例题讲解：米勒问题之教学设计

例题讲解 米勒问题例题讲解 米勒问题 教学设计教学设计 数学科学学院 118 班 蔡洁慧 学情分析学情分析 1 授课班级学生基础较好 教学中应给予充分思考的时间 并且以引导学生思考为主 2 该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛 可以充分发挥合作的 优势 兼顾效率和平衡 3 本班为自己任课的班级 平时对学生比较了解 在解决具体问题的时候可以兼顾不同能 力的学生 充分调动学生的积极性 教学目标教学目标 知识与能力目标1 了解米勒问题 并且理解米勒定理 2 学会解决米勒问题 并能够运用一定的空间想象能力 3 培养学生在解决实际问题与生活实际联系的能力 过程与方法目标1 经历探索解决米勒问题的过程 进一步探索米勒定理的证明过程 2 经历应用米勒定理解决问题的过程 情感与态度目标1 学生在探索的过程中 感受动点移动时带来的角度变化的动态美 体会数学的奇妙性 2 在交流的过程中 体会与别人交流的重要性 教材分析教材分析 1 本例题是在学习了直角三角形中角的正切值 基本不等式 圆的相关知识例如圆周角等 等进行讲解的 因此知识基础比较扎实 2 本例题是著名的经典题目 用于解决最大角问题 涉及到最大值问题 在今后的最值问 题解决中有着重要的地位 为解决最大角问题提供有力的工具 省去很多繁琐的步骤 3 本例题运用了数形结合的思想 引导学生善于把问题几何和代数之间相互代换得以解决 4 本课对学生的动手能力 观察能力都有一定的要求 对培养学生灵活的思维 提高学生 解决实际问题的能力都有重要的意义 5 本课内容安排上难度和强度不高 适合学生讨论 可以充分开展合作学习 培养学生的 合作精神和团队竞争的意识 教学中的重点 难点教学中的重点 难点 重点重点 1 利用直角三角形和基本不等式知识解决米勒问题 2 利用米勒问题得出的结论解决一般米勒问题并给出证明 难点难点 1 用代数方法解决后转换为几何的结论 2 一般米勒问题结论的证明 主要教学手段及相关准备 主要教学手段及相关准备 教学手段教学手段 1 使用导学法 讨论法 2 运用多媒体辅助教学 3 调动学生积极性 帮助理解 准备工作准备工作多媒体课件片断 辅助难点突破 教学设计策略教学设计策略依据教学目标和学生的特点 依据教学时间和效率的要求 在此课教学方 法和教学模式的设计中主要体现 设计思想策略设计思想策略1 回归学生主体 一切围绕着学生的学习活动和当堂的反馈程度安排教 学过程 2 原则性和灵活性相结合 既要完成教学计划 在教学过程中又可以根 据现实的情况 安排问题的难度 体现一些灵活性 3 教学的形式上注重个体化 充分给予学生讨论和发表意见的机会 注 重学习的参与性 努力避免以教师活动为主体的教学过程 教学步骤及说明教学步骤及说明 学生活动学生活动教师活动教师活动教学目标教学目标教学说明教学说明 1 学生跟着教师的 思路进行想象 2 根据几何画板的 演示并跟着教师的 思路思考问题 1 介绍问题 1471 年德国数学家米勒 向诺德尔教授提出如下 一个十分有趣问题 在地球表面的什么部位 一根垂直的悬杆呈现最 长 即可见角最大 2 几何画板演示 把文字的问题转化为几 何图形表示出来 培养学生根据题目给出 的信息动手作图 培养 学生学会运用数形结合 的思想方法 培养学生的空间想象能 力 并引导学生解决问 题 让学生了解题目 并 让同学想象 培养学 生自主探索的学习能 力 以及学生们交流 能力 用多媒体软件进行教 学 给学生直观的形 象 引导学生学会运 3 观察并思考 跟 着教师解决问题 4 思考并积极回答 问题 5 随着教师思路进 行思考 6 学生按照教师的 提示进行思考问题 7 通过教师演示 得到特殊米勒问题 与一般米勒问题的 区别 8 跟随教师的思路 并积极回答问题 学习新的知识 9 做好笔记并进行 知识巩固 3 把几何问题转化为代 数问题 引导学生进行 回答 4 根据代数方法得到答 案 并把结论转换为几 何结论 复习切割弦定 理 5 得到关于米勒问题的 几何结论 并提出为什 么要总结几何结论 6 给出一般米勒问题 在已知直线 l 的同侧有 P Q 两点 试在直线 l 上求一点 M 使得 M 对 P Q 两点的张角 即最大 7 用几何画板演示 把 特殊米勒问题与一般米 勒问题进行对比 说明 两者的不同 并说明用 类似的代数方法无法解 决 8 引导学生善于应用几 何结论去解决问题 并 进行证明 注意新知识 