初高中衔接----函数专题复习

初高中衔接初高中衔接 函数专题复习函数专题复习 专题一专题一 一次函数及其基本性质一次函数及其基本性质 一 一 知识要点及典型例题知识要点及典型例题 1 正比例函数 正比例函数 形如的函数称为正比例函数 正比例函数 其中 k 称为函数的比例系数比例系数 0 kkxy 1 当 k 0 时 直线 y kx 经过第一 三象限第一 三象限 从左向右上升 即随着随着 x 的增大的增大 y 也增大也增大 2 当 k0 b 0 这时此函数的图象经过第一 二 三象限 y 随 x 的增大而增大 2 当 k 0 b 0 这时此函数的图象经过第一 三 四象限 y 随 x 的增大而增大 3 当 k0 这时此函数的图象经过第一 二 四象限 y 随 x 的增大而减小 4 当 k 0 b 0 这时此函数的图象经过第二 三 四象限 y 随 x 的增大而减小 例例 1 在一次函数 y m 3 xm 1 x 3 中 符合 x 0 则 m 的值为 例例 2 已知一次函数 y kx b 的图象经过第一 二 三象限 则 b 的值可以是 A 2 B 1 C 0 D 2 例例 3 已知一次函数 y kx b 的图像经过二四象限 如果函数上有点 如果满足 1122 x yxy 12 yy 那么 1 x 2 x 3 待定系数法求解函数的解析式 待定系数法求解函数的解析式 1 一次函数的形式可以化成一个二元一次方程 函数图像上的点满足函数的解析式 亦即满足二元一 次方程 2 两点确定一条直线 因此要确定一次函数的图像 我们必须寻找一次函数图像上的两个点 列方程 组 解方程 最终求出参数 kb 例例 4 已知 一次函数的图象经过 M 0 2 1 3 两点 ykxb 1 求 k b 的值 2 若一次函数的图象与 x 轴的交点为 A a 0 求 a 的值 ykxb 4 一次函数与方程 不等式结合 一次函数与方程 不等式结合 1 一次函数中的比较大小问题 主要考察 2 一次函数的交点问题 求解两个一次函数的交点 只需通过将两个一次函数联立 之后通过解答一 个二元一次方程组即可 例例 5 已知一次函数的图象过第一 二 四象限 且与 x 轴交于点 2 0 则关于 x 的不等式yaxb 的解集为 1 0a xb A x 1 C x 1 D x1 时 y 的取值范围是 A y 1 B 1 y4 9 如图 一次函数 y k1x b1的图象 l1与 y k2x b2的图象 l2相交于点 P 则方 程组 22 11 bxky bxky 的解是 A 3 2 y x B 2 3 y x C 3 2 y x D 2 3 x y 10 已知一次函数 0 kbkxy图象过点 2 0 且与两坐标轴围成的三角形面积为2 求此一次函数 的解析式 y x l1 L2 P O 2 3 11 如图 在平面直角坐标系中 O 是坐标原点 点 A 的坐标为 4 0 点 B 的坐标为 0 b b 0 P 是直线 AB 上的一个动点 作 PC x 轴 垂足为 C 记点 P 关于 y 轴的对称点为 P 点 P 不在 y 轴上 连结 PP P A P C 设点 P 的横坐标为 a 1 当 b 3 时 求直线 AB 的解析式 若点 P 的坐标是 1 m 求 m 的值 2 若点 P 在第一象限 记直线 AB 与 P C 的交点为 D 当 P D DC 1 3 时 求 a 的值 3 是否同时存在 a b 使 P CA 为等腰直角三角形 若存在 请求出所有满足要求的 a b 的值 若 不存在 请说明理由 专题二专题二 反比例函数及其基本性质反比例函数及其基本性质 一 知识要点及典型例题一 知识要点及典型例题 1 反比例函数的基本形式 反比例函数的基本形式 一般地 形如 为常数 的函数称为反比例函数 还可以写成 x k y kok x k y kxy 1 0 k x k y 0 k x k y 2 反比例函数中比例系数 反比例函数中比例系数的几何意义的几何意义 k 1 过反比例函数图像上一点 向 x 轴作垂线 则以图像上这个点 垂足 原点为顶点的三角形的面积 等于反比例函数 k 的绝对值的一半 2 正比例函数 y k1x k1 0 与反比例函数 