2018中考数学试题分类汇编：考点36-相似三角形

20182018 中考数学试题分类汇编 考点中考数学试题分类汇编 考点 3636 相似三角形相似三角形 一 选择题 共一 选择题 共 28 小题 小题 1 2018 重庆 制作一块 3m 2m 长方形广告牌的成本是 120 元 在每平方 米制作成本相同的情况下 若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍 那么扩 大后长方形广告牌的成本是 A 360 元B 720 元C 1080 元 D 2160 元 分析 根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本 根据相似多边形的性质 求出扩大后长方形广告牌的面积 计算即可 解答 解 3m 2m 6m2 长方形广告牌的成本是 120 6 20 元 m2 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍 则面积扩大为原来的 9 倍 扩大后长方形广告牌的面积 9 6 54m2 扩大后长方形广告牌的成本是 54 20 1080m2 故选 C 2 2018 玉林 两三角形的相似比是 2 3 则其面积之比是 A B 2 3C 4 9D 8 27 分析 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可 解答 解 两三角形的相似比是 2 3 其面积之比是 4 9 故选 C 3 2018 重庆 要制作两个形状相同的三角形框架 其中一个三角形的三边 长分别为 5cm 6cm 和 9cm 另一个三角形的最短边长为 2 5cm 则它的最长 边为 A 3cmB 4cm C 4 5cmD 5cm 分析 根据相似三角形的对应边成比例求解可得 解答 解 设另一个三角形的最长边长为 xcm 根据题意 得 解得 x 4 5 即另一个三角形的最长边长为 4 5cm 故选 C 4 2018 内江 已知 ABC 与 A1B1C1相似 且相似比为 1 3 则 ABC 与 A1B1C1的面积比为 A 1 1B 1 3C 1 6D 1 9 分析 利用相似三角形面积之比等于相似比的平方 求出即可 解答 解 已知 ABC 与 A1B1C1相似 且相似比为 1 3 则 ABC 与 A1B1C1的面积比为 1 9 故选 D 5 2018 铜仁市 已知 ABC DEF 相似比为 2 且 ABC 的面积为 16 则 DEF 的面积为 A 32B 8C 4D 16 分析 由 ABC DEF 相似比为 2 根据相似三角形的面积的比等于相似 比的平方 即可得 ABC 与 DEF 的面积比为 4 又由 ABC 的面积为 16 即 可求得 DEF 的面积 解答 解 ABC DEF 相似比为 2 ABC 与 DEF 的面积比为 4 ABC 的面积为 16 DEF 的面积为 16 4 故选 C 6 2017 重庆 已知 ABC DEF 且相似比为 1 2 则 ABC 与 DEF 的 面积比为 A 1 4B 4 1C 1 2D 2 1 分析 利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可 解答 解 ABC DEF 且相似比为 1 2 ABC 与 DEF 的面积比为 1 4 故选 A 7 2018 临安区 如图 小正方形的边长均为 1 则下列图中的三角形 阴 影部分 与 ABC 相似的是 A B C D 分析 根据正方形的性质求出 ACB 根据相似三角形的判定定理判断即 可 解答 解 由正方形的性质可知 ACB 180 45 135 A C D 图形中的钝角都不等于 135 由勾股定理得 BC AC 2 对应的图形 B 中的边长分别为 1 和 图 B 中的三角形 阴影部分 与 ABC 相似 故选 B 8 2018 广东 在 ABC 中 点 D E 分别为边 AB AC 的中点 则 ADE 与 ABC 的面积之比为 A B C D 分析 由点 D E 分别为边 AB AC 的中点 可得出 DE 为 ABC 的中位线 进而可得出 DE BC 及 ADE ABC 再利用相似三角形的性质即可求出 ADE 与 ABC 的面积之比 解答 解 点 D E 分别为边 AB AC 的中点 DE 为 ABC 的中位线 DE BC ADE ABC 2 故选 C 9 2018 自贡 如图 在 ABC 中 点 D E 分别是 AB AC 的中点 若 ADE 的面积为 4 则 ABC 的面积为 A 8B 12C 