含参数导数方法总结

1 导数题型总结 解析版 导数题型总结 解析版 体型一体型一 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法 1 分离变量 2 变更主元 3 根分布 4 判别式法 5 二次函数区间最值求法 1 对称轴 重视单调区间 与定义域的关系 2 端点处和顶点是最值所在 其次 分析每种题型的本质 你会发现大部分都在解决 不等式恒成立问题 以及 充 分应用数形结合思想 创建不等关系求出取值范围 注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一 基础题型 函数的单调区间 极值 最值 不等式恒成立 1 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决 第一步 令得到两个根 0 xf 第二步 画两图或列表 第三步 由图表可知 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题 2 常见处理方法有三种 第一种 分离变量求最值 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 0 0 0 第二种 变更主元 即关于某字母的一次函数 已知谁的范围就把谁作为主元 例 1 设函数在区间 D 上的导数为 在区间 D 上的导数为 yf x fx fx g x 若在区间 D 上 恒成立 则称函数在区间 D 上为 凸函数 已知实数 0g x yf x m 是常数 432 3 1262 xmxx f x 1 若在区间上为 凸函数 求 m 的取值范围 yf x 0 3 2 若对满足的任何一个实数 函数在区间上都为 凸函数 2m m f x a b 求的最大值 ba 解 由函数 得 432 3 1262 xmxx f x 32 3 32 xmx fxx 2 2 3g xxmx 1 在区间上为 凸函数 yf x 0 3 则 在区间 0 3 上恒成立 2 30g xxmx 解法一 从二次函数的区间最值入手 等价于 max 0gx 0 030 2 3 09330 g m gm 解法二 分离变量法 当时 恒成立 0 x 2 330g xxmx 当时 恒成立03x 2 30g xxmx 等价于的最大值 恒成立 2 33x mx xx 03x 而 是增函数 则 3 h xx x 03x max 3 2hxh 2m 2 当时在区间上都为 凸函数 2m f x a b 则等价于当时 恒成立 2m 2 30g xxmx 变更主元法 再等价于在恒成立 视为关于 m 的一次函数最值问题 2 30F mmxx 2m 2 2 2 0230 11 2 0 230 Fxx x F xx 2ba 22 3 例 2 设函数 10 32 3 1 223 Rbabxaaxxxf 求函数 f x 的单调区间和极值 若对任意的不等式恒成立 求 a 的取值范围 2 1 aax fxa 二次函数区间最值的例子 解 22 433fxxaxaxaxa 01a 令得的单调递增区间为 a 3a 0 x f xf 令得的单调递减区间为 a 和 3a 0 x f xf 当 x a 时 极小值 当 x 3a 时 极大值 b xf 4 3 3 ba xf 由 a 得 对任意的恒成立 x f 2 1 aax 22 43axaxaa 则等价于这个二次函数 的对称轴 g x max min gxa gxa 22 43g xxaxa 2xa 放缩法 01 a 12aaaa 即定义域在对称轴的右边 这个二次函数的最值问题 单调增函数的最值问题 g x 上是增函数 9 分 22 43 1 2 g xxaxaaa max min 2 21 1 44 g xg aa g xg aa 于是 对任意 不等式 恒成立 2 1 aax 3a a f x a 3a 2xa 1 2aa 4 等价于 2 44 4 1 1 215 g aaa a g aaa 又 10 a 1 5 4 a 点评 重视二次函数区间最值求法 对称轴 重视单调区间 与定义域的关系 第三种 构造函数求最值 题型特征 恒成立恒成立 从而转化为第一 二种 xgxf 0 xgxfxh 题型 例 3 已知函数图象上一点处的切线斜率为 32 f xxax 1 Pb3 32 6 1 3 0 2 t g xxxtxt 求的值 a b 当时 求的值域 1 4 x f x 当时 不等式恒成立 求实数 t 的取值范围 1 4 x f xg x 解 解得 2 32fxxax 1 3 1 f ba 3 2 a b 由 知 