《三角函数模型的简单应用》的教学设计剖析

1 6 三角函数模型的简单应用教学设计 一 教学分析 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型 可以用来研究很多问题 在刻 画周期变化规律 预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用 三角函数模型的简单应用的设置目的 在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学 习 本节教材通过 4 个例题 循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用 在素材的选 择上注意了广泛性 真实性和新颖性 同时又关注到三角函数性质 特别是周期性 的应用 通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题 培养他们综合应用数学和其他学科 的知识解决问题的能力 培养学生的建模 分析问题 数形结合 抽象概括等能力 由于实 际问题常常涉及一些复杂数据 因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据 包括建立有 关数据的散点图 根据散点图进行函数拟合等 二 教学目标 1 知识与技能 掌握三角函数模型应用基本步骤 1 根据图象建立解析式 2 根据解析式作出图象 3 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 2 过程与方法 选择合理三角函数模型解决实际问题 注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系 还要 调动相关学科知识来帮助理解问题 切身感受数学建模的全过程 体验数学在解决实际问题 中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系 3 情态与价值 培养学生数学应用意识 提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力 三 教学重点与难点 教学重点 分析 整理 利用信息 从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数 模型 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题 教学难点 将某些实际问题抽象为三角函数的模型 并调动相关学科的知识来解决问题 四 教学过程 三角函数模型的简单应用 一 导入新课 思路 1 问题导入 既然大到宇宙天体的运动 小到质点的运动以及现实世界中具有周 期性变化的现象无处不在 那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题 它到 底能发挥哪些作用呢 由此展开新课 思路 2 我们已经学习了三角函数的概念 图象与性质 特别研究了三角函数的周期性 在现实生活中 如果某种变化着的现象具有周期性 那么是否可以借助三角函数来描述呢 回忆必修 1 第三章第二节 函数模型及其应用 面临一个实际问题 应当如何选择恰当的 函数模型来刻画它呢 以下通过几个具体例子 来研究这种三角函数模型的简单应用 二 推进新课 新知探究 提出问题 回忆从前所学 指数函数 对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的 哪些规律的 数学模型是什么 建立数学模型的方法是什么 上述的数学模型是怎样建立的 怎样处理搜集到的数据 活动 师生互动 唤起回忆 充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程 对课前 已经做好复习的学生给予表扬 并鼓励他们类比以前所学知识方法 继续探究新的数学模型 对还没有进入状态的学生 教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法 在教师的引导下 学 生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是 收集数据 画散点图 选择函数模型 求 解函数模型 检验 用函数模型解释实际问题 这点很重要 学生只要有了这个认知基础 本节的简单应用便可迎刃而解 新课标下的教 学要求 不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题 而是教师引领学生逐步登高 在合作 探究中自己解决问题 探求新知 讨论结果 描述现实世界中不同增长规律的函数模型 简单地说 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括 再从数学角度来反映或近 似地反映实际问题时 所得出的关于实际问题的数学描述 数学模型的方法 是把实际问题加 以抽象概括 建立相应的数学模型 利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法 解决问题的一般程序是 1 审题 逐字逐句的阅读题意 审清楚题目条件 要求 理解数学关系 2 建模 分析题目变化趋势 选择适当函数模型 3 求解 对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论 4 还原 把数学结论还原为实际问题的解答 画出散点图 分析它的变化趋势 确定合适的函数模型 三 应用示例 例 1 如图 1 某地一天从 6 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y sin x b 图 1 1 求这一天的最大温差 2 写出这段曲线的函数解析式 活动 