等比数列的性质PPT.ppt

课标要求 1 理解等比数列的性质并能应用 2 了解等比数列同指数函数间的关系 3 会用等比数列的性质解题 核心扫描 1 等比数列的性质及应用 重点 2 等比数列与等差数列的综合应用 重点 3 与函数 方程 不等式等结合命题 难点 第2课时等比数列的性质及应用 等比数列的项与序号的关系以及性质设等比数列 an 的公比为q 1 两项关系 an m n N 2 多项关系 若m n p q m n p q N 则aman 3 若m n p m n p N 成等差数列时 am an ap成等比数列 等比数列的项的对称性有穷等比数列中 与首末两项 等距离 的两项之积等于首末两 自学导引 1 2 amqn m apaq an 1 an k 1 等比数列的 子数列 的性质若数列 an 是公比为q的等比数列 则 1 an 去掉前几项后余下的项仍组成公比为 的等比数列 2 奇数项数列 a2n 1 是公比为 的等比数列 偶数项数列 a2n 是公比为 的等比数列 3 在数列 an 中每隔k k N 取出一项 按原来顺序组成新数列 则新数列仍为等比数列且公比为qk 1 3 q q2 q2 如果等比数列 an 中 m n 2k m n k N 那么am an ak2是否成立 反之呢 提示 如果等比数列的三项的序号成等差数列 那么对应的项成等比数列 事实上 若m n 2k m n k N 则am an a1 qm 1 a1 qn 1 a12 qm n 2 a12 qk 1 2 ak2 在等比数列 an 中 若am an ap aq ak2 不一定有m n p q 2k 如非零常数列 等比数列的单调性 1 当q 1 a1 0或01 a10时 等比数列 an 是递减数列 3 当q 1时 等比数列 an 是常数列 4 当q 0时 等比数列 an 是摆动数列 等比数列的运算性质 1 若 an 是公比为q的等比数列 则 c an c是非零常数 是公比为q的等比数列 an 是公比为 q 的等比数列 名师点睛 1 2 anm m是整数常数 是公比为qm的等比数列 特别地 若数列 an 是正项等比数列时 数列 anm m是实数常数 是公比为qm的等比数列 2 若 an bn 分别是公比为q1 q2的等比数列 则数列 an bn 是公比为q1q2的等比数列 3 数列 an 是各项均为正数的等比数列时 数列 lgan 是公差为lgq的等差数列 题型一等比数列性质的应用 已知数列 an 为等比数列 1 若an 0 且a2a4 2a3a5 a4a6 36 求a3 a5的值 2 若a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 求数列 an 的通项公式 思路探索 应用等比数列的性质 a2a4 a32 a4a6 a52 a1a3 a22 化简已知 可求解 解 1 法一 an 0 a1 0 q 0 又 a2a4 2a3a5 a4a6 36 a1q a1q3 2a1q2 a1q4 a1q3 a1q5 36 即a12q4 2a12q6 a12q8 36 例1 a12q4 1 2q2 q4 36 即a12q4 1 q2 2 36 a1q2 1 q2 6 a3 a5 a1q2 a1q4 a1q2 1 q2 6 法二 a2a4 2a3a5 a4a6 36 a32 2a3a5 a52 36 a3 a5 2 36 a3 a5 6 2 a22 a1a3代入已知 得a23 8 a2 2 在等比数列的有关运算中 常常涉及到次数较高的指数运算 若按常规解法 往往是建立a1 q的方程组 这样解起来很麻烦 通过本例可以看出 结合等比数列的性质进行整体变换 会起到化繁为简的效果 2 已知数列 an 成等比数列 若a3a4a5 8 求a2a3a4a5a6的值 解 1 在等比数列 an 中 a1 a9 a3 a7 由已知可得 a3 a7 64与a3 a7 20联立得 变式1 1 在递增等比数列 an 中 a1a9 64 a3 a7 20 求a11的值 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 并且第一个数与第四个数的和是16 第二个数与第三个数的和是12 求这四个数 思路探索 根据等差数列和等比数列的性质 设出未知数 结合题中条件求解即可 题型二灵活设项求解等比数列 例2 所以 当a 4 d 4时 所求四个数为0 4 8 16 当a 9 d 6时 所求四个数为15 9 3 1 故所求四个数为0 4 8 16或15 9 3 1 当a 8 q 2时 所求四个数为0 4 8 16 故所求四个数为0 4 8 16或15 9 3 1 三个数成等比数列 其积为512 如果第一个数与第三个数各减去2 则这三个数成等差数列 求这三个数 变式2 某市2010年新建住房400万平方米 其中250万平方米是中低价房 预计今年后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积比上一年增加50万平方米 那么到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2010年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 思路探索 本题主要考查构建数学模型解决实际问题 通过阅读之后 找出题目中的相关信息 构造等差数列和等比数列 题型三等比数列的实际应用 例3 解 1 设中低价房面积构成数列 an 由题意可知 an 是等差数列 其中a1 250 d 50 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 解得n 19或n 10 而n是正整数 n 10 故到2019年年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米 2 设新建住房面积构成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08 n 1 由题意可知an 0 85bn 即250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85满足上述不等式的最小正整数n 6 故到2015年年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 本题将实际问题抽象出一个数列问题 解决数列应用题的关键是读懂题意 建立数学模型 弄清问题的哪一部分是数列问题 是哪种数列 在求解过程中应注意首项的确立 时间的推算 不要在运算中出现问题 始于2007年初的美国次贷危机 至2008年中期 已经演变为全球金融危机 受此拖累 国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌 9月跌至每桶97美元 你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗 若按此计算 到什么时间跌至谷底 即每桶34美元 解设每月平均下降的百分比为x 则每月的价格构成了等比数列 an 记 a1 147 7月份价格 则8月份价格 a2 a1 1 x 147 1 x 9月份价格 a3 a2 1 x 147 1 x 2 147 1 x 2 97 解得x 18 8 设an 34 则34 147 1 18 8 n 1 解得n 8 即从2008年7月算起第8个月 也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶 变式3 2 是否存在m 使得数列 bn 中存在某项bt满足b1 b4 bt t N t 5 成等差数列 若存在 请指出符合题意的m的个数 若不存在 请说明理由 审题指导 1 由an Sn Sn 1 n 2 求得an b b1b8求得m 2 由2b4 b1 bt可得以m为变量 t为函数的关系式 由t 5 t N 可得m的取值 题型四等差数列与等比数列的综合应用 题后反思 1 在等差数列与等比数列的综合问题中 特别要注意它们的区别 避免用错公式 2 方程思想的应用往往是破题的关键 1 求通项公式an及Sn 2 设 bn an 是首项为1 公比为3的等比数列 求数列 bn 的通项公式 解 1 因为 an 是首项为19 公差为 2的等差数列 所以an 19 2 n 1 2n 21 即an 2n 21 变式4 已知 an 是首项为19 公差为 2的等差数列 Sn为 an 的前n项和 A n 1 2B n2C n 1 2D n 2n 1 错解 易得an 2n 且log2a1 log2a3 log2a2n 1 log2 a1a3 a2n 1 log221 3 2n 1 误区警示因没数清数列的项数致误