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递 f x 1 0 0 2 2 4 减 又 1 4 0 0 2 4 4 16ffff 的值域是 f x 4 16 令 2 1 3 1 4 2 t h xf xg xxtxx 思路 1 要使恒成立 只需 即分离变量 f xg x 0h x 2 2 26t xxx 思路 2 二次函数区间最值 二 参数问题 题型一 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 5 解法 1 转化为在给定区间上恒成立 回归基础题型0 0 xfxf或 解法 2 利用子区间 即子集思想 首先求出函数的单调增或减区间 然后让所给区间是求 的增或减区间的子集 做题时一定要看清楚 在 m n 上是减函数 与 函数的单调减区间是 a b 要弄清楚 两句话的区别 前者是后者的子集 例 4 已知 函数 Ra xax a xxf 14 2 1 12 1 23 如果函数是偶函数 求的极大值和极小值 xfxg xf 如果函数是上的单调函数 求的取值范围 xf a 解 14 1 4 1 2 axaxxf 是偶函数 此时 fx 1 axxxf3 12 1 3 3 4 1 2 xxf 令 解得 0 x f32 x 列表如下 x 2 3 23 2 2 3323 2 3 x f 0 0 xf递增极大值递减极小值递增 可知 的极大值为 的极小值为 f x34 32 f f x 34 32 f 函数是上的单调函数 xf 在给定区间 R 上恒成立判别式法 2 1 1 41 0 4 fxxaxa 则 解得 22 1 1 4 41 20 4 aaaa 02a 综上 的取值范围是 a 20 aa 6 例 5 已知函数 32 11 2 1 0 32 f xxa xa x a I 求的单调区间 f x II 若在 0 1 上单调递增 求 a 的取值范围 子集思想 f x I 2 2 1 1 1 fxxa xaxxa 1 2 0 1 0 afxx 当时恒成立 当且仅当时取 号 单调递增 1x f x 在 2 1212 0 0 1 1 afxxxaxx 当时由得且 单调增区间 1 1 a 单调增区间 1 1 a II 当 则是上述增区 0 1 f x 在上单调递增 0 1 间的子集 1 时 单调递增 符合题意0a f x 在 2 0 11 a 10a 1a 综上 a 的取值范围是 0 1 三 题型二 根的个数问题 题 1 函数 f x 与 g x 或与 x 轴 的交点 即方程根的个数问题 解题步骤 第一步 画出两个图像即 穿线图 即解导数不等式 和 趋势图 即三次函数的大致趋 势 是先增后减再增 还是 先减后增再减 第二步 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式 组 主要看极大值和极小值与 0 的 关系 第三步 解不等式 组 即可 例 6 已知函数 且在区间上为增函 23 2 1 3 1 x k xxf kxxg 3 1 xf 2 数 a 1 1 f x 7 1 求实数的取值范围 k 2 若函数与的图象有三个不同的交点 求实数的取值范围 xf xgk 解 1 由题意 在区间上为增函数 xkxxf 1 2 xf 2 在区间上恒成立 分离变量法 0 1 2 xkxxf 2 即恒成立 又 故 的取值范围为 xk 12 x21 k1 kk1 k 2 设 3 1 2 1 3 2 3 kxx kx xgxfxh 1 1 2 xkxkxkxxh 令得或由 1 知 0 x hkx 1 x1 k 当时 在 R 上递增 显然不合题意 1 k0 1 2 xxh xh 当时 随的变化情况如下表 1 k xh x h x x k k 1 k 1 1 x h 0 0 xh 极大值 3 1 26 23 kk 极小值 2 1 k 由于 欲使与的图象有三个不同的交点 即方程有三个不0 2 1 k xf xg0 xh 同的实根 故需 即 解0 3 1 26 23 kk 0 22 1 2 kkk 022 1 2 kk k 得31 k 综上 所求的取值范围为k31 k 根的个数知道 部分根可求或已知 例 7 已知函数 32 1 2 2 f xaxxxc 1 若1x 是 f x的极值点且 f x的图像过原点 求 f x的极值 8 2 若 2 1 2 g xbxxd 在 1 的条件下 是否存在实数b 使得函数 g x的图像 与函数 f x的图像恒有含1x 的三个不同交点 若存在 求出实数b的取值范围 否则 说明理由 高 1 考 1 资 1 源 2 网 解 1 f x的图像过原点 则 0 00fc 