第四章 学案17 任意角的三角函数

第四章第四章 三角函数与三角恒等变换三角函数与三角恒等变换 学案学案 17 任意角的三角函数任意角的三角函数 导学目标 1 了解任意角的概念 2 了解弧度制的概念 能进行弧度与角度的互化 3 理 解任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 自主梳理 1 任意角的概念 角可以看成平面内一条射线 OA 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 OB 所成的图 形 旋转开始时的射线 OA 叫做角的 射线的端点 O 叫做角的 旋转终 止位置的射线 OB 叫做角的 按 时针方向旋转所形成的角叫做正角 按 时针方向旋转所形成的角叫做负角 若一条射线没作任何旋转 称它形成了一个 角 1 象限角 使角的顶点与原点重合 角的始边与 x 轴的非负半轴重合 角的终边落在第几象限 就 说这个角是 角 2 象限界角 即终边在坐标轴上的角 终边在 x 轴上的角表示为 终边在 y 轴上的角表示为 终边落在坐标轴上的角可表示为 3 终边相同的角 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合 或 前者 用角度制表示 后者 用弧度制表示 4 弧度制 把长度等于 长的弧所对的 叫 1 弧度的角 以弧度作为单位来度量角 的单位制 叫做 它的单位符号是 读作 通常略去不写 5 度与弧度的换算关系 360 rad 180 rad 1 rad 1 rad 57 30 6 弧长公式与扇形面积公式 l 即弧长等于 S扇 2 三角函数的定义 任意角的三角函数定义 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 P x y 那么 叫做 的正弦 记作 sin 即 sin y 叫做 的余弦 记作 cos 即 cos x 叫做 的正切 记作 tan 即 tan x 0 y x 1 三角函数值的符号 各象限的三角函数值的符号如下图所示 三角函数正值歌 一全正 二正弦 三正切 四余弦 2 三角函数线 下图中有向线段 MP OM AT 分别表示 和 自我检测 1 是 cos 2 的 6 1 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 2 2011 济宁模拟 点 P tan 2 009 cos 2 009 位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 2010 山东青岛高三教学质量检测 已知 sin 0 则角 是 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 4 已知角 的终边上一点的坐标为 则角 的最小正值为 sin 2 3 cos 2 3 A B C D 5 6 2 3 5 3 11 6 探究点一 角的概念 例 1 1 如果角 是第三象限角 那么 角的终边落在第几象限 2 写出终边落在直线 y x 上的角的集合 3 3 若 168 k 360 k Z 求在 0 360 内终边与 角的终边相同的角 3 变式迁移 1 若 是第二象限的角 试分别确定 2 的终边所在位置 2 探究点二 弧长与扇形面积 例 2 2011 金华模拟 已知一个扇形的圆心角是 0 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 变式迁移 2 1 已知扇形的周长为 10 面积为 4 求扇形中心角的弧度数 2 已知扇形的周长为 40 当它的半径和中心角取何值时 才能使扇形的面积最大 最 大面积是多少 探究点三 三角函数的定义 例 3 已知角 的终边在直线 3x 4y 0 上 求 sin cos tan 的值 变式迁移 3 已知角 的终边经过点 P 4a 3a a 0 求 sin cos tan 的值 1 角的度量由原来的角度制改换为弧度制 要养成用弧度表示角的习惯 象限角的判 断 终边相同的角的表示 弧度 弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础 2 三角函数都是以角为自变量 用弧度表示 以比值为函数值的函数 是从实数集到 实数集的映射 注意两种定义法 即坐标法和单位圆法 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2011 宣城模拟 点 P 从 1 0 出发 沿单位圆 x2 y2 1 逆时针方向运动弧长到达 2 3 Q 则 Q 的坐标为 A B 1 2 3 2 3 2 1 2 C D 1 2 3 2 3 2 1 2 2 若 0 x 和 cos x 同时成立的 x 的取值范围是 1 2 1 2 A x B x 3 2 3 5 6 C x D x 6 5 6 3 2 3 3 已知 为第三象限的角 则 所在的象限是 2 A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C 第一或第三象限 D 第二或第四象限 4 若 1 弧度的圆心角所对弦长等于 2 则这个圆心角所对的弧长等于 A sin B 1 2 6 C D 2sin 1 sin 1 2 1 2 5 已知 且 sin cos a 其中 a 0 1 则关于 tan 的值 以下四个答 2 2 案中 可能正确的是 A 3 B 3 或 1 3 C D 3 或 1 3 1 3 题号12345 答案 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 已知点 