯形ABCD中 AD BC A 90 AD 10 AB 3 BC 14 点E F分别在BC DC上 将 梯形ABCD沿直线EF折叠 使点C落在AD上一点 C 再沿C G折叠四边形C ABE 使 AC 与C E 重合 且C A过点E 1 试证明C G EF 2 若点 A 与点E重合 求此时图形重叠部分的面积 图 1 A E B D FC O 图 2 A E B D FC P 图 3 A E B D F C P N M A BC E DF G 1 A BC D 备用图 G A BC D E F A B C 41 如图 在直角梯形ABCD中 AD BC AB BC AD AB 1 BC 2 将点A折叠到CD边上 记折叠 后A点对应的点为P P与D点不重合 折痕EF只与边AD BC相交 交点分别为E F 过点P作 PN BC交AB于N 交EF于M 连结PA PE AM EF与PA相交于O 1 指出四边形PEAM的形状 不需证明 2 记 EPM AOM AMN的面积分别为S1 S2 求证 PA 2 1 8 设AN x y 试求出以x为自变量的函数y的解析式 并确定y的取值范围 42 如图 1 边长为 2 的正方形ABCD中 E是BA延长线上一点 且AE AB 点P从点D出发 以每秒 1 个单位长度的速度沿D C B向终点B运动 直线EP交AD于F 过点F作直线FG DE于G 交AB于 Q 设点P运动时间为t 秒 1 求证 AF AQ 2 当t为何值时 四边形PQBC是矩形 3 如图 2 连接PB 当t为何值时 PQB是等腰三角形 O A BC D P E F M N AB C E D F G Q P 图 1 AB C E D F G Q P 图 2 43 如图 1 已知梯形ABCD中 AD BC A 90 AB AD 4 BC 6 点E为AB边上一点 EF DC 交BC边于点F FG ED 交DC边于点G 1 若四边形DEFG为矩形 求AE的长 2 如图 2 将 1 中的 DEF绕E点逆时针旋转 得到 D EF EF 交BC边于 F 点 且 F 点与C点不重合 射线 ED 交AD边于点M 作F N ED 交DC边于点N 设AM的长为x NF C中 F C边上的高为y 求y关于x的函数关系式 并确定自变量x的取值范围 44 如图 四边形OABC的四个顶点坐标分别为O 0 0 A 8 0 B 4 4 C 0 4 直线 l y kx b保持与四边形OABC的边交于点M N M在折线AOC上 N在折线ABC上 设四边形OABC在 l右下方部分的面积为S1 在l左上方部分的面积为S2 记S S1 S2 1 求 OAB的大小 2 当M N重合时 求l的解析式 3 当b 0 时 问线段AB上是否存在点N使得S 0 若存在 求b的值 若不存在 请说明理由 4 求S与b的函数关系式 A BC E D F G 图 1 A BC E D F N 图 2 M D A BC O N xM D y 2 2 4 5 l 45 如图 在平行四边形ABCD中 已知AB 4 AD 5 BD 3 以B点为坐标原点 AB所在直线为x轴 建立平面直角坐标系 将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转 使C点落在y轴正半轴上 C D A 三点旋转后的位置分别是E F和G三点 1 求证 点D在y轴上 2 若直线y kx b经过E F两点 求直线EF的解析式 3 将平行四边形EFGB沿y轴正半轴向上平移 得平行四边形E F G B 设 BB m 0 m 3 平行四边形E F G B 与平行四边形ABCD重叠部分的面积为S 求S关于m的函数关系式 46 已知矩形ABCD中 AB 7 AD 6 菱形EFGH的三个顶点E G H分别在矩形ABCD的边AB CD DA 上 且AH 2 连接CF 1 当四边形EFGH为正方形时 求DG的长 2 当 FCG的面积为 1 时 求DG的长 3 当 FCG的面积最小时 求DG的长 47 如图 在平面直角坐标系中 已知点A 0 2 点P是x轴上一动点 以线段AP为一边 在其一侧 A CD Bx E F G y A C D B F E G H 作等边三角线APQ 当点P运动到原点O处时 记Q的位置为B 1 求点B的坐标 2 求证 当点P在x轴上运动 P不与O重合 时 ABQ为定值 3 是否存在点P 使得以A O Q B为顶点的四边形是梯形 若存在 请求出P点的坐标 若不存在 请说明理由 48 如图 在矩形ABCD中 AD 4 AB m m 4 点P是AB边上的任意一 不与点A B重合 连结 PD 过点P作PQ PD 交直线BC于点Q 1 当m 10 时 是否存在点P使得点Q与点C重合 若存在 求出此时AP的长 若不存在 说明理 由 2 连结AC 若PQ AC 求线段BQ的长 用含m的代数式表示 3 若 PQD为等腰三角形 求以P Q C D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式 