一元二次方程知识点总结及习题

1 基础知识巩固基础知识巩固 知识点知识点 1 1 一元二次方程概念一元二次方程概念 只含有一个未知数 并且含有未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程 1 判别下列方程是不是一元二次方程 1 2x x 3 0 2 y 0 3 t 0 4 x x 1 5 x 2y 1 0 2 4 y 22322 6 3 0 7 2 8 x 2 x 2 x 1 9 3x 6 0 10 3x 3 2 1 x xx3 2 22 x 4 2 4 x 2 判断下列方程是否为一元二次方程 0 0 7 0 6 2 1 3 5 023 4 1 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 的常数为不等于mmx cbxax xxx yxx x x x xx 3 下列方程中 关于的一元二次方程是 x A B 2 3121xx 2 11 20 xx C D 2 0axbxc 22 21xxx 4 下列方程中 不是一元二次方程的是 A 2x2 7 0 B 2x2 2x 1 03 C 5x2 4 0 D 3x2 1 x 1 0 x 1 5 若关于 x 的方程 a x 1 2 2x2 2 是一元二次方程 则 a 的值是 A 2 B 2 C 0 D 不等于 2 6 已知关于的方程 当 时 方程为一次方程 当x 031 22 pxnxm 时 两根中有一个为零 a 7 已知关于的方程 x 2 2 20 m mxxm 1 m 为何值时方程为一元一次方程 2 m 为何值时方程为一元二次方程 知识点二知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 2 一元二次方程的一般形式是 其中是二次项 叫二次项系数 是一次项 2 00axbxca 2 axabx 叫一次项系数 是常数项 bc 特别警示 1 是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分 2 二次项系数 一次项系数及0a 常数项都是方程在一般形式下定义的 所以求一元二次方程的各项系数时 必须先将方程化为一般形式 1 指出下列一元二次方程的二次项系数 一次项系数和常数项 2 1 109000 xx 2 2 5102 20 xx 2 3 2150 x 2 4 30 xx 5 6 3 2 2 x0 3 3 xx 2 关于的方程是一元二次方程 则 x 2 320axx A B C D 0a 0a 1a 0a 3 将下列一元二次方程化成一般形式 并找出a b c的值 1 2 435xx 2 22831xx x 4 方程 m2 1 x2 mx 5 0 是关于 x 的一元二次方程 则 m 满足的条件是 A m 1 B m 0 C m 1 D m 1 5 关于的方程中是 是 是 x0623 2 xxabc 6 方程的一般形式为 49523523 2 xxxx 7 方程 m 5 m 3 x m 3 x 5 0 中 当 m 为何值时 此方程为一元二次方程 2 m 知识点三知识点三 一元二次方程的解一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 叫方程的解 1 已知方程的一个根是 1 则 m 的值是 2 390 xxm 2 已知是一元二次方程的一个解 则 m 的值是 1x 2 210 xmx A 1 B 0 C 0 或 1 D 0a 3 若是一元二次方程的一个根 则 1x 2 20axbx ab 4 实数是方程 的根 a acbb 2 4 2 A B 0 2 cbxax0 2 cbxax C D 0 2 cbxax0 2 cbxax 3 5 设是一元二次方程的较大根 是较小根 那么a05 2 xxb023 2 xxba 的值是 A 4 B 3 C 1 D 2 6 已知关于的一元二次方程 的一个解与方程的解相同 x 2 20 xkx 1 3 1 x x 1 求的值 k 2 求方程的另一个解 2 20 xkx 7 设是关于的一元二次方程的两个根 是关于的一元二次方程 12 x xx 2 0 xpxq 12 1 1xx x 的两个根 则的值分别等于多少 2 0 xqxp p q 知识点四知识点四 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法 1 直接开平方法 如果 则 2 0 xk k xk 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法 直接开平方法适用于解形如 的一元二次方程 根据平方根的定义可知 是 b 的平方根 当时 bax 2 ax 0 bbax 当 b 0 时 方程没有实数根 bax 2 配方法 要先把二次项系数化为 1 然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方 配成左边是完全平方式 右边是非负常数的形式 然后用直接开平方法求解 配方法的理论根据是完全平方公式 把公式中的 a 看做未知数 x 并用 x 代替 则有 222 2bababa 222 2bxbbxx 配方法的步骤 先把常数项移到方程的右边 再把二次项的系数化为 1 再同时加上 1 次项的系数的一半的平方 最后配成完全平方公式 4 3 公式法 一元二次方程的求根公式是 2 00axbxca 2 4 2 bbac x a 2 40bac 公式法适用于任何一元二次方程 有人称之为万能法 在使用公式法时 一定要把原方程化成一般形式 以便确定系数 而且在用公式前应先计算根的判别式的值 以便判断方程是否有解 4 因式分解法 如果则 0 xaxb 12 xa xb 分解因式法的步骤 把方程右边化为 0 然后看看是否能用提取公因式 公式法 这里指的是分解因式中的公式 法 或十字相乘 如果可以 就可以化为乘积的形式 温馨提示 一元二次方程四种解法都很重要 尤其是因式分解法 它使用的频率最高 在具体应用时 要注意选择 