14D 16 分析 直接利用三角形中位线定理得出 DE BC DE BC 再利用相似三角 形的判定与性质得出答案 解答 解 在 ABC 中 点 D E 分别是 AB AC 的中点 DE BC DE BC ADE ABC ADE 的面积为 4 ABC 的面积为 16 故选 D 10 2018 崇明县一模 如图 在平行四边形 ABCD 中 点 E 在边 DC 上 DE EC 3 1 连接 AE 交 BD 于点 F 则 DEF 的面积与 BAF 的面积之比为 A 3 4B 9 16C 9 1D 3 1 分析 可证明 DFE BFA 根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方 即可得出答案 解答 解 四边形 ABCD 为平行四边形 DC AB DFE BFA DE EC 3 1 DE DC 3 4 DE AB 3 4 S DFE S BFA 9 16 故选 B 11 2018 随州 如图 平行于 BC 的直线 DE 把 ABC 分成面积相等的两部 分 则的值为 A 1B C 1D 分析 由 DE BC 可得出 ADE ABC 利用相似三角形的性质结合 S ADE S 四边形 BCED 可得出 结合 BD AB AD 即可求出的值 此题得解 解答 解 DE BC ADE B AED C ADE ABC 2 S ADE S四边形 BCED 1 故选 C 12 2018 哈尔滨 如图 在 ABC 中 点 D 在 BC 边上 连接 AD 点 G 在 线段 AD 上 GE BD 且交 AB 于点 E GF AC 且交 CD 于点 F 则下列结论 一定正确的是 A B C D 分析 由 GE BD GF AC 可得出 AEG ABD DFG DCA 根据相 似三角形的性质即可找出 此题得解 解答 解 GE BD GF AC AEG ABD DFG DCA 故选 D 13 2018 遵义 如图 四边形 ABCD 中 AD BC ABC 90 AB 5 BC 10 连接 AC BD 以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E 若 DE 3 则 AD 的长为 A 5B 4C 3D 2 分析 先求出 AC 进而判断出 ADF CAB 即可设 DF x AD x 利用 勾股定理求出 BD 再判断出 DEF DBA 得出比例式建立方程即可得出结 论 解答 解 如图 在 Rt ABC 中 AB 5 BC 10 AC 5 过点 D 作 DF AC 于 F AFD CBA AD BC DAF ACB ADF CAB 设 DF x 则 AD x 在 Rt ABD 中 BD DEF DBA DFE DAB 90 DEF DBA x 2 AD x 2 故选 D 14 2018 扬州 如图 点 A 在线段 BD 上 在 BD 的同侧作等腰 Rt ABC 和 等腰 Rt ADE CD 与 BE AE 分别交于点 P M 对于下列结论 BAE CAD MP MD MA ME 2CB2 CP CM 其中正确的是 A B C D 分析 1 由等腰 Rt ABC 和等腰 Rt ADE 三边份数关系可证 2 通过等积式倒推可知 证明 PAM EMD 即可 3 2CB2转化为 AC2 证明 ACP MCA 问题可证 解答 解 由已知 AC AB AD AE BAC EAD BAE CAD BAE CAD 所以 正确 BAE CAD BEA CDA PME AMD PME AMD MP MD MA ME 所以 正确 BEA CDA PME AMD P E D A 四点共圆 APD EAD 90 CAE 180 BAC EAD 90 CAP CMA AC2 CP CM AC AB 2CB2 CP CM 所以 正确 故选 A 15 2018 贵港 如图 在 ABC 中 EF BC AB 3AE 若 S四边形 BCFE 16 则 S ABC A 16B 18C 20D 24 分析 由 EF BC 可证明 AEF ABC 利用相似三角形的性质即可求出则 S ABC的值 解答 解 EF BC AEF ABC AB 3AE AE AB 1 3 S AEF S ABC 1 9 设 S AEF x S四边形 BCFE 16 解得 x 2 S ABC 18 故选 B 16 2018 孝感 如图 ABC 是等边三角形 ABD 是等腰直角三角形 BAD 90 AE BD 于点 E 连 CD 分别交 AE AB 于点 F G 过点 A 作 AH CD 交 BD 于点 H 