P sin cos tan 在第一象限 且 0 2 则 的取值范围是 7 2011 龙岩模拟 已知点 P落在角 的终边上 且 0 2 则 的 sin 3 4 cos 3 4 值为 8 阅读下列命题 若点 P a 2a a 0 为角 终边上一点 则 sin 2 5 5 同时满足 sin cos 的角有且只有一个 1 2 3 2 设 tan 且 0 为象限角 则 在第一象限 其中正确命题为 将正确命题的序号填在横线上 三 解答题 共 38 分 9 12 分 已知扇形 OAB 的圆心角 为 120 半径长为 6 1 求的弧长 AB 2 求弓形 OAB 的面积 10 12 分 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围 并由此写出角 的集合 1 sin 3 2 2 cos 1 2 11 14 分 2011 舟山月考 已知角 终边经过点 P x x 0 且 cos x 求 2 3 6 sin 的值 1 tan 答案答案 自主梳理 1 始边 顶点 终边 逆 顺 零 1 第几象限 2 k k Z 3 k 360 k 2 k Z k 2 k Z k Z 2k k Z 4 半径 圆心角 弧度制 rad 弧度 5 2 180 6 r 弧所对的圆心角 弧度数 的绝对值与半径的积 lr r2 2 y x 180 1 2 1 2 2 的正弦线 的余弦线 的正切线 y x 自我检测 1 A 2 D 3 C 4 D 课堂活动区 例 1 解题导引 1 一般地 角 与 终边关于 x 轴对称 角 与 终边关于 y 轴对称 角 与 终边关于原点对称 2 利用终边相同的角的集合 S 2k k Z 判断一个角 所在的象限时 只 需把这个角写成 0 2 范围内的一角 与 2 的整数倍 然后判断角 的象限 3 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角 方法为先写出与这个角的终边 相同的所有角的集合 然后通过对集合参数 k 赋值来求得所需角 解 1 2k 2k k Z 3 2 2k 2k k Z 3 2 即 2k 2k k Z 2 角终边在第二象限 又由 各边都加上 得 2k 2 2k k Z 3 2 是第四象限角 同理可知 是第一象限角 2 在 0 内终边在直线 y x 上的角是 3 3 终边在直线 y x 上的角的集合为 3 3 k k Z 3 168 k 360 k Z 56 k 120 k Z 3 0 56 k 120 360 k 0 1 2 时 0 360 3 故在 0 360 内终边与 角的终边相同的角是 56 176 296 3 变式迁移 1 解 是第二象限的角 k 360 90 k 360 180 k Z 1 2k 360 180 2 2k 360 360 k Z 2 的终边在第三或第四象限 或角的终边在 y 轴的非正半轴上 2 k 180 45 k 180 90 k Z 2 当 k 2n n Z 时 n 360 45 n 360 90 2 当 k 2n 1 n Z 时 n 360 225 2 舍去 1 2 2 扇形的周长为 40 即 R 2R 40 S lR R2 R 2R 2 100 1 2 1 2 1 4 1 4 R 2R 2 当且仅当 R 2R 即 R 10 2 时扇形面积取得最大值 最大值为 100 例 3 解题导引 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关 当终边确定时三角 函数值就相应确定了 但若终边落在某条直线上时 这时终边实际上有两个 因此对应的函 数值有两组 要分别求解 解 角 的终边在直线 3x 4y 0 上 在角 的终边上任取一点 P 4t 3t t 0 则 x 4t y 3t r 5 t x2 y2 4t 2 3t 2 当 t 0 时 r 5t sin y r 3t 5t 3 5 cos x r 4t 5t 4 5 tan y x 3t 4t 3 4 当 t0 时 sin cos tan 3 5 4 5 3 4 t0 则 r 5a 角在第二象限 sin y r 3a 5a 3 5 cos x r 4a 5a 4 5 tan y x 3a 4a 3 4 若 a 0 则 r 5a 角在第四象限 sin cos y r 3a 5a 3 5 x r 4a 5a 4 5 tan y x 3a 4a 3 4 课后练习区 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 6 4 2 5 4 解析 由已知得Error 2k 2k 或 2k 2k k Z 4 2 5 4 0 2 当 k 0 时 或 0 cos 0 P 在第四象限 3 4 3 4 7 4 8 解析 中 当 在第三象限时 sin 故 错 2 5 5 中 同时满足 sin cos 的角为 2k k Z 不只有一个 故 1 2 3 2 6 错 正确 可能在第一象限或第四象限 故 错 综上选 9 解 1 120 r 6 2 3 的弧长为 l r 6 4 4 分 AB 2 3 2 S扇形 OAB lr 4 6 12 7 1 2 1 2 分 S ABO r2 sin 62 1 2 2 3 1 2 3 2 9 10 3 分 S弓形 OAB S扇形 OAB S ABO 12 9 12 3 分 10 解 1 作直线 y 交单位圆于 A B 两点 连结 OA OB 则 OA 与 OB 围成的区域即为角 3 2 的集合为 2k 3 2k 2 3 k Z 6 分 2 作直线 x 交单位圆于 C D 两点 连结 OC OD 则 OC 与 OD 围成的区域 图中 1 2 阴影部分 即为角 终边的范围 故满