已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法求数列通项公式的方法 一 公式法一 公式法 例例 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 23 2n nn aa 1 2a n a 解 两边除以 得 则 故数列 1 23 2n nn aa 1 2n 1 1 3 222 nn nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 是以为首项 以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式 得 2 n n a 1 2 2 2 a 1 1 2 3 所以数列的通项公式为 3 1 1 22 n n a n n a 31 2 22 n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 说明数 1 23 2n nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 列是等差数列 再直接利用等差数列的通项公式求出 进而求出数 2 n n a3 1 1 22 n n a n 列的通项公式 n a 二 累加法二 累加法 例例 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 解 由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列的通项公式为 n a 2 n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而 1 21 nn aan 1 21 nn aan 求出 即得数列的通项公式 11232211 nnnn aaaaaaaaa n a 例例 3 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 解 由得则 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 11232211 1221 1221 1 2 31 2 31 2 31 2 31 3 2 3333 1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 331 3 31 nnnnn nn nn n n n aaaaaaaaaa n n n n 所以31 n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 进而求出 即得数列的 11232211 nnnnn aaaaaaaaaa n a 通项公式 例例 4已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 32 313 n nn aaa n a 解 两边除以 得 1 32 31 n nn aa 1 3n 1 11 21 3333 nn nnn aa 则 故 1 11 21 3333 nn nnn aa 11223211 22321 11 122 122 33333333 212121213 333333333 2 1 11111 1 333333 nnnnnnn nnnnn nn nnn nnnn aaaaaaaaaa aa n 因此 1 1 1 3 2 1 211 3 1 331 3322 3 n n n nn ann 则 211 33 322 nn n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 32 31 n nn aa 1 11 21 3333 nn nnn aa 进而求出 即得数列 11223211 1122321 333333333 nnnnnn nnnnnn aaaaaaaaa 的通项公式 最后再求数列的通项公式 3 n n a n a 三 累乘法三 累乘法 例例 5 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 解 因为 所以 则 故 11 2 1 53 n nn anaa 0 n a 1 2 1 5n n n a n a 132 1 1221 1221 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 5 2 2 1 5 2 2 1 5 2 1 1 5 3 2 1 3 2 53 3 25 nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n a 1 1 2 3 25 n n n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系转化为 进而 1 2 1 5n nn ana 1 2 1 5n n n a n a 求出 即得数列的通项公式 132 1 1221 nn nn aaaa a aaaa n a 例例 6 已知数列满足 求的通 n a 11231 123 1 2 nn aaaaanan n a 项公式 解 因为 1231 23 1 2 nn aaaanan 所以 11231 23 1 nnn aaaanana 用 式 式得 1 nnn aana 则 1 1 2 nn ana n 故 1 1 2 n n a nn a 所以 13 222 122 1 4 3 2 nn n nn aaan aan naa aaa 由 则 又 1231 23 1 2 nn aaaanan 212 22naaa 取得 21 aa 知 则 代入 得 1 1a 2 1a 1 3 4 5 2 n n an 所以 的通项公式为 n a 2 n n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 1 2 nn ana n 1 1 2 n n a nn a 进而求出 从而可得当的表达式 最后再求出数列 13 2 122 nn nn aaa a aaa 2 n na 时 的通项公式 n a 四 待定系数法四 待定系数法 例例 7 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 23 56 n nn aaa n a 解 设 1 1 52 5 nn nn axax 将代入 式 得 等式两边消去 1 23 5n nn aa 1 23 55225 nnn nn axax 得 两边除以 得代入 式得2 n a 1 3 5525 nnn xx 5n352 1 xxx 则 1 1 52 5 nn nn aa 由及 式得 则 则数列是以 1 1 56510a 50 n n a 1 1 5 2 5 n n n n a a 5 n n a 为首项 以 2 为公比的等比数列 则 故 1 1 51a 1 52 nn n a 1 25 nn n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 23 5n nn aa 1 1 52 5 nn nn aa 从而可知数列是等比数列 进而求出数列的通项公式 最后再求出数列 5 n n a 5 n n a 的通项公式 n a 例例 8 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 35 241 n nn aaa n a 解 设 1 1 23 2 nn nn axyaxy 将代入 式 得 1 35 24 n nn aa 1 35 2423 2 nnn nn axyaxy 整理得 52 24323 nn xyxy 令 则 代入 式得 523 43 xx yy 5 2 x y 1 1 5 223 5 22 nn nn aa 由及 式 1 1 5 221 12130a 得 