则下列结论 ADC 15 AF AG AH DF AFG CBG AF 1 EF 其中正确结论的个数为 A 5B 4C 3D 2 分析 由等边三角形与等腰直角三角形知 CAD 是等腰三角形且顶角 CAD 150 据此可判断 求出 AFP 和 FAG 度数 从而得出 AGF 度数 据此可判断 证 ADF BAH 即可判断 由 AFG CBG 60 AGF CGB 即可得证 设 PF x 则 AF 2x AP x 设 EF a 由 ADF BAH 知 BH AF 2x 根据 ABE 是等腰直角三角形之 BE AE a 2x 据此得出 EH a 证 PAF EAH 得 从而得出 a 与 x 的 关系即可判断 解答 解 ABC 为等边三角形 ABD 为等腰直角三角形 BAC 60 BAD 90 AC AB AD ADB ABD 45 CAD 是等腰三角形 且顶角 CAD 150 ADC 15 故 正确 AE BD 即 AED 90 DAE 45 AFG ADC DAE 60 FAG 45 AGF 75 由 AFG AGF 知 AF AG 故 错误 记 AH 与 CD 的交点为 P 由 AH CD 且 AFG 60 知 FAP 30 则 BAH ADC 15 在 ADF 和 BAH 中 ADF BAH ASA DF AH 故 正确 AFG CBG 60 AGF CGB AFG CBG 故 正确 在 Rt APF 中 设 PF x 则 AF 2x AP x 设 EF a ADF BAH BH AF 2x ABE 中 AEB 90 ABE 45 BE AE AF EF a 2x EH BE BH a 2x 2x a APF AEH 90 FAP HAE PAF EAH 即 整理 得 2x2 1 ax 由 x 0 得 2x 1 a 即 AF 1 EF 故 正确 故选 B 17 2018 泸州 如图 正方形 ABCD 中 E F 分别在边 AD CD 上 AF BE 相交于点 G 若 AE 3ED DF CF 则的值是 A B C D 分析 如图作 FN AD 交 AB 于 N 交 BE 于 M 设 DE a 则 AE 3a 利用 平行线分线段成比例定理解决问题即可 解答 解 如图作 FN AD 交 AB 于 N 交 BE 于 M 四边形 ABCD 是正方形 AB CD FN AD 四边形 ANFD 是平行四边形 D 90 四边形 ANFD 是解析式 AE 3DE 设 DE a 则 AE 3a AD AB CD FN 4a AN DF 2a AN BN MN AE BM ME MN a FM a AE FM 故选 C 18 2018 临安区 如图 在 ABC 中 DE BC DE 分别与 AB AC 相交于 点 D E 若 AD 4 DB 2 则 DE BC 的值为 A B C D 分析 根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所截得的三角形与原 三角形相似 再根据相似三角形的对应边成比例解则可 解答 解 DE BC ADE ABC 故选 A 19 2018 恩施州 如图所示 在正方形 ABCD 中 G 为 CD 边中点 连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点 对角线 BD 交 AG 于 F 点 已知 FG 2 则线段 AE 的长度为 A 6B 8C 10D 12 分析 根据正方形的性质可得出 AB CD 进而可得出 ABF GDF 根据 相似三角形的性质可得出 2 结合 FG 2 可求出 AF AG 的长度 由 CG AB AB 2CG 可得出 CG 为 EAB 的中位线 再利用三角形中位线的性质可 求出 AE 的长度 此题得解 解答 解 四边形 ABCD 为正方形 AB CD AB CD ABF GDF BAF DGF ABF GDF 2 AF 2GF 4 AG 6 CG AB AB 2CG CG 为 EAB 的中位线 AE 2AG 12 故选 D 20 2018 杭州 如图 在 ABC 中 点 D 在 AB 边上 DE BC 与边 AC 交 于点 E 连结 BE 记 ADE BCE 的面积分别为 S1 S2 A 若 2AD AB 则 3S1 2S2B 若 2AD AB 则 3S1 2S2 C 若 2AD AB 则 3S1 2S2D 若 2AD AB 则 3S1 2S2 分析 根据题意判定 ADE ABC 由相似三角形的面积之比等于相似比的 平方解答 解答 解 如图 在 ABC 中 DE BC