第六章-时变电磁场.ppt

1 6 1传导电流 运流电流和位移电流 6 2全电流定理 6 3电磁感应定律 6 4麦克斯韦电磁场方程组 6 5时变电磁场中不同媒质交界面的边界条件 解的唯一性定理 6 6电磁场能量 坡印廷矢量及能量流 6 7电磁动态位及其微分方程 第六章时变电磁场 本章所研究的对象 为时变电磁场 场中各物理量不仅是空间坐标的函数 而且也是时间的函数 本章将要研究统一的电磁场同时存在的两个方面 随时间变动的电场与随时间变动的磁场 2 1 传导电流传导电流是由自由电荷在导电媒质中作有规则的运动而形成的电流 6 1传导电流 运流电流和位移电流 传导电流服从于欧姆定律 2 运流电流电荷在无阻力空间的运动 或由于电场力的作用 或由于机械原因而产生 形成运流电流 运流电流将不服从于欧姆定律 设无阻力空间某微小区域内 存有以速度运动的电荷体密度 在此空间作一无限小六面体 图6 1空间无限小六面体 6 1 3 dt时间内穿过微小侧面积dS的电量为 微小面元dS上任一点的电流密度为 当面元dS无限紧缩于某点时 即得空间该点的运流电流密度 则穿过的电流为 6 2 6 3 6 4 6 5 由于传导电流与运流电流都是带电质点的运动 因而在空间同一点上 两种电流密度不能同时并存 4 3 位移电流处于电介质中的电场 在其建立 变动 过程中 将引起电介质的极化 而形成极化电荷 在时变电磁场中 电场总是处于一种变动状态之中 因而电介质中位移电量的微观迁移运动永不停息 这样就形成了一种电流 这种电流只是分子束缚电量微观位移的结果 因而称之为位移电流 图6 2电源以传导电流 如图6 2所示之两导体 其间具有电容 现将其联结于带有开关的直流电源 在开关闭合之瞬间 电源将向两导体电容系统充电 导体所带的电量q系由电源以传导电流的形式供给 5 如果围绕导体1作一闭合高斯曲面S 则有 由电流的定义则有 则称为位移电流密度 6 6 6 7 6 8 位移电流由空间变动的电场所形成 而且空间任一点的位移电流密度 等于该点电位移矢量对时间的变化率 这种真空中的位移电流 同样显示出磁效应 6 例6 1空间某点的电位移矢量依照的规律变化 求该点的位移电流密度表达式 解按位移电流密度 故空间任一点的位移电流密度为 例6 2雷云放电以前 与地面感应电荷形成一均匀电场 设此均匀电场的电场强度为5000V cm 若雷云放电时间为1 s 求放电时此区域内位移电流密度之值 解由于雷云放电时间为1 s 故电场强度 由5000V cm降为零 的变化率的绝对值 7 图6 4例6 3图 式中 为时间变量t的矢量函数 本问题中 矢径之模不变 其方向随时间而变 由位移电流密度表达式 得 其中为圆周上点M处切线方向上的单位矢量 指向圆周曲线增大的一方 例6 3点电荷q沿半径为R的圆周以角速度 转动 写出其在圆心处位移电流密表达式 解此点电荷转动过程中 其在圆心所产生的电位移矢量为 8 6 2全电流定理 在空间绕任意导体作任意闭合曲面S 此时若有电源以传导电流形式向该导体充电 同时有自由体积电荷进入该闭合曲面 若指定穿出曲面S的电流为正 则穿入曲面S的传导电流与运流电流应等于曲面S内自由电量q的增加率 图6 5全电流示意 全电流连续性原理 或 6 12 6 11 此时穿出曲面S的位移电流则为 6 13 9 由式 6 12 及式 6 13 得 或 式中 称为全电流密度 穿过曲面S的全电流 上式积分形式的全电流连续性原理 它说明 在时变场中 全电流密度矢量线无源 它们是永远闭合的 具体地说即在传导电流中断处 必有运流电流 或位移电流接续 6 13 6 14 微分形式的全电流连续性原理为 6 16 6 15 10 全电流定理安培环路定理是表征恒定磁场的基本方程之一 