2 32fxaxx 又 1x 是 f x的极值点 则 1 31 201faa 2 32 32 1 0fxxxxx 3 1 2 fxf 222 37 fxf 2 设函数 g x的图像与函数 f x的图像恒存在含1x 的三个不同交点 等价于有含的三个根 即 f xg x 1x 1 1 1 1 2 fgdb 整理得 322 111 2 1 222 xxxbxxb 即 恒有含的三个不等实根 32 11 1 1 0 22 xbxxb 1x 计算难点来了 有含的根 32 11 1 1 0 22 h xxbxxb 1x 则必可分解为 故用添项配凑法因式分解 h x 1 0 x 3 x 22 xx 2 11 1 1 0 22 bxxb 22 11 1 1 1 0 22 xxbxxb 22 1 1 1 2 1 0 2 xxbxxb 十字相乘法分解 2 1 1 1 1 10 2 xxbxbx 2 11 1 1 1 0 22 xxbxb 恒有含的三个不等实根 32 11 1 1 0 22 xbxxb 1x 2 3 1 f x 9 等价于有两个不等于 1 的不等实根 2 11 1 1 0 22 xbxb 2 2 11 1 4 1 0 42 11 1 1 1 0 22 bb bb 1 1 3 3 b 题 2 切线的条数问题 以切点为未知数的方程的根的个数 0 x 例 7 已知函数在点处取得极小值 4 使其导数的 32 f xaxbxcx 0 x 0fx 的取值范围为 求 1 的解析式 2 若过点可作曲线x 1 3 f x 1 Pm 的三条切线 求实数的取值范围 yf x m 1 由题意得 2 323 1 3 0 fxaxbxca xxa 在上 在上 在上 1 0fx 1 3 0fx 3 0fx 因此在处取得极小值 f x 0 1x 4 4abc 1 320fabc 3 2760fabc 由 联立得 1 6 9 a b c 32 69f xxxx 2 设切点 Q t f t yf tftxt 232 3129 69 yttxtttt 222 3129 3129 69 ttxtttt tt 过 22 3129 26 ttxttt 1 m 232 3129 1 26mtttt 32 221290g ttttm 令 22 66126 2 0g ttttt 求得 方程有三个根 1 2tt 0g t 10 需 1 0 2 0 g g 23 1290 16 122490 m m 16 11 m m 故 因此所求实数的范围为 1116m m 11 16 题 3 已知在给定区间上的极值点个数则有导函数 0 的根的个数 f x 解法 根分布或判别式法 例 8 解 函数的定义域为 当 m 4 时 f x x3 x2 10 x R 1 3 7 2 x2 7x 10 令 解得或 fx 0fx 5 x 2x 令 解得 0fx 25x 可知函数 f x 的单调递增区间为和 5 单调递减区间为 2 2 5 x2 m 3 x m 6 fx 要使函数 y f x 在 1 有两个极值点 x2 m 3 x m 6 0 的根在 1 fx 根分布问题 则 解得 m 3 2 3 4 6 0 1 1 3 60 3 1 2 mm fmm m 例 9 已知函数 1 求的单调区间 2 令 23 2 1 3 xx a xf 0 aRa xf x4 f x x R 有且仅有 3 个极值点 求 a 的取值范围 g x 1 4 解 1 1 2 axxxaxxf 1 11 当时 令解得 令解得 0 a0 xf0 1 x a x 0 xf0 1 x a 所以的递增区间为 递减区间为 xf 0 1 a 0 1 a 当时 同理可得的递增区间为 递减区间为 0 a xf 1 0 a 1 0 a 2 有且仅有 3 个极值点 432 11 3 42 g a xxxx 0 有 3 个根 则或 223 1 axxxxxxagx 0 x 2 10 xax 2a 方程有两个非零实根 所以 2 10 xax 2 40 a 或2a 2a 而当或时可证函数有且仅有 3 个极值点2a 2a yg x 其它例题 1 最值问题与主元变更法的例子 已知定义在上的函数R 在区间上的最大值是 5 最小值是 11 32 2f xaxaxb 0 a 2 1 求函数的解析式 f x 若时 恒成立 求实数的取值范围 1 1 t0 txxf x 解 32 2 2 34 34 f xaxaxbfxaxaxaxx 令 0 得 fx 12 4 0 2 1 3 xx 因为 所以可得下表 0 a x 2 0 0 0 1 12 fx 0 f x 极大 因此必为最大值 因此 0 f50 f5 b 2 165 1 5 1 2 fafaff 