ADE ABC 2 若 2AD AB 即 时 此时 3S1 S2 S BDE 而 S2 S BDE 2S2 但是不能确定 3S1与 2S2的大小 故选项 A 不符合题意 选项 B 不符合题意 若 2AD AB 即 时 此时 3S1 S2 S BDE 2S2 故选项 C 不符合题意 选项 D 符合题意 故选 D 21 2018 永州 如图 在 ABC 中 点 D 是边 AB 上的一点 ADC ACB AD 2 BD 6 则边 AC 的长为 A 2B 4C 6D 8 分析 只要证明 ADC ACB 可得 即 AC2 AD AB 由此即可解决 问题 解答 解 A A ADC ACB ADC ACB AC2 AD AB 2 8 16 AC 0 AC 4 故选 B 22 2018 香坊区 如图 点 D E F 分别是 ABC 的边 AB AC BC 上的点 若 DE BC EF AB 则下列比例式一定成立的是 A B C D 分析 用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论 解答 解 DE BC DE BC ADE ABC EF AB EF AB CEF CAB DE BC EF AB 四边形 BDEF 是平行四边形 DE BF EF BD 正确 故选 C 23 2018 荆门 如图 四边形 ABCD 为平行四边形 E F 为 CD 边的两个三 等分点 连接 AF BE 交于点 G 则 S EFG S ABG A 1 3B 3 1C 1 9D 9 1 分析 利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题 解答 解 四边形 ABCD 是平行四边形 CD AB CD AB DE EF FC EF AB 1 3 EFG BAG 2 故选 C 24 2018 达州 如图 E F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点 AE CF AC 连接 DE DF 并延长 分别交 AB BC 于点 G H 连接 GH 则的 值为 A B C D 1 分析 首先证明 AG AB CH BC 1 3 推出 GH AC 推出 BGH BAC 可得 2 2 由此即可解决问 题 解答 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC DC AB AC CA ADC CBA S ADC S ABC AE CF AC AG CD CH AD AG DC AE CE 1 3 CH AD CF AF 1 3 AG AB CH BC 1 3 GH AC BGH BAC 2 2 故选 C 25 2018 南充 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 P 为 CD 的中点 连结 AP 过点 B 作 BE AP 于点 E 延长 CE 交 AD 于点 F 过点 C 作 CH BE 于点 G 交 AB 于点 H 连接 HF 下列结论正确的是 A CE B EF C cos CEP D HF2 EF CF 分析 首先证明 BH AH 推出 EG BG 推出 CE CB 再证明 CEH CBH Rt HFE Rt HFA 利用全等三角形的性质即可一一判断 解答 解 连接 EH 四边形 ABCD 是正方形 CD AB BC AD 2 CD AB BE AP CH BE CH PA 四边形 CPAH 是平行四边形 CP AH CP PD 1 AH PC 1 AH BH 在 Rt ABE 中 AH HB EH HB HC BE BG EG CB CE 2 故选项 A 错误 CH CH CB CE HB HE ABC CEH CBH CEH 90 HF HF HE HA Rt HFE Rt HFA AF EF 设 EF AF x 在 Rt CDF 中 有 22 2 x 2 2 x 2 x EF 故 B 错误 PA CH CEP ECH BCH cos CEP cos BCH 故 C 错误 HF EF FC HF2 EF FC 故 D 正确 故选 D 26 2018 临沂 如图 利用标杆 BE 测量建筑物的高度 已知标杆 BE 高 1 2m 测得 AB 1 6m BC 12 4m 则建筑物 CD 的高是 A 9 3mB 10 5mC 12 4mD 14m 分析 先证明 ABE ACD 则利用相似三角形的性质得 然后利用比例性质求出 CD 即可 解答 解 EB CD