则 5 220 n n a 1 1 5 22 3 5 22 n n n n a a 故数列是以为首项 以 3 为公比的等比数列 5 22 n n a 1 1 5 221 1213a 因此 则 1 5 2213 3 nn n a 1 13 35 22 nn n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 35 24 n nn aa 从而可知数列是等比数列 进而 1 1 5 223 5 22 nn nn aa 5 22 n n a 求出数列的通项公式 最后再求数列的通项公式 5 22 n n a n a 例例 9 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 11 23451 nn aanna n a 解 设 22 1 1 1 2 nn ax ny nzaxnynz 将代入 式 得 2 1 2345 nn aann 则 222 2345 1 1 2 nn annx ny nzaxnynz 22 2 3 24 5 2222 nn ax nxynxyzaxnynz 等式两边消去 得 2 n a 22 3 24 5 222x nxynxyzxnynz 解方程组 则 代入 式 得 32 242 52 xx xyy xyzz 3 10 18 x y z 22 1 3 1 10 1 182 31018 nn annann 由及 式 得 2 1 3 110 1 181 31320a 2 310180 n ann 则 故数列为以 2 1 2 3 1 10 1 18 2 31018 n n ann ann 2 31018 n ann 为首项 以 2 为公比的等比数列 因此 2 1 3 110 1 181 3132a 则 21 3101832 2n n ann 42 231018 n n ann 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 2 1 2345 nn aann 从而可知数列 22 1 3 1 10 1 182 31018 nn annann 是等比数列 进而求出数列的通项公式 最后 2 31018 n ann 2 31018 n ann 再求出数列的通项公式 n a 五 对数变换法五 对数变换法 例例 10 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 5 1 2 3n nn aa 1 7a n a 解 因为 所以 在式两边取 5 11 2 37 n nn aaa 1 00 nn aa 5 1 2 3n nn aa 常用对数得 1 lg5lglg3lg2 nn aan 设 1 lg 1 5 lg nn ax nyaxny 11 将 式代入式 得 两边消去 11 5lglg3lg2 1 5 lg nn anx nyaxny 并整理 得 则5lg n a lg3 lg255x nxyxny 故 lg35 lg25 xx xyy lg3 4 lg3lg2 164 x y 代入式 得 11 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg 1 5 lg 41644164 nn anan 12 由及式 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg1lg710 41644164 a 12 得 lg3lg3lg2 lg0 4164 n an 则 1 lg3lg3lg2 lg 1 4164 5 lg3lg3lg2 lg 4164 n n an an 所以数列是以为首项 以 5 为公比的等 lg3lg3lg2 lg 4164 n an lg3lg3lg2 lg7 4164 比数列 则 因此 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 41644164 n n an 11 1 11111 1 6164444 11111 1 16164444 11111 1 16164444 55 51 4 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 4164464 lg7lg3lg3lg2 5lg3lg3lg2 lg 7 332 5lg 332 lg 7 332 5lg 332 lg 733 nn n n n n n n n n n n an 1 1 151 164 54151 51 164 2 lg 732 n n nn n 则 1 1 54151 5 164 732 n n nn n a 评注 本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为 5 1 2 3n nn aa 从而可知数列 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg 1 5 lg 41644164 nn anan 是等比数列 进而求出数列的通 lg3lg3lg2 lg 4164 n an lg3lg3lg2 lg 4164 n an 项公式 最后再求出数列的通项公式 n a 六 迭代法六 迭代法 例例 11 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 3 1 2 11 5 n n nn aaa n a 解 因为 所以 3 1 2 1 n n nn aa 121 323 1 232 12 nnn nnn nnn aaa 2 2 1 32 2 1 3 3 2 1 11 2 3 2 1 1 1 2 3 1 2 2 3 2 23 1 2 3 3 2 1 2 3 32 3 2 1 2 1 3 2 1 nn nnn nnn nnnn n n n nn n nnn n nnn n nnn n a a a a a 又 所以数列的通项公式为 1 5a n a 1 1 2 3 2 5 n n n n n a 评注 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式 即先将等式 两边取常用对数得 即 再 3 1 2 1 n n nn aa 1 lg3 1 2lg n nn ana 1 lg 3 1 2 lg n n n a n a 由累乘法可推知 从而 1 1 2 3 2 132 1 1221 lglglglg lglglg5 lglglglg n n n n nn n nn aaaa aa aaaa 1 1 3 2 2 5 n n n n n a 七 数学归纳法七 数学归纳法 例例 12 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 22 8 1 8 21 23 9 nn n aaa nn n a 解 由及 得 1 22 8 1 21 23 nn n aa nn 1 8 9 a 21 22 32 22 43 22 8 1 1 88 224 2 1 1 2 1 3 99 2525 8 2 1 248 348 2 2 1 2 23 2525 4949 8 3 1 488 480 2 3 1 2 33 4949 8181 aa aa aa 由此可猜测 往下用数学归纳法证明这个结论 2 2 21 1 21 n n a n 1 当时 所以等式成立 1n 2 1 2 2 1 1 18 2 1 1 9 a 2 假设当时等式成立 即 则当时 nk 2 2 21 1 21 k k a k 1nk 1 22 8 1 21 23 kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 21 18 1 21 21 23 21 1 23 8 1 21 23 21 23 23 8 1 21 23 21 23 21 21 23 23 1 23 2