高一数学典型例题分析：指数函数

1 指数函数指数函数 例题解析例题解析 例例 1 求下列函数的定义域与值域 1 y3 2 y 3 y 1 2 x 2133 21xx 解解 1 定义域为 x R 且 x 2 值域 y 0 且 y 1 2 由 2x 2 1 0 得定义域 x x 2 值域为 y 0 3 由 3 3x 1 0 得定义域是 x x 2 0 3 3x 1 3 值域是 0y3 例例 2 指数函数 y ax y bx y cx y dx的图像如图 2 6 2 所示 则 a b c d 1 之间的大小关系是 A a b 1 c d B a b 1 d c C b a 1 d c D c d 1 a b 解解 选 c 在 x 轴上任取一点 x 0 则得 b a 1 d c 例例 3 比较大小 1 2 2 0 6 的大小关系是 24816 3 2 3589 4 5 1 2 3 4 54 1 3 73 6 解解 1 y221 x 函数 该函数在 上是增函数 又 22224282162 1 3 3 8 2 5 4 9 1 2 284162 1 2 3 1 3 5 2 5 8 3 8 9 4 9 3859 2 解解 2 0 611 0 6 4 5 1 2 4 5 1 2 3 2 3 2 解解 3 借助数 4 53 6打桥 利用指数函数的单调性 4 54 1 4 53 6 作函数 y1 4 5x y2 3 7x的图像如图 2 6 3 取 x 3 6 得 4 53 6 3 73 6 4 54 1 3 73 6 说明说明 如何比较两个幂的大小 若不同底先化为同底的幂 再利用指数函数的 单调性进行比较 如例 2 中的 1 若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时 有两个技巧 其一借助 1 作桥梁 如例 2 中的 2 其二构造一个新的幂作桥梁 这 个新的幂具有与 4 54 1同底与 3 73 6同指数的特点 即为 4 53 6 或 3 74 1 如例 2 中的 3 例例4 4 解解 比较大小与 且 当 aa a a a n n nnnn nn nn n n 11 1 1 1 1 1 1 a0a1n1 0a1n10 当 时 aaa n n aaa n nnnnn n nnnnn 1 111 1 111 1 1 1 a1n10 1 例例 5 作出下列函数的图像 1 y 2 y22 x 1 2 1x 3 y 2 x 1 4 3 y 1 3x 解解 1 y 264 0 11 y1 的图像 如图 过点 及 是把函数 的图像向左平移 个单位得到的 1 2 1 2 1 2 1x x 解解 2 y 2x 2 的图像 如图 2 6 5 是把函数 y 2x的图像向下平移 2 个单 位得到的 解解 3 利用翻折变换 先作 y 2 x 的图像 再把 y 2 x 的图像向右平移 1 个 单位 就得 y 2 x 1 的图像 如图 2 6 6 解解 4 作函数 y 3x的图像关于 x 轴的对称图像得 y 3x的图像 再把 y 3x的图像向上平移 1 个单位 保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变 把 x 轴下方 的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到 如图 2 6 7 例例6 6 解解 求函数 的单调区间及值域 令 则 是关于 的减函数 而 y ux5x6yuux5x x25x6 22 3 4 3 4 u 在 上是减函数 在 上是增函数 函数 的单调增区间是 单调减区间是 6xx y x25x6 5 2 5 2 3 4 5 2 5 2 又 函数 在 上是减函数 所以函数 的值域是 ux5x6 yu y 2 x25x6 x u 5 2 1 4 1 4 3 4 1 4 3 4 0 108 3 2 4 4 例例7 7 解解 求函数 的单调区间及它的最大值 令 又 是 上的减函数 函数 y1 x0 yux0 0u1ux0 y 1 4 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 22 2 xx xxxx x u 3 4 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 在 上为减函数 在 上是增函数 但由 得 由 得 函数 单调增 区间是 单调减区间 u1 0 x110 x1y1 1 01 x xxx 当 x 0 时 函数 y 有最大值为 1 例例8 8 已知 f x a1 a a x x 1 1 1 判断 f x 的奇偶性 2 求 f x 的值域 3 证明 f x 在区间 上是增函数 解解 1 定义域是 R f x f x a a a a x x x x 1 1 1 1 函数 f x 为奇函数 2 yy1a1y1 x 函数 有 a a y y y y x x 1 1 1 1 1 1 0 即 f x 的值域为 1 1 3 设任意取两个值 x1 x2 且 x1 x2 f x1 f x2 故在 上为增函