ABE ACD 即 CD 10 5 米 故选 B 27 2018 长春 孙子算经 是中国古代重要的数学著作 成书于约一千五 百年前 其中有首歌谣 今有竿不知其长 量得影长一丈五尺 立一标杆 长 一尺五寸 影长五寸 问竿长几何 意即 有一根竹竿不知道有多长 量出它 在太阳下的影子长一丈五尺 同时立一根一尺五寸的小标杆 它的影长五寸 提示 1 丈 10 尺 1 尺 10 寸 则竹竿的长为 A 五丈B 四丈五尺C 一丈D 五尺 分析 根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论 解答 解 设竹竿的长度为 x 尺 竹竿的影长 一丈五尺 15 尺 标杆长 一尺五寸 1 5 尺 影长五寸 0 5 尺 解得 x 45 尺 故选 B 28 2018 绍兴 学校门口的栏杆如图所示 栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转 到 AC 位置 已知 AB BD CD BD 垂足分别为 B D AO 4m AB 1 6m CO 1m 则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为 A 0 2mB 0 3mC 0 4mD 0 5m 分析 由 ABO CDO 90 AOB COD 知 ABO CDO 据此得 将已知数据代入即可得 解答 解 AB BD CD BD ABO CDO 90 又 AOB COD ABO CDO 则 AO 4m AB 1 6m CO 1m 解得 CD 0 4 故选 C 二 填空题 共二 填空题 共 7 小题 小题 29 2018 邵阳 如图所示 点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点 连接 AE 交 CD 于点 F 连接 BF 写出图中任意一对相似三角形 ADF ECF 分析 利用平行四边形的性质得到 AD CE 则根据相似三角形的判定方法可 判断 ADF ECF 解答 解 四边形 ABCD 为平行四边形 AD CE ADF ECF 故答案为 ADF ECF 30 2018 北京 如图 在矩形 ABCD 中 E 是边 AB 的中点 连接 DE 交对角 线 AC 于点 F 若 AB 4 AD 3 则 CF 的长为 分析 根据矩形的性质可得出 AB CD 进而可得出 FAE FCD 结合 AFE CFD 对顶角相等 可得出 AFE CFD 利用相似三角形的性质可 得出 2 利用勾股定理可求出 AC 的长度 再结合 CF AC 即可 求出 CF 的长 解答 解 四边形 ABCD 为矩形 AB CD AD BC AB CD FAE FCD 又 AFE CFD AFE CFD 2 AC 5 CF AC 5 故答案为 31 2018 包头 如图 在 ABCD 中 AC 是一条对角线 EF BC 且 EF 与 AB 相交于点 E 与 AC 相交于点 F 3AE 2EB 连接 DF 若 S AEF 1 则 S ADF的 值为 分析 由 3AE 2EB 可设 AE 2a BE 3a 根据 EF BC 得 2 结合 S AEF 1 知 S ADC S ABC 再由 知 继而根据 S ADF S ADC可得答案 解答 解 3AE 2EB 可设 AE 2a BE 3a EF BC AEF ABC 2 2 S AEF 1 S ABC 四边形 ABCD 是平行四边形 S ADC S ABC EF BC S ADF S ADC 故答案为 32 2018 资阳 已知 如图 ABC 的面积为 12 点 D E 分别是边 AB AC 的中点 则四边形 BCED 的面积为 9 分析 设四边形 BCED 的面积为 x 则 S ADE 12 x 由题意知 DE BC 且 DE BC 从而得 2 据此建立关于 x 的方程 解之可得 解答 解 设四边形 BCED 的面积为 x 则 S ADE 12 x 点 D E 分别是边 AB AC 的中点 DE 是 ABC 的中位线 DE BC 且 DE BC ADE ABC 则 2 即 解得 x 9 即四边形 BCED 的面积为 9 故答案为 9 33 2018 泰安 九章算术 是中国传统数学最重要的著作 在 勾股 章中 有这样一个问题 今有邑方二百步 各中开门 出东门十五步有木 问 出南 门几步面见木 用今天的话说 大意是 如图 DEFG 是一座边长为 200 步 步 是古代的长度 单位 的正方形小城 东门 H 位于 GD 的中点 南门 K 位于 ED 的中点 