以平面波展开法分析光子晶体能带结构.

以平面波展開法分析光子晶體能帶結構以平面波展開法分析光子晶體能帶結構 廖淑慧 講師 中州技術學院 電子工程系 黃坤賢 學生 黃照智 學生 中州技術學院 電子工程系 摘 要 光子晶體的主要特色在於所謂的光子能隙 電磁波無法在能隙中傳播 雖然三 維的光子晶體被認為是最具應用潛力的 但是二維光子晶體的結構在製程上卻佔有 較易製作的優勢 所以在光電元件裝置及相關研究領域上亦廣為使用 我們使用平 面波展開法 分別計算一維和二維光子晶體的能帶結構 根據理論分析的結果 我 們發現一維光子晶體無論介電常數差異如何 總是存在著光子能隙 對於二維正方 晶格的結構計算 我們發現正方晶格對 TM 波有能隙 對 TE 波則無 關鍵詞 光子晶體 光子能隙 平面波展開法 壹 前言 當半導體中的電子受到晶格的週期性位勢 periodic potential 散射時 部份波段會 因破壞性干涉而形成能隙 energy gap 導致電子的色散關係 dispersion relation 呈帶 狀分佈 此即所謂的電子能帶結構 electronic band structure 西元 1987 年 E Yablonovitch 與 S John 不約而同地提出相關見解 1 2 說明類似的現象亦存在於所 謂的光子系統中 根據他們提出的研究報告顯示 在介電係數呈週期性排列的三維 介電材料中 電磁波被散射後 某些波段的電磁波強度將會因破壞性干涉而呈指數 衰減 無法在該材料內傳遞 這樣的現象相當於在對應的頻譜上形成能隙 因此 色散關係也具有帶狀結構 此即所謂的光子能帶結構 photonic band structure 這種 具有光子能帶結構的介電物質 就稱為光子晶體 photonic crystal 事實上 在三維光子能帶結構的概念尚未被提出之前 科學家們對於一維的光 子晶體 層狀介電材料 的研究早已行之多年 電磁波在一維的光子晶體中的干涉現 象早已應用在各種光學實驗以及相關的應用產品之中 例如作為波段選擇器 濾波 器 繞射光柵元件或反射鏡等 因為科學界一直未能以 晶格 的角度來看待週期 性光學材料 所以遲遲未能將固態物理上已發展成熟的能帶理論運用在這方面 直 到 1989 年 Yablonovitch 與 Gmitter 首次嘗試在實驗上證明三維光子能帶結構的存 在 3 終於引起相關研究領域的注意 並且開始大舉投入這方面的研究 目前 光子晶體在光通訊系統中已有非常多的應用 例如光開關 光放大器 光 交換等元件 甚至於非線性光子晶體光纖 多模態光子晶體光纖等 都在光電領域中 有著非常具大的應用潛力 若能在元件中或電路製作前 先以演算法分析所需的光子 晶體 必能為龐大的半導體製程省下大量的費用 目前計算光子能帶結構的數值方法最常見的主要有 平面波展開法 plane wave expansion method PWM 4 7 有限元素法 finite element method FEM 8 10 及時域有 限差分法 finite difference time domain FDTD 11 14 在本論文中將利用平面波展開 法 計算一維與二維光子晶體的色散曲線 dispersion curve 找出其能隙所在 貳貳 光子能帶結構分析光子能帶結構分析 平面波展開法主要的功能是用來求解光子晶體的色散關係 dispersion relation 透 過平面波展開法 可以了解光子晶體能隙的形成 並且可以利用超晶胞 supercell 的技 巧求解含有缺陷 defect 的光子晶體的色散關係 考慮一無源 線性 非損耗性 介質的 Maxwell 方程式如下 0 1 t H E 0 2 t E E ro 3 0E 4 0H 其中為電場強度 為磁場強度 為相對介電常數 為真空中的介電常數E H r o o 和導磁係數 假設電場與磁場都是時間的諧和場 可令 5 tj erEtrE 6 tj erHtrH 將 5 及 6 式代入 1 2 式中 整理之後可得到磁場的赫姆霍茲方程式 Helmholtz s equation 7 1 2 2 rH c rH r ro 其中 和 c 分別為光在真空中的角頻率及光速 為介電常數函數 根據布洛赫定 r r 理 Bloch s Theorem 在週期性排列結構中的電磁場可以用平面波展開如下 8 rGkj G G eehrH 其中為倒晶格向量 2 為布洛赫波向量 Bloch s wave vector 為磁場G 1 k G h 沿著方向的係數 為兩個與相互垂直的單位向量 e e Gk 由於為一週期函數 所以可用傅立葉級數展開之 r 1 r 9 G rGj r e G r r 1 10 de r V 1 G rGj 其中為單位晶格 unit cell V 為單位晶格的體積 接著將 8 及 9 式代入 7 式 透過一些整理 後可得到一特徵方程式如下 11 G G G G G h h ch h eeee eeee GkGkGG 2 1 2 2 2 1 1121 1222 由 11 式 可根據不同的值解出對應特徵值 n 及特徵向量 若只考慮二維的k G h 問題時 11 式可分解為兩個特徵值方程式 分別對應於橫磁波 TM mode 和橫電波 TE mode 一 橫磁波 TM mode 假設電磁波的傳播方向在 x y 平面上 在 TM 模態下僅考慮 和 0k z z E x H 三個場量 則 11 式可化簡如下 y H 12 G G G h c hGGGkGk 12 2 1 二 橫電波 TE mode 在 TE 模態下 電場方向在 x y 平面上 磁場在 z 方面上 和 11 式 z H x E y E 可化簡如下 13 G G G h c hGGGkGk 22 2 2 若考慮一維的問題 k 和 G 只有兩個方向 分別是 x 與 x 此時可將分別取 21 e e 為 所以 特徵方程式可簡化為 zeye 21 14 G G G h c hGGGkGk 2 2 在此情況下 和都在 y z 平面 所以 TE mode 和 TM mode 的情況是一樣的 E H 參參 結果分析結果分析 在本論文中 我們使用了一部份參考文獻 15 中的數據 以作為確認數值演算的 結果依據 在一維光子晶體結構中 無論介電常數比值為何 只要 永遠存在著能隙1 b a 