一元二次方程韦达定理2讲义

中小学个性化教育辅导专家 提分热线 0377 特尔官网 第 1 页共 9 页 特尔教育一对一个性化辅导讲义特尔教育一对一个性化辅导讲义 学科 数学 任课教师 徐老师 授课时间 2015 年 月 日 星期 姓名 年级性 别 总课时 第 课 教 学 目 标 通过根与系数的关系的发现与推导韦达定理 进一步培养学生分析 观察 归 纳 猜想的能力和推理论证的能力 难 点 重 点 韦达定理与推论是重点 难点是如何灵活应用韦达定理与推论 教 学 过 程 一 一 知识回顾知识回顾 1 复习提问 1 一元二次方程的一般形式 说出二次项系数 一次项系数及常数项 2 一元二次方程的根的判别式是什么 用它怎样判别根的情况 2 写出问题 2 的正确答案 反之 即此命题的逆命题也成立 即 一元二次方 程 ax2 bx c 0 如果方程有两个不相等的实数根 则 0 如果方程有两个相等 的实数根 则 0 如果方程没有实数根 则 0 即根据方程的根的情况 可 以决定 值的符号 的符号 可以确定待定的字母的取值范围 不解一元二次方程 判断根的情况 不解一元二次方程 判断根的情况 不解方程 判别下列方程的根的情况 1 2x2 3x 4 0 2 16y2 9 24y 3 5 x2 1 7x 0 中小学个性化教育辅导专家 提分热线 0377 特尔官网 第 2 页共 9 页 已知 ax2 bx c 0 a 0 且 b2 4ac 0 试推导它的两个根 x1 x2 2 4 2 bbac a 2 4 2 bbac a 分析 因为前面具体数字已做得很多 我们现在不妨把 a b c 也当成一个具 体数字 根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解 移项 得 ax2 bx c 二次项系数化为 1 得 x2 x b a c a 配方 得 x2 x 2 2 b a2 b a c a2 b a 即 x 2 2 b a 2 2 4 4 bac a b2 4ac 0 且 4a2 0 0 2 2 4 4 bac a 直接开平方 得 x 2 b a 2 4 2 bac a 即 x 2 4 2 bbac a x1 x2 2 4 2 bbac a 2 4 2 bbac a 由上可知 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根由方程的系数 a b c 而定 因此 1 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 当 b 4ac 0 时 将 a b c 代入式子 x 就得到方程的根 2 4 2 bbac a 2 这个式子叫做一元二次方程的求根公式 3 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 4 由求根公式可知 一元二次方程最多有两个实数根 中小学个性化教育辅导专家 提分热线 0377 特尔官网 第 3 页共 9 页 2 2 新课讲解新课讲解 如果这个一元二次方程是一般形式 ax2 bx c 0 a 0 你能否用上面配方法的步骤 求出它们的两根 请同学独立完成下面这个问题 问题问题 已知 ax2 bx c 0 a 0 且 b2 4ac 0 试推导它的两个根 x1 x2 2 4 2 bbac a 2 4 2 bbac a 04 2 acb 由此得出 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程两根和与两根积 与系数的关系 韦达定理 设方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 1 x2则 x1 1 x2 a b x1 1x2 a c 这个方程的根与系数 a b c 的关系叫做根与系数的关 系定理 也叫韦达定理 1 若两个数 x1 1 x2满足 x 1 1 x2 a b x1 1x2 a c 则 x1 1 x2是方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两个根 这个定理称为韦达定理的逆定理 2 x1 1 x2是方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两个实数根 则必有 b 2 4ac 0 反之亦成立 中小学个性化教育辅导专家 提分热线 0377 特尔官网 第 4 页共 9 页 若 12 x x 是方程 2 220070 xx 的两个根 试求下列各式的值 1 22 12 xx 2 12 11 xx 3 12 5 5 xx 4 12 xx 典型例题典型例题 例 1 已知 x1 1 x2是方程 x 2 3x 1 0 的两个根 求 x 2 1x2 x1 1x 2 2的值 解 解 x 1 3 2121 xxx 原式 x 3 2121 xxx 例 2 如果 a b 是方程 x 2 x 1 0 的两个实数根 求代数式 a 3 a2 b ab 2 b 3的值 解 解 a b 1 ab 1 又 a 32 2 22 abbab 原式 a 3 2222 babababba 例 3 若实数 x y 满足 x 1 2 3 3 x 1 3 y 1 3 y 1 2 求 x y y x 的值 解 解 x 