并写出 m的取值范围 49 已知正方形ABCD 点P是对角线AC所在直线上的动点 点E在DC边所在直线上 且始终保持 PE PD 1 如图 1 当点P在对角线AC上时 请你通过测量 观察 猜想PE与PB有怎样的关系 直接写出 A Q y B xPO AB Q P DC 结论不必证明 2 如图 2 当点P运动到CA的延长线上时 1 中猜想的结论是否成立 如果成立 请给出证明 如 果不成立 请说明理由 3 如图 3 当点P运动到CA的反向延长线上时 请你利用图 3 画出满足条件的图形 并判断此时PE 与PB有怎样的关系 直接写出结论不必证明 50 已知菱形ABCD的边长为 5 DAB 60 将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG 设 EAB 且 0 90 连接DG BE CE CF 1 如图 1 求证 AGD AEB 2 当 60 时 在图 2 中画出图形并求出线段CF的长 3 若 CEF 90 在图 3 中画出图形并求出 CEF的面积 AB P DC E 图 1 A B P D C E 图 2 AB P D C 图 3 A B F D C E 图 1 A B D C 图 2 A B D C 图 3 51 如图 菱形ABCD由两个等边三角形组成 点P是 ABD内任一点 将 BPD绕点B旋转到 BQC的位 置 则 1 当四边形BPDQ是平行四边形时 求 BPD 2 当 PQD是等腰直角三角形时 求 BPD 3 若 APB 100 且 PQD是等腰三角形时 求 BPD 52 探究问题 1 方法感悟 如图 在正方形ABCD中 点E F分别为DC BC边上的点 且满足 EAF 45 连接EF 求证 DE BF EF 感悟解题方法 并完成下列填空 将 ADE绕点A顺时针旋转 90 得到 ABG 此时AB与AD重合 由旋转可得 AB AD BG DE 1 2 ABG D 90 ABG ABF 90 90 180 因此 点G B F在同一条直线上 EAF 45 2 3 BAD EAF 90 45 45 1 2 1 3 45 即 GAF 又AG AE AF AF GAF EF 故DE BF EF 2 方法迁移 如图 将 Rt ABC沿斜边AC翻折得到 ADC 点E F分别为DC BC边上的点 且 EAF DAB 试 1 2 猜想DE BF EF之间有何数量关系 并证明你的猜想 3 问题拓展 如图 在四边形ABCD中 AB AD E F分别为DC BC上的点 满足 EAF DAB 试猜想当 B与 1 2 D满足什么关系时 可使得DE BF EF 请直接写出你的猜想 不必说明理由 A B D C P Q C FB G AD E 1 2 3 图 C F B A D E 图 C FB AD E 图 53 如图 已知在直角梯形ABCD中 AD BC AB BC AD 11 BC 13 AB 12 动点P Q分别在边 AD和BC上 且BQ 2DP 线段PQ与BD相交于点E 过点E作EF BC 交CD于点F 射线PF交BC的延 长线于点G 设DP x 1 求 的值 DF CF 2 当点P运动时 试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化 如果发生变化 请用x的代数式表示 四边形EFGQ的面积S 如果不发生变化 请求出这个四边形的面积S 3 当 PQG是等腰三角形时 求x的值 54 已知P为正方形ABCD的边BC上任意一点 BE AP于点E 在AP的延长线上取点F 使EF AE 连 接BF CF 1 如图 1 求证 BF BC 2 如图 2 CBF的平分线交AF于点G 连接DG 求证 BG DG AG 2 3 若正方形ABCD的边长为 2 当P点为BC的中点时 求CF的长 A B QC G FE P D C F BA D E P 图 2 G C F BA D E P 图 1 55 1 如图 在正方形ABCD中 AEF的顶点E F分别在BC CD边上 高AG与正方形的边长相等 求 EAF的度数 2 如图 在 Rt ABD中 EAF 90 AB AD 点M N是BD边上的任意两点 且 MAN 45 将 ABM绕点A逆时针旋转 90 至 ADH位置 连接NH 试判断MN ND DH之间的数量关系 并说明理 由 3 在图 中 连接BD分别交AE AF于点M N 若EG 4 GF 6 BM 3 求AG MN的长 2 56 如图 点P是正方形ABCD边AB上一点 不与点A B重合 连接PD并将线段PD绕点P顺时针方 向旋转 90 得到线段PE PE交边BC于点F 连接BE DF 1 求证 ADP EPB 2 求 CBE的度数 3 当 的值等于多少时 PFD BFP 并说明理由 AP AB 57 如图 梯形ABCD中 AB CD ABC 90 AB 8 CD 6 P是AB边上一动点 连接DP 作 PQ DP 