即 11516 2 af1 a 5 2 23 xxxf 等价于 xxxf43 2 0 txxf 043 2 txxx 令 则问题就是在上恒成立时 求实数的取值xxxttg43 2 0 g t 1 1 tx 范围 为此只需 即 0 1 0 1 g g 0 053 2 2 xx xx 解得 所以所求实数的取值范围是 0 1 10 xx 2 根分布与线性规划例子 1 已知函数 32 2 3 f xxaxbxc 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线 f x1 x 0 1 平行 求的解析式 30 xy xf 当在取得极大值且在取得极小值时 设点 f x 0 1 x 1 2 x 所在平面区域为 S 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1 3 的两部分 求 2 1 M ba 直线 L 的方程 解 由 函数在时有极值 2 22fxxaxb f x1 x 220ab 0 1f 1c 又 在处的切线与直线平行 f x 0 1 30 xy 故 0 3fb 1 2 a 7 分 32 21 31 32 f xxxx 13 解法一 由 及在取得极大值且在取 2 22fxxaxb f x 0 1 x 1 2 x 得极小值 即 令 则 0 0 1 0 2 0 f f f 0 220 480 b ab ab M xy 2 1 xb ya 故点所在平面区域 S 为如图 ABC 1 2 ay bx 20 220 460 x yx yx M 易得 2 0 A 2 1 B 2 2 C 0 1 D 3 0 2 E 2 ABC S 同时 DE 为 ABC 的中位线 1 3 DECABED SS 四边形 所求一条直线 L 的方程为 0 x 另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1 3 的两部分 设直线 L 方程为 它与 AC BC 分别交于 F G 则 ykx 0k 1S 四边形D EG F 由 得点 F 的横坐标为 220 ykx yx 2 21 F x k 由 得点 G 的横坐标为 460 ykx yx 6 41 G x k 即 OGEOFD SSS 四边形D EG F 6131 1 222 2 1 4121kk 2 16250kk 解得 或 舍去 故这时直线方程为 1 2 k 5 8 k 1 2 yx 综上 所求直线方程为 或 12 分0 x 1 2 yx 解法二 由 及在取得极大值且在取 2 22fxxaxb f x 0 1 x 1 2 x 得极小值 14 即 令 则 0 0 1 0 2 0 f f f 0 220 480 b ab ab M xy 2 1 xb ya 故点所在平面区域 S 为如图 ABC 1 2 ay bx 20 220 460 x yx yx M 易得 2 0 A 2 1 B 2 2 C 0 1 D 3 0 2 E 2 ABC S 同时 DE 为 ABC 的中位线 所求一条直线 L 的方程为 1 3 DECABED SS 四边形 0 x 另一种情况由于直线 BO 方程为 设直线 BO 与 AC 交于 H 1 2 yx 由 得直线 L 与 AC 交点为 1 2 220 yx yx 1 1 2 H 2 ABC S 111 2 222 DEC S 11 22 22 11 1 22 HABOAOH SSS AB 所求直线方程为 或 0 x 1 2 yx 3 根的个数问题 已知函数的图象如图所 32 f x axbx c3a2b xd a0 示 求的值 cd 若函数的图象在点处的切线方程为f x 2 f 2 求函数 f x 的解析式 3xy110 若方程有三个不同的根 求实数 a 0 x5 f x 8a 的取值范围 解 由题知 2 f x 3ax2bx c 3a 2b 15 由图可知函数 f x 的图像过点 0 3 且 0 1 f 得 3 32c320 d abab 0 3 c d 依题意 3 且 f 2 5 2 f 解得 a 1 b 6 124323 846435 abab abab 所以 f x x3 6x2 9x 3 依题意f x ax3 bx2 3a 2b x 3 a 0 3ax2 2bx 3a 2b 由 0b 9a x f 5 f 若方程 f x 8a 有三个不同的根 当且仅当 满足 f 5 8a f 1 由 得 25a 3 8a 7a 3 a 3 11 1 所以 当 a 3 时 方程 f x 8a 有三个不同的根 12 分 11 1 4 根的个数问题 已知函数 32 1 1 3 f xx