它的积分形式为 I为传导电流 只要传导电流连续 安培环路定理必定成立 在时变场中 由于传导电流不一定处处连续 安培环路定理就失去了存在的前提 但是如果把闭合回路所交链的电流的概念加以拓广 把它理解为全电流 即有 6 17 其中S为有向曲线l所界定之曲面 上式称之为全电流定理 它说明 磁场强度沿任意闭合有向曲线的曲线积分 等于穿过该有向曲线所界定的曲面的全电流 该式又称为麦克斯韦第一积分方程 11 由斯托克斯定理 有 6 18 得 6 19 式 6 19 即为麦克斯韦第一微分方程 麦克斯韦第一方程表明 不仅运动电荷将产生变动磁场 变动电场也将产生变动磁场 它说明电与磁二者间的关系 因而麦克斯韦第一方程是描述时变电磁场中不同的两个方面 电场与磁场关系的方程之一 它是解决时变电磁场问题的一个基本依据 12 电磁感应定律法拉第与楞茨经过大量实验 测得导体回路内所感生的电动势 等于回路交链磁通的变化率的负值 即 6 20 表达式说明 导体回路内变化磁通感生的电动势 总是企图产生这样的感应电流 此感应电流所产生的磁通 其方向总具有抵消磁通变化的趋势 6 3电磁感应定律 例如当线圈回路的正向磁通增长时 感生电动势 13 图6 6磁通与电动势的正方向 图6 7感生电动势的实际方向 这表明线圈回路所感生的电动势 其真实方向与线圈回路电动势的正方向相反 14 麦克斯韦第二方程静电场是位场 位场中电场力作功与路径无关 当场域中存在局外电场时 此时 合成 电场强度的环路积分并不为零 而等于局外电场强度的环路积分局外电场即是其它形式能量转换为电能量的场所 在时变电磁场中 由于空间处处不仅存在着电场 而且同时存在着磁场 因而存在着能够转换为电场能量的磁场能量 此时的空间电场强度应作广泛的理解 即它既包含库伦电场 也包含感应电场 根据电动势的定义 6 22 上述原理运用于电路理论中 亦可导出基尔霍夫第二定律 6 21 15 电磁感应定律适用于电介质中任意假想闭合回路 故由式 6 22 式 6 20 有 6 23 上式亦可写为 6 24 由于空间任一点磁感应强度不仅是时间的函数 而且亦是坐标的函数 因而其变化率写为偏导形式 对于空间任意闭合回路所界定的曲面 偏导数只是曲面上固定点的磁感强度随时间的变化率 式 6 23 或式 6 24 称为麦克斯韦第二积分方程 它说明 电场强度沿任意有向闭合曲线的曲线积分 等于该有向闭合曲线轮廓内所感生的电动势 16 根据斯托克斯定理故得此即麦克斯韦第二微分方程 或称为微分形式电磁感应定律 麦克斯韦第一方程阐明了变动的电场产生变动的磁场 而麦克斯韦第二方程则阐明了变动的磁场产生变动的电场 因而麦克斯韦第一与第二方程从不同的方面揭示了时变电磁场中电场与磁场之间的相互联系 变动的电场将在空间产生变动的磁场 而变动的磁场又将在空间产生变动的电场 麦克斯韦就是根据这一结论 预见了电磁波的存在 麦克斯韦第一 第二方程是我们解决时变电磁场问题的基本依据 6 25 6 26 17 例6 4设空间磁场的磁感应强度垂直于磁场的平面上 有一形状如数字8的闭合回路 图中斜线区域的面积分别为求闭合线路中的感生电动势 解如图6 8所示 穿过面积与的磁通分别为 图6 8例6 4图 由于上述两磁通在闭合线路中的感生电动势方向相反 取闭合回路感生电动势e的正方向同的正方向一致 18 例6 5均匀磁场内 磁通密度B Bmcos t 设磁场内有一面积为S的平面线圈回路 t 0时其初始位置于处 当线圈按角速度转动时 求此平面回路中所感生的电动势 解 则回路所感生的电动势为 图6 9例6 5图 解如图6 9 穿过平面回路所界定的面积S的磁通 19 将前几节中所导得的公式稍加汇总 加上媒质的特性方程 或称为辅助方程 