1 0313 2 x y 1 0313 2 y 且 021 若 x y 则 x y 为方程 t015 2 t的两实根 x y 5 xy 1 原式 23 2 2 22 xy xyyx xy yx 若 x y 则原式 2 原式 2 或 23 中小学个性化教育辅导专家 提分热线 0377 特尔官网 第 5 页共 9 页 例 4 验证 x1 1 3 1 x2 23 1 为方程 x 2 3 3x 5 3 0 的实数根 解 解 若是 则 x 35 33 1121 yxx 以 x 2 1 为根的一元二次方程为 x 03533 2 x 显然 x 2 1 为给定方程的两实根 例 5 请写出一个两个实数根之和为 1 的一个一元二次方程 解 解 设 x 1 21 x x 为常数kkx 21 则由韦达定理之逆 得 x0 2 kx 但 x21x为方程两实根 041 k k4 1 比如设 x2 1 21 x 则方程为 x 0 4 1 2 x 等等 例 6 已知 2 x 2 5x 3 0 不解方程 求作一个一元二次方程 使它的两个根 是原方程两根的倒数 解 解 设所求方程两根为 y1 y2 则 2 2 1 1 1 1 x y x y y 21 21 21 21 21 1 xx yy xx xx y 但 x2 3 2 5 2121 xxx y3 2 3 5 2121 yyy 所求的方程为 y 0 3 2 3 5 2 y 即 3y 025 2 y 例 7 设 x1 x2为方程 x a x b cx 的实根 中小学个性化教育辅导专家 提分热线 0377 特尔官网 第 6 页共 9 页 求证 关于 x 的方程 x x1 1 x x2 cx 0 的两实根为 a b 解 解 x a x b cx 0 2 abxcbax cbaxx 21 abxx 21 21 21 xxab cxxba 0 2121 2 xxxcxxx 0 2121 2 cxxxxxxx 命题得证 巩固练习巩固练习 1 若 x 2 3x 1 0 的两根是 x1 x2 则 1 1 x 2 1 x 2 已知 x1 x2是方程 3 x 2 1 4x 的两根 不解方程 则 2 1 2 x x 2 2 1 x x 3 设 x1 2 3是方程 x 2 4x 1 0 的一个实根 则另一个实根 x2 4 方程 3 x 2 2x 2 0 的两根差的平方为 A 9 28 B 3 28 C 9 4 D 3 72 5 以方程 3 x 2 2x 6 0 的各根的负倒数为根的一个一元二次方程是 A 6 x 2 2x 1 0 B 6 x 2 2x 3 0 C 6 x 2 2x 1 0 D 6 x 2 2x 3 0 6 已知方程 2 x 2 5ax 3b 0 的两根之比为 2 3 方程 x 2 2bx 8a 0 的两 根相等 ab 0 求证 当 m 为任意实数时 方程 ax 2 b m 1 x m 1 0 恒有实数根 中小学个性化教育辅导专家 提分热线 0377 特尔官网 第 7 页共 9 页 课堂小结课堂小结 设方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 1 x2则 x 1 1 x2 a b x1 1x2 a c 这个方程的根与系数 a b c 的关系叫做根与系数的关系定理 也叫韦达定理 1 若两个数 x1 1 x2满足 x 1 1 x2 a b x1 1x2 a c 则 x1 1 x2是方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两个根 这个定理称为韦达定理的逆定理 2 x1 1 x2是方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两个实数根 则必有 b 2 4ac 0 反之亦成立 课后作业课后作业 1 巳知 a b 是一元二次方程 x2 2x 1 0 的两个实数根 则代数式 a b a b 2 ab 的值等于 2 已知关于 x 的方程 x2 mx 6 0 的一个根为 2 则 m 另一个根是 3 若 x1 x2 是方程 x2 x 1 0 的两个根 则 x12 x22 4 已知一元二次方程 y2 3y 1 0 的两个实数根分别为 y1 y2 则 y1 1 y2 1 的值为 5 已知关于 x 的方程 x2 2k 1 x k2 2 0 的两实根的平方和等于 11 则 k 的值 为 6 若 x1 x2 是方程 x2 2x 5 0 的两根 则 x12 x1x2 x22 7 若关于x的一元二次方程x2 4x k 3 0 的两个实数根为x1 x2 且满足 x1 3x2 试求出方程的两个实数根及k的值 中小学个性化教育辅导专家 提分热线 0377 特尔官网 第 8 页共 9 页 8 关于的一元二次方程 x2 2x k 1 0 的实数解是 x1和 x2 1 求 k 的取值范围 2 如果 x1 x2 x1x2 1 且 k 为整数 求 k 的值 9 阅读材料 如果 x1 x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根 那么 12 b xx a 12 c xx a 这就是著名的韦达定理 现在我们利用韦达定理解决问题 已知 m 与 n 是方程 2x2 6x 3 0 的两根 1 填空 m n m n 2 计算 nm