2019版数学浙江省学业水平考试专题复习(精美WORD-全解析)：必修1-§2

知识点一 函数的概念 1 函数的定义 定义域 值域 2 两个函数相等的条件 1 定义域相同 2 对应关系完全一致 知识点二 函数的表示及分段函数 1 函数的表示方法 函数的三种表示法 解析法 图象法 列表法 2 分段函数 如果函数 y f x x A 根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围 有着不同的对应关系 那 么称这样的函数为分段函数 分段函数是一个函数 分段函数的定义域是各段定义域的并集 值域是各段值域的并集 知识点三 函数的单调性与最大 小 值 1 函数的单调性 1 增函数 减函数 设函数 f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两 个自变量的值 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说函数 f x 在区间 D 上是增函数 当 x1f x2 那么就说函数 f x 在区间 D 上是减函数 2 函数的单调性 若函数 f x 在区间 D 上是增 减 函数 则称函数 f x 在这一区间上具有 严 格的 单调性 区间 D 叫做 f x 的单调区间 3 单调性的常见结论 若函数 f x g x 均为增 减 函数 则 f x g x 仍为增 减 函数 若函 数 f x 为增 减 函数 则 f x 为减 增 函数 若函数 f x 为增 减 函数 且 f x 0 则为减 1 f x 增 函数 2 函数的最大值 最小值 最值 类别 最大值最小值 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 条件 1 对于任意的 x I 都有 f x M 2 存在 x0 I 使得 f x0 M 1 对于任意的 x I 都有 f x M 2 存在 x0 I 使得 f x0 M 结论M 是函数 y f x 的最大值M 是函数 y f x 的最小值 性质 定义在闭区间上的单调函数 必有最大 小 值 知识点四 函数的奇偶性 1 函数奇偶性的概念 偶函数奇函数 对于函数 f x 的定义域内任意一个 x 都有 条件 f x f x f x f x 结论函数 f x 是偶函数函数 f x 是奇函数 2 性质 1 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇函数的图象关于原点对称 2 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相 反 3 在定义域的公共部分内 两个奇函数之积与商 分母不为零 为偶函数 两个奇函数之和为 奇函数 两个偶函数的和 积与商 分母不为零 为偶函数 一奇一偶函数之积与商 分母不为 零 为奇函数 题型一 函数的定义域 值域 例 1 1 2018 年 6 月学考 函数 y log2 x 1 的定义域是 A 1 B 1 C 0 D 0 2 函数 f x x 的值域为 2x 1 答案 1 A 2 1 2 解析 2 因为函数的定义域是 且函数为单调递增函数 所以函数的最小值是 f 1 2 1 2 故函数的值域是 1 2 1 2 感悟与点拨 1 求函数的定义域 就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围 2 在求函数定义域和值域的时候 要把定义域和值域写成集合或区间的形式 跟踪训练 1 1 2018 年 4 月学考 函数 f x 的定义域是 x 1 x A x x 0 B x x 0 C x x 0 D R 2 函数 f x 的定义域为 ln 2 x x2 x x 答案 1 A 2 1 0 解析 1 由题意知 Error 所以 x 0 2 2 x x2 0 且 x x 0 x 1 2 且 x 0 x 1 0 题型二 函数的图象及图象的应用 例 2 2016 年 4 月学考 下列图象中 不可能成为函数 y f x 的图象的是 答案 A 解析 当 x 0 时 有两个 y 值对应 故 A 不可能是函数 y f x 的图象 感悟与点拨 一个图象能不能作为函数的图象 关键是看它是否符合函数的定义及函数的特 征 跟踪训练 2 已知函数 f x Error 则下列函数的图象错误的是 答案 D 题型三 分段函数 例 3 已知函数 f x 则 f f 3 f x 的单调递减区间是 1 3 2 log 1 24 1 x x xxx 答案 5 1 解析 f 3 1 1 3 log 3 f f 3 f 1 1 2 4 5 当 x 1 时 f x x2 2x 4 x 1 2 5 对称轴为 x 1 f x 在 1 1 上单调递减 当 x 1 时 f x 单调递减 且 12 2 1 4 1 3 log 1 f x 在 1 上单调递减 感悟与点拨 解决分段函数问题的关键是 在定义域内的自变量 x 取不同区间上的值时 有 着不同的对应关系 要注意分别考虑 跟踪训练 3 已知函数 f x Error 则 f f 11 3 11 3 答案 4 解析 f f 11 3 