交射线BC于点E 设AP x BE y 1 当BC 4 时 试写出y关于x的函数关系式 C F B A D E G 图 H B A DMN 图 C F BA D E P 若 APD是等腰三角形 求BE的长 点E能否与C点重合 若能 求出相应的AP的长 若不能 请说明理由 2 当BC在什么范围内时 存在点P 使得PQ经过C 直接写出结果 58 如图 直线l1与x轴 y轴分别交于点A 8 0 点B 经过原点的直线l2与AB交于点C 3 15 4 与过点A且平行于y轴的直线交于点D E是直线AB上的动点 过点E作y轴的平行线 与直线CD交于 点F 以EF为边向右侧作正方形EFGH 设E点的横坐标为t 1 点求直线l1的解析式 2 当点E在线段AC上时 求正方形EFGH与 ACD重叠部分的面积的最大值 3 设点M坐标为 4 在点E的运动过程中 点M能否在正方形EFGH内部 若能 求t的取值范 9 2 围 若不能 请说明理由 59 如图 在梯形ABCD中 已知AD BC B 90 AB 7 AD 9 BC 12 在线段BC上任取一点 E 连结DE 作EF DE 交直线AB于点F 1 若点F与B重合 求CE的长 2 若点F在线段AB上 且AF CE 求CE的长 3 设CE x BF y 写出y关于x的函数关系式 直接写出结果即可 CD BA E P Q CD BA 备用图 CD BA 备用图 C D B OAx y E FG H l1 l2 60 如图 等腰梯形ABCD中 AD BC AD AB CD 2 C 60 M是BC的中点 1 求证 MDC是等边三角形 2 将 MDC绕点M旋转 当MD 即 MD 与AB交于一点E MC 即 MC 同时与AD交于点F时 点 E F和点A构成 AEF 试探究 AEF的周长是否存在最小值 如果不存在 请说明理由 如果存在 请 计算出 AEF周长的最小值 61 如图 正方形ABCD的边长是 4 M是AD的中点 动点E在边AB上运动 连接EM并延长交射线CD 于点F 过M作EF的垂线交射线BC于点G 连接EG FG 1 求证 EFG是等腰三角形 2 设AE x EFG的面积为y 求y关于x的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 3 在点E运动过程中 EFG是否可以成为等边三角形 请说明理由 62 如图 已知矩形ABCD中 AB 8 BC 6 点E是AD延长线上一点 且DE 9 BE交AC于点P C D B A E F C D B A 备用图 E A B C D M F C D B G A C D E F M 1 求AP的长 2 试判断以点A为圆心 AP为半径的 A与线段BE的位置关系 并说明理由 3 若以点A为圆心 r1为半径的动 A 使点D在动 A的内部 点B在动 A的外部 求动 A的半径r1的取值范围 当以点C为圆心 r2为半径的动 C与动 A相切时 求r2的取值范围 63 如图 在 ABCD中 点E F分别是AB CD的中点 CE AF与对角线BD分别相交于点G H 1 求证 DH HG BG 2 如果AD BD 求证 四边形EGFH是菱形 64 如图 点F是正方形ABCD的边CD上的动点 可与C D重合 AE平分 BAF交BC边于点E 点F在线段CD上运动 AE平分 BAF交BC边于点E 1 求证 AF BE DF 2 若正方形ABCD的边长为 1 ABE与 ADF的面积之和为S 问 S是否存在最大值 若存在 求出 这个最大值及此时DF的长 若不存在 请说明理由 65 如图 正方形ABCD中 E F分别是BC CD边上的动点 满足 EAF 45 1 求证 BE DF EF 2 若正方形ABCD的边长为 1 求 CEF内切圆半径的最大值 A E P D CB A C B DF E G H A CB D E F AD BE F C C A BE M D M G M O M B1 M A1 M C1 M D1 M F M 66 如图 直线y 3 x 6 交x轴 y轴于B A两点 点C在 x 轴上 点D的坐标为 6 6 四边形 ABCD是等腰梯形 1 求点C的坐标 2 点P是坐标平面内一点 且 PAB PBC PCD PAD都是等腰三角形 求点P的坐标 67 如图 已知正方形ABCD的边长为 12 对角线AC BD相交于点O 正方形A1B1C1D1的顶点A1与点O 重合 A1B1交BC于点E A1D1交CD于点F A1C1交BC于点G 连 接EF GF 1 求证 A1EG A1FG 2 若FG 5 求FC的长 若A1E 2 求FC的长 10 3 设FC x A1EF的面积为S 求S关于x的函数关系式 S是否存在最小值 若存在 求出此时x 的值 若不存在 请说明理由 68 已知 如图 在矩形ABCD中 AD 2AB E为AD的中点 EF EC交AB于F 连接FC 1 求证 AEF ECF 2 设 k 是否存在这样的k值 使得 AEF BCF 若存在 请证明并求出k的值 