矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用矩阵基本运算及应用 201700060201700060 牛晨晖牛晨晖 在数学中 矩阵是一个按照长方阵列排列的在数学中 矩阵是一个按照长方阵列排列的复数复数或或实数实数集合 集合 矩阵是高等代矩阵是高等代数学数学中的常见工具 也常见于统计分析等应用数学学中的常见工具 也常见于统计分析等应用数学学 科中 在物理学中 矩阵于电路学 科中 在物理学中 矩阵于电路学 力学力学 光学和 光学和量子物理量子物理中都有中都有 应用 应用 计算机科学计算机科学中 中 三维动画三维动画制作也需要用到矩阵 制作也需要用到矩阵 矩阵的运算矩阵的运算 是是数值分析数值分析领域的重要问题 将领域的重要问题 将矩阵分解矩阵分解为简单矩阵的组合可以在为简单矩阵的组合可以在 理论和实际应用上简化矩阵的运算 在电力系统方面 矩阵知识已理论和实际应用上简化矩阵的运算 在电力系统方面 矩阵知识已 有广泛深入的应用 本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础有广泛深入的应用 本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础 上 简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况 并展上 简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况 并展 望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合 望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合 1 1 矩阵的运算及其运算规则矩阵的运算及其运算规则 1 11 1 矩阵的加法与减法矩阵的加法与减法 1 1 11 1 1 运算规则运算规则 设矩阵 则 简言之 两个矩阵相加减 即它们相同位置的元素相加减 注意 注意 只有对于两个行数 列数分别相等的矩阵 即同型矩阵 加减法运算才有意义 即加减运算是可行的 1 1 21 1 2 运算性质运算性质 满足交换律和结合律 交换律交换律 结合律结合律 1 21 2 矩阵与数的乘法矩阵与数的乘法 1 2 11 2 1 运算规则运算规则 数乘矩阵 A 就是将数乘矩阵 A 中的每一个元素 记为 或 特别地 称称为的负矩阵 1 2 21 2 2 运算性质运算性质 满足结合律和分配律 结合律 结合律 A A A A A A A A A A 分配律 分配律 A B A B A B A B 1 2 3 典型举例典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程 求未知矩阵 解解 由已知条件知 1 31 3 矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 1 3 11 3 1 运算规则运算规则 设 则 A 与 B 的乘积是这样一个矩阵 1 行数与 左矩阵 A 相同 列数与 右矩阵 B 相同 即 2 C 的第 行第列的元素由 A 的第 行元素与 B 的第列 元素对应相乘 再取乘积之和 1 3 21 3 2 典型例题典型例题 设矩阵 计算 解解 是的矩阵 设它为 可得结论结论 1 1 只有在下列情况下 两个矩阵的乘法才有意义 或说 乘法运算是可行的 左矩阵的列数 右矩阵的行数 结论结论 2 2 在矩 阵的乘法中 必须注意相乘的顺序 即使在与均有意义时 也未必有 成立 可见矩阵乘法不满足交换律 结论结论 3 3 方阵 A 和它同阶的单位阵作乘积 结果仍为 A 即 1 3 31 3 3 运算性质 假设运算都是可行的 运算性质 假设运算都是可行的 1 结合律 2 分配律 左分配律 右分配律 3 1 3 41 3 4 方阵的幂方阵的幂 定义 定义 设 A 是方阵 是一个正整数 规 定 显然 记号表示个 A 的连乘积 1 41 4 矩阵的转置矩阵的转置 1 4 11 4 1 定义定义 定义 定义 将矩阵 A 的行换成同序号的列所得 到的新矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵 记作或 例如 矩阵例如 矩阵的转置矩阵为的转置矩阵为 1 4 21 4 2 运算性质 假设运算都是可行的 运算性质 假设运算都是可行的 1 1 2 2 3 3 4 4 是常数 是常数 1 4 31 4 3 典型例题典型例题 利用矩阵 验证运算性质 解解 而 所以 定义 定义 如果方阵满足 即 则称 A 为对称矩阵对称矩阵 对称矩阵的特点特点是 它的元素以主对角线为对称轴对应相等 1 51 5 方阵的行列式方阵的行列式 1 5 