就可得到时变电磁场的一组完整的方程式 即为麦克斯韦方程组或电磁场的完整方程组 6 4麦克斯韦电磁场方程组 6 30 6 29 6 28 6 27 6 33 6 32 6 31 20 麦克斯韦第一及第二方程描述着统一电磁场两个矛盾着的方面 电场与磁场相互依存 一方存在必以它方存在为前提 相互制约 数量上 方向上以及变化规律上是相互约制的 而又相互转化 变动电场转化为变动磁场 变动磁场转化为变动电场 式 6 29 说明统一的电磁场的两个方面之一 磁场本身所具有的另一规律 无散度 亦即磁场不可能为单极磁荷所激发 式 6 30 说明统一电磁场的另一方面 电场本身所具有的另一规律 有散度 亦即电场可以由点源电荷所激发 式 6 31 式 6 32 及式 6 33 说明统一的电磁场与其所处空间媒质的关系 21 将麦克斯韦方程组的积分方程式分别应用于场的不同媒质交界面 即可得到时变电磁场的边界条件 不同电介质交界面的边界条件省略导出边界条件的过程 此时边界条件为 6 5时变电磁场中不同媒质交界面的边界条件 解的唯一性定理 6 34 6 35 6 36 6 37 22 导体表面介质中有 图6 11理想导体表面的电场 电介质与理想导体交界面的边界条件由于电磁波不能透入理想导体内部 故导体内将不存在电场与磁场 亦即 23 沿导体表面无运流电流 亦无位移电流沿导体表面流动 得 此处表示垂直流过单位长度上的面电流值 图6 12介质与理想导体交界面的磁场 最后将磁通连续性原理的积分表达式运用于场的边界 则得 小结 介质与理想导体交界面处的边界条件为 6 41 6 40 6 39 6 38 24 解的唯一性定理时变电磁场的求解问题 同样是一个求解偏微分方程满足定解条件的解的问题 是一个既有初始条件又有边界条件的定解问题 或称为混合问题 时变电磁场同样存在着唯一性定理 所求定解问题满足下述条件的解具有唯一性 其具体内容如下 设被边界 1所界定的场域 中 1 如已知当t 0的所有时间内 边界面 1上电场强度的切线分量Et或磁场强度的切线分量Ht 2 已知t 0时 场域 中每点电场强度E的初始值与磁场强度H的初始值 则麦克斯韦电磁场方程组具有唯一确定解 亦即时变电磁场的解 由电磁场初始值 及t 0时边界上的电场强度切线分量或磁场强度切线分量所唯一确定 25 电磁场能量在时变电磁场中 电场与磁场同时存在 因此任何一瞬间 空间任一点的电磁能量密度应为此时电场能量密度与磁场能量密度之和 即 6 6电磁场能量 坡印廷矢量及能量流 这是麦克斯韦由逻辑推理所得的假设之一 至今尚无直接实验证明 不过建立在此假设之上的许多理论 却为实践所证实 时变电磁场中场量是随时间而变动的 场的能量状态亦是随时间而变动的 对于线性媒质 6 43 26 坡印廷矢量及能量流时变电磁场中 由于电场与磁场的不断变化 并由空间一点传递到另一点 因而形成传播于空间携带着电磁能量的电磁波 无论是电讯系统或电力系统 它们的功率传输过程都是电磁能量在空间的传播过程 设空间某点的电磁能量密度为 则该点电磁能量密度随时间的变化率为 6 44 6 45 6 46 27 电场用以增加该点运动体积电荷的动能所供给的功率 该点电磁能量密度之增加率 该点所在处单位体积内传导电流所引起的焦尔热功率损失 等式左端代表该点场能密度的增加率及场能耗散率之和 电磁波在单位时间内携入该点的电磁能量 28 对于空间任一闭合曲面S所界定的体积V而言 单位时间进入该体积的电磁能量为 6 49 6 50 图6 13穿出闭合曲面的坡廷矢量图 为单位时间内穿入闭合曲面S的电磁能量 为单位时间内穿出闭合曲面S的电磁能量 29 电磁能流密度矢量 坡印廷矢量 为单位时间内穿过与所组成的微小面元的单位面积上的电磁能量或电磁功率 