11 3 f f 4 11 3 1 3 sin sin 4 4 11 3 3 题型四 函数的单调性及应用 例 4 已知 y f x 在定义域 1 1 上是减函数 且 f 1 a f 2a 1 求 a 的取值范围 解 由题意可知Error 解得 0 a 1 又 f x 在 1 1 上是减函数 且 f 1 a 2a 1 即 a 2 3 由 可知 0 a 2 3 即所求 a 的取值范围是 0 2 3 感悟与点拨 利用函数的单调性 可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系 即 转化为具体不等式来求解 跟踪训练 4 已知函数 f x Error 是 R 上的减函数 求实数 a 的取值范围 解 由题意知 要使原函数在定义域上为减函数 则需要满足Error 解得 a 故实数 a 的取值范围是 1 7 1 3 1 7 1 3 题型五 函数的奇偶性及应用 例 5 2016 年 4 月学考改编 已知函数 f x 1 x 1 1 x 3 1 设 g x f x 2 判断函数 g x 的奇偶性 并说明理由 2 求证 函数 f x 在 2 3 上是增函数 1 解 g x 是偶函数 证明如下 f x 1 x 1 1 x 3 g x f x 2 1 x 1 1 x 1 g x 1 x 1 1 x 1 g x 1 x 1 1 x 1 又 g x 的定义域为 x x 1 且 x 1 y g x 是偶函数 2 证明 设 x1 x2 2 3 且 x1 x2 f x1 f x2 1 x1 1 1 x1 3 1 x2 1 1 x2 3 2 x1 x2 x1 x2 4 x1 1 x1 3 x2 1 x2 3 x1 x2 2 3 且 x1 x2 x1 x20 x1 1 x1 3 x2 1 x2 3 0 综上得 f x1 f x2 0 即 f x1 0 时 2a 1 a 1 2 解得 a 2 当 a0 当 f x2 f x1 x2 x1 x1 x2 2 时 0 若 x14 则 f x1 f x2 的大小关系是 f x2 f x1 x2 x1 A f x1 f x2 C f x1 f x2 D 不确定 答案 B 解析 f 4 x f x 函数图象关于 x 2 对称 当 x1 x2 2 时 0 f x2 f x1 x2 x1 此时函数单调递增 当 x1 x2 2 时 0 f x2 f x1 x2 x1 此时函数单调递减 x14 若 2 x1f x2 若 x1 24 得 x2 4 x1 x1 2 则 4 x1 2 则 f x2 f 4 x1 f 4 x f x f 4 x f x 即 f 4 x1 f x1 f x2 f x2 二 填空题 11 已知函数 f x Error 若 f a a 则实数 a 答案 1 或 2 3 解析 当 a 0 时 f a 1 a a 得 a 1 2 2 3 当 a0 若 f x 与 g x 的图象有两个不同 x a x a 2 的交点 则 a 的取值范围是 答案 0 1 解析 由题意得 f x Error 在平面直角坐标系内分别画出当 0 a1 时 函数 f x g x 的图象 由图易得当 f x g x 的图象有两个交点时 有Error 解得 0 a 1 即 a 的取值范围是 0 a 1 三 解答题 15 已知函数 f x ax a R 1 x 1 1 x 1 1 判断函数 f x 的奇偶性 并说明理由 2 当 a 2 时 证明 函数 f x 在 0 1 上单调递减 1 解 因为 f x ax 1 x 1 1 x 1 ax 1 x 1 1 x 1 f x 又因为 f x 的定义域为 x R x 1 且 x 1 所以函数 f x 为奇函数 2 证明 任取 x1 x2 0 1 设 x1 x2 则 f x1 f x2 a x1 x2 x2 x1 x1 1 x2 1 x2 x1 x1 1 x2 1 x1 x2 a 2 x1x2 1 x2 1 1 x2 2 1 因为 0 x1 x22 0 x 1 x 1 2 a 2 x1x2 1 x2 1 1 x2 2 1 所以 a 0 2 x1x2 1 x2 1 1 x2 2 1 又因为 x1 x2f x2 所以函数 f x 在 0 1 上单调递减 16 已知 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且 f 1 1 若 a b 1 1 当 a b 0 时 有 0 成立 f a f b a b 1 判断 f x 在 1 1 上的单调性 并证明 2 解不等式 f f x 1 2 1 x 1 3 若 f x m2 2am 1 对所有的 a 1 1 恒成立 求实数 m 的取值范围 解 1 f x 在 1 1 上单调递增 证明如下 任取 x1 x2 1 1 且 x10 f x1 f x2 x1 x2 又 x1 x2 0 所以 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 所以 f x 在 1 1 上单调递增 2 因为 f x 在 1 1 上单调递增 所以Error 所以 x 1 3 2 所以不等式的解集为 3 2 1 3 因为 f 1 1 f x