这道例题是 2002 年全国卷的一道高考题 探究时教师与学生一起讨论 本例是研 究温度随时间呈周期性变化的问题 教师可引导学生思考 本例给出模型了吗 给出的模型 函数是什么 要解决的问题是什么 怎样解决 然后完全放给学生自己讨论解决 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型 其中第 1 小题实际上就是求函数图 象的解析式 然后再求函数的最值差 教师应引导学生观察思考 求这一天的最大温差 实 际指的是 求 6 是到 14 时这段时间的最大温差 可根据前面所学的三角函数图象直接写 出而不必再求解析式 让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用 第 2 小题 只要用待定系数法求出解析式中的未知参数 即可确定其解析式 其中求 是利用半周期 14 6 通过建立方程得解 解 1 由图可知 这段时间的最大温差是 20 2 从图中可以看出 从 6 14 时的图象是函数 y Asin x b 的半个周期的图象 A 30 10 10 b 30 10 20 2 1 2 1 14 6 2 1 2 将 x 6 y 10 代入上式 解得 8 4 3 综上 所求解析式为 y 10sin x 20 x 6 14 8 4 3 点评 本例中所给出的一段图象实际上只取 6 14 即可 这恰好是半个周期 提醒学生注 意抓关键 本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况 因此应当特 别注意自变量的变化范围 这点往往被学生忽略掉 互动探究 图 5 表示的是电流 I 与时间 t 的函数关系 图 5 I Asin x 0 在一个周期内的图象 2 1 根据图象写出 I Asin x 的解析式 2 为了使 I Asin x 中的 t 在任意一段s 的时间内电流 I 能同时取得最大 100 1 值和最小值 那么正整数 的最小值为多少 解 1 由图知 A 300 第一个零点为 0 第二个零点为 0 300 1 150 1 0 解得 100 I 300sin 100 t 300 1 150 1 3 3 2 依题意有 T 即 200 故 min 629 100 1 2 100 1 例 2 做出函数 y sinx 的图象并观察其周期的图象并观察其周期 例 3 如图 2 设地球表面某地正午太阳高度角为 为此时太阳直射纬度 为该地的纬 度值 那么这三个量之间的关系是 90 当地夏半年 取正值 冬半年 取负 值 如果在北京地区 纬度数约为北纬 40 的一幢高为 h0的楼房北面盖一新楼 要使新楼 一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡 两楼的距离不应小于多少 活动 如图 2 本例所用地理知识 物理知识较多 综合性比较强 需调动相关学科的知 识来帮助理解问题 这是本节的一个难点 在探讨时要让学生充分熟悉实际背景 理解各个量 的含义以及它们之间的数量关系 首先由题意要知道太阳高度角的定义 设地球表面某地纬度值为 正午太阳高度角为 此时太阳直射纬度为 那么这三个量之间的关系是 90 当地夏半年 取正值 冬半年 取负值 根据地理知识 能够被太阳直射到的地区为南 北回归线之间的地带 图形如图 3 由画 图易知 太阳高度角 楼高 h0与此时楼房在地面的投影长 h 之间有如下关系 h0 htan 由地理知识知 在北京地区 太阳直射北回归线时物体的影子最短 直射南回归线时物体 的影子最长 因此 为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡 应当考虑太阳直射南回归线时 的情况 图 3 解 如图 3 A B C 分别为太阳直射北回归线 赤道 南回归线时楼顶在地面上的投影 点 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡 应取太阳直射南回归线的情况考虑 此时的太阳直射纬度 23 26 依题意两楼的间距应不小于 MC 根据太阳高度角的定义 有 C 90 40 23 26 26 34 所以 MC 2 000h0 C h tan 0 3426tan 0 h 即在盖楼时 为使后楼不被前楼遮挡 要留出相当于楼高两倍的间距 点评 本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题 是将实际问题直接抽象为与三 角函数有关的简单函数模型 然后根据所得的函数模型解决问题 要直接根据图 2 来建立函 数模型 学生会有一定困难 而解决这一困难的关键是联系相关知识 画出图 3 然后由图形 建立函数模型 问题得以求解 这道题的结论有一定的实际应用价值 教学中 教师可以在这 道题的基础上再提出一些问题 如下例的变式训练 激发学生进一步探究 变式训练 某市的纬度是北纬 23 小王想在某住宅小区买房 该小区的楼高 7 层 每层 3 米 楼与楼 之间相距 15 米 要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡 他应选择哪几层的 房 图 4 解 如图 4 由例 3 知 北楼被南楼遮挡的高度为 h 15tan 90 23 23 26 15tan43 34 14 26 由于每层楼高为 3 米 根据以上数据 所以他应选 3 层以上 例 4 货船进出港时间问题 海水受日月的引力 在一定的时候发生涨落的现象叫潮 一般地 早潮叫潮 晚潮叫汐 在通常情况下 船在涨潮时驶进航道 靠近码头 卸货后 在落潮时返回 海洋 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表 时刻 0 003 006 009 0012 0015 0018 0021 0024 00 水深 米 5 07 55 02 