单位为瓦特每平方米 W m2 坡印矢量描述着电磁能在空间传播的规律 无论是电力传输或电讯传输 都必须是通过空间电磁波来实现能量传送的 图6 14坡印矢量的确定 电磁能流 或电磁功率 30 忽略导线的电阻和电阻压降 设双输电线所加电压为u 其流过的电流为i 此时电力线族圆与磁力线族圆相正交 将空间划分为无数正交网孔 图6 15两平行输电线的电场和内穿过面元dS的能量磁场 平行双输电线的功率传输 取任一网孔k 令其边长分别为dn dm 面积dS dn dm 单位时间内穿过此面元dS的能量 6 52 6 53 31 在以上的推导过程中忽略了导线的电阻压降 如果考虑导线压降 取电场强度E的法线分量En进行计算 同样可以得到上述的结论 图6 16两平行输电线电场 可见 输电线所传输的能量 并非由导线内部传送 而是通过线外的空间 以电磁波的方式传播的 此时传输线仅起引导作用 32 具有多值性 可附加任意标量场的梯度而不影响的单值性 电磁矢量动态位的达朗贝尔方程在时变电磁场中 可引入电磁矢量动态位 并定义 6 55 6 56 6 57 6 58 6 59 6 7电磁动态位及其微分方程 称之为电磁标量动态位 简称为电磁标量位 33 若空间媒质均匀且为线性 在不考虑运流电流的情况下 引用麦克斯韦第一方程 则有 当媒质均匀时 6 60 6 61 由矢量公式 6 63 6 62 34 对于所引入的场 给其散度以一约束条件 这一约束条件的选择当然应使求解的方程简化 并能单值地确定电磁矢量位与电磁标量位 这一约束条件称为洛伦兹条件 即 上式即为电磁矢量位应满足的达朗贝尔方程 6 64 6 65 当空间不存在传导电流时 则得电磁矢量位所满足的波动方程 即 6 66 波速 35 电磁标量位的达朗贝尔方程在媒质为均匀时 运用麦克斯韦方程组中电位移矢量的散度方程 并考虑洛伦兹约束条件可得电磁标量位的达朗贝尔方程 上式即为电磁标量位所应满足的达朗贝尔方程 6 67 6 68 6 69 6 70 由于 且 故 即 6 71 考虑洛伦兹条件 得 36 当空间不存在自由体电荷密度时 则得电磁标量位所满足的波动方程 6 72 时变电磁场边值问题的求解 可从求解达朗贝尔方程着手 实际问题中 由于空间传导电流并不存在 因此通常需要求解的只是波动方程 37 滞后位波动方程解的形式如何 它与静态场的解究竟有什么不同之处 举例说明设均匀媒质空间 有一点电荷q 其量值随时间t变化 在此情况下 对于场源以外空间各点 均满足波动方程 由于场量以电荷所在点为中心而具有球面对称关系 因而场量仅为半径r之函数 在选择球面坐标情况下 电磁标量位波动方程具有如下形式 6 74 6 73 上述表达式与电路中无损耗均匀输电线方程相似 比照无损耗均匀输电线方程之解 上式的解有如下形式 6 75 6 76 38 可见电磁标量位是一个由入射波 直波 分量与反射波 回波 分量所组成的具有波动性质的量 入射波分量由点电荷源沿半径方向四周发散 而反射波分量则由四周沿半径相反方向向点电荷源汇集 任何一个分量的波阵面都是一个球面 因此称这种波为球面波 在无限大均匀媒质空间 由于此时无反射波存在 故有 6 77 将上式变形 则 6 78 电磁动态位方程的特例 即电磁矢量位电磁标量位将满足各自的静态方程 也就是说恒定磁场与静电场不过是时变电磁场在场源不随时间变化情况下的特例 39 6 79 6 80 将式 6 78 与静电场进行对照 若认为场源点电荷从某一瞬时值q开始随时间而变化 此时 将此式与式 6 78 比较 可见应具有与相同的量纲 因而式 6 78 应为 此函数称之为电磁标量滞后位 它说明 空间任一点的电磁标量位的变化 较之引起此变化的点源电荷的变化 要滞后一个传播时间r