y k 0 的图像交于 A B 两点 过 A 点作 AC x x k 轴 垂足是 C 三角形 ABC 的面积设为 S 则 S k 与正比例函数的比例系数 k1无关 3 正比例函数 y k1x k1 0 与反比例函数 y k 0 的图像交于 A B 两点 过 A 点作 AC x x k 轴 过 B 点作 BC y 轴 两线的交点是 C 三角形 ABC 的面积设为 S 则 S 2 k 与正比例函数的比例 系数 k1无关 例例 1 点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点 过 P 作 x 轴的垂线交双曲线于点 Q 连续 OQ 当点 P 沿 1 y x x 轴正方向运动时 Rt QOP 的面积 A 逐渐增大 B 逐渐减小 C 保持不变 D 无法确定 例例 2 如图 双曲线与 O 在第一象限内交于 P Q 两点 分别过 P Q 两点向 x 轴和 y 轴作 0 k yk x 垂线 已知点 P 坐标为 1 3 则图中阴影部分的面积为 3 反比例函数的图像问题 反比例函数的图像问题 1 反比例函数的图像取决于比例系数 2 利用反比例函数的图像与一次函数 一元一次不等式结合 例例 1 函数与在同一坐标系中的图象可能是 如图所示 yaxa 0 a ya x 例例 2 如图 正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点 过点作 1 2 yx k y x 0 k AA 轴的垂线 垂足为 已知的面积为 1 xMOAM 1 求反比例函数的解析式 2 如果为反比例函数在第一象限图象上的点 点与点不重合 且点的横坐标为 1 在轴BBABx 上求一点 使最小 PPAPB 例例 3 已知一次函数 y1 x 1 和反比例函数 y2 的图象在平面直角坐标系中交于 A B 两点 当 y1 y2时 2 x x 的取值范围是 A x 2 B 1 x 0 C x 2 1 x 0 D x 2 x 0 4 反比例函数的基本应用 反比例函数的基本应用 例例 1 如图 等腰梯形 ABCD 放置在平面直角坐标系中 已知 2 0 A 6 0 B 0 3 D 反比例函数 的图象经过点 C 1 求 C 点坐标和反比例函数的解析式 2 将等腰梯形 ABCD 向上平移m个单位后 使点 B 恰好落在双曲线上 求m的值 例例 2 如图 点 A 在双曲线 y x k 的第一象限的那一支上 AB 垂直于 x 轴与点 B 点 C 在 x 轴正半轴上 且 OC 2AB 点 E 在线段 AC 上 且 AE 3EC 点 D 为 OB 的中点 若 ADE 的面积为 3 则 k 的值 为 二 巩固练习二 巩固练习 1 如图 矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点 矩形的边分别平行于坐标轴 点 C 在反比例函数 2 21kk y x 的图象上 若点 A 的坐标为 2 2 则 k 的值为 A 1B 3C 4D 1 或 3 2 如图所示 在反比例函数 2 0 yx x 的图象上有点 1234 P P P P 它们的横坐标依次为 1 2 3 4 分别过些点作 x 轴与 y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 1 234 S SS S 则 1 23 SSS 3 如图 直线l和双曲线 0 k yk x 交于 A B 亮点 P 是线段 AB 上的点 不与 A B 重合 过点 A B P 分别向 x 轴作垂线 垂足分别是 C D E 连接 OA OB OP 设 AOC 面积是 S1 BOD 面积是 S2 POE 面积是 S3 则 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S1 S2 S3 D S1 S2 S3 x y O A B C D 4 一次函数 0 mmxy与反比例函数 x m y 的图像在同一平面直角坐标系中是 5 如图 反比例函数 y1 和正比例函数 y2 k2x 的图象交于 A 1 3 B 1 3 两点 