55 07 55 02 55 0 1 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系 给出整点时的水深的 近似数值 精确到 0 001 2 一条货船的吃水深度 船底与水面的距离 为 4 米 安全条例规定至少要有 1 5 米的 安全间隙 船底与洋底的距离 该船何时能进入港口 在港口能呆多久 3 若某船的吃水深度为 4 米 安全间隙为 1 5 米 该船在 2 00 开始卸货 吃水深度以每 小时 0 3 米的速度减少 那么该船在什么时间必须停止卸货 将船驶向较深的水域 活动 引导学生观察上述问题表格中的数据 会发现什么规律 比如重复出现的几个数据 并 进一步引导学生作出散点图 让学生自己完成散点图 提醒学生注意仔细准确观察散点图 如 图 6 教师引导学生根据散点的位置排列 思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律 根 据散点图中的最高点 最低点和平衡点 学生很容易确定选择三角函数模型 港口的水深与 时间的关系可以用形如 y Asin x h 的函数来刻画 其中 x 是时间 y 是水深 我们可 以根据数据确定相应的 A h 的值即可 这时注意引导学生与 五点法 相联系 要求 学生独立操作完成 教师指导点拨 并纠正可能出现的错误 直至无误地求出解析式 进而根 据所得的函数模型 求出整点时的水深 图 6 根据学生所求得的函数模型 指导学生利用计算器进行计算求解 注意引导学生正确理 解题意 一天中有两个时间段可以进港 这时点拨学生思考 你所求出的进港时间是否符合时 间情况 如果不符合 应怎样修改 让学生养成检验的良好习惯 在本例 3 中 应保持港口的水深不小于船的安全水深 那么如何刻画船的安全水深呢 引导学生思考 怎样把此问题翻译成函数模型 求货船停止卸货 将船驶向深水域的含义又是 什么 教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释 同时提醒学生注意货船的安全水深 港口的水深同时在变 停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候 进一步引导学生思考 根据问题的实际意义 货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸 货行吗 为什么 正确结论是什么 可让学生思考 讨论后再由教师组织学生进行评价 通 过讨论或争论 最后得出一致结论 在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船 驶向较深水域是不行的 因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨 解 1 以时间为横坐标 水深为纵坐标 在直角坐标系中画出散点图 图 6 根据图象 可以考虑用函数 y Asin x h 刻画水深与时间之间的对应关系 从数据 和图象可以得出 A 2 5 h 5 T 12 0 由 T 12 得 2 6 所以这个港口的水深与时间的关系可用 y 2 5sinx 5 近似描述 6 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值 时 刻 0 001 002 00 3 0 0 4 005 006 007 008 009 00 10 0 0 11 0 0 水 深 5 00 0 6 25 0 7 16 5 7 5 7 16 5 6 25 0 5 00 0 3 75 4 2 83 5 2 50 0 2 83 5 3 75 4 时刻 12 0 0 13 0 0 14 0 0 15 0 0 16 0 0 17 0 0 18 0 0 19 0 0 20 0 0 21 0 0 22 0 0 23 0 0 水深 5 00 0 6 25 0 7 16 5 7 57 16 5 6 25 0 5 00 0 3 75 4 2 83 5 2 50 0 2 83 5 3 75 4 2 货船需要的安全水深为 4 1 5 5 5 米 所以当 y 5 5 时就可以进港 令 2 5sinx 5 5 5 sinx 0 2 6 6 由计算器可得 MODE MODE 2 SHIFT sin 1 0 2 0 201 357 92 0 201 4 如图 7 在区间 0 12 内 函数 y 2 5sinx 5 的图象与直线 y 5 5 有两个交点 A B 6 图 7 因此x 0 201 4 或 x 0 201 4 6 6 解得 xA 0 384 8 xB 5 615 2 由函数的周期性易得 xC 12 0 384 8 12 384 8 xD 12 5 615 2 17 615 2 因此 货船可以在 0 时 30 分左右进港 早晨 5 时 30 分左右出港 或在中午 12 时 30 分左 右进港 下午 17 时 30 分左右出港 每次可以在港口停留 5 小时左右 图 8 3 设在时刻 x 货船的安全水深为 y 那么 y 5 5 0 3 x 2 x 2 在同一坐标系内作出 这两个函数的图象 可以看到在 6 7 时之间两个函数图象有一个交点 如图 8 通过计算也可以得到这个结果 在 6 时的水深约为 5 米 此时货船的安全水深约为 4 3 米 6 5 时的水深约为 4 2 米 此时货船的安全水深约为 4 1 米 7 时的水深约为 3 8 米 而货 船的安全水深约为 4 米 因此为了安全 货船最好在 6 5 时之前停止卸货 将船驶向较深的水 域 点评 本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题 题目只给出了时间与水深 的关系表 要想由此表直接得到函数模型是很困难的 对第 2 问的解答 教师引导学生利用 计算器进行计算求解 同时需要强调 建立数学模型解