《轴对称、平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

第 1 页 共 9 页 轴对称 平移与旋转轴对称 平移与旋转 全章复习与巩固全章复习与巩固 知识讲解 提高 知识讲解 提高 学习目标学习目标 1 了解轴对称 平移 旋转 探索它们的基本性质 2 能够按要求作出简单平面图形经过轴对称 平移 旋转后的图形 能作出简单平面图形经过一次或 两次轴对称后的图形 3 利用轴对称 平移 旋转及其组合进行图案设计 认识和欣赏轴对称 平移 旋转在现实生活中的 应用 4 掌握全等三角形的性质 会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算 解决某些实际问题 知识网络知识网络 要点梳理要点梳理 要点一 平移变换要点一 平移变换 1 1 平移的概念 平移的概念 在平面内 将一个图形沿某个方向移动一定的距离 这样的图形运动称为 平移 平移不改变图形的形状和大小 要点诠释 要点诠释 1 平移是运动的一种形式 是图形变换的一种 本讲的平移是指平面图形在同一平面内 的变换 2 图形的平移有两个要素 一是图形平移的方向 二是图形平移的距离 这两个要素是 图形平移的依据 3 图形的平移是指图形整体的平移 经过平移后的图形 与原图形相比 只改变了位置 而不改变图形的大小 这个特征是得出图形平移的基本性质的依据 2 2 平移的基本性质 平移的基本性质 由平移的概念知 经过平移 图形上的每一个点都沿同一个方向移动 相同的距离 平移不改变图形的形状和大小 因此平移具有下列性质 经过平移 对应点 所连的线段平行且相等 对应角相等 要点诠释 要点诠释 1 要注意正确找出 对应线段 对应角 从而正确表达基本性质的特征 2 对应点所连的线段平行且相等 这个基本性质既可作为平移图形之间的性质 又 可作为平移作图的依据 要点二 旋转变换要点二 旋转变换 第 2 页 共 9 页 1 1 旋转概念 旋转概念 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转 点 O 叫做旋转中心 转动 的角叫做旋转角 旋转变换的性质 旋转变换的性质 图形通过旋转 图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度 任意一对对 应点与旋转中心的连线都是旋转角 对应点到旋转中心的距离相等 对应线段相等 对应角相等 旋 转过程中 图形的形状 大小都没有发生变化 旋转作图步骤 旋转作图步骤 分析题目要求 找出旋转中心 确定旋转角 分析所作图形 找出构成图形的关键点 沿一定的方向 按一定的角度 旋转各顶点和旋转中心所连线段 从而作出图形中各关键点的对 应点 按原图形连结方式顺次连结各对应点 中心对称与中心对称图形 中心对称与中心对称图形 中心对称 中心对称 把一个图形绕着某一点旋转 180 它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于这个点对 称或中心对称 这个点叫做对称中心 这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点 中心对称图形 中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转 180 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合 那么这个图形就叫 中心对称图形 5 5 中心对称作图步骤 中心对称作图步骤 连结决定已知图形的形状 大小的各关键点与对称中心 并且延长至 2 倍 得到各点的对称点 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形 要点诠释 要点诠释 图形变换与图案设计的基本步骤图形变换与图案设计的基本步骤 确定图案的设计主题及要求 分析设计图案所给定的基本图案 利用平移 旋转 轴对称对基本图案进行变换 实现由基本图案到各部分图案的有机组合 对图案进行修饰 完成图案 要点三 轴对称变换要点三 轴对称变换 1 1 轴对称与轴对称图形 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于 这条直线对称 也叫做这两个图形成轴对称 这条直线叫做对称轴 折叠后重合的对应点 叫做对称 点 轴对称图形 轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形叫做轴对 称图形 2 2 轴对称变换的性质 轴对称变换的性质 关于直线对称的两个图形是全等图形 如果两个图形关于某直线对称 对称轴是对应点连线的垂直平分线 两个图形关于某直线对称 如果它们对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上 