若 k2x 则 k1 x k1 x x 的取值范围是 A 1 x 0 B 1 x 1 C x 1 或 0 x 1 D 1 x 0 或 x 1 6 点 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 都在反比例函数 y 的图象上 若 x1 x2 0 x3 则 y1 y2 y3的大小关系是 3 x A y3 y1 y2 B y1 y2 y3C y3 y2 y1 D y2 y1的图象交于点 A 4 2 与 x 轴交于点 B 1 求 k 的值及点 B 的坐标 2 在 x 轴上是否存在点 C 使得 AC AB 若存在 求出点 C 的坐标 若不存在 请说明理由 9 已知一次函数mxy 1 的图象与反比例函数 x y 6 2 的图象交于 A B 两点 已知当1 x时 21 yy 当10 x时 21 yy x y C B A O 1 求一次函数的解析式 2 已知一次函数在第一象限上有一点 C 到y轴的距离为 3 求 ABC 的面积 10 如图 M 为双曲线 3 y x 上的一点 过点 M 作 x 轴 y 轴的垂线 分别交直线yxm 于 D C 两点 若直线yxm 与 y 轴交与点 A 与 x 轴交与点 B 求 AD BC 的值 专题三专题三 二次函数及其基本性质二次函数及其基本性质 一 二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用一 二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 1 二次函数的解析式及其求解 二次函数的解析式及其求解 一般的 形如的函数叫做二次函数二次函数 其中 x 是自变量 0 2 是常数 cbaacbxaxy 分别为二次函数的二次项系数 一次项系数和常数项 cba 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 4 对称点式 已知图像上有两个关于 y 轴对称的点 那么函数的方程可以选用对称点式 kxkx 21 代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了 kxxxxay 21 例例1 根据题意 求解二次函数的解析式 1 求过点 A 1 0 B 2 3 C 3 1 的抛物线的方程 2 已知抛物线与 x 轴交点的横坐标为 2和1 且通过点 2 8 求二次函数的解析式 3 已知二次函数的顶点坐标为 3 2 并且图象与 x 轴两交点间的距离为4 求二次函数的解析式 4 已知二次方程的两个根是 1和2 而且函数过点 3 4 求函数 3 2 cbxax cbxaxy 2 的解析式 cbxaxy 2 5 已知抛物线的顶点坐标为 1 2 且通过点 1 10 求此二次函数的解析式 6 已知二次函数当 x 2时有最大值3 且它的图象与 x 轴两交点间的距离为6 求这个二次函数的解析 式 2 二次函数的基本图像 二次函数的基本图像 1 二次函数 二次函数的图像的图像 一般地 抛物线的对称轴是 y 轴 顶点是原点 当 a 0 时 抛物线 2 yax 2 yax 的开口向上 顶点是抛物线的最低点 a 越大 抛物线的开口越小 当 a0 时 开口向上 当 a0 B a b 0 C 2b c 0 D 4a 十 c0 时 x 的取值范围 14 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的图象经过原点 O 交 x 轴于点 A 其顶点 B 的坐标为 3 1 求抛物线的函数解析式及点 A 的坐标 2 在抛物线上求点 P 使 S POA 2S AOB 15 一座拱桥的轮廓是抛物线型 如左图所示 拱高 6m 跨度 20m 相邻两支柱间的距离均为 5m 1 将抛物线放在所给的直角坐标系中 如右图所示 求抛物线的解析式 2 求支柱的长度 3 拱桥下地平面是双向行车道 正中间是一条宽 2m 的隔离带 其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m 高 3m 的三辆汽车