圖 1 由圖 1 圖 2 及圖 3 能隙的比較 我們也發現介電常數差額愈小者 能隙亦 較小 對於二維光子晶體結構 則主要計算正方晶格 square lattice 結構排列的二維光子 晶體 探討其在橫磁波與橫電波下的色散特性曲線 考慮一介電質圓柱在 x y 平面的週期排列 圓柱在 z 方向上無窮延伸出去 晶格基 底向量 primitive lattice vector 為 a 代表晶格間距 R 為圓柱半 0 1 aa1 1 0 2 aa 徑 圓柱的材質為鋁 Al 其介電常數 正方晶格的倒晶格還是正方晶格 倒9 8 a 晶格基底向量 reciprocal lattice vector 為 根據 9 10 式可 0 1 a 2 b1 1 0 a 2 b2 以求得如下所示 G 15 0Gif f1 1 f 1 G ba 16 0Gif RG RG J2 f 11 G 1 ba 上式中 為填充係數 filling factor 為圓柱的截面積 為單1 b 2 2 c R a R a a f R a c a 位晶胞的面積 為貝索函數 Bessel function 令 選取足夠的 利用 x J1a2 0R G 12 13 15 及 16 式 代入不同的值求出其對應的特徵值 分別畫出 TMk 模態下和 TE 模態下的色散曲線如圖 4 圖 5 所示 由圖 4 圖 5 可發現 此狀況下的 晶格排列在 TM 模態下存在著一光子晶體能隙 但在 TE 模態下並未發現能隙的存在 肆肆 結論結論 經由對光子晶體能帶的特性曲線探討 我們更加確信利用適當設計的週期性介電 質結構與適合的介電係數 可以在光波範圍內的色散關係中產生能隙結構 因為在能 隙範圍內 任何傳播方向的電磁波均無法傳遞 所以 我們可以配合不同的幾何結構 與材料相關參數 設計出具有不同能隙位置與不同能隙大小的光子晶體 光子晶體的理論發展已日益成熟 實驗的部分 隨著半導體製程的進步 近年來 用在光波段的光子晶體已被製造出來 並驗證了理論 引起電機 電子 物理 通訊 等相關研究領域的注意 並且開始大舉投入這方面的研究 光的平行處理能力以及光 速般的處理速度 讓光子晶體和積體光學在高運算量及高資訊量 高速度的系統上必 能表現其潛力 未來經由積體光路與電子電路整合 將能發揮更大的效用 圖 1 The one dimentional photonic band structure of a multilayer film with lattice constant a and alternating layers of different widths The width of the a 11 58 layer is 0 2a and the width of the b 1 layer is 0 8 圖 2 The one dimentional photonic band structure of a multilayer film with lattice constant a and alternating layers of different widths The width of the a 8 9 layer is 0 2a and the width of the b 1 layer is 0 8a 圖 3 The one dimentional photonic band structure of a multilayer film with lattice constant a and alternating layers of different widths The width of the a 5 2 layer is 0 2a and the width of the b 1 layer is 0 8a 圖 4 The TE mode photonic band structure for a square array of dielectric columns with R 0 2a The band structure is for a crystal consisting of alumina a 8 9 rodsembedded in air b 1 圖 5 The TM mode photonic band structure for a square array of dielectric columns with R 0 2a The band structure is for a crystal consisting of alumina a 8 9 rodsembedded in air b 1 誌謝誌謝 本研究工作之完成承蒙中州技術學院專題研究計畫 編號 CCUT 94 EE09 之經費補 助 也參考了 Shangping Guo 先生提供的 Matlab code 特此致謝 參考文獻參考文獻 1 E Yablonovitch Inhibited spontaneous emission in solid state physics and electronics Phys Rev Lett 58 2059 1987 2 S John Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices Phys Rev Lett 58 2068 1987 3 E Yablonovitch and T J Gmitter Photonic 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Technology Chao Chih Huang Department of Electronic Engineering Chungchou Institute of Technology Abstract The major property of photonic crystals is photonic band gap a frequency region where propagating waves are forbidden Although three dimensional photonic crystals may provide the most