11 5 1 定义定义 定义 定义 由方阵 A 的元素所构成的行列式 各元素的位置不变 称为方阵 A 的行列式 记作或 1 5 21 5 2 运算性质运算性质 1 行列式的性质 2 特别地 3 是常数 A 的阶数为 n 思考 思考 设 A 为阶方阵 那么的行列式与 A 的行列式 之间的关系为什么不是 而是 不妨自行设计一个二阶方阵 计算一下和 例如 则 于是 而 2 2 光伏逆变器的建模光伏逆变器的建模 光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要 求的交流点再输入电网的关键设备 是光伏系统并网环节中能量转 换与控制的核心 光伏逆变器的性能不仅影响到光伏系统是否运行 稳定 安全可靠 也是影响整个系统使用寿命的主要因素 本节将 分析主流光伏逆变器的拓扑结构和建模方法 2 12 1 系统拓扑结构系统拓扑结构 光伏并网逆变器按照不同的分类方式可分为多种类型 如按照 交流侧接线数可分为单相逆变器和三相逆变器 如按照并网方式可 分为隔离型光伏逆变器和非隔离型光伏逆变器 在欧洲 相关标准 要求光伏逆变器可以采用非隔离型 而在美国 光伏逆变器必须采 用隔离型的 我国目前尚没有在此方面的明确要求 按照能量变换级数来分 光伏并网系统主要包括单级变换 两 级变换和多级变换三种拓扑结构 为方面理解后续利用矩阵相关知 识建模 下面对这三种拓扑结构的特点做简要介绍 1 单级变换拓扑结构 单级变换拓扑结构与前者相比 只有 DC AC 逆变部分 该逆变 器一般采用单相半桥 全桥电压型逆变器或者三相全桥电压型逆变 器 这种类型的光伏逆变器具有结构简单 成本低廉等优点 由于 该系统只有一级功率转换电路 所有控制目标都要通过这一级功率 转换单元实现 因而增加了控制系统的复杂性 图 1 为一典型的单极变换单相光伏逆变器的拓扑结构 这种光 伏逆变器一般会安装工频变压器 变压器可以有效降低输出侧电压 也可以起到有效隔离绝缘的效果 具有可靠性高 维护量少 开关 频率低和电磁干扰小等特点 逆变器 AC 工频 变压器光伏组件 图1 单级单相光伏逆变器拓扑图 2 两级变换拓扑结构 两级变换拓扑结构一般由DC DC变换器和DC AC逆变器两部分组 成 前者一般采用比较常见的BOOST电路 BUCK BOOST电路或CUK电 路等 用来实现光伏阵列输出功率的最大功率跟踪的功能 DC AC一 般采用单相或三相的并网逆变器实现并网 有功调节 无功补偿或 者谐波补偿等相关功能 图2为一典型的两级变换单相光伏逆变器的拓扑结构 第一级是 DC DC变换环节 其拓扑类型为boost电路 目的是把光伏组件输出 的不稳定直流低电压提升到可并网的稳定直流高电压 第二级是 DC AC逆变环节 由单相全桥的可逆PWM整流器构成 这一级的功率 开关可以采用MOSFET或IGBT AC 升压变换器逆变器 光伏组件 图2 两级变换单相光伏逆变器拓扑图 3 多级变换拓扑结构 采用高频变压器绝缘方式的多级变换拓扑结构通过采用带有整 流器的高频率变压器来提升输入电压 具有体积小 重量轻 成本 低等优点 常用于并网型太阳能发电设备之中 图 3 为一典型的带高频变压器的多级变换单相光伏逆变器的拓 扑结构 这种拓扑结构由于需要经过三级能量变换 通常效率相对 较低 并且由于高频电磁干扰严重 必须采用滤波和屏蔽等相关措 施 逆变器 AC 逆变器整流器 高频 变压器光伏组件 图3 带高频变压器的多级式光伏逆变器拓扑图 2 22 2 典型光伏逆变器的建模典型光伏逆变器的建模 与两级式光伏逆变器相比 单级式光伏逆变器只有一个能量变 换环节 结构紧凑 元器件少 能量转换效率更高 目前 单级式 三相光伏并网逆变器在大中型光伏电站的建设中得到了大规模的应 用 本节选取此类光伏逆变器作为典型进行建模分析 如图 4 所示 三相光伏逆变器一般由防反冲二极管 直流母线稳 压电容 DC AC 逆变环节 逆变器输出滤波器组成 ea eb ec 光伏阵列 D udc R1 R2 R3 L1 L2 L3 P N o ipv idc ia ib ic 光伏逆变器 图4 三相光伏并网发电系统电路图 假定三相电感且其等效电感 电阻值分别为L1 L2 L3 L和 R1 R2 R3 R 三相全桥都是理想的开关管 光伏发电系统在三相静止 坐标系下的数学模型如下 2 1 dcccc c dcbbb b dcaaa a uSeRi dt di L uSeRi dt di L uSeRi dt di L 式中 ia ib ic 三相并网逆变器的输出电流 ea eb ec 三相电网电压 Sa Sb Sc 开关函数 udc 直流母线电压 考虑直流母线中电流的稳压作用 则有 2 2 bcbbaapv dc iSiSiSi dt du C 式中 C 直流母线稳压电容 ipv 光伏阵列输出电流 将公式 2 2 进行同步矢量旋转变换 则得到dq坐标系下的三相 