的补充并说明 9 总结 说明米勒问题 实质上是求最大角问题 因此得出的结论就是为 了解决一般的米勒问题 培养学生学会几何与代 数进行转换 培养学生运用已知知识 解决一般简单问题能力 同时对于知识的回顾 加深巩固 培养学生善于思考探索 的精神 学生体验从特殊到一般 的过程 加深对一般情 况和特殊情况的理解 提高学生对问题的敏感 度 培养学生通过比较两者 得到两者的区别的能力 培养学生善于巧妙地运 用新的结论来解决新的 问题 培养学生严谨的 数学态度 对得到的答 案给予严谨的证明 培养学生学会总结的能 力 并养成举一反三的 能力 达到学以致用的 目的 用已知条件去探索未 知量 运用直角三角形和基 本不等式的知识解决 问题 本节课的重点 之一 这是本节课的难点 学生难以突破 抛出问题引导学生思 考 由特殊问题过渡到一 般问题 循序渐进 关键在于引导和启发 给予学生充分的时间 必要时候使用事先准 备的多媒体辅助教学 从实际结果看 学生 在多媒体的启发作用 下 应该会有一个思 维上的突破 在课堂最后进行总结 并得到结论 告知学 生该结论用于解决最 大角问题 让学生能 够学以致用 即一般的求最大角问题 课后小结 由于运用了一定的教学方法和理念 知识从不同的方向得到了渗透 基本完成了 课前制定的教学目标和教学要求 为进一步的深入理解打下了基础 教学分析教学分析 1 米勒问题是求最大角问题的特例 通过解决米勒问题得到几何结论 根据这个结论可以 事半功倍得解决一般最大角问题 因此讲解这道题对于学生解决问题十分有必要 2 米勒问题应该安排在高二第二个学期 因为米勒问题应用的知识比较综合 并且要有一 定的空间想象力 而且要对几何与代数之间的转换有一定的了解 因此放在高二第二个学 期讲解比较合适 3 米勒问题是一道经典的数学题 对于培养学生对于研究数学和拓展课外知识很有必要 让学生领略到数学的美妙神奇之处 4 在证明一般米勒问题的时候 需要补充圆外角的相关知识 在解决问题的同时 可以让 学生初步了解圆外角知识并学会应用 教学设计脚本教学设计脚本 教师 同学们好 今天我们要解决一道世界著名的经典题目 米勒问题 点开 PPT 既然是是米勒问题 那么我们就先了解一下米勒问题是什么 14711471 年德国数学家米勒向诺德尔教授提出如下一个十分有趣问题 年德国数学家米勒向诺德尔教授提出如下一个十分有趣问题 在地球表面的什么部位 一根垂直的悬杆呈现最长 即可见角最大 在地球表面的什么部位 一根垂直的悬杆呈现最长 即可见角最大 这是一个非常著名的 100 道经典数学问题其中的一道题 大家先自己理解一下题目的意思 请同学们在草稿本上面画一下草图 好 现在老师用几何画板演示一下 点开超链接 出现几何画板 教师 大家看一下 我们把垂直悬杆简化成这个 AB 这段线段 大家在初中的时候已经学习地理 知道地球是一个球面 但是为了研究问题的需要 我们 就把地球表面看成是一个平面 所以问题就转化为 在地球上面找到一个点 D 使得人在 这个位置时 悬杆呈现最长 也就是可见角是最大的 ADB 教师 老师延长线段 AB 到平面并交于点 C 再连接 CD 以点 C 为圆心 CD 为半径作圆 几何画板演示 大家想象一下 点 D 在圆上移动的时候 有没有变化 ADB 学生 1 老师 是没有变化的 教师 很好 也就是说 在这个圆上的点都不会影响可见角 在圆心不变的情况下 ADB 只有半径不同的其他圆才会影响的大小对不对 ADB 学生 对 教师 也就是说 我们可以把这个空间的问题转化为平面问题 几何画板演示 那么是不是说 就一定会存在这个点 D 使得达到最大呢 ADB 学生 1 应该是存在的 教师 如果存在的话 应该在什么位置呢 学生 1 老师 肯定越近可见角越大 学生 2 不 我觉得是越远可见角越大 教师 那好 有争议的话 我们再用几何画板演示一下 A B D 现在我让点 D 一直向中间移动 同学们要留意是如何变化的 ADB 几何画板演示 学生 是先变大 后来又慢慢变小ADB 教师 对了 也就是说 在这条直线上 总会存在一个点 使得最大 对不对 ADB 学生 对 教师 那么我们要在这条直线上找到这个点呢 学生 可以转化为求点 D 到交点 C 的距离 教师 对了 要求 CD 的长度 那么我们设 CD 的长度为 x 问题就转化为 当 x 为多少时 最大 ADB 为了解决这个问题 我们把 AC BC 的长度当成是已知的 AC m BC n 把一些需要的角 标一下 这里的也就是 ADB 打开 