与旋转有关的最值

1 难点突破专题 与旋转有关的最值与路径 1 构造全等 结合三边关系求最值 1 如图 等腰之间 ABC 中 AC BC 等腰直角 CDP 中 CD CP 且5 PB 将 CDP 绕点 C 旋转 C P D 三点按顺时针方向排列 2 1 当 PBC 时 BD 有最小值 最小值为多少 2 当角 PBC 时 BD 有最大值 最大值为多少 解 连接 AD CDP ACB 都是等腰直角三角形 CD CP AC BC PCD BCA 90 PCD BCP BCD 90 BCA BCD DCA 90 BCP DCA BCP ACD BC AC CP CD CPB CDA SAS PB AD 2 AB AD BD AB AD 2 BD 2 1010 1 当 PBC 45 时 A D B 共线 BD 有最小值 2 10 2 2 当 PBC 135 时 A D B 共线 BD 有最大值 2 10 2 遇等边三角形 旋转求最值 60 2 如图 ABC 中 AB 2 AC 4 以 BC 为边在 BC 的下方作等边 PBC 求 AP 的最大值 解 如图 2 ABP 逆时针旋转 60 得到 A BC A BA 60 A B AB AP A C A BA 是等边三角形 A A AB BA 2 在 AA C 中 A C AA AC 即 AP 6 则当点 A A C 三点共线时 A C AA AC 即 AP 6 即 AP 的最大值是 6 故答案是 6 3 3 遇等边三角形 旋转求最值 60 3 如图 ABC 中 AB AC 3 以 C 为直角顶点 BC 为直角边 向下作等2 腰直角 BCD 求 AD 的最大值 解 将 ACD 绕点 C 顺时针旋转 90 得 A CB 连结 AA 则 AA C 为等腰直角三角形 AA AC 3 AD A B 22 A B AB AA 当点 B A A 三点共线时 A B 最大 此时 A B A B AA 3 4 222 AD 的最大值为 42 4 4 遇中点 构造中位线求最值 4 如图 在等腰直角 ABC 中 AB AC 3 在等腰直角 BEF 中 BE EF 1 O 为 CF 的中点 当 BEF 绕点 B 旋转时 AO 的最大值为 5 运动路径为线段长 5 在平面直角坐标系中 点 C 沿着某条路径运动 以点 C 为旋转中心 将点 A 0 4 逆时针旋转到点 B m 1 若 则点 C 的运动路径长 905m5 为 解 如图 1 所示 在 y 轴上取点 P 0 1 过 P 作直线 l x 轴 B m 1 B 在直线 l 上 C 为旋转中心 旋转角为 90 BC AC ACB 90 APB 90 1 2 5 作 CM OA 于 M 作 CN l 于 N 则 Rt BCN Rt ACM CN CM 若连接 CP 则点 C 在 BPO 的平分线上 动点 C 在直线 CP 上运动 如图 2 所示 B m 1 且 5 m 5 分两种情况讨论 C 的路径端点坐标 当 m 5 时 B 5 1 PB 5 作 CM y 轴于 M 作 CN l 于 N 同理可得 BCN ACM CM CN BN AM 可设 PN PM CN CM a P 0 1 A 0 4 AP 3 AM BN 3 a PB a 3 a 5 a 1 C 1 0 当 m 5 时 B 5 1 如图 2 中的 B1