如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 3 3 轴对称作图步骤 轴对称作图步骤 找出已知图形的关键点 过关键点作对称轴的垂线 并延长至 2 倍 得到各点的对称点 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形 4 4 平移 轴对称 旋转三种变换的关系 平移 轴对称 旋转三种变换的关系 第 3 页 共 9 页 图形经过平移 旋转或轴对称的变换后 虽然对应位置改变了 但大小和形状没有改变 即两个 图形是全等的 要点四 图形的全等要点四 图形的全等 1 1 全等图形全等图形 形状 大小相同的图形放在一起能够完全重合 能够完全重合的两个图形叫做全等图形 要点诠释 要点诠释 一个图形经过平移 翻折 旋转后 位置变化了 但形状 大小都没有改变 即平移 翻折 旋转前后的图形全等 两个全等形的周长相等 面积相等 2 2 全等多边形全等多边形 1 定义 能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形 相互重合的顶点叫做对应顶点 相互重合 的边叫做对应边 相互重合的角叫做对应角 2 性质 全等多边形的对应边相等 对应角相等 3 判定 边 角分别对应相等的两个多边形全等 3 3 全等三角形全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 1 全等三角形的性质 全等三角形的对应边 对应角分别相等 要点诠释 要点诠释 全等三角形对应边上的高相等 对应边上的中线相等 周长相等 面积相等 全等三角 形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具 2 全等三角形的判定 如果两个全等三角形的边 角分别对应相等 那么这两个全等三角形全等 典型例题典型例题 类型一 平移变换类型一 平移变换 1 阅读理解题 1 两条直线 a b 相交于一点 O 如图 有两对不同的对顶角 2 三条直线 a b c 相交于点 O 如图 则把直线平移成如图 所示的图形 可数出 6 对不同的 对顶角 3 四条直线 a b c d 相交于一点 O 如图 用 2 的方法把直线 c 平移 可数出 对不 同的对顶角 4 n 条直线相交于一点 O 用同样的方法把直线平移后 有 对不同的对顶角 5 2013 条直线相交于一点 O 用同样的方法把直线平移后 有 对不同的对顶角 思路点拨 3 画出图形 根据图形得出即可 4 根据以上能得出规律 有 n n 1 对不同的对顶角 第 4 页 共 9 页 5 把 n 2013 代入求出即可 答案与解析 解 3 如图有 12 对不同的对顶角 故答案为 12 4 有 n n 1 对不同的对顶角 故答案为 n n 1 5 把 n 2013 代入得 2013 2013 1 故答案为 总结升华 本题考查了平移与对顶角的应用 关键是能根据题意得出规律 2 操作与探究 对数轴上的点 P 进行如下操作 先把点 P 表示的数乘以 1 3 再把所得数对应的点向右平移 1 个单位 得到点 P 的对应点 P 点 A B 在数轴上 对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 A B 其中点 A B 的对应点分别为 A B 如图 1 若点 A 表示的数是 3 则点 A 表示的数是 若点 B 表示的数是 2 则点 B 表示的数是 已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得 到的对应点 E 与点 E 重合 则点 E 表示的数是 思路点拨 根据题目规定 以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A 设点 B 表示的数为 a 根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数 设点 E 表示的数为 b 根据题意列出方程计算即可 得解 答案 0 3 3 2 解析 解 点 A 3 1 3 1 1 1 0 设点 B 表示的数为 a 则 1 3 a 1 2 解得 a 3 设点 E 表示的数为 b 则 1 3 b 1 b 解得 b 3 2 第 5 页 共 9 页 故答案为 0 3 3 2 总结升华 耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键 举一反三 举一反三 变式变式 如图 面积为 12cm2的 ABC 沿 BC 方向平移至 DEF 的位置 平移距离是边 BC 长的两倍 则 图中四边形 ACED 的面积为 A 24cm2 B 36cm2 C 48cm2 D 无法确定 答案 B 四边形 ABED 是平行四边形且 S四边形 ABED S四边形 ACFD 而 S四边形 ACED