出东门 15 步的 A 处有一树木 求出南门多少步恰好看到位于 A 处的树木 即点 D 在直 线 AC 上 请你计算 KC 的长为 步 分析 证明 CDK DAH 利用相似三角形的性质得 然后利用比 例性质可求出 CK 的长 解答 解 DH 100 DK 100 AH 15 AH DK CDK A 而 CKD AHD CDK DAH 即 CK 答 KC 的长为步 故答案为 34 2018 岳阳 九章算术 是我国古代数学名著 书中有下列问题 今 有勾五步 股十二步 问勾中容方几何 其意思为 今有直角三角形 勾 短直角边 长为 5 步 股 长直角边 长为 12 步 问该直角三角形能容纳的 正方形边长最大是多少步 该问题的答案是 步 分析 如图 1 根据正方形的性质得 DE BC 则 ADE ACB 列比例式 可得结论 如图 2 同理可得正方形的边长 比较可得最大值 解答 解 如图 1 四边形 CDEF 是正方形 CD ED DE CF 设 ED x 则 CD x AD 12 x DE CF ADE C AED B ADE ACB x 如图 2 四边形 DGFE 是正方形 过 C 作 CP AB 于 P 交 DG 于 Q 设 ED x S ABC AC BC AB CP 12 5 13CP CP 同理得 CDG CAB x 该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 步 故答案为 35 2018 吉林 如图是测量河宽的示意图 AE 与 BC 相交于点 D B C 90 测得 BD 120m DC 60m EC 50m 求得河宽 AB 100 m 分析 由两角对应相等可得 BAD CED 利用对应边成比例可得两岸间的 大致距离 AB 解答 解 ADB EDC ABC ECD 90 ABD ECD 解得 AB 米 故答案为 100 三 解答题 共三 解答题 共 15 小题 小题 36 2018 张家界 如图 点 P 是 O 的直径 AB 延长线上一点 且 AB 4 点 M 为上一个动点 不与 A B 重合 射线 PM 与 O 交于点 N 不与 M 重 合 1 当 M 在什么位置时 MAB 的面积最大 并求岀这个最大值 2 求证 PAN PMB 分析 1 当 M 在弧 AB 中点时 三角形 MAB 面积最大 此时 OM 与 AB 垂 直 求出此时三角形面积最大值即可 2 由同弧所对的圆周角相等及公共角 利用两对角相等的三角形相似即可得 证 解答 解 1 当点 M 在的中点处时 MAB 面积最大 此时 OM AB OM AB 4 2 S ABM AB OM 4 2 4 2 PMB PAN P P PAN PMB 37 2018 株洲 如图 在 Rt ABM 和 Rt ADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD 其中 AM AN 1 求证 Rt ABM Rt AND 2 线段 MN 与线段 AD 相交于 T 若 AT 求 tan ABM 的值 分析 1 利用 HL 证明即可 2 想办法证明 DNT AMT 可得由 AT 推出 在 Rt ABM 中 tan ABM 解答 解 1 AD AB AM AN AMB AND 90 Rt ABM Rt AND HL 2 由 Rt ABM Rt AND 易得 DAN BAM DN BM BAM DAM 90 DAN ADN 90 DAM AND ND AM DNT AMT AT Rt ABM tan ABM 38 2018 大庆 如图 AB 是 O 的直径 点 E 为线段 OB 上一点 不与 O B 重合 作 EC OB 交 O 于点 C 作直径 CD 过点 C 的切线交 DB 的 延长线于点 P 作 AF PC 于点 F 连接 CB 1 求证 AC 平分 FAB 2 求证 BC2 CE CP 3 当 AB 4且 时 求劣弧的长度 分析 1 根据等角的余角相等证明即可 2 只要证明 CBE CPB 可得 解决问题 3 作 BM PF 于 M 则 CE CM CF 设 CE CM CF 3a PC 4a PM a 利用 相似三角形的性质求出 BM 求出 tan BCM 的值即可解决问题 解答 1 证明 AB 是直径 ACB 90 BCP ACF 90 ACE BCE 90 BCP BCE ACF ACE 即 AC 平分 FAB 2 证明 OC OB OCB OBC PF 是 O 的切线 CE AB OCP CEB 90 PCB OCB 90 BCE OBC 