PPT 已知 AC m BC n CD x x 0 求当 x 为多少时 最大 黑板板书 教师 那么我们就要用这些已知的条件来解决这个问题了 大家先看一下 刚刚说了悬杆是垂直于地球表面的 所以是一个什么三角形 ACDAACDA 学生 直角三角形 教师 那么 AC CD 与之间有什么关系 学生 2 教师板书出来 tan m x 教师 很好 那么我们再看呢 BCDA 学生 1 同样是一个直角三角形 教师 所以也可以同样得到怎样的关系式 学生 1 教师板书出来 tan n x 教师 那再看看 之间有什么关系 学生 2 教师 也就是 板书出来 我们在上面已经求出了 的正切值了 那么可以求出的正切值吗 要怎样求 学生 1 教师板书出来 教师 请继续 学生 1 把刚刚和代入上式tan m x tan n x 教师 很好 那么大家动手把数据代入并进行化简 那么有那位同学化简得到最终的结果 tantan tantan 1tantan 学生 2 教师板书出来 tan mn m n x x 教师 好的 那么我们看看 我们要求的最大值 是不是就是求的最大值 tan 学生 是的 教师 看看上面式子 那些是已知的 学生 m n 教师 所以说 m n 就是一个定值 那么要求的最大值 只需要求式子的分母的最小tan 值 对不对 学生 对 教师 那好 我们就把分母分离出来 板书出来 m n x x 现在要求的是的最小值 也就是应该要 板书出来 m n x x m n x x 同学们看出什么了吗 学生 基本不等式 教师 那要怎样做下去呢 学生 1 教师板书出来 2 m n xm n x 教师 什么时候等号成立 学生 1 当时 算得 教师板书出来 m n x x xmn 教师 也就是 好 到这里已经把结果算出来了 同学们回答一下题目提出问 2 xmn 题的答案 学生 当时 取得最大值 也就是取得最大值 xmn tan 教师 同学们看一下 我们解决这个问题的时候 先把几何的问题转化为代数问题 再用 代数的方法把问题解决了 但是如果每次都遇到这种问题 都要算这么多是不是很麻烦 我们在上面的计算过程 有没有得到什么启示 学生 1 当时 取得最大值 xmn 教师 很好 这也算是一个结论 有没有一个关于几何方面的结论呢 学生 思考 教师 刚刚所说的 也就是 那么根据CDxm nAB BC 2 CDAC BC 这个式子有没有想到关于圆的一些性质 老师在这里提示一下 大家还记得切割线定理吗 PPT 展示 这里 PA 是圆 O 的切线 BC 是圆 O 的一条割线 那么切割线定理是怎么描述的 学生 教师 这个等式跟上面所说的 在形式上是不是有点相似啊 2 CDAC BC 学生 PA 对应 CD PB PC 分别对应 BC AC 也就是 CD AB 分别是某个圆的切线 割线 教师 对了 表示出来就是这样子的图形 PPT 展示 所以我们有下面的结论 结论 当且仅当过 ABD 三点作外接圆且 CD 与该圆相切的时候 最大 同学们可能在这个时候就要问 得出这个结论有什么用 老老实实用代数 的 方法去算不就行了吗 带着这个问题 下面我们再看一道题目 PPT 展示 在已知直线在已知直线 l l 的同侧有的同侧有 P P Q Q 两点 试在直线两点 试在直线 l l 上求一点上求一点 M M 使得 使得 M M 对对 P P Q Q 两点的张角 两点的张角 最大 最大 教师 那我们来看看这道题跟第一题有什么区别 几何画板演示 我们连接 PQ 再延长 PQ 到直线 l 交于点 O 跟第一题画的图比较一下 几何画板演示 PCPBPA 2 ADB PMQ m n x l D C O A B M P Q 同学们看一下 PQ 是不是相当于把悬杆 AB 倒置了一样 还有哪些是相对应的 学生 2 PO 对应 AC 对应 PMQ ABD 教师 既然有那么多相似的地方 大家尝试着解决 学生 在草稿本上解决 教师 有没有同学算出来 学生 1 用刚刚的代数方法算不出来 教师 为什么 学生 1 PO 不垂直于直线 l 无法用到直角三角形的性质 教师 那么除了这种方法 刚刚不是还有一个结论吗 学生 2 类似于刚刚的结论 那么有结论 当且仅当 PMQ 三点所作的外接圆与直线 l 相切于点 M 的时候 最大 教师 很好 几何画板演示 lM P Q 那我们现在用几何画板演示可以知道此时 是最大的 但是仅仅用几何画板是不够 的 我们需要用数学的方法去证明 现在要证明我们找到的点 M 是使得 是最大 的 应该要怎样去证明呢 学生