S四边形 ABED S ABC 类型二 旋转变换类型二 旋转变换 3 正方形 ABCD 中对角线 AC BD 相交于点 O E 是 AC 上一点 F 是 OB 上一点 且 OE OF 回答下 列问题 1 在图中 1 可以通过平移 旋转 翻折中的哪一种方法 使 OAF 变到 OBE 的位置 请说出其变 化过程 2 指出图 1 中 AF 和 BE 之间的关系 并证明你的结论 3 若点 E F 分别运动到 OB OC 的延长线上 且 OE OF 如图 2 则 2 中的结论仍然成立吗 若成立 请证明你的结论 若不成立 请说明你的理由 思路点拨 1 根据图形特点即可得到答案 2 延长 AF 交 BE 于 M 根据正方形性质求出 AB BC AOB BOC 证 AOF BOE 推出 AF BE FAO EBO 根据三角形内角和定理证出即可 3 延长 EB 交 AF 于 N 根据正方形性质推出 ABD ACB 45 AB BC 得到 ABF BCE 同法可 证 ABF BCE 推出 AF BE F E FAB EBC 得到 E FAB BAO 90 即可 答案与解析 解 1 旋转 以点 O 为旋转中心 逆时针旋转 90 度 2 图 1 中 AF 和 BE 之间的关系 AF BE AF BE 证明 延长 AF 交 BE 于 M 正方形 ABCD 第 6 页 共 9 页 AC BD OA OB AOB BOC 90 在 AOF 和 BOE 中 AOF BOE SAS AF BE FAO EBO EBO OEB 90 FAO OEB 90 AME 90 AF BE 即 AF BE AF BE 3 成立 证明 延长 EB 交 AF 于 N 正方形 ABCD ABD ACB 45 AB BC ABF ABD 180 BCE ACB 180 ABF BCE AB BC BF CE ABF BCE AF BE F E FAB EBC F FAB ABD 45 E FAB 45 E FAB BAO 45 45 90 ANE 180 90 90 AF BE 即 AF BE AF BE 总结升华 本题主要考查对正方形的性质 全等三角形的性质和判定 三角形的内角和定理 旋转 的性质等知识点的连接和掌握 综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 4 如图 在正方形 ABCD 中 F 是 AD 的中点 E 是 BA 延长线上一点 且 AE AB 1 2 你认为可以通过平移 轴对称 旋转中的哪一种方法使 ABF 变到 ADE 的位置 若是旋转 指出旋 第 7 页 共 9 页 转中心和旋转角 线段 BF 和 DE 之间有何数量关系 并证明 思路点拨 1 把 ABF 以 A 点为旋转中心 逆时针旋转 90 可得到 ADE 2 根据正方形的性质得到 AB AD BAF EAD 又 F 是 AD 的中点 AE AB 则 AE AF 根据旋转 1 2 的定义得到 ABF 以 A 点为旋转中心 逆时针旋转 90 时 AB 旋转到 AD AF 旋转到 AE 于是有 BF DE 答案与解析 解 1 可以通过旋转使 ABF 变到 ADE 的位置 即把 ABF 以 A 点为旋转中心 逆时针旋转 90 可得到 ADE 2 线段 BF 和 DE 的数量关系是相等 理由如下 四边形 ABCD 为正方形 AB AD BAF EAD F 是 AD 的中点 AE AB 1 2 AE AF ABF 以 A 点为旋转中心 逆时针旋转 90 时 AB 旋转到 AD AF 旋转到 AE 即 F 点与 E 点重 合 B 点与 D 点重合 BF 与 DE 为对应线段 BF DE 总结升华 本题考查了旋转的性质 旋转前后两图形全等 对应点到旋转中心的距离相等 对应点 与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 也考查了正方形的性质 举一反三 举一反三 变式变式 如下图 等边 ABC 经过平移后成为 BDE 则其平移的方向是 平移的距离是 ABC 经过旋转后成为 BDE 则其旋转中心是 旋转角度是 度 答案 解 等边 ABC 经过平移后成为 BDE 则其平移的方向是水平向右 平移的距离是 AB 或 BD ABC 经过旋转后成为 BDE 则其旋转中心是 B 旋转角度是 120 度 第 8 页 共 9 页 类型三 轴对称变换类型三 轴对称变换 5 现有如图 的瓷砖若干块 l 用两块这样的瓷砖拼成一个长方形 使拼成的图案呈轴对称图形 请在图 的两 个长方形中各画出一种拼法 要求两种拼法不同 所画图案中的阴影部分用斜线表示 2 用四块如图 的瓷砖拼成一个正方形 使拼成的图案成轴对称图形 请你在图 的三个正方形中 各画出一种拼法 要求同 1 3 在第 1 题中 请你计算用如图 的瓷砖拼成的所有长方形中 是轴对称图形的成功率是多少 思路点拨 1 根据用两块这样的瓷砖拼成一个长方形 使拼成的图案呈轴对称图形