90 BCE BCP CD 是直径 CBD CBP 90 CBE CPB BC2 CE CP 3 解 作 BM PF 于 M 则 CE CM CF 设 CE CM CF 3a PC 4a PM a MCB P 90 P PBM 90 MCB PBM CD 是直径 BM PC CMB BMP 90 BMC PMB BM2 CM PM 3a2 BM a tan BCM BCM 30 OCB OBC BOC 60 BOD 120 的长 39 2018 江西 如图 在 ABC 中 AB 8 BC 4 CA 6 CD AB BD 是 ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E 求 AE 的长 分析 根据角平分线定义和平行线的性质求出 D CBD 求出 BC CD 4 证 AEB CED 得出比例式 求出 AE 2CE 即可得出答案 解答 解 BD 为 ABC 的平分线 ABD CBD AB CD D ABD D CBD BC CD BC 4 CD 4 AB CD ABE CDE AE 2CE AC 6 AE CE AE 4 40 2018 上海 已知 如图 正方形 ABCD 中 P 是边 BC 上一点 BE AP DF AP 垂足分别是点 E F 1 求证 EF AE BE 2 联结 BF 如课 求证 EF EP 分析 1 利用正方形的性质得 AB AD BAD 90 根据等角的余角相等 得到 1 3 则可判断 ABE DAF 则 BE AF 然后利用等线段代换可得到 结论 2 利用 和 AF BE 得到 则可判定 Rt BEF Rt DFA 所以 4 3 再证明 4 5 然后根据等腰三角形的性质可判断 EF EP 解答 证明 1 四边形 ABCD 为正方形 AB AD BAD 90 BE AP DF AP BEA AFD 90 1 2 90 2 3 90 1 3 在 ABE 和 DAF 中 ABE DAF BE AF EF AE AF AE BE 2 如图 而 AF BE Rt BEF Rt DFA 4 3 而 1 3 4 1 5 1 4 5 即 BE 平分 FBP 而 BE EP EF EP 41 2018 东营 如图 CD 是 O 的切线 点 C 在直径 AB 的延长线上 1 求证 CAD BDC 2 若 BD AD AC 3 求 CD 的长 分析 1 连接 OD 由 OB OD 可得出 OBD ODB 根据切线的性质及 直径所对的圆周角等于 180 利用等角的余角相等 即可证出 CAD BDC 2 由 C C CAD CDB 可得出 CDB CAD 根据相似三角形的性 质结合 BD AD AC 3 即可求出 CD 的长 解答 1 证明 连接 OD 如图所示 OB OD OBD ODB CD 是 O 的切线 OD 是 O 的半径 ODB BDC 90 AB 是 O 的直径 ADB 90 OBD CAD 90 CAD BDC 2 解 C C CAD CDB CDB CAD BD AD 又 AC 3 CD 2 42 2018 南京 如图 在正方形 ABCD 中 E 是 AB 上一点 连接 DE 过点 A 作 AF DE 垂足为 F O 经过点 C D F 与 AD 相交于点 G 1 求证 AFG DFC 2 若正方形 ABCD 的边长为 4 AE 1 求 O 的半径 分析 1 欲证明 AFG DFC 只要证明 FAG FDC AGF FCD 2 首先证明 CG 是直径 求出 CG 即可解决问题 解答 1 证明 在正方形 ABCD 中 ADC 90 CDF ADF 90 AF DE AFD 90 DAF ADF 90 DAF CDF 四边形 GFCD 是 O 的内接四边形 FCD DGF 180 FGA DGF 180 FGA FCD AFG DFC 2 解 如图 连接 CG EAD AFD 90 EDA ADF EDA ADF 即 AFG DFC 在正方形 ABCD 中 DA DC AG EA 1 DG DA AG 4 1 3 CG 5 CDG 90 CG 是 O 的直径 O 的半径为 43 2018 滨州 如图 AB 为 O 的直径 点 C 在 O 上 AD CD 于点 D 且 AC 平分 DAB 求证 1 直线 DC 是 O 的切线 2 AC2 2AD AO 分析 1 连接 OC 由 OA OC AC 平分 DAB 知 OAC OCA DAC 据此知 OC AD 根据 AD DC 即可得证 2 连接 BC 证 DAC CAB 即可得 解答 解 1 如图 连接 