最恰当的方法解 1 方程的解是 2 250 x A B 12 5xx 12 25xx C D 12 5 5xx 12 25 25xx 2 方程的解是 2 20 xx A B 12 1xx 12 1 3xx C D 12 2 0 xx 12 2 0 xx 3 方程的较简便的解法应选用 2 5115xx 4 解下列方程 1 2 3 2 331xx 2 230 xx 2 230 xx 5 开平方法解下列方程 01255 2 x289 3 169 2 x0361 2 y 5 0 31 2 m8 5 13 2 2 x 6 配方法解方程 052 2 xx015 2 yy342 2 yy 7 公式法解下列方程 263 2 xxpp323 2 yy117 2 259 2 nn3 12 2 2 xxx 8 因式分解法解下列方程 09 4 1 2 x0454 2 yy03108 2 xx 0217 2 xx622336 2 xxx1 5 2 5 2 xx 6 08 3 2 3 222 xxx 9 用适当方法解下列方程 128 72 2 2 x 222 2 212mmmm 3 2 2 6 xxxx 3 13 2 23 3 3 2 yyyyy 22 3 144 52 81 xx 10 解下列方程 yy3232 2 1 2 1 1 3 1 2 xx 2 2 52 3 xx 7 22 2 2263 yyy 2 2 3 3 m xmx 1221 22 xxxx 2 330 xx 02414 2 mxmmx 知识点五知识点五 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程的根的判别式是 2 00axbxca 2 4bac 1 当时 方程有两个不相等的实数根 2 40bac 2 当时 方程有两个相等的实数根 2 40bac 3 当时 方程无实数根 2 40bac 温馨提示 若方程有实数根 则有 2 40bac 1 已知方程有两个不相等的实数根 则 k 2 30 xxk 2 关于的一元二次方程两个不相等的实数根 则 k 的取值范围是 x 2 210kxx A B C D 1k 1k 0k 10kk 且 3 在下列方程中 有实数根 的是 A B 2 310 xx 411x C D 2 230 xx 1 11 x xx 4 当 m 满足何条件时 方程有两个不相等实根 有两个相等实根 有实根 01912 2 mxmmx 8 5 关于的方程无实根 试解关于的方程 x 0522 2 mxmmxx 0225 2 mxmxm 6 已知关于的一元二次方程 求证 不论 m 为任何实数 方程总有两个不相等的实x 2 41210 xmxm 数根 7 将一条长 20m 的铁丝剪成两段 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 1 要使这两个正方形的面积之和等于 17 平方米 那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 2 两个正方形的面积之和可能等于 12 平方米吗 若能 求出两段铁丝的长度 若不能 请说明理由 知识点六知识点六 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个实数根为 则 韦达定理 2 00axbxca 12 x x 1212 bc xxx x aa 温馨提示 利用根与系数的关系解题时 一元二次方程必须有实数根 1 关于的一元二次方程的两个实数根分别是 且满足 则 k 的值为 x 22 430 xkxk 12 x x 1212 xxx x A B C D 不存在 3 1 4 或1 3 4 2 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根 且满足 则 x 22 230 xmxm 11 1 m 的值是 9 A 3 或 1 B 3 C 1 D 3 或 1 3 关于的一元二次方程有两个实数根 且 则 m 的取值范围是 x 2 22310 xxm 12 x x 1212 4x xxx A B C D 5 3 m 1 2 m 5 3 m 51 32 m 4 方程与方程的所有根的乘积是 2 360 xx 2 630 xx 5 两个不相等的实数 m n 满足 则 mn 的值为 22 64 64mmnn 6 设是关于的方程的两个根 且满足 求 m 的值 12 x xx 2 100 xmxmm 12 112 3xx 7 已知 ABC 的两边 AB AC 的长是关于的一元二次方程的两个实数根 第x 22 23320 xkxkk 三边 BC 的长为 5 问 k 取何值时 ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 知识点七知识点七 一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用 列一元二方程解应用题的一般步骤 1 审题 2 设未知数 3 列方程 4 解方程 5 检验 6 写出答案 在检验时 应从方程本身和实际问题两个方面进行检验 1 某商品原价每件 25 元 在圣诞节期间连续两次降价 现在商品每件 16 元 则该玩具平均每次降价的百分率是 2 有一个两位数 十位数字比个位数字大 3 而此两位数比这两个数字之积的二倍多 5 求这个两位数 3 一块长方形铁皮的长是宽的 倍 四角各截去一个正方形 制成高是 cm 容积是 cm3的无盖长方体容器 求这块铁皮的长和宽 10 4 市政府为了解决市民看病难的问题 决定下调药品的价格 某种药品经过连续两次降价后 由每盒 200 元下调至 128 元 求这种药品平均每次降价的百分率是多少 5 一根长22cm的铁丝 1 能否围成面积是30cm2的矩形 2 能否围成面积是 32 cm2的矩形 并说明理由 6 西瓜经营户以 2 元 千克的价格购进一批小型西瓜 以 3 元 千克的价格出售 每天可售出 200 千克 为了促销 该经营户决定降价 经调查发现 这种小西瓜每降价 0 1