光伏并网发电系统的模型为 2 3 C iSiS C i dt du L uS L e i L Ri dt di L uS L e i L Ri dt di qqddpv dc dcqq d qq dcdd q dd 2 3 式中 id iq 逆变器输出电流d q轴 有功 无功 分量 ed eq 电网电压d q轴分量 Sd Sq 触发三相逆变桥的开关信号d q轴分量 电网电压的角频率 即dq坐标系的旋转速度 公式 2 3 中两个电流方程写成矩阵形式为 2 4 ddddcd qqq dcq iiS ue RL d L iiS ueLRdt 对公式 2 4 两边取拉式变换得 2 5 ddddcd qqqdcq IsIsS UsEs RL Ls IsIsS UsEsLR 令 相应时域中有 d Us ddc S Us q Us qdc S Us d u ddc S u 则公式 2 5 可写为 q u q dc S u 2 6 dddd qqq q UsIsIsEs RL Ls IsIsEsLR Us 公式 2 6 的时域表达式为 dddd qqq q uiie RL d L iieLRdt u 2 7 3 3 随机矩阵相关理论随机矩阵相关理论 3 13 1 随机矩阵相关理论和要点随机矩阵相关理论和要点 随机矩阵理论 random matrix theory RMT 的研究起源于原子 核物理领域 Wigner在研究量子系统中得出结论 对于复杂的量子 系统 随机矩阵理论的预测代表了所有可能相互作用的一种平均 偏离预测的那部分属性反映了系统中特殊非随机的性质 这为了解 和研究潜在的相互作用和关系提供了理论支撑 RMT 以矩阵为单位 可以处理独立同分布 independent identically distributed IID 的 数据 RMT 并不对源数据的分布 特征等做出要求 如满足高斯分布 为Hermitian 矩阵等 仅要求数据足够大 并非无限 故该工具适 合处理大多数的工程问题 特别适合用于分析具有一定随机性的海 量数据系统 随机矩阵理论认为当系统中仅有白噪声 小扰动和测 量误差时 系统的数据将呈现出一种统计随机特性 而当系统中有 信号源 事件 时 在其作用下系统的运行机制和内部机理将会改变 其统计随机特性将会被打破 单环定律 Ring Law Marchenko Pastur定律 M P Law 均是RMT 体系的重大突破 在这些理论基础上 可进一步研究随机矩阵的线性特征根统计量 linear eigenvaluestatistics LES 而平均谱半径 mean spectral radius 则是LES所构造出的一个具体对象 3 23 2 随机矩阵理论对电力系统的支撑随机矩阵理论对电力系统的支撑 全球正在经历由信息技术时代 IT 时代 向数据技术时代 DT时 代 的过渡 数据正逐步成为电力系统等大型民生系统的战略资源 数据的价值在于其所蕴含的信息而并非数据本身 信息提取 information extraction 相关技术是数据增值业务的核心 智能 电网的最终目标是建设成为覆盖电力系统整个生产过程 包括发电 输电 变电 配电 用电及调度等多个环节的全景实时系统 而支 撑智能电网安全 自愈 绿色 坚强及可靠运行的基础是电网全景 实时数据的采集 传输和存储 以及对累积的海量多源数据的快速 分析 数据化是智能电网建设的重要目标 也是未来电网的基本特征 智能电网是继小型孤立电网 分布式互联大电网之后的第三代电网 其网络结构错综复杂 同时 用户侧的开放致使新能源 柔性负荷 电能产消者 如EV 大规模介入电网 这也极大地加剧了电网运行机 理和控制模型的复杂性 传统的通过对个体元器件建模 参数辨识 及在此机理模型上进行仿真的手段不足以认知日益复杂的电网 而 另一方面 随着智能电网建设进程的不断深入 尤其是高级测量体 系 advanced meteringinfrastructure AMI 和信息通信技术 informationcommunication technology ICT 的发展 数据将越 来越容易获取 电网运行和设备监测产生的数据量将呈指数级增长 然而 各电力部门普遍存在如下问题 1 从如此之多的数据中 能得到些什么 2 不同部门的数据 为什么且如何混合在一起 3 坏 异常 缺失 时间不同步 数据如 何处理 上述的典型问题也是现阶段信息化建设所呈 现的 重系统轻数据 模式的结果 该模式忽略了最重要的 也 是理论要求最深的 数据资源利用环节 即将收集来的 数据原料 转换成驱动力 以数据驱动 data driven model free 为主要方式 及时 准确地认知系统 故难以满足系统决策制定 decision making 的需求 从数据的角度出发 海量 volume 多样 variety 实时 velocity 真实 veracity 的4 Vs 数据是未来电网数据的发展趋 势