若不存在 AB BC 请说明理由 y xOC A B D y 3x 6 C B D M E M A M F M 69 如图 正方形ABCD的边长为 2 以对角线BD为边作菱形BEFD 点C E F在同一直线上 1 求 EBC的度数 2 求CE的长 70 已知直线l过点A 3 7 交x轴的正半轴于点N 交y轴的正半轴于点M 1 如图 1 求 MON面积的最小值 2 如图 2 正方形ABCD内接于 MON 边AD在直线l上 顶点B C分别在线段OM ON上 求此时直 线l的解析式 71 如图 将边长为a的正方形纸片ABCD沿EF折叠 点E F分别在边AB DC上 使点B落在AD边 上的点G处 点C落在点H处 GH与DC交于点M 连接BG与EF交于点N 1 求证 BG EF DGM的周长为定值 2 当四边形AEFD的面积最大时 求AG的长 A C D E F B ONx y M 图 1 A l ONx y C D M 图 2 A B l ABE F C CD M C G C H C N K 72 如图 矩形ABCD中 AB 8 BC 6 点E在边CD上 与点C D不重合 AF AE交边CB的延长线 于点F 连结EF 交边AB于点G 1 设DE x BF y 求y关于x的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 2 若AD BF 求证 AEF DEA 3 当点E在边CD上移动时 AEG能否成为等腰三角形 若能 求出DE的长 若不能 请说明理 由 73 如图 在平面直角坐标系中 正方形ABCD的顶点A D在第二象限 顶点B C在x轴的负半轴 上 将正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转 C D A的对 应点分别为C1 D1 A1 且A1 D1 O三点在一条直线上 记 点A1的坐标为 a b 1 若 ABA1 30 b 3 求正方形ABCD的边长 求直线A1D1的解析式 2 若 ABA1 90 a b满足a b 2 点D1与点O 之间的距离为 求直线A1D1的解析式 5 74 如图 在等腰梯形ABCD中 AB DC 对角线AC BD 垂足为O BC 13 设AB a CD b 且 2 a b 34 1 求 a b的值 2 设 6 t 6 是否存在实数m n 使得方程组 关于x y的解恰好为 若存在 22 请说明理由 并判断点 m n 在第几象限 若不存在 请给予证明 A B E M FC D M G A CO M B D M x y A1 M C1 M D1 M 75 正方形ABCD中 点M N分别在CB DC的延长线上 且MN DN BM 连接AM AN 1 如图 1 求证 MAN 45 2 如图 2 过D作DP AN交AM于点P 连接PC 求证 PA PC PD 2 3 在 2 的条件下 若AB 1 C为DN的中点 如图 3 求PC的长 76 正方形ABCD中 P为AB边上任一点 AE DP于E 点F在DP的延长线上 且DE EF 连接 AF BF BAF的平分线交DF于G 连接GC 1 求证 AEG是等腰直角三角形 2 求证 AG CG DG 2 3 若AB 2 P为AB的中点 求BF的长 77 已知 在四边形ABCD中 AD BC BAC D 点E F分别在BC CD上 且 AEF ACD O DC AB M A C B N D 图 1 M A C B N D 图 2 P M A C B N D 图 3 P A C B E D P F G 1 如图 1 若AB BC AC 求证 AE EF 2 如图 2 若AB BC 1 中的结论是否仍然成立 证明你的结论 3 如图 3 若AB kBC 1 中的结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请写出AE与EF 之间的数量关系 并证明 78 如图 正方形ABCD的边长为 2 M是AB的中点 点P是射线DC上的动点 过P作PE DM于E 1 若以P E M为顶点的三角形与 ABM相似 求PD的长 2 若以C为圆心 CP为半径的 C与线段DM只有一个公共点 求PD的长或PD的取值范围 79 如图 1 在矩形ABCD中 点E在边AD上 ABE 30 BE DE 点P为线段DE上的任意一点 过 点P作PQ BD 交BE于点Q 1 若AB 2 求边AD的长 3 2 如图 2 在 1 的条件下 若点P为线段DE的中点 连接CQ 过点P作PF QC于F 求线段PF 的长 3 试判断BE PQ PD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系 请证明你的结论 E D CB A F 图 1 E D CB A F 图 2 E D CB A F 图 3 C B D AM 备用图 C B D AM P E A BC D EP Q 图 1 A BC D EP Q F 图