OC OA OC OAC OCA AC 平分 DAB OAC DAC DAC OCA OC AD 又 AD CD OC DC DC 是 O 的切线 2 连接 BC AB 为 O 的直径 AB 2AO ACB 90 AD DC ADC ACB 90 又 DAC CAB DAC CAB 即 AC2 AB AD AB 2AO AC2 2AD AO 44 2018 十堰 如图 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D 交 AC 于点 E 过点 D 作 FG AC 于点 F 交 AB 的延长线于点 G 1 求证 FG 是 O 的切线 2 若 tanC 2 求的值 分析 1 欲证明 FG 是 O 的切线 只要证明 OD FG 2 由 GDB GAD 设 BG a 可得 推出 DG 2a AG 4a 由此即可解决问题 解答 1 证明 连接 AD OD AB 是直径 ADB 90 即 AD BC AC AB CD BD OA OB OD AC DF AC OD DF FG 是 O 的切线 2 解 tanC 2 BD CD BD AD 1 2 GDB ODB 90 ADO ODB 90 OA OD OAD ODA GDB GAD G G GDB GAD 设 BG a DG 2a AG 4a BG GA 1 4 45 2018 杭州 如图 在 ABC 中 AB AC AD 为 BC 边上的中线 DE AB 于点 E 1 求证 BDE CAD 2 若 AB 13 BC 10 求线段 DE 的长 分析 1 想办法证明 B C DEB ADC 90 即可解决问题 2 利用面积法 AD BD AB DE 求解即可 解答 解 1 AB AC BD CD AD BC B C DE AB DEB ADC BDE CAD 2 AB AC BD CD AD BC 在 Rt ADB 中 AD 12 AD BD AB DE DE 46 2018 烟台 如图 已知 D E 分别为 ABC 的边 AB BC 上两点 点 A C E 在 D 上 点 B D 在 E 上 F 为上一点 连接 FE 并延长交 AC 的 延长线于点 N 交 AB 于点 M 1 若 EBD 为 请将 CAD 用含 的代数式表示 2 若 EM MB 请说明当 CAD 为多少度时 直线 EF 为 D 的切线 3 在 2 的条件下 若 AD 求的值 分析 1 根据同圆的半径相等和等边对等角得 EDB EBD CAD ACD DCE DEC 2 再根据三角形内角和定理 可得结论 2 设 MBE x 同理得 EMB MBE x 根据切线的性质知 DEF 90 所以 CED MEB 90 同理根据三角形内角和定理可得 CAD 45 3 由 2 得 CAD 45 根据 1 的结论计算 MBE 30 证明 CDE 是等边三角形 得 CD CE DE EF AD 求 EM 1 MF EF EM 1 根据三 角形内角和及等腰三角形的判定得 EN CE 代入化简可得结论 解答 解 1 连接 CD DE E 中 ED EB EDB EBD CED EDB EBD 2 D 中 DC DE AD CAD ACD DCE DEC 2 ACB 中 CAD ACD DCE EBD 180 CAD 2 设 MBE x EM MB EMB MBE x 当 EF 为 D 的切线时 DEF 90 CED MEB 90 CED DCE 90 x ACB 中 同理得 CAD ACD DCE EBD 180 2 CAD 180 90 90 CAD 45 3 由 2 得 CAD 45 由 1 得 CAD MBE 30 CED 2 MBE 60 CD DE CDE 是等边三角形 CD CE DE EF AD Rt DEM 中 EDM 30 DE EM 1 MF EF EM 1 ACB 中 NCB 45 30 75 CNE 中 CEN BEF 30 CNE 75 CNE NCB 75 EN CE 2 47 2018 陕西 周末 小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的 宽 测量时 他们选择了河对岸岸边的一棵大树 将其底部作为点 A 在他们 所在的岸边选择了点 B 使得 AB 与河岸垂直 并在 B 点竖起标杆 BC 再在 AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆 DE 使得点 E 与点 C A 共线 已知 CB AD ED AD 测得 B